Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Резольвента функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием 12
1.1. Преобразование краевой задачи в пространстве вектор-функций размерности два 12
1.2. Исследование некоторых интегралов 20
1.3. Резольвента оператора L 27
Глава 2. Теорема равносходимости для функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием 47
2.1. Вспомогательные предложения 47
2.2. Равносходимость разложений по с.п.ф. оператора L и в тригонометрический ряд Фурье
Глава 3. Аналог теоремы Жордана-Дирихле для разложений по с.п.ф. оператора L 67
Глава 4. Суммируемость по Риссу разложений по с.п.ф. оператора L 88
Список литературы 112
- Исследование некоторых интегралов
- Равносходимость разложений по с.п.ф. оператора L и в тригонометрический ряд Фурье
- Аналог теоремы Жордана-Дирихле для разложений по с.п.ф. оператора L
- Суммируемость по Риссу разложений по с.п.ф. оператора L
Введение к работе
Актуальность темы. Исторические сведения. Многие вопросы построения и исследования математических моделей физических явлений приводят к задачам спектрального анализа самосопряженных и несамосопряженных операторов, т.е. исследованию спектра и разложению заданной функции в ряд по собственным и присоединенным функциям (в дальнейшем с.п.ф.) оператора. Особенно возрос интерес к этой области в последние десятилетия в связи с развитием квантовой механики, при решении многих задач которой спектральный анализ является основным математическим аппаратом. Спектральный анализ самосопряженных и несамосопряженных операторов включает в себя задачи нахождения собственных значений и с.п.ф., разложения произвольной функции в ряд по с.п.ф., изучения полноты и базисности систем с.п.ф., исследования равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций и мн.др. Интерес к спектральной теории велик, и в ее развитие в последние десятилетия достигнуты значительные успехи.
Настоящая работа посвящена исследованию равносходимости разложений по с.п.ф. функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием, весовая функция в котором имеет степенную особенность, и в обычный тригонометрический ряд Фурье, получению аналога теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов для разложений по с.п.ф. данного оператора, а также вопросу суммируемости по Риссу спектральных разложений этого оператора.
Исследование равносходимости спектральных разложений представляет собой интенсивно развивающееся направление, начало которого было положено в работах В.А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаара [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и Я.Д. Тамаркина [4, 5], М. Стоуна [6] для дифференциального оператора произвольного порядка
Ы = У(п) + '52РкШк\ хє[0,1], Pk(x)eC[01l]ik = 0,{n-2), (1)
к=0
с произвольными краевыми условиями
п-1
U3{y) = Et
к=0
удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа [7, с. 66-67]. Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов
при старших производных в U3(y) (после приведения их к нормированному виду [7, с. 65-66]).
Оператор (1), (2) при произвольном п впервые был исследован Дж. Биркгофом в 1908 году [8, 9]. При выполнении условий регулярности им были получены асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций и было доказано, что ряд Фурье по с.п.ф. всякой функции fix) ограниченной вариации сходится к {/ [х-\- 0) + f (х — 0)}/2 в каждой точке х Є (0,1), а в точках 0 и 1 он сходится к а/ (0 + 0) + bf (1 — 0), где а и b определяются граничными условиями. Я.Д. Тамар-кин [4, 5] для таких операторов нашел обобщение теоремы равносходимости разложений по с.п.ф. и в тригонометрический ряд Фурье, доказанной первоначально для уравнений второго порядка В.А. Стекловым [1]. Приведем один из результатов Я.Д. Тамаркина*.
Теорема. Для оператора (1) с регулярными краевыми условиями (2) существует такая последовательность номеров {h}, что для всякой f(x) Є L[0,1] и любого 6 Є (0,1/2)
lim \\Skl(f) -ої(/)||с%і-аі = > (3)
r—»oo
где Sk(f) и 0-^(/) - частные суммы рядов Фурье функции f(x) по с.п.ф. и обычной тригонометрической системе (к - число членов). Условия регулярности снять, вообще говоря, нельзя.
Результаты Дж. Биркгофа и Я.Д. Тамаркина были получены методом Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. В.А. Ильин разработал новый подход получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций (основополагающие статьи [10]- [13]).
Если краевые условие регулярны, то М. Стоун показал [6], что имеет место равносуммируемость на любом отрезке [а, Ь] С (0,1) средних Рисса порядка ( > 0)
|А|=г
где R\ - резольвента оператора (1),(2), а контур |А| = г не проходит через собственные значения данного оператора, и аналогичных средних для обычного тригонометрического ряда Фурье произвольной функции / Є L [0,1]. Полное решение вопроса о равно-*В [6] М. Стоуном получен схожий результат при рь(х) Є L[0,1].
