Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов с сингулярным потенциалом Гейдаров Ариф Гусейн оглы

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Разложение по собственным функциям самосопряженных карлемановских операторов 21

1.1. Известные факты и общие результаты 21

1.2. Разложение по собственньм функциям карлемановских операторов 33

1.3. Карлемановость возмущений карлемановских операторов 46

Глава II. Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов с сингулярным потенциалом 54

2.1. Самосопряженность эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом 54

2.2. Самосопряженность эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом 66

2.3. Разложение по собственным функциям эллиптических операторов второго порядка 82

2.4. Разложение по собственным функциям эллиптических операторов высокого порядка 88

Литература 99

• Разложение по собственньм функциям карлемановских операторов
• Карлемановость возмущений карлемановских операторов
• Самосопряженность эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом
• Разложение по собственным функциям эллиптических операторов высокого порядка

Введение к работе

В настоящее время интенсивно разрабатывается спектральная теория эллиптических операторов с сингулярным потенциалом. Так, например, достаточно полно изучена проблема существенной самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. Одна из основных задач спектральной теории эллиптических операторов является разложение по собственным функциям. Как известно, спектральный анализ оператора Шрединге-ра — Д + #(Х) имеет основное значение для квантовой механики. При этом рассматриваемое возмущение 0/{р^) » как правило, имеет сингулярность (т.е. не является непрерывной). Поэтому естественно представляет интерес изучение разложения по собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.

Общая теория разложения по обобщенным собственным функциям самосопряженных операторов построена в работах Ф.И.Маутнера J64J, А.Я.Повзнера [35J , И.М.Гельфанда и А.Г.Костюченко ["ilj , Ю.М. Березанского з,б] , Л.Гординга [56 J , Ф.Е.Браудера [52J , К.Морена 63j , Г.И.Каца {22-24J и др. Эта теория и ее применения к эллиптическим дифференциальным операторам с гладкими коэффициентами изложены в монографии Ю.М.Березанекого [ij (см.также И.М.Гельфанд и Н.Я.Виленкин l3J , К.Морен [62J ).

Наиболее удобным способом для построения разложений по собственным функциям эллиптического оператора является доказательство карлемановости рассматриваемого оператора. Это доказательство, в свою очередь, использует теоремы о повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений внутри области и вплоть до ее границы, а для их справедливости необходима достаточная регулярность коэффициентов.

При изучении разложений по обобщенным собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом, ввиду отсутствия соответствующих теорем о повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами, возникают трудности. Следует отметить, что существующие теоремы о повышении гладкости решений эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами (см.например, О.А.Ладыженская и Н.Н.Уральцева [26 J ) не дают возможность применять общую схему разложений по обобщенным собственным функциям в случае сингулярного потенциала.

Предлагаемая нами конструкция разложений для случая сингулярного потенциала по существу использует простую идею, связанную с понятием монотонной функции эрмитовой матрицы, т.е. функции Ф(Л) > обладающей тем свойством, что из А ^ В следует Ф(А)^*Р(В) (известные результаты К.Левнера, см.например [50,6IJ , ( [l7j , гл.8, 9). Грубо говоря, доказательство кар-лемановости сводится к получению оценки CU..(С |Ч (А)С)<^С<> , где 0((Я.) и С - некоторые функция и оператор. Поэтому, если ((7^(%)) в указанном смысле монотонная, то из карлемановости р и того что А ^ J3 » следует карлемановость А . Этот подход дает возможность охватить некоторые широкие классы эллиптических дифференциальных операторов с сингулярным потенциалом.

В последнее время появилось большое число статей, посвященных получению условий самосопряженности эллиптических операторов с сингулярным, вообще говоря, неубывающим на бесконечности потенциалом: Б.Саймон [68J , Т.Като [57,58} , Ю.М.Березанекий [4J , Ю.Б.Орочко [29,32] , П.Р.Чернов [7і] , Ю.М.Березанекий и В.Г.Са-мойленко [8J , М.А.Перельмутер и Ю.А.Семенов [34J и др. В этих работах получены условия самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. А в работах

- 5 -Б.М.Левитана и М.Отелбаева [27,28] , Р.Г .Келлера [59,60] , Н.Х.Данга [54,55J получены условия самосопряженности эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом.

Вместе с тем, известно лишь небольшое количество работ, в которых строится и изучается разложение по собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом: Г.Н.Гестрин [і4-Іб] , Е.Б.Дэвис [53] , Ю.А.Семенов [б7] , А.Г.Белый, В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенов [49J , В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенов [25J , Ю.Б.Орочко [ЗО,31,33] , Т.Ненси [65J . В этих работах исследовано разложение по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом (за исключением работы Ю.Б.Орочко [ЗЗ] , где рассмотрено эллиптическое дифференциальное выражение второго порядка с переменными коэффициентами). При рассмотрении эллиптических операторов высокого порядка возникают дополнительные трудности. Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом ранее не изучалось.

Целью диссертационной работы является построение разложений по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов произвольного порядка с сингулярным, вообще говоря, неубывающим на бесконечности потенциалом. Кроме того, в диссертации получены условия существенной самосопряженности эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.

При доказательстве теорем о разложении применяется метод сравнения основанный на теории монотонных оператор-функций. В некоторых случаях используется модификация этого метода. Для доказательства основных результатов используются теория оснащенных гильбертовых пространств, методы теории возмущений линейных операторов и теория эллиптических уравнений.

- б -

Введем следующие обозначения. Как обычно, IR - N - мерное
пространство; *-< ^sLp(K ) (1 ^ f>< ) - пространство изме
римых функций на /а , р -е степени которых суммируемы по мере
Лебега; Ь g, S Ь g_oc (IR ) - пространство измеримых функ-

ции, локально принадлежащих в Lp(IK ) ; L^L^ik ) - про-странство измеримых существенно ограниченных функций. Через С (и? ) будем обозначать пространство бесконечно дифференцируемых на ІК функций с компактными носителями.

