Содержание к диссертации
Введение
1. История возникновения модальной алетическои логики (от Аристотеля до Лейбница) 9
1.1. Исследования Аристотеля 9
1.2. Исследование модальностей в Средние века 19
1.3. Исследования Лейбница 24
2. Современный этап: модальные логики, построенные как синтаксические системы 28
2.1. Обобщенная схема развития 28
2.2. Хью Макколл 34
2.3. И. Е. Орлов 51
3. Современный этап: семантика алетическои модальной логики 54
3.1. Обобщенная схема развития 54
3.1.1. Алгебраическая семантика 54
3.1.2. Теоретико-модельная семантика 63
3.2. Матричные и квазиматричные системы 79
Заключение 105
Список использованной литературы
- Исследование модальностей в Средние века
- Исследования Лейбница
- Хью Макколл
- Теоретико-модельная семантика
Введение к работе
Диссертационная работа представляет собой исследование в области истории модальной логики. Возникновение данного раздела логики первоначально было связано с философскими концепциями. В качестве примеров можно привести выделение Аристотелем двух видов бытия (действительного и потенциального), идею альтернативных миров, «божественных» и «естественных» модальностей в Средние века и т.д. Дальнейшее развитие теории модальностей является процессом, по ходу которого философские аспекты становятся все менее важными. Данный факт обусловлен развитием собственно логического аппарата для модальной логики.
Описать в рамках одной работы все многообразие модальной логики представляется крайне сложной задачей, поэтому акцент сделан на алетические модальности. История поэтапного развития рассматриваемого раздела логики весьма богата, она содержит множество до конца не проясненных вопросов.
Актуальность темы. Модальная логика является одним из самых интересных и перспективных разделов неклассической логики. В результате ее разработки расширяется круг дисциплин, в которых используются те или иные методы логики (от анализа философской аргументации до теоретической информатики). Достаточно привести высказывание Р. Гольдблатта: «модальная логика в наши дни рассматривается шире [чем раньше как наука о необходимой и возможной истинности] как изучение множества лингвистических конструкций, которые определяют условия истинности высказываний, в том числе высказываний о знании, верованиях, рассуждениях о времени и этике»1. Столь интенсивное развитие ставит задачу исторического анализа результатов, которые оказали влияние на формирование современной модальной логики.
История модальной логики занимает значительное место в логико-исторических исследованиях второй половины XX века и начала нынешнего. Отметим, что большинство работ по данной теме принадлежит зарубежным авторам. Несмотря на популярность данной темы, она еще далеко не исчерпана.
В истории модальной логики есть такие теории, которые можно условно назвать вторичными, однако их результаты оказались весьма значимыми для
1 Goldblatt R. Mathematical modal logic: a view of its evolution II Handbook of The History of Logic. Vol. 7: Logic and Modalities in XX century. Amsterdam. 2006. P. 1
общего развития: их анализ в качестве составных частей целостного подхода в рамках того или иного периода можно обозначить как еще одну актуальную проблему.
Степень разработанности проблемы. Литературу, которая была использована при написании данной работы, можно подразделить на две категории - на литературу о самой логике алетических модальностей и по ее истории. К первой категории можно отнести все монографии, учебные пособия, статьи и прочие исследования, в которых анализируются те или иные свойства модальной логики. Поскольку таких книг большое количество, приведем лишь несколько наиболее известных работ (характерных для разных периодов): Р. Фейс, «Модальная логика»2, Г. Е. Хьюз и М. Дж. Крессвелл, «Введение в модальную логику» 3 (а также «Новое введение в модальную логику»4) [35, 36], А. Чагров, М. Захарьящев, «Модальная логика» [34].
Что касается второй категории, то в настоящее время существует несколько основных работ, посвященных истории модальной логике. Прежде всего, стоит отметить работу Я. И. Слинина5, в которой были наиболее подробно рассмотрены исследования в рамках периода, который сейчас принято называть синтаксическим.