мерной сходимости на всем отрезке [0,1] средних Рисса для спектральных разложений оператора (1),(2) дано в [14], [15], причем в [15] исследуется и сходимость средних в про-странствае Ст [1, 0] (т = 1,2,...).
Далее, в [16] А.П. Хромовым установлена равносходимость на каждом [а, Ь] С С (0,1) средних Рисса для спектральных разложений оператора (1),(2) и разложений в тригонометрический ряд Фурье произвольной функции из L [0,1] при достаточно больших ( и б том случае, когда условия регулярности не выполняются, но ядро G(x,t, А) резольвенты при больших |Л| имеет рост, не выше некоторой степени |Л|. Наконец, в работах [17], [18] В.В. Тихомировым данный результат перенесен на случай дифференциальных операторов, для которых основные требования не связаны с краевыми условиями, а формулируются в терминах ограничений на спектр и систему с.п.ф. такого же вида, что и в известных исследованиях В.А. Ильина по равносходимости спектральных разложений (в [17] рассматривается и случай полиномиального пучка).
А.П. Гуревич и А.П. Хромов при исследовании суммируемости по Риссу разложений по с.п.ф. интегральных операторов (см., например, [19]—[21]) вводили в рассмотрение обобщенные средние Рисса следующего вида
"гЬ / я(А,г)дЛ/<и, (5)
|А|=г
где R\f - резольвента рассматриваемого оператора, г такие, что на окружности |Л| = г нет собственных значений рассматриваемого оператора, д (Л, г) удовлетворяет следующим условиям:
д(Х,г) непрерывна по Л в круге |Л| < г и аналитична по Л в круге |Л| < г при любом г > 0;
существует такая константа С > 0, что \д (А, г)\ < С при всех г > 0 и |Л| < г;
существуют положительные С, Сі > h, такие, что
О (МС) . И < h при п = 4q,
д(ге**,г) = *
О (\<р — 7г|с) , \ср - 7г| < h при п — Aq + 2, 0(\<Р-%\С), |>-!|<Лприп = 2д + 1, 0([^ + ||^), l^ + fl ? + 1,
где п - порядок обратного к рассматриваемому интегральному оператору интегро-
дифференциального оператора;
4) д (А, г) —» 1 при г —* оо и фиксированном Л.
В 1972 году в работе [22] В.А. Молоденков, А.П. Хромов рассмотрели диффе-
ренциальный оператор
L0y(x) = Іу'{х), X Є [-7Г,7Г] (б)
с краевым условием
/
у(х) da(x) = 0, (7)
где а(х) - функция ограниченной вариации на отрезке [—7г, тг] и имеет скачки в точках —7г и 7Г, и для ряда Фурье по с.п.ф. оператора (6), (7) получили аналог известной теоремы Жордана-Дирихле равномерной сходимости обычных тригонометрических рядов [23], а именно
Теорема. Всякая функция f(x) ограниченной вариации из С [—тс, 7г]; удовлетворяющая условию (7) , есть равномерный предел на всем отрезке [—я-, 7г] некоторой последовательности частных сумм ряда Фурье.
В 1975 году в статье [24] A.M. Седлецкий рассмотрел разложения функции из L\ [—7г, 7г] в ряд Фурье по системе
^-{К^-}*-1}^, (8)
где Л — {Anj-^L-L - занумерованная в порядке неубывания модулей последовательность корней целой функции L(z) = J elztda(t), тп - кратность Хп. Порождающая мера da{t)
—7Г
имеет вид
k(t) dt d(t) = , i±isa> 0 < a < 1, var k(t) < oo, k (тг - 0) ф 0, k (-тг + 0) ф 0. (9) ('г-1*1)
Ранее в литературе этот случай не рассматривался, его исследование связано с преодолением значительных трудностей. Для таких разлолсений была доказана равномерная внутри (—тг, 7г) равносходимость и равносуммируемость с рядом Фурье по тригонометрической системе. С точки зрения спектральной теории операторов A.M. Седлецким была рассмотрена задача разложения функции из L\ [—7Г, 7г] в ряд Фурье по с.п.ф. оператора дифференцирования с граничным условием (7), в котором мера do~(t) определяется (9).
