Введение к работе
Актуальность теш. Работа посвящена геодезическим отображениям специальных римановых пространств Уя ^n^g, , метрика которых,, вообще говоря, предполагается знаконеопределенной.
Существенный вклад в изучение общих закономерностей теории геодезических- отображений римановых пространств внесли Т.Леви-Чи-вита, Т.Томас, Г.Вейль, А.З.Петров Г^ 1 < А.С.Солодовников \2~], Н.С.Синюков 3"), Г.И.Кручкович, Й.Микеш Г4І, В.С.Собчук [5], А.В.Аминова І6].
Н.ССинюковым {Ъ"\ были получены инвариантные относительно выбора системы координат необходимые и достаточные условия внутреннего характера, при которых V^ допускает или не допускает нетривиальные геодезические отображения, однако они представлены в неявной форме. Показано [зЗ, что семейство римановых'.пространств, на которые допускает геодезическое отображение данное 1^ зависит от конечного числа существенных параметров. Это число называют степенью подвижности Г риыанова пространства Vjj относительно геодезических отображений. Н.С.Синюков, используя методы, разработанные И.П.Егоровым в .теории движений римановых пространств,обнаружил, что распределение степеней подвижности римановых пространств относительно геодезических' отображений носит лакунарний характер и выделил пространства максимальной степени подвижности относительно геодезических отображений. Й.Микешем Г^З приведен пример пространства высокой подвижности относительно геодезических отображений, а также указано на взаи-иосвязь между степенью подвижности риманова пространства относительно геодезических отображений, порядком группы движений и проективных преобразований.
Отметим, что геодезические отображения специальных римановых пространств V' исследовали Э.Вельтрами (пространства пос-
тоянной кривизны, К.Яно (келеровы"), А.З.Петров (пространства Эйнштейна), А.С.Солодовников, Г.И.Кручкович (полуприводимые , V(K)) Н.С.Синюков (эквидистантные, симметрические, рекуррентные, полусимметрические V^ ) , Е.З. Горбатый (эквидистантные пространства, пространства первого класса\ Е.З.Горбатый и Д.И.Роэенфельд, Д.Молдобаев (конформно-евклидовы пространства), Й.Микет(пространства Эйнштейна, келеровы пространства, обобщенно симметрические пространства и обобщенно рекуррентные Vn ) , В.С.Собчук (Риччи обобщенно симметрические пространства), И.Г.Шандра (пространства и много других авторов ІЗ - 5}.
Некоторые вопросы нетривиальных геодезических отображений
римановых пространств "в целом" изучали Г.Врэнчану ^7 3 , Е.Н.Си
някова [8], Й.Микеш t,9]. . -. ,
Многими авторами изучались геодезические- отображения более общих чем римановы пространств, например, Н.С.Синюковым (пространства аффинной связности), Г.Н.Фоминым (безразмерные пространства), Г.Фзрзалиевым (пространства опорных элементов), Ш.Бачо (финслеровы пространства).
Й.Микешем и В.Е.Березовским введено понятие, степени подвижности пространств аффинной связности относительно геодезических отображений на римановы пространства и получены оценки первой лакуны в их распределении.
Естественным обобщением теории геодезических отображений является предложенная Н.С.Синюковым теория почти геодезических отображений СЗ], В.Е.Березовским и Й.Микешем показано при что существует только три введенные Н.С.Синюковым 3J типа .-почти геодезических отображений. Специальный случай почти теодег зических отображений второго типа - голоморфно-проективные, отображения келеровых пространств с сохранением комплексной структуры
«'*
изучались Т.Оцуки, Я.Тасиро, Т.Сакагучи и другими авторами. Новые фундаментальные результаты в теории голоморфно-проективных отображений келеровых пространств получены В.В.Домашевым и Й.Ми-кешем. Было устанолвено, что распределение степеней подвижности относительно голоморфно-проективных отображений также носит лакунарний характер Где].
