Введение к работе
^Аьк'.т уальность темн. Теория сингулярных интегральных операторов и соответствующих им уравнений, у которых линии особенностей ядер задаются отображениями (сдвигами) кривой интегрирования на себя, является актуальным разделом теории интегральных операторов с развитыми методами исследования и широким кругом специфических проблем.
Исследование сингулярных интегральных операторов со сдвигом (СКОС) на основе получения качественной- характеристика - построения теории Нетера при различных предположениях относительно пространств функций, несущего контура, сдвига я коэффициентов в течение последних тридцати лет неизменно привлекает внимание многочисленных исследований. В их числе Г.С.Литвинчук, С.Г.Самко, В.Г.Кравченко, Ю.И.Карлович, Н.К.Карапетянц, Н.Я.Крупник,В.й. Няга, А.П.Солдатов, Р.В.Дудучава, А.Г.!.ітсішков, Л.Н.Сазопов.В.К. Ссмекюта, А.Б.Хевелез.Ю.Д.Латупкин и др.
Подробное изложение и историю вопроса, а также библиографию доведенную до 1975 года, можно найти в монографии Г.С.Литзинчу-кг'. Там жз указаны разнообразные приложения к теории упругости, гидромеханике и т.д. Отметим также обзорную статью Ю.И.Карловича, В.ГЛСравченко, Г.С.Литвинчука ', как дополнение к монографии Г.С. Литвиячука, в которой собрана библиография вплоть до 1983 года.
Пусть \~ - простая замкнутая гладкая ориентированная кривая комплексной плоскости, а. - диаметр Г Через Яр обозначим класс неотрицательных функций со{5)ф О заданных в промежутке (.O.d] и удовлетворяющих условиям:
а) СО(.) является модулем непрерывности;
б){5арС<5Ч<Ж<$"УП оосЪС^-^-ЬЗ') dt):5eC0, Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука. 1977. - 443 с. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Литвинчук Г.С. Теория Нетера сингулярных интегральных операторов со сдвигом. // Изв. ВУЗов, математика. ГЭ83. Л 4. С.3-27. В качестве характеристик непрерывных на 1 функций Еыбк-раем модуль непрерывности Скахем ^Ct") Є ПСІ) , если она определена на I и 11511^= {sap(coCS,5)Ccoc5))M): оє CO,d]j <+ со . Класс Н (Г) с нормой II5 И г - Hill + Ні! стано- В2гся банаховым пространством. Назовем ее обобщенным пространством Гедьдера. В частности, если cocS) = J (CUj4<-j) ,то П Си превращается в обычное пространство Гельдера Н СО - Обозначим через (І СП - совевдпность мэтрац-функций порядка Пхт. с элементами из П СП Н С Г) =={jC-b=UcW: СО СО 1 1-1 ІсЬєНсГ), Ц\\ а=тох \\т\ },Ф0Ч^^^7^ "со <*> существует для дюбогс подогительного постоянного К, j . Б диссертации изучаются сингулярные интегральные операторы со сдвигом . U=K,P+ +К,Р .(в и^СКД + ХР_ . и') (2) к =0-1 -d.W, L=i.a.. P = — Cl -S) , I - тоядественкый оператор, о - оператор сингулярного интегрирования вдоль гвмхнутоЗ кривой 1 с ядром Кош, W - оператор сдвига: CW ЫЬ = К<^) Д е I зеддолагается, что oL является N листное накрытие (сдвиг) t \ -с W <. оо , Ц Щ , оС Ш -f 0 , {. Г , не имеющим йдуж- зющих дуг, удовлетворяющим следующим условиям: 1. Сдвиг оС сохраняет ориентацию и не шлеет периодических IOKOB. Сдвиг оС сохраняет ориентацию и имеет периодических соков без карлемэнсвсклх дуг. Сдвиг d сохраняет ориентацию и имеет периодических йокоз с харлемановскими дугами. Сдвиг оС изменяет ориентацию. Напомним , что периодическим блоком отображения cL напвается такая максимальная по включению открытая дуга на 1 , гаенпе на которую некоторой итерации оС является ее диффео-срЁпзмсм; олуадаюлэЯ дугой называется дуга, орбита которой е имеот самопересечений и не пересекается ни с одним из перис-ическлх блоков; дуга называется карлемановсксй, если сужение екоторсй итерации с(, на которую является ее тоздестзенкым ;'55 еоморФп змом. Оператор U рассматривается в В этом слу- ы I . гхх. гг. і = ОЛГІ ,т.?И .їїієМ , принадлежали П СП . СОбф CU " Нетеровость ' СИОС (І)-(і') з случае, когда ее. - обратите отображение, исследована наиболее полно. А исследование ннгулярных интегральных оператороа с необратимым сдвигом СИОНС) только начинается. В этом направления первый саг был іделан Ю.