Далее, A.M. Седлецкий исследовал вопросы сходимости и суммируемости разложений по системе экспонент вида (8) при
k(t) dt da{t) = _|,|ча, 0 < а < 1, var k(t) < оо, к (а - 0) ф 0, к (-а + 0) ф 0 (а — \Ц)
(см., например, [25], [26]) и при
k(t)dt
da{t)= 2__т<*> 0<а< 1» varfc(i) <оо, к (а-0)^0, к (-а+ 0)^0 (10)
(а і )
(см., например, [27], [28]).
В данной работе рассматривается оператор L, порожденный функционально-дифференциальным выражением
1(у)=0у'(х)+у,(1-х)+р1(х)у{х)+р2(х)у(1-х), ж є [0,1], (11)
где /?2 т^ 1, Pj(x) Є С1 [0,1] (j = 1,2), и интегральным граничным условием
і
U(y) = jp(t)y(t)dt = 0, P(t) = ta{^t)a, (12)
где 0 < а < 1, k{t) Є С[0,1] П К[0,1] *, и удовлетворяет
(fc2(0) - 72й2(1)) (Л2(1) - 7^(0)) ф 0, 7 = /3- х/^7!- (13)
Оператор (11) с общим краевым условием U(у) = 0 относится к классу функционально-дифференциальных операторов с инволюцией т!)(х) = 1 — х, которая порождает оператор отражения Sy(x) = у(1 — х). Операторы, содержащие оператор отражения, имеют давнюю историю и интенсивно исследуются в настоящее время [29]-[34]. Оператор (11)
возникает, в частности, и при изучении разложений по с.п.ф. интегрального оператора і
Af = / А(х, t) f(t) dt, ядро А(х, t) которого имеет разрывы на линиях t = х ut = 1-х
о (см. [33]-[34]). Главная часть 1о(у) оператора (11), т.е. 1(у) при р\{х) = р2{х) = 0, обладает тем свойством, что /о (fo(z/)) = (Р2 ~ 1) У"(х)- Таким образом, оператор (11) выступает как обобщение корня квадратного из оператора у"{х). Отметим еще, что оператор (11) приводится к системк Дирака частного вида (см. ниже).
Граничное условие (12) заменой т = 1/2 — t приводится к виду (10):
1 1/2 1/2
[ Kt) _ [ к(1/2 - т) [ fe(l/2-r)
J ta{1 _ t)a - J (1/2 _ r)« (1/2 + rT - J ({1/2f-T*)a '
0 -1/2 -1/2 V '
рассматриваемому A.M. Седлецким Для оператора дифференцирования A.M. Седлец-ким [35, 36] были получены теорема равносходимости и аналог теоремы Жордана-Дирихле, а также установлена суммируемость по Риссу. А.П. Хромовым в работе [37]
t здесь и в дальнейшем запись k(t) Є С[0,1] П V[0,1] означает, что функция k(t) непрерывна на [0,1] и является на этом отрезке функцией ограниченной вариации
был изучен оператор (11),(12) при р\ (х) = pi (х) = 0. Для него был получен аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов. Оказалось возможным добавить потенциалы (функции Pj(x), j = 1,2), которые создают значительные трудности в изучении сходимости разложений по с.п.ф.
Цель работы. Цель данной диссертационной работы состоит в том, чтобы для оператора (11),(12) доказать теорему равносходимости разложений по с.п.ф. и в обычный тригонометрический ряд Фурье, получить аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов и исследовать суммируемость по Риссу спектральных разложений.
Методы исследования. Основной метод, применяемый в работе, - это метод Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты рассматриваемого оператора по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. При этом широко используются результаты из теории функций вещественной и комплексной переменной, функционального анализа.
Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на объединенном научном семинаре математических кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVI" (Воронеж, 2005), на 13 и 14 Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2006 и 2008), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-ХІХ" (Воронеж, 2008), на конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ "Актуальные проблемы математики и механики" (Саратов, 2005, 2006, 2007, 2008).
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 7 научных работах [38]-[44]. Среди них 1 статья в научном журнале [43], 2 статьи в сборниках научных трудов [40, 42] и 4 тезиса докладов на международных конференциях [38, 39, 41, 44]. 6 работ опубликованы без соавторов. В статье [43] результаты каждого автора имеют свой пункт и не перемешиваются, в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие диссертанту.
Структура диссертации. Диссертация состоит різ введения, четырех глав и списка литературы. Первая и вторая главы разделены на три и два параграфа соответственно. В каждой главе своя нумерация параграфов, определений, лемм, теорем и
формул. Общий объем диссертации 117 страниц, из которых 6 страниц занимает список литературы, состоящий из 54 наименований.
