Введение к работе
Актуальность темы. Иссдэдув:,тав в настоящей диссертация жтгегральное преобразование
)1
я >
п>.п Г I ( а .а
(Н/)(1)=
/(t)dt„ i>0 <н
т.п m,r> р - (а .а ) . ,
с и- функцией Фокса Н іи а Н z (ь%Р) является наиболее общим жз известных интегральных преобрязовзяниЯ. Если
at = ...-- a = ftt=--f>2 = !, ТО . (1) СВОДЗТСЯ К ИНТЭГраЛЬНОМУ
преобразовании с G - функцией Майэра-в-ядре. G -преобразования
вклотаззг классические преобразования Лапласа и Хашселя, "дробные
интегралы Ршлано-Лиувилля,- четное и начетное преобразования
Гильберта, ГЕперг8ометрич8ско8 преобразование Гаусса и другие
интегральные преобразования со спэцвалъныкз функциями в щтт.-
см- п.36-39 з. Однако существует интегральные преобразования »
которые является и -преобразованиями (1). но не сводятся- к G -
преобразованиям- Среда них — модаїяцированнна преобразования
Ханкеля и Лапласа сі,з^і, операторы дробного интегрирозаржя типа
ЗрдэГй-Кобера сі. 133, интегральные преобразования с
пггоргеокзтрзгшской функцией Гаусса сг.з"] и так ндзывяепэв
интегральнее преобразование типа Бессэля: .
1. Сачсо С.Г., Кнлбас А.А.. Иаричэв О.И. Интеграла и производные дробного горядаа и некоторые их npososmraa.- Иенск.-1987.- 687с.
L> Г V
С 5<р/ У X і = \ Zp < Xt ) Я t Ж. X >0, (2)
с ядроы
і> Г v-t р
Z t и > = I t еяр i-% - - >ut. ' р :-и, v с с. . га
J t
rrt.n
Кнтегрвзшпоа прообразовзїшз (1) с н- функцпэй Фокса н _
В ЯЛРЭ ПЯЕГ Н- ГірЗобраЗОЗаКНО СИЛО ВЙЭДЭНО ФКСССМ (CF.)-t) ГфИ
исслздованиа син- Функций как сидавтрзстах адэр фурьо. Эта работа такає как и статьи Нвсарианп; (N.p.Kesarvam), Саксоїгл
(К.У.Захепа), ГуПГЫ (K.C.Gupta), МИТТаДЭ (P.K.Mittal), CZbtTZO (R.Sjngh), КаДЛЫ (S.L.Kallc ), БуШКЭНа (R.G.Bu^chnar.) E СрКЗаСТЕВЫ (H.M.Srivaetava), КуКбЗГГВ (R.K.l-'.i.mohat ) j» НВСИМО (C.Nasim)
посвадзш нохоздэшл фэр;л/д обращения дая н -преобразований (і) о пространствах Lt
КаШОЙ (S.L.Kalla),CpZEaCTaEOfl (H.!4.S,-j.vastava) и БупкаИО;.!
(R.G.Suschnian). СаКСОНОЗ (R.K.Sayen* ) и КУІЯбЗГГОІЛ (R.>-.Kumbhat ).
В работах Сахсены (к.к.захепа). Бхайса (v.n.Bh±s«) и Дигха (M.oiqt.e) иигоградъшо сшрзггорн вяда (1) прсдотавдош кск композиции опзрзтороз Эрдейа- Кобзра и штвгрэльшх операторов (1) с н-Функциями мшшгих порядков, еаісторгзгашя ошштороз- (1) в спзцзалъшх функциональных пространствах L доїш By Ким Туавом.
зп.О
Свойства н- праоСрозоваиий (1) с нтя функцаэй" в ядро псслодэзаш
КЦрьЯЕОБОЭ (V.S.Kjryakova) и ЕШКОЯ (P.L.Kalla) В ГфОСТрШСТЕЗ
Ц,{<=. <»Ь -і < р < <», с CaSro ',п.згизо>, Ройаа (н.к.кгшэ) е А.а.
Кплбасом - в пространствах Как- Брайдэ Fpfi и Fpfi сі,0]. Нак-БраЗД (fl.c.McBride) и Спратт (w.i.spratt) рассыотршш частина
l.O
случаи н - преобразования (1) с н - функциями Фокса (1^( z ).
ал «.о
Н,.о( s ) и H^t s ).
Ссилки на работа выззэ перечисленных авторов могло найти в статьях [4],[5],сш] из списка работ, указанного в конце азторефорэта.
КнгэгральЕсо преобразование (2) боло введено Кратцэлзм (E.Kratzei) с 2 ] п названо интегральным преобразованием типа Бессэля в связи с тем, что при P=l , u= J , Z,( % )= 2( 2 ) К„(х), где К^(2>- модпіицированная функция Бессэля третьего рода, или функция Макдональда п.п. В С2] была найдена формула обращения преобразования (2). построзна его свертка и даны прилогенля к решении обьтаговокншс дпМарвкциалыых уравнений. Кзучэнгэ интегрального просбразовалия тала Бессэля было
ПрОДОЛГПКО В рабОТО РОДрИТЭСа (I.Rodnquez), ТрУДИЛЛО
(T.T.Trujiiio) и Рпвдро (M.Rivera) iz і,где получена формула композиции оператора (2) с оператором, связанным с оператором лиувиловского дробного дифференцирования (см. (22),(23) далее ), я приведеш прилогиэнил к рвЕонию дифференциальных уравнений дробіюго порядка бесселевз типа.