Среди современных работ одним из самых полных и подробных является исследование Р. Гольдблатта6. В нем прослежено развитие модальной логики вплоть до 90-х гг. XX века.
Далее стоит упомянуть о совместной работе Р. Буля и К. Сегерберга . В ней приведена классификация этапов развития модальной логики -синтаксическая традиция, алгебраическая и теоретико-модельная. В той части работы, которая посвящена истории модальной логики, все эти направления достаточно подробно описаны. Проблема этапов развития модальной логики
Фейс Р. Модальная логика. Москва. 1974.
CresswellM. J., Hughes G E. An introduction to modal logic. Methuen. 1968.
CresswellM. J., Hughes G E. A new introduction to modal logic. London and New-York. 1996.
СлининЯ. А. Современная модальная логика. Санкт-Петербург. 1976.
6 Goldblatt R. Mathematical modal logic: a view of its evolution II Handbook of The History of
Logic. Vol. 7: Logic and Modalities in XX century. Amsterdam. 2006.
7 Bull R., Segerberg K. Basic modal logic //Handbook of philosophical logic. Vol. II: Extensions of
Classical Logic. Dordrecht. 1984.
затрагивается в статье А. В. Чагрова . Краткая история представлена в книге Ю. В. Ивлева9.
Цели и задачи исследования. Главная цель данной работы -исследование истории развития модальной алетической логики. Для достижения указанной цели сформулированы несколько задач:
-
разделение истории модальной логики на несколько основных этапов;
-
выявление в каждом из выделенных этапов различных направлений и подходов;
-
обособление и анализ отдельных исследований, направлений, ранее не в полной мере изученных.
Кратко поясним задачи. 1) Деление истории модальной логики опирается на идеи Буля и Сегерберга, а также Чагрова, которые выделяют три условных этапа: синтаксический, семантический и "продвинутый" (англ. advanced). 2) В каждом из этапов можно выделить программы исследований, которые предлагали разные логики: Льюис и Гедель, Леммонн и Тарский с Ионнсоном, Крипке и Хинтикка и т.д. 3) В недостаточной мере изучены (по крайней мере в отечественной логико-исторической литературе) работы X Макколла, исследования И. Е. Орлова, формирование семантики возможных миров, история развития квазиматричной логики.
Методологическая основа исследования. В процессе диссертационного исследования при решении поставленных задач использовались методы представления логических систем в виде исчислений и построения семантик, метод Хенкина. Также были задействованы методы и приемы, используемые при алгебраическом подходе.
Определение модальной логики (и алетической в частности) представляет собой некоторую сложность ввиду разнообразия подходов, а также множества ее ветвей развития. В модальных высказываниях содержится дополнительная оценочная информация относительно ситуаций или взаимосвязей между ними, или присущности признаков предметам10. Существуют несколько основных типов модальностей, т.е. терминов, посредством которых осуществляется
Чагров А. В. К вопросу об обратной математике модальной логики // Логические исследования. Вып. 8. Москва. 2001. Ивлев Ю. В. Модальная логика. Москва. 1991. Бочаров В.А., Маркин В.И. Введение в логику. Москва, 2008. С. 300
оценка, квалификация ситуаций, взаимосвязей между ними и присущности свойств и отношений предметам в модальных высказываниях. Например, выделяют алетические («необходимо», «возможно», «случайно», «невозможно» и др.), временные («было», «всегда будет» и др.), деонтические («обязательно», «запрещено» и др.), эпистемические («доказано», «опровергнуто» и др.) и другие модальности.
Алетические модальности оценивают некоторую ситуацию или связь признаков с предметами с точки зрения законов науки или природы. Их принято делить на логические и онтологические. Истинность высказываний с логическими модальностями устанавливается относительно некоторого множества логических законов, с онтологическими - относительно некоторых законов природы11.