В тексте диссертации теоремы, леммы и формулы нумерируются по параграфам каждой главы с указанием номера главы. Первая цифра указывает номер главы, вторая - номер параграфа, а третья - порядковый номер теоремы (леммы, формулы).

Теперь сделаем обзор по выше перечисленным работам. Г.Н.Гест-
рин {_I4J перенес известные результаты А.Я.Повзнера [ЗЬ\ на опе
раторы вида с сингулярным потенциалом
CL(X),Ll Ш ) В работах Гі5,Іб] Г.Н.Гестрин с помощью специаль
ной конструкции интеграла Фейнмана обосновал разложение по собст
венным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом.
Предполагается, что Ф(ЭС) ⁼ ^(Ф + # (X) , где Ц, (X) - из
мерима и локально ограничена, CL (X) С Ь. (R ) или

непрерывна всюду, за исключением изолированных точек, в окрестностях которых неограничена и не суммируема с квадратом.

В работе Е.Б.Дэвиса [J53J изучены свойства собственных функций и функции Грина оператора Шредингера L» = ~Д +" ^(ЭС) , где

В статьях Ю.А.Семенова 67J , А.Г.Белого, В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенова j_49j , В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенова [25J подробно изучены разложения по собственным функциям оператора Шредингера

- 7 -с сильно сингулярным потенциалом. Предполагается, что #(Х) =

= ^₊(^х)-^.(^)?⁰-^±^^х)^и,&с(^^' ^ГДЄ ^ -произвольное замкнутое множество меры нуль. При этом оператор La понимается

в смысле форм-суммы.

В работе Ю.Б.Орочко [ЗО] с помощью метода гиперболического уравнения доказаны локальная ограниченность и оценки роста на бесконечности обобщенных собственных функций произвольного самосопряженного расширения А оператора Ь — """А + ^(ЭС) _в случае локально ограниченного снизу потенциала из L_fi g^. (R ) Карлемановские оценки для оператора Шредингера с локально полуограниченным сильно сингулярным потенциалом доказаны в статье Ю.Б.Орочко .31] . Эти оценки используются при изучении разложений по обобщенным собственным функциям оператора А , а также в ряде других вопросов.

В статье Ю.Б.Орочко [33J рассматривается сильно сингулярное эллиптическое выражение второго порядка дивергентного вида L,rr-otLva(X)^Xot + ^(x; , где Я(^а)-{^а;к(^х>}^_Ка1 -положительно определенная матрица с элементами CZj^i'X) ^.L*oo(oc(^ )» а потенциал Cp(X)z? Cl+(3C)-tt(DC) сильно сингулярен (т.е. не

принадлежит Ьд &с (Я^) ^» причем О ^ *?+(^х^ ^ "*>&с № ) >

Вводится псевдоминимальный оператор А , порожденный вьфажением Ь . Показано, что А - карлемановский оператор и его обобщенные собственные функции принадлежат VVL (ІК ) /) 1^₀₀₎6ос (К )

В работе Т.Ненси [65J исследовано разложение по собственным функциям оператора п ~г\₀-*У в пространстве На (К ) Здесь п -~А ; оператор п понимается в смысле форм-суммы. Предполагается, что для некоторого ]&УО оператор &*р(Д 1*1)* X|W Н³'- ограничен с относительной границей меньшей I.

- 8 -В обзорной статье Б.Саймона (_69J излагаются некоторые результаты о разложении по собственньм функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом. Рассматривается оператор Щредингера

Классы Кд. и Ки fo~ определяются следующим образом (N^3) :

Теперь изложим основное содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии из 76 наименований.

Во введении дан обзор литературы по теме диссертационной работы и основное содержание диссертации.

В первой главе изучается разложение по собственным функциям самосопряженных карлемановских операторов.

В I.I приводятся известные факты из монографии Ю.М.Березан-ского [2 J и общие результаты о разложении по обобщенным собственным векторам самосопряженных операторов действующих в гильбертовом пространстве. Эти результаты являются развитием соответствующих фактов из монографии Ю.М.Березанекого [l\ .

Пусть п_о - сепарабельное гильбертово пространство, оснащенное пространствами с позитивной и негативной нормами:

Н_2Н₀2Н₊- (0.D

Обозначим через 0 - оператор вложения П. * П₀ і U " оператор вложения Л—^Н_ . Пусть А - самосопряженный оператор, действующий в Н у ji(R )ЭД'—* t (А) _ его разложе-

ниє единицы ( J6[E ) - Є - алгебра борелевских множеств на оси IR ). Известно ( [ІJ , гл.5, 2), что если оператор вложения

U * п₊—* п₀ Гильберта-Шмидта, то цепочка (0.1) годится для построения разложений по обобщенным собственным векторам любого самосопряженного оператора А , действующего в И₀ . Однако при рассмотрении конкретных операторов А можно обойтись цепочками (0.1) с менее жесткими требованиями на оператора вложения

0 'п.—*п₀ , обеспечивающими возможность построения таких разложений. Так ( l] , гл.5, 4), [з] , если операторнознач-ная мера

имеет б" - конечный след, то справедлива основная теорема о разложении. Эта теорема заключается в справедливости представления

о⁺ (д) о = { Кя> oif (я) (л Si (ik')),

где Л(1К)ЭА>—* f(A)~Ut. (0 Е(Д)О) - спектральная мера оператора А ) Ik ЭЯ'—* г (Я) - определенная f - почти для всех Я С Л? операторнозначная функция, значениями которой служат неотрицательные операторы такие, что

Как известно ( [i] , гл.5, 4), если оператор А и опре
деленная на его спектре ограниченная непрерывная и отличная от
нуля комплекснозначная функция (Я(Я) таковы, что оператор
сХ(А)0 ' Н,—* г\₀ - Гильберта-Шмидта, то мера (0.2)

имеет 6* - конечный след. Следовательно, цепочка (0.1) пригодна для построения разложений по обобщенным собственным векторам оператора А .

