Введение к работе
Актуальность темы. Различные обратные задачи спектрального анализа входят в число актуальных и трудных проблем. Задача восстановления дифференциального оператора по его спектру восходит к классической работе шведского математика Г.Борга, в которой была доказана теорема единственности, к исследованиям М.Г.Крейна, разработавшего оригинальный метод решения обратных задач, к фундаментальным работам В.А.Марченко, И.М.Гельфанда, Б.М.Левитана.
Начавшись в тридцатые годы, исследования в этой области продолжаются и поныне, привлекая внимание многих математиков. Особую актуальность в последнее время приобрели многомерные обратные задачи, которые рассматривались в частности, Л.А. Сахновичем, А. Раммом, М.С. Бродским.
Предлагаемая диссертация посвящена задачам восстановления семейства дифференциальных операторов по скалярной спектральной функции распределения, а также по двум спектрам. Такого рода задачи возникают в теории колебаний нагруженной струны. Для линейного пучка дифференциальных операторов эта проблема рассматривалась С.Г. Мамедовым, В.Б. Даскаловым.
Цель работы. Целью данной работы является доказательство единственности восстановления 6(A), q{x) и Я в краевой задаче вида:
-У" + q(z)y = Ay,
у'(0) = Яу(0), у'(0 = в(АМ0
по спектральной функции распределения р(А),(где в (А) - рациональная неванлинновская функция, Я - вещественная константа, q(x)
- абсолютно непрерывная функция), нахождение необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи, а также восстановление 6(A), q(x) и Яі, Я2 по спектрам двух краевых задач, отличающихся вещественными константами в краевом условии.
Методика исследования. В диссертации используются методы А.В.Штрауса построения самосопряженных расширений в ортогональной сумме гильбертовых пространств (в терминах простых сцеплений), теория обобщенных резольвент, аппарат теории аналитических функций, и теория интерполяции.
Научная новизна. В диссертации построение сцеплений операторов в терминах граничных пространств впервые используется для изучения краевой задачи с параметром, что позволило установить взаимнооднозначное соответствие между самосопряженными расширениями обыкновенного дифференциального оператора с дефектными числами, равными единице, в пространстве 2/3(0,J) ф Ст и краевыми задачами с рациональными 9(A). имеющими го полюсов в расширенной плоскости.
Впервые получены асимптотические формулы для нормировочных чисел краевых задач. Усилены результаты С.Г. Мамедова, полученные для 6(A) - линейной, и результаты Х.Лангера для в(А) - дробно-линейной.
Доказаны новые теоремы о восстановлении семейства дифференциальных операторов по спектральной функции распределения, а также по двум спектрам. Решена обратная задача для некоторого класса мероморфных 6(A), доказано, что по неортогональной спектральной функции распределения в общем случае восстанавливаются две краевые задачи.
Теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в теории колебаний сложных механических систем, а также в теории обратных спектральных задач.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа и конференциях Ульяновского педагогического университета, в институте прикладной математики (Хабаровск 1994г.), на зимней Воронежской математической школе (1995г.), на научном семинаре Воронежской лесотехнической академии (1995г.).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах
[1] - [4].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,
списка основных обозначений, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 92 страницах машинописного текста, список литературы содержит 75 наименований.