В статье Чагрова дается два эквивалентных определения модальной логики12:
«модальной логикой является всякая совокупность модальных формул, содержащая некоторую минимальную совокупность, (например, это минимальная нормальная модальная логика К) и замкнутая относительно некоторого разумного набора правил вывода (в который обязательно входит правило подстановки и правило modus ponens, но по договоренности может быть, например, и правило Геделя)»;
«модальной логикой является всякая совокупность модальных формул, истинных в некотором классе обобщенных шкал» .
История модальной логики для удобства при группировке результатов была разделена на несколько этапов на основании той традиции, которая была главенствующей на определенной стадии развития: синтаксическая и семантическая соответственно.
Кроме этой периодизации мы разделим историю логики на два основных периода, которые условно назовем предыстория модальной логики и
11 Там же, С. 301
Чагров А. В. К вопросу об обратной математике модальной логики // Логические исследования. Вып. 8. Москва. 2001.
1 о
«Шкала» - русскоязычный термин, используемый в указанной статье, для обозначения фрейма.
современный этап. Переходными работами от одного этапа к другому являются исследования X. Макколла и К. Льюиса.
Научная новизна работы. Относительно некоторых этапов развития представлена более полная история алетической модальной логики. Например, при описании реляционной семантики введено исследование работ С. Кангера, в описании топологической интерпретации модальной логики - работы Танг Цао Чена и т.д. Описана и проанализирована эволюция теории модальностей X. Макколла, начиная с его самых первых работ в журнале Mind. Кроме того, впервые исследована история развития квазиматричной логики, начиная с идей Ханса Райхенбаха. Проведен сравнительный анализ квазиматричных систем Ивлева с модальной трехзначной логикой Лукасевича и «модализированной» версией трехзначной логики Клини.
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Установлено, что К. Льюис использовал идеи X. Макколла при создании своих систем модальной логики. В работах шотландского ученого были проанализированы разные виды импликаций и сформулирована связка, ставшая впоследствии известной как строгая импликация Льюиса. Помимо этого крупного достижения шотландский логик, скорее всего, впервые высказал идею об использовании методов алгебры применительно к логике, в которой содержатся модальности. Макколл одним из первых ввел их точные описания. В его работах используются несколько модальных операторов: необходимость, невозможность, переменность и другие. Таким образом, К. И. Льюис напрямую позаимствовал основные идеи для своих «классических» систем строгой импликации из научных изысканий Макколла.
-
Выявлено, что формирование квазиматричной логики начинается с работ X. Райхенбаха. Далее этот подход был развит Н. Решером. Он сформулировал квази-функциональный вариант трехзначной логики Лукасевича (назовем их для удобства L3quasi и L3 соответственно) путем обобщения определений логических связок L3. Примерно в это же самое время в работах Ивлева формируется квазиматричный подход в модальной логике. Система Ивлева Sr является модальным «расширением» L3quasi, следовательно, трехзначная модальная логика Лукасевича является фрагментом Sr. Проведен
сравнительный анализ системы Sr Ивлева и расширенными (модальными) версиями трехзначных логик Лукасевича и Клини.
3. В обзорной части работы, в результате исследования истории алетической модальной логики, включающей основные этапы в её развитии (Древняя Греция, Средневековье, исследования Лейбница, современная логика (синтаксический подход с интуитивной семантикой, алгебраический, теоретико-семантический), было также получено несколько результатов. К примеру, концепция возможных миров - не единственный вклад Лейбница в развитие модальной логики. Немецкий ученый дал точные определения операторам "необходимо" и "возможно", а также дал методологические пояснения, как следует трактовать необходимость. Согласно им, некоторые высказывания считаются необходимо истинными, если путем анализа входящих в них терминов можно показать, что мы приходим к тождеству. Анализ идей И. Е. Орлова показал, что задолго до К. Геделя была высказана идея модального расширения логики. Также русским логиком был сформулирован аналог правила Геделя, согласно которому оператор "доказуемо" можно поставить перед любой теоремой или аксиомой.