В І.І приведены некоторые достаточные условия, обеспечиваю-

_{- ю -}

щие б* - конечность следа меры (0.2). В частности, доказана следующая теорема.

Теорема І.І.2. Пусть А ЪяА - полуограниченный снизу самосопряженный оператор, действующий в пространстве Н₀ . Пусть цепочка (0.1) такова, что для функции <Х(71)~ (Я —2) ( Я Є ГЛ, оо) ; -г<а - фиксировано) имеем \о((А)0\< оо

( I * I - норма Гильберта-Шмидта). Предположим, что в П₀ действует самосопряженный оператор В , имеющий общую базу с А и такой, что на этой базе В>А . Тогда|<*(В)0|<оо. Таким образом, цепочка (0.1) пригодна для построения разложений по обобщенным собственным векторам и оператора В

Выше под базой замкнутого оператора А понимается линейное множество г из его области определения 2)(А) такое, что

(ANT=A .

В 1.2 излагается теория разложения по собственным функциям самоеопряженных карлемановских операторов действующих в L. (R₇ о(/М(Х)) , где R - пространство с 6 - конечной мерой JUL (]&(&) 4 0) .

Определение ( [2J , стр.243). Самосопряженный оператор А , действующий в пространстве U\ ( К э ct(LL(OC)j называется карле-мановским, если выполнены следующие условия:

I) существуют определенная на спектре оператора А ограниченная непрерывная и отличная от нуля комплексноэначная функция

о((Я) и измеримое относительно меры JM.^ и определенное
jU.Jll - почти для всех (Х,^) R X ft ядро К(Х,^) такие,
что для некоторого плотного в множество функ-

ций f справедливо представление

(rf(A)f)(x> = $ К(*.ДО(ї)с6/и#) 5

- II -

2) Jll - почти для каждого Ц R

Пусть А - самосопряженный карлемановский оператор в и (#, #Д(х)) . Тогда существует такой JU, - измеримый вес JD(00)^i (ЭК) ( fl| , гл.5, 4), что для построения разложения по обобщенным собственным функциям оператора А пригод-

на цепочка

LJj?, p(x)dju(xj) sl^fR, dju(xj)^L^jpi^dffxi). ₍₀.з)

Таким образом, обобщенные собственные функции карлемановских операторов принадлежат пространству и<(R, b (X)otfU(X)) , и поэтому являются обычньми функциями.

В 1.2 устанавливаются некоторые утверждения, касающиеся разложений по собственным функциям карлемановских операторов (интегральность оператора Pi'X) и т.п.). Приводится схема разложений по индивидуальным собственным функциям карлемановских операторов.

К исследованию карлемановости возмущений карлемановских операторов посвящен параграф 1.3. Доказаны следующие теоремы.

Теорема I.3.I. Пусть /л У/ Л і _ полуограниченный снизу самосопряженный оператор, действующий в пространстве Ьд (/R ) . Предположим, что резольвента К (А) при некотором 'Z^CCt является интегральным оператором, ядро которого локально ограничено. Пусть

В - самосопряженный оператор в L^tR ) , имеющий общую базу с А и такой, что на этой базе В Ъ А . Тогда р - карлемановский оператор.

Определение. Будем говорить, что самосопряженный полуограни-

- 12 -
ценный снизу карлемановский оператор А » действующий в прост
ранстве удовлетворяет условию полугрупповои
позитивности, если выполнены следующие условия:

1. для любого ъ(0,4] существует постоянное С уО такое, что |с*(Л)| ^С Є на спектре оператора А ;

2. интегральное ядро W(x₇^;-.) оператора

для каждого " (О, {\ JLLjLL - почти для всех (^»J/)^Rxt? неотрицательно.

Теорема 1.3.2. Пусть А - самосопряженный полуограниченный
снизу карлемановский оператор в , удовлетворя
ющий условию полугрупповой позитивности. Пусть К ЭХ'—>Щ'0О)^0
измеримая функция такая, что у А существует база р , для ко
торой замыкание V оператора F9-f(X)« >V(X)(OC)

самосопряжено. Обозначим через р замыкание оператора рЭ-fi—у

. Если р - самосопряжен, то о - карлемановский оператор и для построения разложения по его обобщенным собственным функциям пригодна цепочка (0.3), построенная по А

В главе П результаты главы I применяются к эллиптическим дифференциальным операторам с сингулярньм потенциалом. В этой же главе получены условия существенной самосопряженности эллиптических операторов с сингулярным потенциалом, представляющие самостоятельный интерес.

В 2.1 доказана теорема о локализации существенной самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом.

Пусть в /К задано эллиптическое дифференциальное выражение

^)(х)=-у^(ау_к(*;|^)+а{х;а»/Л_в^)(а^^«.(о.4)

- ІЗ -

с вещественными коэффициентами. Положим

^₊(x) = >rtax^(x),o} , 6jf_(_X) = max[-cjf(X),o].

Теорема 2.I.I. Предположим, что выполнены следующие условия:

3. коэффициенты &._K(OC)L ^(IR ) , a^(X)-0(lOC\) при J_x|_>oo , обобщенные производные JL (а._к(Х)) L ^( II?")