2. Kratzel В. Integral transrorsatlons of Веззеі-type //
General functions and operational calculus (Proc. Conf., Varna,
1975), P.148-155, Bulg. Acad. Scl.. Sofia, 1979.
3. Rodriguez J., trujillo J.J.,Hlvero И. Operational
fractional саісоїиз of Kratzel Integral transformation.
Differential eguatlons (Xanthl,1967).P.613-620- beet. Notea Pure
алеї Appl. llath. 118. Deftker, New Yorfc. 1989.
- б -
Цель работы, Изучение свойств Н- преобразования (1) в весовых пространствах Ц, r, we (- <о.+- »}, і < г < », измеримых' комплєеснозішчншс функций /, заданных на полуоси к=(0.-к») и таких, что
СО 1
П/П,,,- [j|*7(X>rJr< ». ^R. 1іг<». (4)
а также исследование композиции интегрального преобразования типа Бесселя (2) с интеграшяа и производными дробного порядка п пршшсюаав полученных результатов к рзяению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Методика исследования. В работа используются методы теории функций и функционального анализа: теория интегрального преобразования Медлила, асимптотические оцвшш, интегральные представления, действие интегральных операторов- из одни* функциональных пространств в другиэ, теория дробного иэтвгродаМвренщрования-
Нзучнэя новизна. В диссертации содержатся слэдущие говно результаты.
1. Даны условия,при которых а) н-преобразованиз ограниченно
действует из весового пространства суммируемых функций
L„>p, ueR, 1^га>, В Пространство L1-L, ,, I ; 3 . »;
б) спрЕЕЭдлнБы формулы гіреоорззоваїшя Машина'и аналог формул дробного.ішгегшрования по частям; в) Н-прэооразованиэ допускает интегральное и шігоіродаїферондаальиоо представлення s Н-фуккцияда Зохса в ядрах.
2. Получены условия взаимной однозначности н-преосразовакпя
из Ц, г, і < г < «о, в Lt_w о, і < з < «о и дано описание глногвствэ значений н (Lv г) оператора Н- преобразования в случаях, когда прэоброзованяэ (.Таллина н- функции Фокса имеет постоянный и стэпенкой порядок на бесконечности.
3. Найдены условия взвшдюй одшзнвчнсстн Н- преобразования
из |_v г, і < г < со, в L4_y s, і і з < о и дано оппсзниэ образа
Н (L„ г) оператора Н- преобразования в случаях, когда преобразование Мбллиш н- функции Фокса екзот экспоненциальное убывают на бесконечности.
4. Доказаны фориулы обращения н- преобразования из Lv r.i-"^?,
і г : со, в случаях, когда прсобразоваїшз Мэллина Н- функции
Фокса имеет постоянный и стеттвнноЯ: порядок на бесконечности.
5. Установлены формулы композиции ингогрального
преобразования типа Бессвля (являпцвгося частным случаем Н-прооб-
разования) с огаротора?лз дробного интогрлрования и дифференциро
вания Рш/мана-Ллуншия и полученные результата прамензны к
реиекив обыкновенных .дифференциальных уравнений второго порядка.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация в основном носет теоретический характер. Еа результата могут быть использованы в теории интегральны! преобразованиЗ,- теории шггегральньа и дкффэронцзальныа: уравнений, теории дробного интегродгйэрвнцЕрования и при решении задач математической физика, прзводяЕщз: к гаггогралькнм прооорааовянаям с н- функцией. Фокса, я оо^кшвеннга _дв]фвреициальнщс уравнений второго порядка.
^пробапия. Осконкш результата докладывались на республпкансксэ научпо-г»годзчесісоа вдкФзрошЕз. посвлщанноЗ 200-
.-. 8 -
летаю со дня рождения Н.И.Лобачевского (Одесса, сентябрь 1992г.), конференции математиков Беларуси (Гродно, сентябрь 1992г.), международной математичэской конференции, посвяценной 200- лзтию со дня.- рождения Н.И.Лобачевсхого (Минск, " декабрь 1992г.), конференции японского математического общества (Токио, март 1993г.), а такш неоднократно на Минском городском семинаре ію краевым- задачам им. якадемшш АН БССР Ф.Д.Гахова в Белгосуншерситетэ (руководитель - профессор Э.И.Вверович).
Публикаиии. Основные. результаты диссертации опубликованы в 10 статьях, список которых приведен в конца автореферата.
Структура и объен работы, диссертация состоит из введения, трех глав, вклтакших в себя 14 параграфов, и списка литературы. состоящего из 92 наименований. Объем работы — 155 страницы машинописного текста. ':.
