Введение к работе
-
Актуальность темы. Исследуемое в настоящей диссертации интегральное-преобразование.
Г -п Г I ( а .о )
ч q
(н/)(х)= Jhp-4 [xt|( bv; )
/(t)dt. i>0 - (і)
m,rt т.п.- і (9, 'a ) * т
с м- Функцией Фокса H
наиболее общим из известных интегральных, преобразозваний. Если.
«4=.. . = с. = f>t=...ft= . і; то (1) сводится к интегральному
преобразованию с G - функцией' Мейера- в- ядре. G -преобразования
'зклотвхгг классические преобразования Лапласа и Ханкэля," дробные
интегралы Ргмана-Лиувилля,- четное и нечетное преобразования
Гильберта, гапергеометричэ'скш преобразование Гаусса и другие
интегральные преобразования со специальными функциями в ядрах.-
см- сі, зб-з? з. Однако существуит интегральные преобразования ,
которые является н -преобразованиями (1), но не сводятся, к G -
преобразованиярл. Среди них — модифицированные преобразования
Ханкэля и Лапласа сі.з^]. операторы дробного интегрирования типа
Эрдэйи-Кобэра ci.Jisi, интегральные преобразования с
гипергеоеттрЕчоскоа функцией Гаусса п.5зч! и тая называемое интегральное преобразование типа Бесселя:
1. Самко С.Г., Килбас А. А.» Марпчев О.й. Интегралы я-производные дробного порядка и некоторые их прилсжзная.- Минск.-1S87.- 687с.
- A -
00
V f V
cy)(i)= Zp( -st ) /( t )dt. x >0. (2)
с ддрол
Z f и > = t ego <--t - - >dt, p ."'S, у с с- (3)
p J t
ГЙ.Г»
Иіггегралькоз преобразование (і) он- футащой Фокса н о в ядро ига н- просбрзгсвгниэ баш введено Фоксом (c.fox) при исслздобж-яш 5 ін - функций каа сяз.ызтршнш: ядэр Фурьэ. Зта работа танке как и. статьи Косарваяг (N.p.Kesarvani), Сансзии
(R.".Sa«er,d), ГуПТЫ (K.C.GL,pta), КШТЗЛЗ (P.K.ttittaJ ), Cil-JTZ.
(R.Sir.gh), HaJIJIH (S.UKall.?). БуїЕШНа (B-G.Buschman) E СрйЗЭСТаБЫ (H.M.Sr-i^a&tava), КумбїїХГа (R.K.Kumohat ) E НаСШЛЗ (C.Na-зііп )
посвящены накиданая фор:дул обращения для н -праобразовзісзй (і) ь пространствах l (в««&' п L2(0^)- ДреоОразованаэ Молхана, аналог формулы дробного интегрирования по частям п коупозещіонньіо свойства 'и- преобразования (1) в этих пространствах изучен7.;
КаЛЯОЙ (S.L.Kalla),Cp23aCT2B0 (H.M.G.-ivastava) И БуцЕЙНОМ
(R.G.Buschman), С5КС8КОЙ (R.K.Sa>ena ) И КуТ.'.бахТСЇЛ (R.K.Kumbhat).
В работах Саксаны (н.к.захєпа), Бхайса (v.n.Bhxse) я Дигзэ (M.Oighe) Еигагршшкыо операторы Бізда (1) продотавле)ЕЫ езіс комшзицид операторов Эрдвйж- Кобара и Ентзгралъкш: операторов (1) с н-фуикцляг.и коныдш: порядков, акторизаидя опэрзтороа- (1) в специальных функциональных пространствах L дана By Кзм Туакогл.
7П,0
Свойства н- прэсбразоавнай (1) с Нтл, Фушщиэй в ядра неслодозаны
КЕРЬЯКОЕОЗ (V.S.Kjryakova) н КаЛЛОЗ (S-L.K alia) в проСТраііСТЕО Lp(C, та), 1 < p < со, Ж СаЙГО (М.Еакзо), РаЕНЗ (R.K.Rama) К к.к.
Килбасом - в пространствах Мак- Брайдэ F и F а. 83. Мак-Брайд (A.cricBride) и Спратт (w.i.spratt) рассмотрели частино случаи Н - преобразования (1) с н - функциями Фокса н^ z ),
Ссылки на работы ваша перечисленных авторов гааю найти в статьях C43,t5i,ci03 из списка работ, указанного в конца авторяфзрата.