4. выражение У^С полу ограничено снизу на L₀ (IR ) , т.е. при некотором С СН

(Mir, v) >Лщ UeCJn"));

^{ч ч}

3) для любой точки СЕ /к существуют неотрицательная
функция (Р(Х) С (Л? ) > равная единице в некоторой окрестнос-

тичных форм

X_Q и постоянные u>0 , С такие, что в смысле квадра-

_A⁺_1f»t(^M_*⁺_W)-b

4) оператор С (ІЙ. ) Э 66 —*(JIL +CI(p\ll существенно самосопряжен в пространстве L» (К )

О А/

Тогда оператор Q (jf( )9tLi—*-JltiL существенно самосопряжен в Li [IK ) .

Теорема 2.I.I обобщает результаты работы Н.Брезиса [51J на эллиптические операторы второго порядка с негладкими старшими коэффициентами и сингулярным потенциалом.

Отметим, что некоторые результаты о локализации существенной самосопряженности оператора Шредингера с сингулярным потенциалом получены в работах Б.М.Левитана и М.Отелбаева [27,28j .

В параграфе 2.2 получены условия самосопряженности эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом. Приведем основной результат этого параграфа.

Пусть в ІК задано эллиптическое дифференциальное выраже-

iXii)(0C)-=y (,_f) Ъ%_р(<К)\)ц, +Cf(x)U,( СО.5)

Предполагается выполнение следующих условий:

I) выражение ot. равномерно сильно эллиптичен, т.е. существует постоянная _о>0 такая, что

_{ЧГтЧ«"Т')»<утГ}

|*|=/*|гЖ

fo^N .

для любых J ? ЭС /к ',

2) комплекснозначные коэффициенты Л (х)=& (х)

при Ml +/я«Am, ;

3. коэффициенты СІ (ос) равномерно непрерывны при

4. вещественнозначный сингулярный потенциал ty(0)

5. CL(OC) ^-- Q(|Xj) , где W(^) - неотрицательная монотонно неубывающая функция такая, что при

Определим в пространстве -^,(^ ) симметрический оператор А .полагая Аи= Хц. , 2) (A) = C~(R^N)

Теорема 2.2.3. Предположим, что выполнены условия D-5). Тогда оператор А существенно самосопряжен в La (ІК )

Эта теорема для гладкого потенциала установлена в работах А. Г. Брус еще ва и Ф. С. Рофе-Бе кетова [9,10] , а для локально ограниченного потенциала - в работе Н.Х.,Данга [54] . В случае эллиптических операторов второго порядка этот результат содержится в статье Ю.М.Березанского и В.Г.Самойленко [8] .

Отметим, что некоторые результаты о самосопряженности эллиптических операторов с гладкими коэффициентами содержатся в книгах И.М.Гельфанда, Г.Е.Шилова [iz\ и Ю.М.Березанского \l] .

В 2.3 изучается разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. Рассматривается эллиптическое дифференциальное

оо д/

выражение (0.4) с вещественными коэффициентами &;_К(Х)С (IR ) »

^(X)L_a> (R ) . Выражение М₀ предполагается полуограниченным снизу на С (К ). Пусть А - замыкание в пространстве Ь (К ) оператора L_Q (IR }ЭЫ,\—>JliiL .

Теорема 2.3.1. Пусть коэффициенты CL-_K (ОС) С С (IR ) / j₀K~ іi&r"№) t а сингулярный потенциал ШОС) и^ fe (R ) почти везде неотрицателен. Предположим, что оператор А самосопряжен в . Тогда существует вес 1 ^JP(^)CC (IR ) такой, что для построения разложения по обобщенным собственным функциям оператора А пригодна цепочка

L(R%~(x)^x) ^L (И? ictx) зЬ (К ,/э(х)^х). (0.6)

Оператор обобщенного проектирования на обобщенное собствен
ное подпространство р(Я) L (ІК 7 Jb(0C)^tX J >

—* L Шур (X)dx) является интегральным оператором:

(Р(Х) а)(х) = J р(х,^ _} /L) 44s)ty ("- УК* р(а*Ь:)).

Ядро Р(^эс?^>'^) - спектральное ядро А - удовлетворяет 9 - почти для всех 'Я К оценке

_{к" к"}

и является собственной функцией по каждой из переменных: Д.Р(а^;^)=Яр(л,^-,Я) , ^Р(х^;Я)=%Р(о^;я).

Разложение спектрального ядра оператора А по собственным функ
циям _и

Р(х,^;я) = ^^(0с;Я)^(^Я) К^оо,-а:^^)

сходится в смысле метрики Lі (IR X//s ₇ р(эс)Ь (^)d'X.duj

Здесь У1_% - кратность собственного значения Я .

Если дополнительно Ц(0С) /_j_{s ы} (iR ) ( S>^ ? S >#)

то каждая обобщенная собственная функция оператора А непрерывна.

В случае оператора Шредингера с сингулярньм потенциалом теорема 2.3.1 содержится в статье В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенова 25 J .

В 2.4 изучается разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов высокого порядка с сингулярньм потенциалом.

Рассматривается эллиптическое дифференциальное выражение

(а)(Х)= \ O_b((X)Dtt+^(X)66 = (^6t)(X)-+^(X)UL . (0.7)

В частности, имеет место следующая теорема.

Теорема 2.4.1. Пусть о - формально самосопряженное полу-

ограниченное снизу на L Ш j эллиптическое выражение (т.е. (X₀V,v\ >^/М| ' VtC^ilR*) ) порядка &,>/V с коэффициентами OL(oc)^C (/ J. Пусть потенциал ЩЯ)І-іл Єос (^ ^ почти везде неотрицателен. Предположим,

операторы С (IR )^ U-^%—* %U и C₀(IR )ЭИ о^, U. имеют в

пространстве "д.(^ / полуограниченные снизу самосопряженные расширения лир, соответственно, с некоторой общей базой г . Тогда А и D - карлемановские операторы с общими (Л(Я)-(%-2) ( "2 < - фиксировано; Я \_<, )) и

весом р(Х)Ъ1 . Оператор Р(Я) : [^(К^p(^x)-»L_A(R"pfadxj

является интегральным оператором:

(р(я)а)(х)=:{ р(х,^я)ц(^ (а^^(К^р(х)^х)).