Научно-практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в систематическом подходе к рассмотрению истории развития модальной алетической логики. Материалы и выводы диссертационного исследования могут иметь практическое применение при разработке спецкурсов по модальной логике и истории логики.
Апробация работы. Полученные в ходе исследования результаты докладывались на ежегодной конференции преподавателей, аспирантов и сотрудников ТывГУ (Кызыл, 2008), на научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Кызыл, 2009), на XI Международной конференции «Современная логика: проблемы теории и истории» (заочно, Санкт-Петербург, 2010), ежегодной конференции преподавателей, аспирантов и сотрудников ТывГУ (Кызыл, 2011).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения и списка использованной литературы.
Исследование модальностей в Средние века
Исследования Аристотеля оказали большое влияние на концепции модальностей средневековья. В раннее средневековье основными работами по модальной логике стали переводы Боэция (с комментариями) аристотелевских работ «Категории» и «Об истолковании», а также его собственные работы; введение Порфирия к «Категориям». В XII веке к ним добавился анализ остальных работ аристотелевского «Органона»: «Первая Аналитика», «Топика» и «О софистических опровержениях» (перевод Боэция), «Вторая Аналитика» (в переводе James of Venice). В связи с этим выделяются два этапа: «старая» логика (раннее средневековье) и logica moderna (с XII века). Еще одной отличительной чертой «старой» логики является широкое распространение концепции Августина.
Боэций. Работы этого философа являются своего рода мостом между исследованиями модальностей в античности и в средневековье. Одно из главных сочинений по модальной логике - это трактат In Periherm.
Модальности «необходимо», «возможно» и «невозможно» получили временную интерпретацию. Необходимое - то, что будет всегда, невозможное - то, что не наступит никогда, возможное - то, что действительно хотя бы иногда. Здесь очевидна связь с аристотелевскими идеями. Боэций также использует еще одну модальную концепцию Стагирита - трактовка возможности как потенциальности.
Боэций также исследовал теорию диахронических модальностей перипатетиков. В основе этой концепции лежит тот факт, что необходимость некоторого события в определенный момент времени не значит то, что оно было и ранее всегда необходимым, т.е. существуют возможности, которые могут быть реализованы/не реализованы в определенные моменты времени в будущем. Боэций говорит о том, что некоторая возможность в будущем может быть не реализованной в тот момент времени, который в каком-то смысле изначально для нее «предполагался»; в этом случае она перестает быть возможностью.
Августин. Аристотелевская модальная логика пронизана философской проблематикой. Одна из отличительных черт средневековой модальной логики - тесная связь с теологией. Идеи Августина являются ярким примером подобного «сотрудничества».
В основе его концепции лежит идея об одновременном божественном творении первоначальных сущностей и тех, что имеют статус потенциальных в будущем. Августин считал, что множество возможностей (альтернатив) остались нереализованными, поскольку Бог не изъявил к этому волю. Данная идея стала весьма распространенной в раннее средневековье. Можно сказать, что так появилась концепция модальностей, основанная на одновременном наличии альтернативных возможностей. Это меняет античную онтологию для концепции модальностей: вместо одного необходимого мира теперь имеется бесконечное множество одновременных альтернатив.
Боэций дополнил теорию Августина интересными идеями в комментариях к аристотелевской работе «Об истолковании». Он говорит о том, что Бог - вне времени (atemporal): все факты истории (в том числе и будущие) представлены для него как целостное знание. Таким образом, высказывания о будущих случайных событиях оцениваются как истинные или ложные в соответствии с божественным знанием. Кнууттила указывает на важное условие, сформулированное Боэцием: если Бог знает, что р, тогда р имеет место. Другими словами, все то, о чем знает Бог, является необходимым. В связи с этим можно утверждать, что случайные события попросту невозможны. Однако это не означает, что всякое событие является необходимым. Фома Аквинский говорит о том, что все события необходимы относительно божественного всезнания, однако многие из них являются случайными относительно их непосредственных причин. Например, откровения формально являются высказываниями о будущих событиях. Их истинность можно установить лишь относительно вневременного божественного знания.