Содержание работы. Первая глава диссертационной работы посвящена рассмотрению резольвенты оператора (11),(12) Rxf = (L — ХЕ)~ f,E- единичный оператор, Л - комплексный параметр. В параграфе 1.1. нахождение резольвенты оператора L (скалярной функции) сводится к решению краевой задачи для дифференциальной системы первого порядка в пространстве вектор-функций размерности два:
Ви'(х) + Р(х)и{х) = Хи(х) + F(x), х Є [0,1]
і (14)
U(и) = JN(t)u (г) dr = О, о
где и(х) = (щ (х),и2 (х)) (Т - знак транспонирования), В = [ \ , Р(х) =
РЛХ) П{Х) ] , F{x) = (f(x),f(l-x)f, N(t) = diag(p(r)>P(l-r)).
^2 (1 - x) pi {1-Х) J
Система (14) есть система Дирака частного вида. Далее в параграфе 1.1 проводится ряд преобразований краевой задачи (14), позволяющих справиться с трудностями при исследовании ее решения. Проводится диагонализация матрицы В и преобразование и(х) = Qv(x), приводящее краевую задачу (14) к виду
v'(x) + P{x)v{x) = \Dv{x) + F{x), U{Qv) = 0,
(l l\
где P(x) = DQ~1P{x)Q, F(x) = DQ~lF(x), Q = \ , D = diag(w,-w), ш =
\Г l)
= Л— Затем проводится преобразование Н(х,Х) — Но(х) + j-Hi(x), Н0(х) =
V/32—1
= diag(/in (ж), /г,22 0е)) і Н\{х) = I I - кодиагональная матрица, h33 (х) =
\Ыж) 0 J
= exp ( -Jp33(t) dtj (j = 1,2), hu(x) = —pi2(x)h22{x), h2i(x) = -—p2i(x)h1i(x),
V13 (x) (hj = 1)2) - элементы матрицы P{x). Данное преобразование хорошо известно (см., например, [45] для дифференциальных уравнений и [46, 47] для систем Дирака). После преобразования v(x) = Н (х, A) w(x) краевая задача принимает вид
w'(x) + Px(x)w{x) = XDw(x) + Fx{x), Ux (w) = 0,
где Px(x) = {H-1(x,X)[h[(x) + P(x)H1(x)\, Fx(x) = Я"1 (x,X)F(x), Ux(w) = = U (QH (x,X)w). Заметим, что элементы матрицы Рх(х) допускают оценку O(j), что важно при исследовании асимптотического поведения решения краевой задачи.
Далее, в рассмотрение вводится вспомогательная краевая задача
z\x) = XDz(x) + Ф(х), х Є [0,1], С/а (z) = О,
где z{x) = (z1(x),z2(x))T, Ф(х) = (<р1(х),<р2(х))т, (pj(x) Є Lx[0,l] (j = 1,2). Для ее решения получена следующая формула
Ді,аФ= [ g0(x,t}\){t)dt-Z(x,\)A-1(\)Ux f gQ{x,t,\)$(t)db
о \0 /
где Z (ж, Л) = diag (ел«-, е-л^), Д(Л) = Ux (Z) := (С/л (Zj), /7А ()), Zj (х, A) (j = 1,2) - столбцы матрицы Z (х, A), ( (х, t, A) = diag (#i (re, t, A), g2 [x, t, A)). Как определяются gj(x,t,X) (.7 = 1,2) описано на стр. 17. В параграфе 1.2 приводится необходимое изучение некоторых интегралов при больших значениях параметра, базирующееся на асимптотике функции типа Миттаг-Леффлера. С опорой на эти исследования, в параграфе 1.3 получаются оценки второго слагаемого в формуле для Я\г\Ф при |А| —> оо, и в итоге для і?і,аФ в области 5 = 5i U 52 при больших значениях |А| имеем следующие оценки
Ц^.аФЦ, = О (х (А) ||Фу , ||Дх,дФіи = О (ЦФУ , где || Ці и || Цоо понимаются как нормы в пространстве вектор-функций размерности два L\ и Loo соответственно,
m /га;(1-|е-А1) при11еАа,>0, х(А)= <
1-5^(1-1^1) npnReAW<0, «Si (-) ~ область, получающаяся из полуплоскости Re Хи> > 0 (Re Аа; < 0) удалением всех нулей функции аа + аг е~Хш + а2 е~2Лш (ро + bi еАш + Ъ2 e2Aw) вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 8\ (52), коэффициенты a,j, bj (j — 0,2) определены в лемме 1.20 (см. стр. 32).