Ядро г(х,<^;Я) - спектральное ядро А - удовлетворяет Р - почти для всех А0? оценке

4-і .*

іііР(^^Я)|р"(Х)р"(^Х^

/Г Г

Кроме того, Pfatf; я) непрерывно относительно (x,^)cRx!R и является собственной функцией по каждой из переменных:

!4Р(х,X Р(х,р;Х) = ъР(х,$',7С).

Каждая обобщенная собственная функция U и (IR ₉p(X)dxj
оператора п непрерывна: Разложение спектраль-

ного ядра Р(ЭС,Ц,Я.) по собственным функциям

- 18 -сходится в смысле метрики

Далее описывается разложение по собственным функциям одного
класса эллиптических операторов произвольного порядка вида (0.7)
с сингулярным потенциалом . Пусть А и А„

замыкания в пространстве i-i^ffi )операторов С₀ (IR )ЭИ^>—*%И и С₀ (К ) 3LL*—* Д/₀61 соответственно; GL - оператор умножения на функцию #(СС)

Теорема 2.4.2. Предположим, что о - формально СаМОСОПрЯ-жеиное полуограниченное снизу на С (IR ) равномерно эллиптическое дифференциальное выражение, коэффициенты которого ограничены в jR вместе со своими производными любого порядка. Пусть потенциал ty(X)b₃(IR. ) и оператор й ограничен относительно Л с п_о - гранью CL < і . Тогда А - карлеманов-ский оператор и для построения разложения по его собственным функциям пригодна цепочка (0.6), построенная по А₀ .

В теореме 2.4.3 показано, что в случае эллиптических дифференциальных выражений дивергентного вида (0.5) можно ослабить гладкость коэффициентов (Х»_й(^0)

Далее доказывается непрерывность спектральной функции одного класса эллиптических операторов высокого порядка с неотрицательным сингулярным потенциалом ШОС) /. * (jj^ ) .

Пусть А - минимальный оператор в пространстве и» (/К ) порожденный выражением (0.7). Известно (Ю.М. Березане кий [і, 7"] , Л.Гординг Гі8,І9]), что если коэффициенты выражения (0.7) достаточно гладкие, то спектральное ядро и спектральная функция оператора А также являются гладкими. В случае эллиптических операторов высокого порядка ( 5.771 >vVу с неотрицательным сингулярным потенциалом справедлива следующая теорема.

Теорема 2.4.4. Предположим, что выполнены следующие условия:

I) ct,₀ - формально самосопряженное полуограниченное снизу

ОО л/

на С₀ [Ш ) эллиптическое выражение порядка &т>А/ , коэффициенты которого ограничены в К вместе со своими производными любого порядка;

а, Сое № ) ^{и почти} везде неотрицателен;

3) оператор Д самосопряжен в Ц, (К ) Тогда для каждого ограниченного борелевского А С //я разложение единицы L (А) оператора А является интегральным оператором с локально ограниченным ядром:

(E(A)f)(x) = $ Е^г^Шу (/ ЦДк")).

я?"

Для L faityity - спектральной функцией оператора А -справедливо представление

где Р(0С,и;'Х) - спектральное ядро, a d^{X) - спектраль
ная мера. Спектральная функция Ь (р^ъЧ^^Ч при каждом
фиксированном Я /л непрерывна относительно (3>j/)/R X«R
Спектральное ядро Р(ЭС,/; Я) оператора Л также является
непрерывной функцией относительно (X,^jJRxlR

Отметим, что непрерывность спектральной функции оператора Шредингера Li -~A-f#(X) в случае, когда потенциал ^(Х) удовлетворяет условию Штуммеля, доказана в диссертации Д.Шенка [45].

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в статьях автора Г73-76І .

Часть результатов,изложенные в диссертации, получены совместно с Ю.М.Березанским. Эти результаты изложены на стр.239-250 монографии Ю.М.Березанского [2] .

Автор выражает глубокую благодарность член-корр.АН УССР Ю.М.Березанскому за постановку задач и помощь при выполнении данной работы.

Разложение по собственньм функциям карлемановских операторов

В настоящее время интенсивно разрабатывается спектральная теория эллиптических операторов с сингулярным потенциалом. Так, например, достаточно полно изучена проблема существенной самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. Одна из основных задач спектральной теории эллиптических операторов является разложение по собственным функциям. Как известно, спектральный анализ оператора Шрединге-ра — Д + #(Х) имеет основное значение для квантовой механики. При этом рассматриваемое возмущение 0/{р ) » как правило, имеет сингулярность (т.е. не является непрерывной). Поэтому естественно представляет интерес изучение разложения по собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.

Общая теория разложения по обобщенным собственным функциям самосопряженных операторов построена в работах Ф.И.Маутнера J64J, А.Я.Повзнера [35J , И.М.Гельфанда и А.Г.Костюченко ["ilj , Ю.М. Березанского з,б] , Л.Гординга [56 J , Ф.Е.Браудера [52J , К.Морена 63j , Г.И.Каца {22-24J и др. Эта теория и ее применения к эллиптическим дифференциальным операторам с гладкими коэффициентами изложены в монографии Ю.М.Березанекого [ij (см.также И.М.Гельфанд и Н.Я.Виленкин l3J , К.Морен [62J ).

Наиболее удобным способом для построения разложений по собственным функциям эллиптического оператора является доказательство карлемановости рассматриваемого оператора. Это доказательство, в свою очередь, использует теоремы о повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений внутри области и вплоть до ее границы, а для их справедливости необходима достаточная регулярность коэффициентов.