На основании идей Августина Петр Абеляр развил теорию божественных (divine) и естественных (natural) модальностей. Естественный порядок вещей был создан Богом. Некоторые события, которые происходят согласно естественному порядку, являются «естественно необходимыми» или «естественно невозможными». Гильберт Поррета (Gilbert of Poitiers) пояснил, что естественная необходимость 9 не является абсолютной, поскольку сам естественный порядок установлен Богом и, соответственно, может быть изменен.
Первая приписывает модальность предмету, вторая - лингвистической единице (предложению) [76, стр. 2]. Четкое разделение этих двух типов модальностей было проведено лишь спустя столетие после работ Абеляра Фомой Аквинским. Им же был введен собственно термин de dicto. «Модальное высказывание может быть de dicto или de re. Модальное высказывание de dicto - это такое высказывание, в котором предложение целиком является субъектом, а модальность -предикатом, как если бы мы сказали «Возможно, что Сократ бегал» (For Socrates to run is possible). В модальном высказывании de re модальность вставляется в предложение, как если бы мы сказали Сократ, возможно, бегал (For Socrates it is possible to run)» [Ibid].
Проблема de re / de dicto также обсуждалась в работах Петра Испанца, Уильяма Шервуда. Можно сказать, что она стала довольно распространенной темой для анализа в поздних средневековых исследованиях.
В анонимном трактате Dialectica Monacensis высказывания типа de dicto получили название (а) сложных или составных (англ., compound), высказывания с de re модальностями - (b) разделенных (англ., divided). Позднее разница между интерпретациями возможных высказываний была связана с демонстрацией аристотелевских ошибок, основанных на том, что не проводится четкое деление между de re и de dicto модальностями. Сама идея разделительных и соединительных высказываний была высказана Аристотелем.
Исследования Лейбница
Несмотря на все сказанное выше, было бы ошибочно полагать, что теория Макколла не имеет изъянов. В данном разделе было указано на некоторые из них. Тем не менее, общее направление его идей имело большое значение для преодоления ограниченности классической логики и дальнейшего становления и развития современной модальной логики.
Из всего сказанного выше видно, что основателю современной модальной логики К. И. Льюису не приходилось создавать свои системы с нуля. Большинство проблем были сформулированы и частично решены до него. Сам Льюис признал вклад Макколла:
«Сформулированное в книге X. Макколла «Символическая логика и ее применения» исчисление является совершенно иным по своему характеру [в отличие от классической двузначной логики - прим. авт.]. ... Результат - система высокой сложности, основные идеи и операции которой являют собой нечто вроде системы Строгой Импликации, которая будет описана в Главе V» [56, р. 108].
Люьис упоминает работы Макколла, включая статью 1980 года. В своей работе 1918 года [56] при формулировке первой системы строгой импликации американский логик полностью заимствует основные идеи у шотландца, указывая в качестве источника работу последнего «Символическая логика и ее приложения» [62]. Речь идет, прежде всего, об использовании модальных операторов, которых у Льюиса столько же, сколько и у Макколла - 5. Сюда же стоит отнести определение строгой импликации, которое также взято из [62].
В 1912 году Льюис, как и Макколл, указывает на парадоксы материальной импликации [54, р. 522]: «Развитие алгебры логики выявило две в некоторой степени неожиданные теоремы: (1) из ложного высказывания можно имплицировать любое, (2) истинное высказывание может быть имплицировано из любого».
Льюис подчеркивает, что эти закономерности ограничены и характерны только для алгебры, так как выражают некоторые аспекты значения импликации лишь в рамках алгебры. Поэтому их не стоит считать каким-то «огромным противоречием» [Ibid].