Теория геодезических отображений римановых пространств, а
также ее обобщения представляют безусловный интерес с прикладной
точки зрения. Вопросам моделирования физических полей посвящены
работы А.З.Петрова [ti], динамических систем - А.В.Аминовой,
С.П.Гаврилова и. В.А.Добровольского [12") - моделям пространства-
времени, "в целом". '»
Принимая во внимание изложенное выше, представляется актуальным исследование степеней подвижности специальных римановых пространств, изучение распределения указанных степеней, а также геометрических свойств римановых пространств в зависимости от степени их подвижности относительно геодезических отображений.
..Целью работы является изучение римановых пространств в зависимости от их степени подвижности относительно геодезических отображений; выделение специальных классов римановых пространств как малой, так и большой подвижности относительно геодезических отображений; получение оценок лакун в распределении указанных выше степеней; изучение пространств, отличных от пространств постоянной кривизны, допускающих максимальную степень подвижности относительно геодезических отображений.
Научная новизна и основные задачи, решенные в диссертации
и выносимые на защиту. ' . '
I. Найден вид основных уравнений теории геодезических отоб-
- б -
ражений римановых пространств, имеющих степень подвижности относительно геодезических отображений больше двух;
-
Получена точная оценка первой лакуны в распределении степеней подвижности римановых пространств бтносительно геодезических отображений; '
-
Обнаружена вторая лакуна в распределении указанных степеней}
-
Найден тензорный признак пространств второй лакунарности относительно геодезических отображений и изучены их геометрические! свойства..
Методы исследования. Исследования, как правило, проводятся
локально с использованием тензорного исчисления, в классе ве
щественных достаточно гладких функций. ' '
Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, являются естественным дополнением известных результатов теории геодезических отображений римановых пространств и поэтому представляют теоретическую ценность с точки зрения геометрии. В то же время они могут быть использованы в теории относительности и теоретической механике.
Диссертация носит характер фундаментально-теоретического исследования и входит в качестве составной части в проблематику "Обобщенно-геодезические отображения а$финносвязных и римановых пространств и проблемы моделирования физических полей" V ОІ8ІІОІ0294 программы комплексных исследований в .области естественных наук постановление Минвуза УССР V 378 от 24.07.81г. и республиканского плана важнейших научных исследовании в области естественных наук /постановление Президиума АН УССР . от І3.07.ЄІ г. , над которой работает кафедра геометрии и топо-
логии Одесского государственного университета имени И.И.Мечникова,
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
-
На семинаре кафедры геометрии Ленинградского госпединститута руководитель - профессор Вернер А.Л. .
-
На семинаре по дифференциальной геомегрии Московского госуниверситега руководитель - профессор Васильев A.M. .
-
На семинаре кафедры геометрии Казанского госуниверситета руководитель - профессор Широков А.П. .
-
На УШ Всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии г.Одесса . V
5„ На Всесоюзной школе "Анализ. Геометрия. Оптимальное управление" г.Кемерово, 1986 г., 1968 г. .
-
На Республиканской конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям и их приложениям г.Одесса, 1987 г. .
-
На конференции молодых ученых Одесского госуниверситета г.Одесса, 1985 г., 1982 г., 1988 г. .
-
На научных конференциях профессорско-преподавательского состава Одесского госуниверситета и Одесского госпединститута .
Публикации, диссертация является самостоятельным исследованием автора. По теме диссертации опубликованы 15 работ, из них шесть в соавторстве и 9 самостоятельных. В работе L2.S I автору принадлежит анонсированная теорема о представлении новой формы основных уравнений теории геодезических отображений для пространств, имеющих степень подвижности относительно геодезических отображений больше двух. В статье [2Я~\ Й,іМикешу принадлежат результаты второго параграфа. В работе L2^ ~] й.Микешу принад-
лежат постановка задачи и научное руководство работой. В тезисах [ЗО] задача была поставлена А.Я.Султановым, а Й.Микепэы осуществлялось научное руководство.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения^ 3-х глав, содержащих девять параграфов, спискалитературы. Принята сквозная нумерация параграфов. Для формул, лемм, теорем, следствий принята двойная нумерация. Первая цифра указывает на номер параграфа, вторая - на номер формулы, леммы, теоремы, следствия в этом параграфе. Ссылки на литературу даются в квадратных скобках.