При изучении разложений по обобщенным собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом, ввиду отсутствия соответствующих теорем о повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами, возникают трудности. Следует отметить, что существующие теоремы о повышении гладкости решений эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами (см.например, О.А.Ладыженская и Н.Н.Уральцева [26 J ) не дают возможность применять общую схему разложений по обобщенным собственным функциям в случае сингулярного потенциала.

Предлагаемая нами конструкция разложений для случая сингулярного потенциала по существу использует простую идею, связанную с понятием монотонной функции эрмитовой матрицы, т.е. функции Ф(Л) обладающей тем свойством, что из А В следует Ф(А) Р(В) (известные результаты К.Левнера, см.например [50,6IJ , ( [l7j , гл.8, 9). Грубо говоря, доказательство кар-лемановости сводится к получению оценки CU..(С Ч (А)С) С , где 0((Я.) и С - некоторые функция и оператор. Поэтому, если ((7 (%)) в указанном смысле монотонная, то из карлемановости р и того что А J3 » следует карлемановость А . Этот подход дает возможность охватить некоторые широкие классы эллиптических дифференциальных операторов с сингулярным потенциалом.

В последнее время появилось большое число статей, посвященных получению условий самосопряженности эллиптических операторов с сингулярным, вообще говоря, неубывающим на бесконечности потенциалом: Б.Саймон [68J , Т.Като [57,58} , Ю.М.Березанекий [4J , Ю.Б.Орочко [29,32] , П.Р.Чернов [7і] , Ю.М.Березанекий и В.Г.Са-мойленко [8J , М.А.Перельмутер и Ю.А.Семенов [34J и др. В этих работах получены условия самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. А в работах Б.М.Левитана и М.Отелбаева [27,28] , Р.Г .Келлера [59,60] , Н.Х.Данга [54,55J получены условия самосопряженности эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом.

Вместе с тем, известно лишь небольшое количество работ, в которых строится и изучается разложение по собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом: Г.Н.Гестрин [і4-Іб] , Е.Б.Дэвис [53] , Ю.А.Семенов [б7] , А.Г.Белый, В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенов [49J , В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенов [25J , Ю.Б.Орочко [ЗО,31,33] , Т.Ненси [65J . В этих работах исследовано разложение по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом (за исключением работы Ю.Б.Орочко [ЗЗ] , где рассмотрено эллиптическое дифференциальное выражение второго порядка с переменными коэффициентами). При рассмотрении эллиптических операторов высокого порядка возникают дополнительные трудности. Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом ранее не изучалось.

Целью диссертационной работы является построение разложений по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов произвольного порядка с сингулярным, вообще говоря, неубывающим на бесконечности потенциалом. Кроме того, в диссертации получены условия существенной самосопряженности эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.

При доказательстве теорем о разложении применяется метод сравнения основанный на теории монотонных оператор-функций. В некоторых случаях используется модификация этого метода. Для доказательства основных результатов используются теория оснащенных гильбертовых пространств, методы теории возмущений линейных операторов и теория эллиптических уравнений.

Карлемановость возмущений карлемановских операторов

Другими словами, функция U. L - Л5? ) является обобщенным решением уравнения ZCC Применяя лемму 2.2.1 получаем, что 66 С W л (1R ) Отсюда по теоремам вложения U. С (Ж J. Таким образом, любая обобщенная собственная функция оператора Д является непрерывной (после переопределения на множестве нулевой меры).

Разлагая спектральное ядро Р (X7 U j Я) по его собственным функциям, получаем (2.4.6). Полученный ряд сходится в смысле метрики l „(IR ХІк і Р (ЗУрМ СЦ) Теорема 2.4.1 доказана. Замечание 2.4.1. Непрерывность обобщенных собственных функций оператора /\ следует из непрерывности спектрального ядра относительно (осt ) If? Х В?

Действительно, если спектральное ядро PfaiU jX) оператора непрерывно относительно (Х?/)ІК XlR » то согласно теореме 1.2.2 каждая обобщенная собственная функция оператора А почти для всех ОС /К совпадает с непрерывной функцией и после переопределения на множестве нулевой меры может считаться непрерывной.