Под обычным смыслом выражения «а имплицирует Ь» Льюис предполагает то, что b может быть корректно выведено из а. В работе «Исчисление строгой импликации» (1914, [55]) Льюис предлагает два пути формулировки системы строгой импликации. Первый предполагает отказ от теорем, которые справедливы лишь при «материальной» интерпретации импликации, но не для «строгой». В результате получается система, удовлетворительная для обеих связок, но в этом случае она не будет полной ни для первого, ни для второго вида интерпретации импликации. Второй путь гораздо более продуктивен. Его суть заключается в построении новой системы строгой импликации по образцу системы Рассела-Уайтхеда, которая будет полной относительно строгой импликации. Далее была реализована именно вторая программа. Данный подход является принципиальным отличием теории Льюиса от теории Макколла.
Принимая выражение «а имплицирует Ь» в качестве синонима «не-а или Ь», Льюис различал два типа значений дизъюнкции: экстенсиональное и интенсиональное, обеспечивая, таким образом, два смысла термина «имплицировать». Экстенсиональная дизъюнкция есть логическая связка, выражаемая, как правило, в естественном языке союзом «или». Именно подобная трактовка этой связки делает материальную (или алгебраическую) импликацию фактически сокращением следующего высказывания: «неверно, что а - истинно и Ъ - ложно». Интенсиональная же дизъюнкция такова, что, по крайней мере, один из ее членов является истинным с необходимостью [Ibid]. Данная экспликация дает нам «обычную» импликацию, которую Льюис также называет «строгой». Это означает то, что «невозможно (или логически недопустимо, не доказуемо), что а - истинно, а Ъ - ложно»15.
Статья 1912 года, в основном, посвящена как раз анализу разницы между двумя типами дизъюнкции. 2.3. И. Е. Орлов
В конце 20-х годов прошлого столетия метод Геделя был в некотором смысле предвосхищен И. Е. Орловым. Скорее всего, первым, кто обратил внимание на возможную связь между логикой Орлова и модальной логикой, является Владимир Михайлович Попов. В своей работе [22] он говорит о том, что Иван Ефимович приводит «модальное расширение» системы, сформулированной в статье «Исчисление совместности предложений» [21]. Упоминание о связи системы Орлова с модальной логикой есть в [34] и [29]. В 1992 году вышла статья «Первая аксиоматизация релевантной логики», автором которой является Kosta Dosen [38]. Орлов в указанной работе представляется исследователем, который наряду с первой системой релевантной логики также сформулировал первый вариант S4.
Статья Орлова вышла на русском языке с небольшим резюме на французском. В настоящее время весьма подробно изучена релевантная система, представленная в работе. В частности можно отметить исследования Попова В. М., Чагрова А. В. и других. Кроме того, статья Орлова была отмечена в библиографии по символической логике А. Черча 1936 года. Что касается модальной логики Орлова, то здесь дела обстоят заметно хуже.
Практически в самом начале [21] говорится об особом преимуществе интуиционизма, которое заключается в использовании функций вида (пусть а будет некоторым простым высказыванием) «а доказуемо», «а абсурдно», «а достоверно известно», «абсурдно, что а абсурдно» и т.д.
Орлов указывает на факт несоответствия материальной импликации понятию «следования». Взамен обычного исчисления высказываний предлагается иная система. Набор аксиом (непосредственно из работы):
Хью Макколл
Истинностные определения оставшихся логических связок легко выводятся с помощью их определений на основе базовых связок.
Теперь можно ввести важные понятия выполнимой, истинной, общезначимой и универсально общезначимой формулы в рамках модальной логики: Формула А называется выполнимой в области D , если существует хотя бы одна модель А в D, в которой А истинна. Формула А называется истинной в модели (G,K) этой формулы А в области D, если G сопоставляет А значение Т. Формула А называется общезначимой в области D , если А истинна в каждой модели А в D. Формула А называется универсально общезначимой в области D, если А общезначима в каждой непустой области. Определение универсально общезначимой формулы является более общим по сравнению с L-истинными высказываниями Карнапа. Важное пояснение по возможным мирам: «для наших теперешних целей в каком-либо дальнейшем анализе представления о «возможном мире» нет никакой необходимости». Тем не менее, некоторая содержательная информация в этом понятии все-таки присутствует: «что же касается модальной логики, то здесь нас интересует не только действительный мир, но и другие мыслимые миры; некоторое высказывание Р может быть истинным в действительном мире, но ложным в некотором воображаемом; то же относится и к любому предикату P{pCi, ...,ХП). Поэтому-то мы и не ограничиваемся одной оценкой, а имеем дело с множеством оценок К, представляющих (кроме одной) не действительный мир, а мыслимые».