Теорема 1.1 параграфа 1.3. дает представление для резольвенты Rxf, она является первой компонентой вектора QH (х, A) MxRitXFx, Мх = (Е + RiiXPx)~ .
Вторая глава посвящена получению теоремы равносходимости разложений по с.п.ф. оператора (11),(12) и в обычный тригонометрический ряд Фурье. В параграфе 2.1. с использованием оценок для Ді,дФ проводятся вспомогательные рассуждения. В теореме 2.1 для любой функции f{x) Є L\ [0,1] получено соотношение
г—too
J QH (ж, А) (Мд Rlt л Fa (х) - R1>XH^ (x) F (я)) dX
|A|=r
= 0.
Оно является ключевым моментом при доказательстве теоремы равносходимости.
В параграфе 2.2. для решения і?2,дФ краевой задачи (в пространстве вектор функций размерности два) с периодическим краевым условием:
z'(x) = XDz(x) + Ф(х) UQ{z) = z(0) - z{l) = О,
получены формула и оценки, аналогичные формуле и оценкам, полученным для Д^дФ. Затем доказан основной результат - теорема равносходимости (см. теорему 2.2).
Третья глава диссертационной работы посвящена получению аналога теоремы Жордана-Дирихле (см. теорему 3.1). В предположении, что разлагаемая в ряд Фурье по с.п.ф. оператора (11),(12) функция f(x) непрерывна и является функцией ограниченной вариации на [0,1], а также удовлетворяет граничному условию (12), можно провести ряд существенных преобразований и более тонких оценок, чем во второй главе.
В четвертой главе рассматриваются обобщенные средние Рисса (5) где R\f -резольвента оператора L; г такие, что на окружности |Л| = г нет собственных значений оператора L; д (А, г) удовлетворяет следующим условиям: 1) д (А, г) непрерывна по Л в круге |Л| < г и аналитична по Л в круге |Л| < г при любом г > 0; 2) существует такая константа С > 0, что \д (А, т)\ < С при всех г > 0 и |Л| < г; 3) существует > 0, что
'о((|-0)с), о<0<|,
p(reiars\r) = і
4 ' где и = arg лш.
с((-0)с)' *<е<т>
4) д (А, г) —> 1 при г —> оо и фиксированном Л.
Исследуется вопрос о равномерной сходимости обобщенных средних Рисса к f(x) при |Л| —> оо на всем отрезке. Будем применять метод доказательства суммируемости спектральных разложений, разработанный А.П. Гуревичем и А.П. Хромовым (см., например, [19]—[21]). Для рассуждений, проводимых в этой главе, оценки, полученные ранее оказываются недостаточными. Следуя работам A.M. Седлецкого [36, 35, 28], оценки получаются с помощью другого метода, базирующегося уже не на асимптотике финкций типа Миттаг-Леффлера, а на применении аппарата функций свертки.
Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Хромову Августу Петровичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Исследование некоторых интегралов
Исторические сведения. Многие вопросы построения и исследования математических моделей физических явлений приводят к задачам спектрального анализа самосопряженных и несамосопряженных операторов, т.е. исследованию спектра и разложению заданной функции в ряд по собственным и присоединенным функциям (в дальнейшем с.п.ф.) оператора. Особенно возрос интерес к этой области в последние десятилетия в связи с развитием квантовой механики, при решении многих задач которой спектральный анализ является основным математическим аппаратом. Спектральный анализ самосопряженных и несамосопряженных операторов включает в себя задачи нахождения собственных значений и с.п.ф., разложения произвольной функции в ряд по с.п.ф., изучения полноты и базисности систем с.п.ф., исследования равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций и мн.др. Интерес к спектральной теории велик, и в ее развитие в последние десятилетия достигнуты значительные успехи.
Настоящая работа посвящена исследованию равносходимости разложений по с.п.ф. функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием, весовая функция в котором имеет степенную особенность, и в обычный тригонометрический ряд Фурье, получению аналога теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов для разложений по с.п.ф. данного оператора, а также вопросу суммируемости по Риссу спектральных разложений этого оператора.