В случае эллиптических дифференциальных выражений (2.4.1), порядок которых не слишком высок Сне превосходит А/ ) приведенная в теореме 2.4.1 схема о разложении непригодна, так как сейчас для доказательства карлемановости нужно брать функцию (Я) типа (Я - 2 ) , где целое 0 достаточно большое, а соответствующий аналог леммы I.I.3 несправедлив. Тем не менее, при помощи леммы I.I.4 можно описать разложение по собственным функциям одного класса эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом CL( ) L iH? ) . Пусть А и А0 - замыкания в пространстве L« (А? ) операто ров С0(К )ЭЫ — LL и Со(1к )ЭЦ. » %0ІС соответ ственно; 3J - оператор умножения на функцию С (Щ с областью определения ьЬ(Ц) =? [f(ос; L I ty(X)(x) ЦЛ. Теорема 2.4.2. Предположим, что л 0 - формально самоеопряжен ное полуограниченное снизу на классе С0 (Ж ) равномерно эллип тическое дифференциальное выражение, коэффициенты которого ограни чены в IK вместе со своими производными любого порядка. Пусть потенциал tyfolGI- (#? ) и оператор CL ограничен относитель но А0 с А - гранью Ci 1 . Тогда А - карлемановский опе ратор и для построения разложения по собственным функциям операто ра А пригодна цепочка вида (2.3.2) построенная по о Доказательство. Не ограничивая общности можно предполагать, что А О . Согласно теореме Като-Реллиха оператор А самосопряжен и полуограничен снизу, т.е. А С/ , где пусть k JJTL - фиксированное целое число. Покажем, что при достаточно большом 2. 0 (А+ЛІ) (А+ ХІ) - оператор Гиль Действительно, при К Уцні, ( o+w является оператором Гильберта-Шмидта ( [39] , теорема XI.20). Запишем СІ (А0+ 1) в виде Поскольку (В И)(А+1) ограничен, то # (А0+1) оператор Гильберта-Шмидта, поэтому при достаточно большом % 0 (А+Я1) -(Аб + ЛІ) С [39"] , теорема XX.12), [46 J. Применяя лемму I.I.-4 получаем, что А - карлемановский оператор и цепочка (2.3.2), построенная по А0 , пригодна для построения разложения по собственным функциям оператора А Теорема 2.4.2 доказана. В случае эллиптических дифференциальных выражений дивергентного вида можно ослабить гладкость коэффициентов OL (X) . N 9 Пусть в Jfc задано эллиптическое дифференциальное выражение , bt. уу с вещественными коэффициентами ece( )«4 (/R ) W C) Ц (К ) Предполагается, что О. (х)=гД. (М)г Гтг; ЭС /К Пусть А - минимальный оператор в пространстве /, (fl? J, порожденный выражением (2.4.8). Прежде чем сформулировать теорему о разложении по собственным функциям оператора А , сделаем одно замечание. Пусть ( в(3 ))и1-.а1-уп. симметрическое выражение (т.е.СІ (?С)Г zzGLp ipC) ), где /e(0C)cC(ff? ) Тогда можно построить некоторую симметрическую матрицу (С-А , где Процедуру построения матрицы (С.Л. можно найти в 148,66 . Заметим, что в случае эллиптического выражения второго порядка Теперь сформулируем теорему о разложении. Теорема 2.4.3. Предположим, что выполнены следующие условия: I) - эллиптическое дифференциальное выражение порядка АИг /У с вещественньми симметрическими коэффициентами #epC). і Р (в? )и почти везде неотрицателен; 3) оператор /\ самосопряжен; 4) существует такое эллиптическое дифференциальное выражение с постоянными коэффициентами b _ , что симметрическая матрица V U/L -і пос,ГРоенная по ( ( )-6 неотрицательна для любого Х ДО? Тогда оператор А карлемановский и для него справедливы все утверждения теоремы 2.4.1. Доказательство. Покажем, что г\ - карлемановский оператор. В силу условия 3) справедливо неравенство.

Самосопряженность эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом

Другими словами, функция U. L - Л5? ) является обобщенным решением уравнения ZCC %LL Применяя лемму 2.2.1 получаем, что 66 С W л (1R ) Отсюда по теоремам вложения U. С (Ж J. Таким образом, любая обобщенная собственная функция оператора Д является непрерывной (после переопределения на множестве нулевой меры).

Разлагая спектральное ядро Р (X7 U j Я) по его собственным функциям, получаем (2.4.6). Полученный ряд сходится в смысле метрики l „(IR ХІк і Р (ЗУрМ СЦ) Теорема 2.4.1 доказана. Замечание 2.4.1. Непрерывность обобщенных собственных функций оператора /\ следует из непрерывности спектрального ядра относительно (осt ) If? Х В? Действительно, если спектральное ядро PfaiU jX) оператора непрерывно относительно (Х?/)ІК XlR » то согласно теореме 1.2.2 каждая обобщенная собственная функция оператора А почти для всех ОС /К совпадает с непрерывной функцией и после переопределения на множестве нулевой меры может считаться непрерывной. В случае эллиптических дифференциальных выражений (2.4.1), порядок которых не слишком высок Сне превосходит А/ ) приведенная в теореме 2.4.1 схема о разложении непригодна, так как сейчас для доказательства карлемановости нужно брать функцию (Я) типа (Я - 2 ) , где целое 0 достаточно большое, а соответствующий аналог леммы I.I.3 несправедлив. Тем не менее, при помощи леммы I.I.4 можно описать разложение по собственным функциям одного класса эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом. Пусть А и А0 - замыкания в пространстве L« (А? ) операто ров С0(К )ЭЫ — LL и Со(1к )ЭЦ. » %0ІС соответ ственно; 3J - оператор умножения на функцию С (Щ с областью определения ьЬ(Ц) =? [f(ос; L I ty(X)(x) ЦЛ. Теорема 2.4.2. Предположим, что л 0 - формально самоеопряжен ное полуограниченное снизу на классе С0 (Ж ) равномерно эллип тическое дифференциальное выражение, коэффициенты которого ограни чены в IK вместе со своими производными любого порядка. Пусть потенциал tyfolGI- (#? ) и оператор CL ограничен относитель но А0 с А - гранью Ci 1 . Тогда А - карлемановский опе ратор и для построения разложения по собственным функциям операто ра А пригодна цепочка вида (2.3.2) построенная по о Доказательство. Не ограничивая общности можно предполагать, что А О . Согласно теореме Като-Реллиха оператор А самосопряжен и полуограничен снизу, т.е. А С/ , где пусть k JJTL - фиксированное целое число. Покажем, что при достаточно большом 2. 0 (А+ЛІ) (А+ ХІ) - оператор Гиль-Действительно, при К Уцні, ( o+w является оператором Гильберта-Шмидта ( [39] , теорема XI.20). Запишем СІ (А0+ 1) в виде Поскольку (В И)(А+1) ограничен, то # (А0+1) оператор Гильберта-Шмидта, поэтому при достаточно большом % 0 (А+Я1) -(Аб + ЛІ) С [39"] , теорема XX.12), [46 J. Применяя лемму I.I.-4 получаем, что А - карлемановский оператор и цепочка (2.3.2), построенная по А0 , пригодна для построения разложения по собственным функциям оператора А Теорема 2.4.2 доказана. В случае эллиптических дифференциальных выражений дивергентного вида можно ослабить гладкость коэффициентов OL (X) . Пусть в Jfc задано эллиптическое дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами ece( )«4 (/R ) W C) Ц (К ) Предполагается, что О. (х)=гД. (М)г Гтг; ЭС /К Пусть А - минимальный оператор в пространстве /, (fl? J, порожденный выражением (2.4.8). Прежде чем сформулировать теорему о разложении по собственным функциям оператора А , сделаем одно замечание. Пусть ( в(3 ))и1-.а1-уп. симметрическое выражение (т.е.СІ (?С)Г zzGLp ipC) ), где /e(0C)cC(ff? ) Тогда можно построить некоторую симметрическую матрицу (С-А , где Процедуру построения матрицы (С.Л. можно найти в 148,66 . Заметим, что в случае эллиптического выражения второго порядка Теперь сформулируем теорему о разложении. Предположим, что выполнены следующие условия: I) - эллиптическое дифференциальное выражение порядка АИг /У с вещественньми симметрическими коэффициентами.