Д.Латушкпным ' в пространствах 1_р (.Г) , \ < р< со . іопрос о получении критериев нетерозостп операторов (I)-(l') : необратимым сдвигом в обычных и обобщенных пространствах Гель-;ера до сих пор оставался открытым. І) Латушкин Ю.Д. Сингулярные интегральные операторы с яевзаим- нооднозначным сдвигом. Одоссз. Г93І. Канд. дисс. . I) Оператор LI называется нетзровкм, если ТуП-У^ІЖІ) и dum-Ketu < са , dXraCo*c2.e.O — оо Этот вопрос ставится впервые в настоящей диссертации. В последнее время все более интенсивно исследуются фунга нальные операторы (ФО) вида (2) - (2*) с необратимым сдвигом. Такие операторы играют вакную рель в теории динамических систем, в эргодической теории и т.д. По существу в основе исследования но нетеровость СИОНС Л жит изучение непрерывной обратимости ФО с необратимым сдвигом что, естественным образам приводится к изучению спектра опера тора взвешенного необратимого сдвига (ОВНС) вида т, - gw. где j - оператор умножения на некоторую функцию. Таким образом, изучение ФО и ОВНС представляют собой актуальную задачу. Исследования в этом направлении только начинаютс Цель работы - построение теории Нетера СИОЕС (I) и (I ) в обобщенных пространствах Н с Г) и Н сГ) со со соответственно; получение критерия обратимости ФО (2) с необратимым сдвигом в пространстве п С Г) ; условия обратимости ФО (2') с необратимым сдвигом в пространствах П С 1 ) ; получение формулы вычисления спектрального радиуса и описание спектра ОВНС в Н С Г) , GJ Є ЯР„ . СО ' Методы исследования. В диссертации при. меняются метода теории нормально разреиишх, интегро-функхшо-нальных операторов. Научная новизна и практичео-кая' значимость работы. В диссертации основными научными результатами, которые выносятся на защиту, являются: Критерии обратимости ФО (2) с необратимым сдвигом без периодических блоков, в обобщенных пространствах Гельдера. Критерии обратимости ФО (2) с необратимым сдеигом, имел циы пешодические блоки в обобщенных пространствах Гельдера Н с"П ,»еЯР0 . ?. Условия обратимости ФО (2*) с необратимым сдвигом в обобщенных пространствах Гельдера НЩСП ,W^o- Критерий нетеровоста СИОНС (I) без периодических блоков в обобщенных пространствах Гельдера П СП , 00 Є х0 Критерий нетерсвости СИОНС, имемам периодические блоки в обобщенных пространствах Гельдера П СI) СО Є р Условия нетеровоста СИОНС (І ) в обобщелных пространствах Гельдера П (.М , СО г . Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсугдались на Одесском городском семинаре по краевым задачам и сингулярным интегральным уравнениям (руководитель - проф., д.ф.-м.н. Г.С.Литвинчук), на семинаре по Функциональному анализу и математической физике в Самаркандском госуниверсятете (руководитель - профессор, д.ф.-м.н. Ш.Я.Ярму-хамедов ); на городском семинаре по дифференциальным уравнениям с частными прсизводннми з Институте математики имени 3.И.Романовского АН Узбекистана (руководители - академики АН Узбекистана Салахитдинов М.С. и Даураев Т.Д.). Результаты диссертации частично докладывались на ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава Самаркандского госуниверситета (1987-19Э0 гг.), на Всесоюзном семинаре-совещании молодых ученых "Актуальные вопрос комплексного анализа" (Ташкент, сентябрь, 1985 г.), на И Уральской региональной конференпяи "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Уфа, 1986 г.), на научной конференции молодых ученых "Современные аспекты математических и физических наук" (Самарканд, IS88-I990 .гг.). Структура и объем работы. Диссертационная работа излснана на 151 странице машзнопасного текста и состоит пз введения, трех глав и библиографии. Библиография содержит 73 названия.
со ,. п. х wi г- " ^
L со и11 uua l Н 5-»0 СОСо)
ае предполагается, что Рассматр
ивая оператор требуем, чтобы &. ,1=1 А",
Похожие диссертации на Сингулярные интегро-функциональные операторы с необратимым сдвигом в обобщенных пространствах Гельдера