Исследование равносходимости спектральных разложений представляет собой интенсивно развивающееся направление, начало которого было положено в работах В.А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаара [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и Я.Д. Тамаркина [4, 5], М. Стоуна [6] для дифференциального оператора произвольного порядка Ы = У(п) + 52РкШк\ хє[0,1], Pk(x)eC[01l]ik = 0,{n-2), (1) к=0 с произвольными краевыми условиями п-1 U3{y) = Et Wfc)(0) + W l)] = О, j = М, (2) к=0 удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа [7, с. 66-67]. Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в U3(y) (после приведения их к нормированному виду [7, с. 65-66]). Оператор (1), (2) при произвольном п впервые был исследован Дж. Биркгофом в 1908 году [8, 9]. При выполнении условий регулярности им были получены асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций и было доказано, что ряд Фурье по с.п.ф. всякой функции fix) ограниченной вариации сходится к {/ [х-\- 0) + f (х — 0)}/2 в каждой точке х Є (0,1), а в точках 0 и 1 он сходится к а/ (0 + 0) + bf (1 — 0), где а и b определяются граничными условиями. Я.Д. Тамар-кин [4, 5] для таких операторов нашел обобщение теоремы равносходимости разложений по с.п.ф. и в тригонометрический ряд Фурье, доказанной первоначально для уравнений второго порядка В.А. Стекловым [1]. Приведем один из результатов Я.Д. Тамаркина .
Равносходимость разложений по с.п.ф. оператора L и в тригонометрический ряд Фурье
Результаты Дж. Биркгофа и Я.Д. Тамаркина были получены методом Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. В.А. Ильин разработал новый подход получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций (основополагающие статьи [10]- [13]).
Если краевые условие регулярны, то М. Стоун показал [6], что имеет место равносуммируемость на любом отрезке [а, Ь] С (0,1) средних Рисса порядка ( 0) А=г где R\ - резольвента оператора (1),(2), а контур А = г не проходит через собственные значения данного оператора, и аналогичных средних для обычного тригонометрического ряда Фурье произвольной функции / Є L [0,1]. Полное решение вопроса о равно- В [6] М. Стоуном получен схожий результат при рь(х) Є L[0,1]. мерной сходимости на всем отрезке [0,1] средних Рисса для спектральных разложений оператора (1),(2) дано в [14], [15], причем в [15] исследуется и сходимость средних в про-странствае Ст [1, 0] (т = 1,2,...).
Далее, в [16] А.П. Хромовым установлена равносходимость на каждом [а, Ь] С С (0,1) средних Рисса для спектральных разложений оператора (1),(2) и разложений в тригонометрический ряд Фурье произвольной функции из L [0,1] при достаточно больших ( и Б том случае, когда условия регулярности не выполняются, но ядро G(x,t, А) резольвенты при больших Л имеет рост, не выше некоторой степени Л. Наконец, в работах [17], [18] В.В. Тихомировым данный результат перенесен на случай дифференциальных операторов, для которых основные требования не связаны с краевыми условиями, а формулируются в терминах ограничений на спектр и систему с.п.ф. такого же вида, что и в известных исследованиях В.А. Ильина по равносходимости спектральных разложений (в [17] рассматривается и случай полиномиального пучка).
А.П. Гуревич и А.П. Хромов при исследовании суммируемости по Риссу разложений по с.п.ф. интегральных операторов (см., например, [19]—[21]) вводили в рассмотрение обобщенные средние Рисса следующего вида "гЬ / я(А,г)дЛ/ и, (5) А=г где R\f - резольвента рассматриваемого оператора, г такие, что на окружности Л = г нет собственных значений рассматриваемого оператора, д (Л, г) удовлетворяет следующим условиям: 1) д(Х,г) непрерывна по Л в круге Л г и аналитична по Л в круге Л г при любом г 0; 2) существует такая константа С 0, что \д (А, г)\ С при всех г 0 и Л г; 3) существуют положительные С, Сі h, такие, что О (МС) . И h при п = 4q, д(ге ,г) = О (\ р — 7гс) , \ср - 7г h при п — Aq + 2, 0(\ Р-%\С), -! Лприп = 2д + 1, 0([ + ), l + fl /гпритг-2? + 1, где п - порядок обратного к рассматриваемому интегральному оператору интегро дифференциального оператора; 4) д (А, г) —» 1 при г — оо и фиксированном Л. В 1972 году в работе [22] В.А. Молоденков, А.П. Хромов рассмотрели диффе ренциальный оператор L0y(x) = Іу {х), X Є [-7Г,7Г] (б) с краевым условием 7Г / у(х) da(x) = 0, (7) где а(х) - функция ограниченной вариации на отрезке [—7г, тг] и имеет скачки в точках —7г и 7Г, и для ряда Фурье по с.п.ф. оператора (6), (7) получили аналог известной теоремы Жордана-Дирихле равномерной сходимости обычных тригонометрических рядов [23], а именно Теорема. Всякая функция f(x) ограниченной вариации из С [—тс, 7г]; удовлетворяющая условию (7) , есть равномерный предел на всем отрезке [—я-, 7г] некоторой последовательности частных сумм ряда Фурье.