Интегральное преобразование (3) было введено Кратцэлем (E.Kratsei) с 2 ] и названо интегральным преобразованием типа Бэсселя в связи с тем, что при P=l , U= j , Zt( J )= '2( 2 ) Kv(i), гдэ K^(z>- шдЕфицированнзя функция Бессэля третьего рода, или функция Махдонэльда п.п. В сгз была найдена формула обращеїшя преобразования (2), построена его свертка и даш приложения к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Изучение интегрального преобразования типа Бессэля было продолгэко в работе Родригеса (i.Rodnguez), Трудадло (T.T.Trujiiio) и Рпввро (M.Rivero) сз т.гдэ получена формула композиции оператора (2) с оператором, связанным с оператором лиувилэвслого дробного дифферонцирсвания (си. (22),(23) далее ). и приведены прилозвдая к решения дифференциальных уравнении дробного порядка бвссеявва типа.
2. Kratzel Е. Integral transformations оГ Веззеі-type //
General functions and operational calculus (Proc. Conf., Varna,
1ЭТ5), P.I 48-155. Bulg. Acad. Scl.. Sofia, 1979.
3. Rodriguez J., Trujlllo J.J-.Rlvero И. Operational
fractional calculus of Kratzel Integral transformation.
Differential eguatlons (Xantni,l987).J?.6i3-620- beet. Notes Pure
apd Appl. Knth. 118. Dekker, Now Yorft» 1989.
- б -
Цель работы. Изучение свойств Н- преобразования (1) в весовых пространствах l , *> « (- <*>+ -h J і г і <"» измеримых кожшэкснозвачных функций у, заданных ка полуоси к={0.+ш) и таких, что
II/IU- [{|х"/(х>Г^
< оо, i> е R, 1 г оо, (4)
а также исследование композиции интегрального преобразования типа Бесселя (2) с интегралами и производными дробного порядка и пражяэниэ полученных результатов к рзшению обынновэнных дифференциальных уравнений.
Методика исследования, В работе используются методы теория функций и функционального анализа: теория интегрального преобразования Меллша, асимптотические оценки, интегральные представления, действие интегральных операторов из одних функциональных пространств в другие, теория дробного интвгродкффвренцирования.
Научная новизна, В диссертации содержатся слздувзцЕЭ новые результаты.
1. Даны условия,при которых а) н-преосрэзозанио ограниченно
действует из весового пространства суммируемых функций
L„ г, » .« R, і > < в, .в пространство Lt_„'„. 1 і з ^ *; б) справедливы формулы преобразования Меллина и аналог форлул дробного.интегрирования по частям; в) н-преобразование допускает интегральное и - интегродаффвренцЕальнов представления с Н-функцшаш Фокса в ядрах.
2. Получены условия взаимной однозначности н-првобразовзния
изі_уг. і < г < », в Lt_,_, а» і < з < « и дано описакЕЭ ізюяоства значений Н (Lu г) опэратора н- преобразования в случаях, когда преобразование Мвляина Н- функции <Зокса икоэт постоянный и степенной порядок на бесконечности.
3. Найдены условия взаимной однозначности н- преобразования
из ц, г, і < "~ < », в Lt.w „. і < а < « и дано описание образа
Н (Lv г) оператора н- преобразования в случаях, когда преобразование Моллина Н- функции Фокса имеет экспоненциальное убиванеє на бесконечности.
4. Доказаны формулы обращения Н- преобразования аз ц, .^«R,
і -' г < о», в случаях, когда преобразование- Мэллша н- функция
Фокса имеет постоянный и степенной: порядок на бесконечности.
" 5. Установлены формула компознцзи интегрального преобразования типа Бесселя (являщэгося частным случаем н-преобразования) с операторами дробного интегрирования и даффэренциро-вания Ргаялана-Лиувялля и подученпыэ результаты применены к решению обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Теоретическая а практическая ценность. Диссертация в основном носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории интегральных преобразовании,- теории интегральных и дифференциальных уравнении, теории дробного штагродеф1эронвдфования и при решении задач математической физики, приводящих к интегральным преобразовакаян с н- функцией Фокса, и обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Дпробаиия. Осювшв результата докладывались на роспублжканскоа научво-мэтодаческой конференция, посвязанней 200-
.-. 8 -
лэтию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Одесса, сентябрь 1992г.), конфэренцш математиков Беларуси (Гродно, сентябрь 1992г.), моаяународаой математической конференции, посвядвнной 200- летаю ео дна . рождения . Н.й*Лобачевского (Минск,' декабрь 1992г.), конференции- японского" математического общества (Токио, март 1993г.), а такие неоднократно на финском городском семинаре по .краевым задачам вд. академика АН БССР -Ф.Д.Гзховэ в Белгосуниверситетэ (руководитель - профессор Э.И.Зверович).
Публикации- Основные, результаты диссертации опубликованы в 10 статьях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,
трех глав, вклотаицих в.себя 14 параграфов, и списка литературы,
состоящего из' 92 надаэнований. Обьем работы — ' 15Б
страницы машинописного текста. .
