Введение к работе
Актуальность томы. В обпей топологии большую роль играют пространства, топологическое строение которых определяется запасом схпдяпзіхся последовательностей точек в них (ведь впервые абстрактные пространстпа с топологической структурой били введены Фрсшо именно в терминах сходяпихся последовательностей). К таким пространствам относятся, например, секвенциальные пространства и пространства Фрешо-Урыеона. Оба эти класса пространств были широко известны почт со времени ма-рождения обшей топологии. Определения их восходят к работам ''. Секвенциальные пространства были тщательно изучены в работах Франклина'- ',4'.
В настоящей работе изучаются пространства, определения которых так или иначе связаны с секпенциэльнши пространствами.
В 1961 году на иракском топологическом симпозиуме П.С.Александров поставил обіцую топологическую проблему изучения взаимной связи свойств непрерывных отображений топологических пространств, их образов и прообразов.
Первые конкретные вопросы такого рода были решеггы 60 - 70
^ ГгссЛеІЛІ. Suz a-ixtauespo^.ls cue саі'ссг.І іолсіі.оппе'. - Rene?. c&2 Сїіє. Mai. dl fbfrti*> 'S?. (1506), 1-Y4.
2) UtyscArt P. Set г tcs classes I e/e A/.P^cAe(. -
3<' Ftanfciut 6. P. Spa с с і In ioAtcA seweC/iC'TSzffice.-Fund Mat ft. 67 (1965) > /W- ЛХ
л) FinnltZsz $. P. Spaces in uAccA statue-zees su/ -foe I. - Г-ит/.ІЇаМ. {(19ЄУ), Sl-6'Є. '
.-2-
лет назад, а именно: теорема П.С.Александрова ' о представлении произвольного компакта как непрерывного образа канторо-ва совершенного множества; данная Хаусдорфом характеристика произвольных метрических пространств со счётной базой как открытых непрерывных образов подпространств пространства иррациональных чисел; описание локально связных континуумов как непрерывных образов отрезка » .
В связи с втими задачами особо отметим теорему В.И.Пономарёва ' о том, что все 1^ -пространства, удовлетворяюще первой аксиоме счётности, - и только они, - являются образами метрических пространств при непрерывных открытых отображениях.
Теория кардинальнозначных инвариантов, уходя своими корнями к началу развития общей топологии, особенно активно стала развиваться .со второй половины шестидесятых годов. Появились новые методы и новые объекты исследования. Интересные результаты в данной области были получены Б.А;Ефимовым,В.И. Малыхиным.В.И.Пономарёвым, М.Рудин, В.В.федорчуком. А.В.Ар-
іїайгле. -. Мі/Л. J/i/r. 36' (192?), SSS - SV/.
6' Hausvloiff F, IMez tnnet Jt&i№unpe'i. - FuhcS-
MatL 23(1934), 2Ї9-29/. -
Mbiuv&ieH/isi. S. Saz &s fcpnes de Votda/z.—
Funet.tfaiA.J (/920), J?e--209? .
' c'e?0
(oniinic sect u/ie coutfe: /с'са(а/ііс/и7с. — fctstof. HcUfi. І (Л920), 44 - СОГ
9)
' Пономарёв В.И. Аксиомы счётности и непрерывные отобра
жения. - Ruti. Оса t/. Pcton., Su , Set. Мь/А.
8, П./ I960 /, 127 - 133.. . ' ' ' ' ,
хангельскіїй ' в 1969 году положительно решил гипотезу П.С,Александрова и П.С.Урысона о том, что бикомпакт с первой аксиомой счётности имеет мопность, не превосходяїфів мощности кон-тицуума.
Новно кардинальнозначныз инварианты часто порождают и новые результаты, связанные с аддиционной тематикой. Так, например, в классе бикомпактов справедлива аддициокная теорема для веса11'', в классе к. -пространств - для тесноты ' и Т. д.
Отметим ещё одну обвую задачу, связанную с известной теоремой А.Стоуна13' о нормальности произведения метрического пространства и нормального счётно компактного пространства.
Какими близкими условиями можно заменить метризуемость и счётную компактность, чтобы произведение осталось нормальным ?
Весьма интересные результаты в этом направлении были получены Моритой14', Даукерои15' , А.П.Комбаровым16'* 17'.
^' Архангельский А.В. О нощости бикомпактов о первой аксиомой счётности. - ДАН СССР 187 / 1969 /, 967 - 970.
**/ Архангельский А.В. Адциционная теорема для веса множеств, лежащих в бикомпактах. - ДАН.СССР 126 / 1959 /» 239 - 241.
^' Ранчин Д.В. Тэснота, секвенциальность и замкнутые покрытия. - ДАН СССР 232 / Г977 7, 1015 - 1018.
SioneJ'H- fhtaectxfiaczness аяЛ' в*ос/ис spaces. —
<Могііа. И. P&x&cts с//rot/па^s/хгсез wt^A* metttc spaces. - /Ya/A.J**. S4fr964),36S-3
Г5' Dow&t C.H. On eocatiaSS/ сагасогпіхгс^ spaces. - GtnaJ.^. of M. 3(Жб,Ш-224.
В настояіфй диссертации решаются задачи, примыкающие к перечнелеїшш выше проблемам, для пространств, близких к секвенциальным.
Цель работы. Исследование свойств С -секвенциальных, р -секвенциальных, "X - р-компактных и чУі- р -секвенци-альшх пространств; изучение вопроса о О -определённости пространства
Методы исследования. В диссертации широко используются методы таких разделов топологии как теория секвенциальных пространств и близких к ним. В частности, применяются и получают дальнейшее развитие конкретные методы исследования С -секвенциальных, р -секвенциальных, бикомпактно определённых пространств, принадлежащие А.Бернштейну, А.П.Комбаро-ву, В.И.Малыхпну," В.11.Пономарёву, Д.В.Ранчину.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно. Они заключаются в следувкрм:
-
Доказано, что С -секвенциальные пространства, и только они, являются наследственно неизолированными образами метризуешх пространств.
-
Доказано без дополнительных аксиоматических предположений, что прообраз с -секвенциального ( р -секвенциального) бикомпакта при совершенном отображении является С -
16^
' Комбаров А.П. О произведениях нормальных пространств.
Равномерности на JE. -произведениях. - ДАН СССР 205 / IS72 /, 1033 - 1035.
1 ' Комбарой А.П. Об одной теорема А.Стоуна. - ДАН СССР 270 / 1983 /, 38 - 40.
секвенциальным ( р -секвенциальным) бикомпактом, если все слои отображения с -секвенциальны ( р -секвенциальны).
-
Показано, что моирость р-секвенциального сепарабель-ного бикомпакта не превосходит моиртости континуума.
-
Доказано, что произведение т- р-секвенциального паракомпакта и нормального гґг-р -компактного пространства коллективно нормально.
-
Показано, что утверждение о о -определённости пространства не зависит от системы аксиом ZFC (через С^ обозначено пространство рациональных чисел, а че-рез Г) 1 - канторов дисконтинуум веса К± ) .
Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Её результаты могут найти применение б обідей топологии, в частности, в теории секвенциальных пространств и близких к ним.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском сешшаре кафедры общзй топологии и геометрии Московского государственного университета им. 1.1.В.Ломоносова, на научно- исследовательском сешшаре "Общая топология и дескриптивная теория множеств" под руководством профессора В.И.Пономарёва.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых представлен в конце автореферата.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырёх параграфов и списка цитированной литературы. Объём диссертации - 62 страницы мазмнописного текста. Библиография содержит 46 названии работ.
- б -