Действительный мир был обозначен G. Одним из важнейших понятий семантики Крипке является отношение достижимости между реальным, действительным миром и возможными, воображаемыми. В статье 1963 года [13] задается модальное исчисление высказываний с исходными связками &, -, . Нормальным называется такое модальное исчисление высказываний, если в нем содержатся в качестве теорем следующие схемы аксиом и правила вывода:
Модельная структура меняется. Теперь она называется нормальной модельной структурой. Она представляет собой упорядоченную тройку (G,K,R). G и К - это те же объекты, которые были определены двумя страницами выше в данной работе, однако меняется их смысловая нагрузка (это будет обсуждено немного ниже). Поясним отношение R. Как пишет Крипке: «интуитивно отношение R интерпретируется следующим образом: для данных двух миров HltH2 Є К, «H±RH2» читается как «Я2 возможен относительно Нг», «возможен в НІ» или «зависит от Нг»; это значит, что каждое высказывание, истинное в Н2, возможно в Нх . Таким образом, от «абсолютного» понятия возможного мира в [Крипке, 1959] (каждый мир там был возможен относительно любого другого) мы переходим к относительному понятию: один мир является теперь возможным относительного некоторого другого».
Отношение R является рефлексивным. Если R транзитивно, то нормальная модельная структура является 84-модельной структурой. Если R симметрично, то мы имеем дело с брауэровой структурой. При рефлексивном R мы получаем SS-модельную структуру.
Наконец, мы можем пояснить разницу между элементами G и К в нормальной модельной структуре и в соответствующей рассмотренной выше конструкции. Разница заключается в том, что теперь Крипке вводит понятие «модели формулы А из некоторой системы». Это двухместная функция Ф(Р,Н), первая переменная Р которой пробегает множество атомарных подформул А, а вторая переменная пробегает элементы К. Эта функция является оценкой формулы А из некоторой системы. Ранее, когда не была введена функция Ф, каждый из возможных миров был, по сути, сам по себе функцией, приписывающей истинностное значение формуле А. Согласно этому, как пишет Крипке, «миры» и полные приписывания истинностных значений идентичны: различным мирам соответствовали различные полные приписывания. Это означает, что нельзя найти два различных мира, в которых каждой формуле приписано одно и то же истинностное значение. Теперь задается произвольное непустое множество К возможных миров, выделенный действительный мир G и функция Ф(Р,Н), которая приписывает каждому высказыванию Р некоторое истинностное значение в мире Н.
Теоретико-модельная семантика
В 2008 году вышла статья «Недетерминированные семантики для логических систем» [30]. В ней представлены n-матрицы - особые обобщения обычных трехзначных матриц. Выбор значений для формул осуществляется из некоторого непустого множества значений. Недетерминированными они являются потому, что истинностное значение некоторой формулы не зависит однозначно от истинностных значений ее подформул (в отличие от "стандартной" логики), т.е. вместо функций вводятся квазифункции (в терминологии Решера и Ивлева). Если рассматривать методологическую составляющую, то данное свойство, согласно мнению авторов, продиктовано тем, что данные объективного мира не являются полными.