Разложение по собственным функциям эллиптических операторов высокого порядка

Покажем, что при достаточно большом 2. 0 (А+ЛІ) (А+ ХІ) - оператор Гильберта-Шмидта. TTT-UTl ттпм It " Действительно, при К Уцні, ( o+w является оператором Гильберта-Шмидта ( [39] , теорема XI.20). Запишем СІ (А0+ 1) в виде Поскольку (В И)(А+1) ограничен, то # (А0+1) оператор Гильберта-Шмидта, поэтому при достаточно большом % 0 (А+Я1) -(Аб + ЛІ) С [39"] , теорема XX.12), [46 J. Применяя лемму I.I.-4 получаем, что А - карлемановский оператор и цепочка (2.3.2), построенная по А0 , пригодна для построения разложения по собственным функциям оператора А Теорема 2.4.2 доказана. В случае эллиптических дифференциальных выражений дивергентного вида можно ослабить гладкость коэффициентов OL (X) . Пусть в Jfc задано эллиптическое дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами ece( )«4 (/R ) W C) Ц (К ) Предполагается, что О. (х)=гД. (М)г Гтг; ЭС /К Пусть А - минимальный оператор в пространстве /, (fl? J, порожденный выражением (2.4.8). Прежде чем сформулировать теорему о разложении по собственным функциям оператора А , сделаем одно замечание. Пусть ( в(3 ))и1-.а1-уп. симметрическое выражение (т.е.СІ (?С)Г zzGLp ipC) ), где /e(0C)cC(ff? ) Тогда можно построить некоторую симметрическую матрицу (С-А , где - 94 Процедуру построения матрицы (С.Л. можно найти в 148,66 . Заметим, что в случае эллиптического выражения второго порядка Теперь сформулируем теорему о разложении. Теорема 2.4.3. Предположим, что выполнены следующие условия: I) - эллиптическое дифференциальное выражение порядка АИг /У с вещественньми симметрическими коэффициентами #epC). і Р (в? )и почти везде неотрицателен; 3) оператор /\ самосопряжен; 4) существует такое эллиптическое дифференциальное выражение с постоянными коэффициентами b _ , что симметрическая матрица V U/L -і пос,ГРоенная по ( ( )-6 неотрицательна для любого Х ДО? Тогда оператор А карлемановский и для него справедливы все утверждения теоремы 2.4.1. Доказательство. Покажем, что г\ - карлемановский оператор. В силу условия 3) справедливо неравенство 48J где C0 - постоянная ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ДЛЯ Г\ . - 95 -Отсюда и из неотрицательности потенциала Ct(X) получаем Пусть D - замыкание в пространстве Lg (Л? ) оператора у»00 Л/ L кч С (IK )ЭИ» -С( Д)и. Оператор В самосопряжен ( [і , гл.УІ, теорема 1.5) и согласно (2.4.9) справедливо неравенство А В . Далее, оператор (В + 1) интегральный ( [і] , гл.Ш, теорема 5.1) и его ядро ограничено. Таким образом, выполнены все условия теоремы 1.3.I. Поэтому Д - карлемановский оператор. Остальные утверждения теоремы устанавливаются так же, как при доказательстве теоремы 2.4.1. В заключение этого параграфа докажем непрерывность спектральной функции одного класса эллиптических операторов с сингулярным потенциалом. Рассмотрим эллиптическое дифференциальное выражение (2.4.1). Обозначим через л - замыкание в пространстве i-v(K ) опера Теорема 2.4.4. Предположим, что выполнены следующие условия: 1) 0 - формально самосопряженное полуограниченное снизу на С (IR )эллиптическое выражение порядка %Уп Ы , коэффициенты которого ограничены на /К вместе со своими производными любого порядка.

Похожие диссертации на Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов с сингулярным потенциалом

Разложения по собственным функциям функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условиемЛуконина Анна Сергеевна

Разложения по собственным и присоединенным функциям конечномерных возмущений вольтерровых операторов Седин Олег Владимирович

Оценки для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами или символами и их приложенияКарасев Денис Николаевич

Граничные свойства интегральных операторов типа потенциала и их применение к нерегулярным краевым задачамСейфуллаев, Рустам Кафар оглы

Локальные оценки операторов типа потенциалаГинзбург, Анна Ильинична

Обращение интегральных операторов типа В-потенциалов Рисса с однородной характеристикой в весовых пространствахШишкина Элина Леонидовна

Некоторые вопросы спектральной теории операторов второго порядка с аналитическими потенциаламиАндрианов Александр Юрьевич

Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциаламиСавчук Артем Маркович

Двусторонние оценки распределения S-чисел и полнота системы корневых векторов оператора типа Шредингера высокого порядка с комплексным потенциаломКенжебаева, Мара Садуахасовна

Некоторые вопросы спектральной теории операторов Шредингера и Дирака с почти-периодическими потенциалами Савин Александр Васильевич