Аналог теоремы Жордана-Дирихле для разложений по с.п.ф. оператора L
В 1975 году в статье [24] A.M. Седлецкий рассмотрел разложения функции из L\ [—7г, 7г] в ряд Фурье по системе -{К -} -1} , (8) где Л — {Anj- L-L - занумерованная в порядке неубывания модулей последовательность корней целой функции L(z) = J elztda(t), тп - кратность Хп. Порождающая мера da{t) —7Г имеет вид k(t) dt d(t) = , i±isa 0 a 1, var k(t) oo, k (тг - 0) ф 0, k (-тг + 0) ф 0. (9) ( г-1 1) Ранее в литературе этот случай не рассматривался, его исследование связано с преодолением значительных трудностей. Для таких разлолсений была доказана равномерная внутри (—тг, 7г) равносходимость и равносуммируемость с рядом Фурье по тригонометрической системе. С точки зрения спектральной теории операторов A.M. Седлецким была рассмотрена задача разложения функции из L\ [—7Г, 7г] в ряд Фурье по с.п.ф. оператора дифференцирования с граничным условием (7), в котором мера do (t) определяется (9). Далее, A.M. Седлецкий исследовал вопросы сходимости и суммируемости разложений по системе экспонент вида (8) при k(t) dt da{t) = _,ча, 0 а 1, var k(t) оо, к (а - 0) ф 0, к (-а + 0) ф 0 (а — \Ц) (см., например, [25], [26]) и при k(t)dt da{t)= 2__т 0 а 1» varfc(i) оо, к (а-0) 0, к (-а+ 0) 0 (10) (а і ) (см., например, [27], [28]). В данной работе рассматривается оператор L, порожденный функционально-дифференциальным выражением 1(у)=0у (х)+у,(1-х)+р1(х)у{х)+р2(х)у(1-х), ж є [0,1], (11) где /?2 т 1, Pj(x) Є С1 [0,1] (j = 1,2), и интегральным граничным условием і U(y) = jp(t)y(t)dt = 0, P(t) = ta{ t)a, (12) о где 0 а 1, k{t) Є С[0,1] П К[0,1] , и удовлетворяет (fc2(0) - 72й2(1)) (Л2(1) - 7 (0)) ф 0, 7 = /3- х/ 7!- (13) Оператор (11) с общим краевым условием U(у) = 0 относится к классу функционально-дифференциальных операторов с инволюцией т!)(х) = 1 — х, которая порождает оператор отражения Sy(x) = у(1 — х). Операторы, содержащие оператор отражения, имеют давнюю историю и интенсивно исследуются в настоящее время [29]-[34]. Оператор (11) возникает, в частности, и при изучении разложений по с.п.ф. интегрального оператора і Af = / А(х, t) f(t) dt, ядро А(х, t) которого имеет разрывы на линиях t = х ut = 1-х о (см. [33]-[34]). Главная часть 1о(у) оператора (11), т.е. 1(у) при р\{х) = р2{х) = 0, обладает тем свойством, что /о (fo(z/)) = (Р2 1) У"(х)- Таким образом, оператор (11) выступает как обобщение корня квадратного из оператора у"{х). Отметим еще, что оператор (11) приводится к системк Дирака частного вида (см. ниже). Граничное условие (12) заменой т = 1/2 — t приводится к виду (10): 1 1/2 1/2 [ Kt) _ [ к(1/2 - т) [ fe(l/2-r) J ta{1 _ t)a - J (1/2 _ r)« (1/2 + rT - J ({1/2f )a 0 -1/2 -1/2 V рассматриваемому A.M. Седлецким Для оператора дифференцирования A.M. Седлец-ким [35, 36] были получены теорема равносходимости и аналог теоремы Жордана-Дирихле, а также установлена суммируемость по Риссу. А.П. Хромовым в работе [37] t здесь и в дальнейшем запись k(t) Є С[0,1] П V[0,1] означает, что функция k(t) непрерывна на [0,1] и является на этом отрезке функцией ограниченной вариации был изучен оператор (11),(12) при р\ (х) = pi (х) = 0. Для него был получен аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов. Оказалось возможным добавить потенциалы (функции Pj(x), j = 1,2), которые создают значительные трудности в изучении сходимости разложений по с.п.ф. Цель работы. Цель данной диссертационной работы состоит в том, чтобы для оператора (11),(12) доказать теорему равносходимости разложений по с.п.ф. и в обычный тригонометрический ряд Фурье, получить аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов и исследовать суммируемость по Риссу спектральных разложений.