N-матрица представляет собой упорядоченную тройку V, D, 0 , где V есть непустое множество истинностных значений, D - множество выделенных значений (подмножество V), О - есть множество функций приписывания истинностных значений формулам: V — 2 . Т.е. N-матрица -это квазиматрица в терминологии Ивлева Ю.В. Логика Ивлева называется квазиматричной или недетерминированной. В рассматриваемой статье она названа нон-детерминированной. Заметим, что некоторые логики, работающие в области нон-детерминированой логики, явно ссылаются на Ивлева. Так, в материалах конгресса по универсальной логике после тезисов Арнона Аврона опубликованы тезисы Luis Farinas del Cerro и Newton Peron [61], где излагается преобразование логики Ивлева Sa+ в шестизначную нон-детерминистскую логику.
Основные идеи данных работ можно легко связать с рассмотренными выше системами. Начиная с Райхенбаха, одной из основных идей развития квазиматричной логики является анализ данных реального мира (квантовая физика у Райхенбаха, фактические модальности Ивлева и т.д.). Доказательство теоремы о полноте для L3mod и K3mod показывает, что система Ивлева является расширением - последних. Отметим, что N-матрицы построены именно как расширение многозначных матриц.
В диссертационной работе выделены и проанализированы с историко-научной точки зрения основные этапы развития модальной логики. Были рассмотрены главные результаты и методологические основы разных подходов. Помимо общего обзора истории развития модальной логики были исследованы конкретные теории.
Исследования X. Макколла сыграли ключевую роль в формировании модальной логики в XX веке. Анализ первых работ в журнале Mind показал, что шотландский логик во многом предвосхитил идеи К. Льюиса. Им были впервые подробно исследованы разные модальные операторы, сформулирована "строгая импликация". Макколл отстаивал право модальной логики на существование, полемизируя с самыми выдающимися логиками его времени - Расселлом и Фреге. Дальнейшая история развития показала, что он был, несомненно, прав, рассматривая модальную логику как одно из полноценных направлений.
В связи с развитием так называемых нормальных модальных логик весьма интересными являются исследования И. Е. Орлова. Он строит свое исчисление с операторами "доказуемо, что а/доказуемо, что а - ложно", формулируя при этом более слабый вариант правила Геделя, другими словами, в системе Орлова правило Геделя можно использовать для аксиом и формул, выведенных из них по modus ponens. В целом, анализ его идей показал, что общая идея модального расширения логических систем была высказана уже в работах русского логика.
Наибольший акцент в работе сделан на развитие квазиматричной логики. Оригинальные идеи Ю. В. Ивлева имеют долгую предысторию, которая тесно связана с развитием многозначной логики. В нашем исследовании указано на то, что X. Райхенбах первым предложил особую связку (квази-импликация), благодаря которой появилась возможность оценивать высказывания, которые могут менять свое истинностное значение в зависимости от данных внешнего мира. Его идеи были развиты Н. Решером, который предложил оригинальные исчисления. Независимо от них концепцию квазиматричной модальной логики выдвинул Ю. В. Ивлев. В его работах были представлены точные определения, предложена оригинальная семантика, доказаны важные метатеоремы. Разработки Ивлева используются в современных исследованиях под общим названием недетерминированные логики. Недетерминированность - та идея, которая служит общим мотивом для всех упомянутых выше в связи с развитием квазиматричной логики исследователей.
Помимо уже перечисленых результатов, в работе приведены обобщенные обзоры основных этапов развития модальной логики. В каждом из них выделены и представлены основные достижения разных направлений. Обзорная часть работы является неотъемлемой частью любого исторического исследования.
В будущих исследованиях отдельно стоит выделить вклад отечественных логиков в развитие модальной логики. Причем, как показывает наше исследование, свою лепту российские исследователи вносили на разных этапах, не только на современном. Таким образом, работы отечественных ученых являются темой для отдельного исследования.
История модальной логики, разумеется, не заканчивается на тех исследованиях, что представлены в рамках данной работы. Дальнейшая эволюция ставит перед историком логики новые задачи по выявлению тенденций и перспектив развития, описанию, анализу и сравнению новых систем. Современная модальная логика поражает многообразием внутренних направлений, каждое из которых заслуживает отдельного исследования.