Методы исследования. Основной метод, применяемый в работе, - это метод Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты рассматриваемого оператора по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. При этом широко используются результаты из теории функций вещественной и комплексной переменной, функционального анализа.
Результаты исследований докладывались и обсуждались на объединенном научном семинаре математических кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVI" (Воронеж, 2005), на 13 и 14 Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2006 и 2008), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-ХІХ" (Воронеж, 2008), на конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ "Актуальные проблемы математики и механики" (Саратов, 2005, 2006, 2007, 2008).
Суммируемость по Риссу разложений по с.п.ф. оператора L
Основные результаты исследований опубликованы в 7 научных работах [38]-[44]. Среди них 1 статья в научном журнале [43], 2 статьи в сборниках научных трудов [40, 42] и 4 тезиса докладов на международных конференциях [38, 39, 41, 44]. 6 работ опубликованы без соавторов. В статье [43] результаты каждого автора имеют свой пункт и не перемешиваются, в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие диссертанту.
Структура диссертации. Диссертация состоит РІЗ введения, четырех глав и списка литературы. Первая и вторая главы разделены на три и два параграфа соответственно. В каждой главе своя нумерация параграфов, определений, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации 117 страниц, из которых 6 страниц занимает список литературы, состоящий из 54 наименований.
Содержание работы. Первая глава диссертационной работы посвящена рассмотрению резольвенты оператора (11),(12) Rxf = (L — ХЕ) f,E- единичный оператор, Л - комплексный параметр. В параграфе 1.1. нахождение резольвенты оператора L (скалярной функции) сводится к решению краевой задачи для дифференциальной системы первого порядка в пространстве вектор-функций размерности два: Ви (х) + Р(х)и{х) = Хи(х) + F(x), х Є [0,1] і (14) U(и) = JN(T)U (Г) dr = О, о где и(х) = (щ (х),и2 (х)) (Т - знак транспонирования), В = [ \ , Р(х) = РЛХ) П{Х) ] , F{x) = (f(x),f(l-x)f, N(T) = diag(p(r) P(l-r)). (1 - x) pi {1-Х) J Система (14) есть система Дирака частного вида. Далее в параграфе 1.1 проводится ряд преобразований краевой задачи (14), позволяющих справиться с трудностями при исследовании ее решения.
Третья глава диссертационной работы посвящена получению аналога теоремы Жордана-Дирихле (см. теорему 3.1). В предположении, что разлагаемая в ряд Фурье по с.п.ф. оператора (11),(12) функция f(x) непрерывна и является функцией ограниченной вариации на [0,1], а также удовлетворяет граничному условию (12), можно провести ряд существенных преобразований и более тонких оценок, чем во второй главе.
В четвертой главе рассматриваются обобщенные средние Рисса (5) где R\f -резольвента оператора L; г такие, что на окружности Л = г нет собственных значений оператора L; д (А, г) удовлетворяет следующим условиям: 1) д (А, г) непрерывна по Л в круге Л г и аналитична по Л в круге Л г при любом г 0; 2) существует такая константа С 0, что \д (А, т)\ С при всех г 0 и Л г; 3) существует 0, что о((-0)с), о 0 , p(reiars\r) = і 4 где и = arg лш. с((-0)с) е т 4) д (А, г) — 1 при г — оо и фиксированном Л. Исследуется вопрос о равномерной сходимости обобщенных средних Рисса к f(x) при Л — оо на всем отрезке. Будем применять метод доказательства суммируемости спектральных разложений, разработанный А.П. Гуревичем и А.П. Хромовым (см., например, [19]—[21]). Для рассуждений, проводимых в этой главе, оценки, полученные ранее оказываются недостаточными. Следуя работам A.M. Седлецкого [36, 35, 28], оценки получаются с помощью другого метода, базирующегося уже не на асимптотике финкций типа Миттаг-Леффлера, а на применении аппарата функций свертки.
Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Хромову Августу Петровичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Похожие диссертации на Разложения по собственным функциям функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием
