Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор предметной области исследования 7
1.1 Теория экономических индексов 7
1.2 Теория образования валютных курсов 17
2 Инвариантные индексы меновой ценности 28
2.1 Простая модель обмена. инвариантные индексы меновой ценности 29
2.2 Синтез инвариантных индексов меновой ценности 44
2.2.1 Интерпретация понятия транзитивности. Меры нетранзитивности реального рынка .. 45
2.2.2 Синтез инвариантных индексов меновой ценности при нетранзитивной матрице обмена 54
2.2.3 Синтез инвариантных индексов меновой ценности в условиях неполноты информации о рынке 62
2.2.4 Проблема агрегирования (сжатия) информации о различных состояниях рынка. 64
2.3 К обоснованию функционального вида инвариантного индекса меновой ценности. аксиоматические построения 66
2.3.1 Свойство мультипликативности 67
2.3.2 Существование «эталонного товара» 68
3 Обзор приложений инвариантных индексов меновой ценности к анализу валютных курсов 78
3.1 Построение относительно стабильных «счетных единиц» 78
3.1.1 Постановка №1 81
3.1.2 Постановка №2. 84
3.1.3 Постановка №3 86
3.1.4 Примеры реализации: пересмотр структуры валютной корзины специальных прав заимствования (SDR), индексы товарного рынка 92
3.1.5 Пример реализации: к вопросу о построении мировой валюты 97
3.2 Построение «синтетической» валюты 102
3.3 Статистический анализ обменного курса и покупательной способности валют 108
3.4 Измерение степени нетранзитивности (арбитражной привлекательности) реальных рынков 118
3.5 Использование агрегированной валюты минимального риска в модели сарм 121
3.6 К вопросу об оптимизации структуры валютного портфеля 123
Заключение 127
Указатель литературы. 129
Приложение 1. интегральное уравнение типа шоке-дени (choquet-deny). 146
Приложение 2. товары, составляющие non-fuel commodities index (imf)... 148
- Теория образования валютных курсов
- Интерпретация понятия транзитивности. Меры нетранзитивности реального рынка
- Свойство мультипликативности
- Примеры реализации: пересмотр структуры валютной корзины специальных прав заимствования (SDR), индексы товарного рынка
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Эффективная работа современных международных рынков, на которых обмениваются экономические блага различной природы (товары, услуги, ценные бумаги, валюты и т.д.), предполагает возможность измерения меновой ценности этих благ в единицах некоторой базовой валюты. Однако, такая зависимость численного значения меновой ценности (проще говоря, цены) данного товара и производных от него финансовых показателей (корзин, портфелей, производных финансовых инструментов и т.п.) от базовой валюты вызывает массу неудобств, вносит неопределенность в проблему выбора рациональных действий субъектом финансово-экономической деятельности и ведет к снижению практической ценности тех моделей, выводы которых оказываются неустойчивыми к выбору валюты-номинатора.
Например, от выбора базовой валюты в значительной мере (вплоть до изменения знака) зависят доходности отдельных активов (а, следовательно, и доходности составленных из них портфелей), корреляции обменных курсов валют и т.п. Поэтому смена базовой валюты может вызвать существенные (вплоть до противоположных) изменения в оценке деятельности транснациональных корпораций [199], в рекомендациях по оптимальному формированию структуры портфеля ценных бумаг [29,255] и другие.
Известный подход к решению данной проблемы заключаться в выработке правил принятия решений (например, системы предпочтений лица, принимающего решение), независящих от выбора единиц измерения денежного выигрыша и валюты-номинатора. Такие исследования проводились рядом авторов в рамках теории полезности Неймана-Моргенштерна [103, 139, 228, 254], и, в близкой постановке, в теории измерений (в частности, квалиметрии) [43, 84,280] и теории физического подобия [3, 12,70, 85,206], важной составляющей предмета которых является поиск такой совокупности функциональных зависимостей между переменными, которая обеспечила бы независимость изучаемых законов от выбора масштаба измерения. Определенным недостатком указанного подхода является узость класса получаемых решений (так, например, единственная система предпочтений, удовлетворяющая перечисленным свойствам, характеризуется логарифмически-степенными функциями полезности [228, 254] - Constant Relative Risk Aversion Utility Functions, CRRA [227]), не способного охватить весь спектр возникающих практических задач [166], что оставляет рассматриваемую проблему актуальной и в настоящее время.
Цель работы и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка системы экономико-математических методов построения валютных индексов, применение которых позволяет избежать последствий указанной проблемы неустойчивости выводов некоторых динамических моделей, порождаемой зависимостью используемых в них оценок стоимости финансовых активов от выбора базовой (номинируемой) валюты.
Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:
• развитие основных положений так называемой «простой модели обмена» {Simple Exchange Model,. SIMEX) как методологической основы проводимого исследования;
• определение и обоснование, использования инвариантных индексов меновой ценности, независящих от выбора валюты-номинатора;
• исследование практических вопросов применения введенных инвариантных индексов для хеджирования валютных рисков.
В качестве объекта исследования принята объективно обусловленная динамика значений меновой ценности (измеряемой, например, ценою по отношению к некоторому денежному товару) товаров/валют и производных от них финансовых показателей (корзин, портфелей, финансовых деривативов и т.п.).
Предметом исследования являются экономико-математические модели и методы построения индексов меновой ценности товаров/валют, инвариантных относительно выбора базовой валюты, и их возможные приложения (преимущественно на валютном и фондовом рынках).
Методы исследования. Для решения поставленных в работе задач используются методы теории экономических индексов [4, 10, 24, 26, 90, 94, 120, 149, 151, 157, 190, 229, 273, 285, 286], элементы теории измерений и физического подобия [3, 12, 52, 70, 75, 84, 85,206,248] и теории парных сравнений [21,55,100, 118,156,160,183,256,274, 291]. Теоретической и информационной основой работы послужили так называемая «простая модель обмена» {Simple Exchange Model,,SIMEX) [72-74], теоретические и эмпирические исследования российских и зарубежных учёных в области экономико-математического моделирования валютного курсообразования [56, 69, 159, 173, 230, 236, 238, 247, 271], построения «коллективных» и «мировых денег» [17, 25, 79, 81, 121, 143, 184,226], теории экономических индексов [26, 149, 151, 157,229,273,285,286]. Научная новизна исследования и его наиболее существенные результаты заключаются в следующем:
1. На основе проведенного литературного обзора предметной области исследования (теории экономических индексов (раздел 1.1, с. 7-17) и моделей образования валютных курсов (раздел 1.2, с. 17-27)) и основываясь на выводах «простой модели обмена» (раздел 2.1, с. 29-38), получено аксиоматическое обоснование функционального вида инвариантного индекса меновой ценности товара/валюты (разделы 2.1, с. 38 43; 2.3, с. 66-74).
2. Разработаны методики синтеза инвариантных индексов меновой ценности (раздел 2.2, с. 54-66) при нетранзитивной матрице обмена/кросс-курсов (пункт 2.2.2, с. 54-62) и в условиях неполноты информации о рынке (пункт 2.2.3, с. 62-64), а также проблема агрегирования (сжатия) исходной информации (по различным рынкам и/или моментам времени) (пункт 2.2.4, с. 64-66). Предложены эффективные методы их решения.
3. Предложена методика построения относительно стабильных «счетных единиц» (numeraire), обладающих минимальной изменчивостью (вариацией) на фиксированном рынке товаров/валют и промежутке времени (раздел 3.1, с. 78-102). С единых позиций получена интерпретация сложных (составных) валют, таких как SDR (Special Drawing Rights - специальные права заимствования), ECU (European Currency Unit) и ряда других.
4. Осуществлена практическая реализация предложенной методики для конкретных рынков товаров (Beef, Oil, Rice, Steel, Wheat) и валют (EUR, JPY, USD; GBP) на различных временных горизонтах (1993-1999, 2000, 2002, 2003 гг.) (пункт 3.1.4, с. 92-97). Полученные результаты продемонстрировали эффективность ее применения по сравнению с существующими составными валютами (в частности, SDR), что позволяет рассматривать применение построенных индексов в сфере хеджирования рыночного и валютного рисков. Рассмотрен вопрос приложения полученных результатов к построению «мировой валюты» (пункт 3.1.5, с. 97-102). Сравнительный анализ построенных индексов с аналогичными проектами зарубежных экономистов (в условиях ex ante и ex post) продемонстрировал конкурентоспособность данного подхода.
Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано несколько научных работ [28,29,58-62,191-196], среди них в соавторстве - [28,29,191-196]. Практическое значение исследования представлено:
• возможностью численной оценки степени («меновой») арбитражной привлекательности (валютных) рынков (пункт 2.2.1, с. 47-49; раздел 3.4, с. 118-121) и формализацией задачи нахождения цепочки обмена товаров/валют, приносящей наибольшую среднюю норму доходности (пункт 2.2.1, с. 47-49).
• методикой построения относительно стабильных «счетных единиц», обладающих минимальной изменчивостью (вариацией) на фиксированном рынке товаров/валют и промежутке времени (раздел 3.1, с. 78—102), и возможностью их приложения к построению («коллективной») «мировой валюты» (пункт 3.1.5, с. 97-102);
• методикой построения синтетического эквивалента - корзины валют, наилучшим образом имитирующей (повторяющей) динамику некоторой реальной валюты (раздел 3.2, с. 102-108), но не содержащей ее;
• сравнительным статистическим анализом обменного курса и покупательной способности валют, позволяющим, в частности, протестировать, одну из основополагающих гипотез формировании валютного курса - «паритета покупательной способности» (раздел 3.3, с. 108-118);
• возможностью использования введенных инвариантных индексов меновой ценности в экономико-математических моделях принятия решений на фондовом и валютном рынках; доводы подкреплены конкретными примерами их применения в классической модели ценообразования на финансовые активы (САРМ) (раздел 3.5, с. 121-123) и модели выбора оптимальной структуры валютного портфеля (раздел 3.6, с. 123-126).
Основные практические результаты исследования апробированы на конференциях [29, 59,192, 194,196] и научных школах [191, 195].
Структура и объем работы. Диссертация, объемом 148 машинописных страниц, состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Указатель использованных источников литературы содержит 293 наименования. Основной текст содержит 14 таблиц и И рисунков. Структура работы обусловлена целью и задачами исследования.
Теория образования валютных курсов
Хотя впервые термин «ППС» появился в работах шведского экономиста Густава Касселя [115], общая идея принципа высказывались еще Давидом Рикардо (подробнее см. [247, с. 34]). Известно множество формулировок данной теории, среди наиболее известных -абсолютная, относительная, «ожидаемая» [252], «инфляционная» [218] формы ППС. Однако большинство из них в той или иной форме утверждает, что в долгосрочной перспективе валютные курсы корректируются относительно паритета покупательной способности (отношения между двумя или несколькими валютами, устанавливаемое по их покупательной способности применительно к определенному набору товаров и услуг). Данный принцип является «мягкой» формулировкой (распространенной на общий индекс цен) так называемого «закона одной цены», согласно которому= отношение цен любого товара в различных валютах должно совпадать с соответствующим валютным курсом. Так, согласно одной из исторически первых и наиболее строгих версий принципа — абсолютной форме паритета покупательной способности, - для кросс-курса: ER{Xl2)(t) (валюты 1 по отношению к валюте 2 в момент времени /) должно быть справедливым равенство 2Іл0)(о ,(0 ERm (0 = - =! ,9 (17) Х ,(2)( ) 7,(0 1=1 где pf\t), р}2)(0 - цены товаров в соответствующих валютах, а множество индексов {1,...,я} образует некоторую «репрезентативную» корзину товаров G. В качестве таковой чаще других фигурируют множества товаров, лежащие в основе расчета ВНП, ВВП, стоимости потребительской корзины, индекса инфляции или некоторый конкретный товар . 9 Интересно отметить совпадение выражения (17) с функциональным видом простейшего индекса (1). Последнее позволяет интерпретировать (17) как измеритель (индекс) среднего обменного курса валюты 1 по отношению к валюте 2. 10 Например, английский журнал «The Economist» [141] для расчета оценок паритета покупательных способностей использует в качестве базовой корзины единственный товар - хорошо известный любителям «быстрой еды» The MacDonald s Big Mac, мотивируя это тем, что данный бутерброд продается во многих странах мира и сам является репрезентативной корзиной товаров - его ингредиентов. Множество версий и формулировок ППС рассмотрено в работах Дорнбуша [134], Леви [217], Левина [218], Макдональда [219], Офисера [237], Рогова [251], Ролла [252]. С данным принципом непосредственно связаны теории паритета ставки процента (covered and uncovered interest rate parity) [150; 165; 217; 245, с 353, 361], гипотеза несмещенности (рациональности) ожиданий валютного курса (unbiasedness hypothesis) [154], гипотеза Фишера {Fisher open (economy) hypothesis) [61 , 123, 158] и другие [164, 173].
«Побочным фактором» отказа от Бреттон-Вудской валютной системы (в 1973-1976 годах) и перехода от фиксированных — к плавающим валютным курсам явилось то, что мировой валютный рынок испытывал (вплоть до начала 1990-х годов) постоянно повторяющиеся потрясения. Последние, в свою очередь, стимулировали развитие исследований, направленных на выявление курсообразующих факторов и построение новых (согласующихся с практикой) моделей обменного курса.
Важной вехой в развитии теории курсообразования явилось появление ряда глобальных макроэкономических моделей - простейшей кейнсианской модели [205], ее дальнейшего развития - модели IS-LM [187], AD-AS [253] и непосредственно связанных с ними моделей курсообразования: Манделла [230] - Флеминга [159], Блэка [106], Ньюмана [234], Френкеля [163], Муссы [233] и других [56].
Рассмотрим здесь подробнее ставшую к настоящему времени хрестоматийной модель Манделла-Флеминга, являющуюся обобщением краткосрочной модели IS-LM на случай малой открытой экономики. «Малость» экономики в текущем контексте означает, что национальная экономика воспринимает как данность процентную ставку г , установившуюся во внешнем мире. Модель рассматривает совместное равновесие на товарном и денежном рынках на фоне предполагаемого постоянным предложения денежных остатков М/Р. Номинальный обменный курс е в этой модели выступает своеобразным «вентилем», регулирующим потоки товаров и услуг с внешнем миром для достижения равновесия на всех трех рынках: товаров и услуг, денег, капиталов.
Множество равновесных состояний рынка товаров описывается кривой IS (Investment — Savings), задаваемой неявной функцией равновесного объема выпуска Y(r) от внутренней ставки процента г: Y = C(Y) + I(r) + G+NX(e), (18) где C(Y) - потребление как функция от располагаемого дохода Y ,Т -размер взимаемых налогов, 1(г) - инвестиционный спрос, G — объем государственных закупок, NX(e) - чистый экспорт (сальдо счета текущих операций) как функция от номинального обменного курса е.п Равновесие на рынке денег описывается кривой LM (Liquidity - Money), задаваемой неявной функцией ставки процента r(Y) от выпуска Y: m(Y,r) = M/P, (19) где m(Y,r) и М/Р, соответственно, спрос и предложение реальных денежных остатков, М — объем денег в обращении, Р - сложившийся уровень цен. Наконец, равновесие на рынке капиталов для малой открытой экономики сводится к постулированию равенства г = гЛ (20) При естественных (феноменологических) предположениях относительно свойств функций C(Y), I(r), NX(е), m(Y,r) с помощью данной модели удается получить ряд интересных выводов относительно устойчивости равновесного состояния модели (Y ,r ,e ) и эффективности применения некоторых инструментов монетарной (денежно-кредитной) и фискальной (бюджетно-налоговой) политик государства [56, 57, 253]. Будучи построенной еще до обрушения Бреттон-Вудской системы, модель Манделла-Флеминга тем не менее является признанной формулировкой «поточного подхода» к построению теории обменного курса и служит методологической основой множества дальнейших макроэкономических исследований.
Интерпретация понятия транзитивности. Меры нетранзитивности реального рынка
Как отмечалось в предыдущем разделе, для существования оценочной функции Val(q[u]) рассматриваемая матрица обмена С должна удовлетворять свойству транзитивности (то есть для любых трех товаров g„gj,gk є G должно выполняться соотношение c(i,j)-c(j,k) = c(i,k)). Из определения транзитивности в частности следует, что транзакционные издержки на рассматриваемом рынке товаров могут носить лишь мультипликативно-транзитивный характер. Их допустимость следует из транзитивности матрицы CT = (c(i,j) t(i,j)) для транзитивных матриц обмена С = (с(/,У)) и транзакционных издержек Т = (/(i, j)). Очевидно, что многие операции на реальных рынках не всегда удовлетворяют данным условиям, и, следовательно, соответствующие этим рынкам матрицы обмена — нетранзитивны. Природа этой нетранзитивности может носить, вообще говоря, различный характер - это следствие округления элементов с(/,у), наличие нетранзитивных посреднических операций, транзакционных издержек, асимметричность распределения информации между участниками рынка и т.п.
Указанная взаимосвязь между отсутствием (нетранзитивных и немультипликативных) транзакционных издержек и транзитивностью соответствующей матрицы обмена С дает возможность оценить степень арбитражной привлекательности реального рынка, ибо, чем больше отклонение наблюдаемой матрицы обмена от соответствующей транзитивной, тем шире возможности получения арбитражной прибыли (см., например, [40, с. 115]).
Действительно, если на некотором простом рынке М ={G,U,C) существует набор из трех товаров gi,gj,gk&G, для которых имеет место соотношение c(i,j)-c(j,k) с(і,к), то может быть осуществлена следующая арбитражная операция. Получив от клиента заявку на обмен определенного количества товара g( на товар gk, посредник производит последовательный обмен товара g, на gjf a gj на .Продав при этом клиенту товар gk по заявленному рыночному курсу c{i,k), выигрыш посредника (в терминах товара gk ) с единицы товара gt составит с(/, у) c(j, к) - c(i, к).
Не умаляя общности, можно считать t0 = 1. Если же на рынке имеет место обратное соотношение c(i,j) c(J,k) c(i,k), то арбитражная операция посредника может заключаться в следующем. Получив от клиентов А и В заявки на обмен товара g,.nsi-gj и товара g} на соответственно, осуществить прямой обмен полученного от клиента А товара gt на gk. Произведя, продажу товаров по формальным обменным курсам c(i,j), c{j,k), выигрыш посредника с единицы товара g( составит c(i,k) - c(i,j) c(j,k).
Проведенные рассуждения позволяют заключить, что множество безарбитражных (в понимаемом выше смысле) состояний простого рынка М полностью характеризуется множеством положительных транзитивных матриц обмена Т"ХЛ.
Заметим, что требование транзитивности (или «меновой безарбитражности») (37) остается определяющим и при более общем, чем линейный (32), подходе к характеризации индекса меновой ценности Val(q[u]). Напомним, что существенным при выводе основных результатов раздела 2.1, с. 29-44 являлось так называемое «предположение Аристотеля» (29), постулирующее (в вербальной форме) существование показателя (индекса) меновой ценности Val(q[u]). Оказывается, что существование показателя (индекса) меновой ценности Val{q) может быть выведено из требования «меновой безарбитражности» и при существенно более общих предположениях о характере обмена на простом рынке М =(G,U,C), что делает выводы простой модели обмена устойчивыми к изменению некоторых начальных предпосылок.
Так, рассмотрим (в качестве обобщения операций, проводимых на простом рынке М = (G,U,C)) матричную функцию C(q) = (c(qi[ui],qj[uJ])), i,j = \,...,n от количеств товаров (7і[мі] — 7„14,] в которой на пересечении і-ой строки и У-ого столбца стоит элемент c(qi[ui],qj[uJ]) 0, интерпретируемый как относительная цена (курс) #,.[ы(.] единиц товара gt, выраженная в я,[иу.] единицах товара gj. В соответствии с приведенной выше интерпретацией будем говорить, что на рынке M(q) = (G, U, C(q)) невозможен меновой арбитраж:, если для любой тройки товаров gi,gj,gk eG, взятых в количествах 7,-[и(-], #,[«,], ? [" ] справедливо соотношение транзитивности: с№,],?Д"у])-с(?Д",],? [" ]) = c(q,[u,],qt[uk]).. (58) Условия, при которых на рынке M(q) = (G,U,C(q)) невозможен меновой арбитраж, конкретизированы в следующей абстрактной версии Утверждения 1: Утверждение 1 (абстрактная версия). Необходимым и достаточным условием отсутствия «менового арбитража» (58) на рынке M{q) = (G,U,C(q)) является существование такой (не обращающейся в нуль при 0) функции Val{q[u\), что при всех #,[",], #,-[«;] 0, i,j є {і,...,и} для относительной цены cfailu qjlUj]) справедливо представление Val(qj[uj]) При этом (вслед за соотношением (36)) функцию Val(q[u]) естественно ассоциировать с меновой ценностью q[u] единиц рассматриваемого товара, а для матричной функции C(q) справедливы аналоги свойств (38)—(41). Более того, из соотношения (59) следует и предположение Аристотеля (29): #Ди,] единиц товара g, обменивается на q}\uj\ единиц товара gj (то есть c(qi[ui],qj[uj]) = \) тогда и только тогда, когда Га/( [м,]) = Val(qj[Uj]). Наконец, в полном соответствии с соотношением (42), определенный таким образом показатель меновой ценности Val(q[u]) единственен с точностью до изменения масштаба измерения (то есть измеряется по шкале отношений). (Доказательство необходимости Утверждения сводится к демонстрации того, что (59) является общим решением функционального уравнения (58) [38", с. 700], УС доказательство достаточности - очевидно). 33 Отметим, что при таком подходе введение показателя меновой ценности Val(q[u]) и получение точного выражения для него укладывается в общую схему теории физических структур ранга (2, 2) (см., например, Кулаков Ю.И. Теория физических структур. Новосибирск, 2003. с. 109-112, 268-269). При этом, в соответствующей терминологии, выражение (58) интерпретируется как требование Выявленная выше тесная связь между понятием нетранзитивности матрицы обмена С и возможностью извлечения арбитражной прибыли из простого рынка М позволяет поставить следующую задачу, имеющую очевидные практические приложения. Рассмотрим простой рынок М = (G,U,C) С нетранзитивной матрицей обмена С; требуется определить последовательность (цепочку) /, —»/2 — ... обменов товаров g,,gli,...eG рынка М, приносящую наибольшую среднюю норму доходности. Поскольку искомую оптимальную последовательность обменов, не умаляя общности, можно считать цикличной с некоторым периодом (длиной цикла) т (/и л), рассмотрим задачу:
Свойство мультипликативности
Назовем вектор NVal(C) = (NVal(\;C),...,NVal(n;CJ) инвариантным мультипликативным индексом меновой ценности, если он обладает следующими свойствами: Инвариантность относительно выбора эталонного товара. Ранее (в разделе 2.1, с. 40) было показано, что любой вектор меновых ценностей, инвариантный относительно выбора эталонного товара представим в виде (46). Мультипликативность. Рассмотрим две транзитивные матрицы обмена C = (c(i,j)), i,j = l,...,n и A = (a(i,j)), i,j = \,...,n одной размерности (и). Определим операцию Л о С = (cc(i,j) c(i,j)), i,j = \,...,п, которая может быть интерпретирована как переход от существующих единиц измерения количеств товаров [и, ],..., [и„] к единицам [и, ],...,[и ], связанным со старыми соотношениями [«, ] = а,[и,], / = 1,...,я, где а = (а1,...,ап) (произвольный) вектор меновых стоимостей матрицы Л. Нетрудно убедиться, что полученная таким образом матрица Л о С также транзитивна с меновыми стоимостями, пропорциональными вектору, получаемому попарным произведением соответствующих элементов векторов меновых стоимостей матриц Л и с. Будем говорить, что функциональная форма вектора нормированных меновых стоимостей NVal(C) удовлетворяет свойству мультипликативности, если для любых транзитивных матриц С и Л справедливо тождество NVal(A о С) = NVal(A) о NVal{C), то есть нормированная меновая стоимость, определенная по матрице Л С, получается попарным произведением нормированных меновых стоимостей, определенных по матрицам С и Л. Иными словами, предполагается мультипликативное изменение индекса меновой ценности при смене единиц измерения U. Нетрудно убедиться, что в этом случае деноминатор AQ В соотношении (46) должен удовлетворять тождеству: А(а(1,» с(1,0,...,а(и,0 с(и,і))= А(а(1,0,...,а(п,і)) А(с(1,і),...,с(п,і)). (91) Определенность и непрерывность вектор-функции NVal(C). Экономическая интерпретация требования непрерывности очевидна: незначительное изменение элементов матрицы обмена C = (c(i,j)) не должно приводить к существенным изменениям рассчитываемых по ней нормированных меновых стоимостей. Равноправность компонент вектора NVal(C). Иными словами, деноминатор А(с(1,/),...,с(л,/)) предполагается симметричным по аргументам с(1,/),...,с(и,/). Справедливо следующее Утверждение 5. Единственная функциональная форма инвариантного мультипликативного индекса меновой ценности, - геометрическое среднее (54).51 Доказательство. Общее непрерывное решение функционального уравнения Коши (91) (помимо тривиального AQ = 0) имеет вид [83,213]: A(c(l,i) ф,0) = Пс(МГ (92) где, в силу линейной однородности и симметричности AQ, wk =1/п, к = I,...,п.и 2.3.2 Существование «эталонного товара» В разделе 2.1, с. 41 упоминалось о возможной интерпретации деноминатора A(c(l,j),...,c(n,j)) в (46) как меновой ценности некоторого «эталонного («общерыночного») товара» соответствующего простого рынка М = (G,U,C), индекс меновой ценности которого (в силу нормировочного соотношения (48)) предполагается тождественно равным единице. Оказывается, что предположение о существовании такого «общерыночного эталонного товара» в общем случае - нетранзитивных матриц обмена - является достаточно сильным, сужая допустимый функциональный вид инвариантного показателя меновой ценности до некоторого небольшого семейства. В настоящем разделе приведено несколько характеризаций инвариантного индекса меновой ценности для нетранзитивной матрицы обмена, удовлетворяющего нормировочному условию (48). Нам понадобится следующее вспомогательное Утверждение 6. Введем отображение NVal(C) :S"X" - R", сопоставляющее обратносимметричной матрице обмена С приближение вектора нормированных меновых ценностей NValA(i;C), / = 1,...,п и предположим, что (і) для транзитивной матрицы обмена Т є Т"хл вектор NVal(T) позволяет представить элементы матрицы Т в виде отношений (36) и удовлетворяет нормировочному соотношению (48) с некоторой линейно-однородной функцией А(-), (ii) для произвольной обратносимметричной матрицы CeS"x" j-гя компонента NVal(j;C) вектора NVal(C) зависит только от элементов с(1, J),...,с(п, j) (или c(j,l),...,c(j,n)), тогда для всякой обратносимметричной матрицы С є S"x" справедливо NVal(j;Q = А(с(1,у),...,ф,у))-1, у = 1 п. (93) Доказательство. Утверждение является незначительным обобщением результатов, полученных в [100], и очевидным образом следует из того, что при выполнении условия (ІІ) справедливо равенство NVal(j;C) = NVal(j;T), где транзитивная матрица T = (t(i,k)) образована вектором с(1,_/),...,с(и,У) по правилу: t(j,k) = c(i,j)/c(k,j), і,к = \,...,п. В свою очередь, нормировочное условие (48) совместно с требованием линейной однородности функции AQ однозначно определяет NVal(C) в виде (93).и В то время как структура семейства инвариантных индексов меновой ценности, удовлетворяющих в транзитивном случае (і) нормировочному соотношению (48), достаточно богата (см. (50), (93)), попытка распространения указанного свойства 51 Близкие характеризаций даны в работах [94, 146]. (нормировки (48)) на случай обратносимметричных матриц обмена С сужает класс допустимых нормированных меновых ценностей до единственного функционального вида — мультипликативного:
Примеры реализации: пересмотр структуры валютной корзины специальных прав заимствования (SDR), индексы товарного рынка
Проиллюстрируем изложенный в разделе 3.1.1 (Постановка №1, с. 81-84) метод построения относительно стабильной агрегированной валюты (SAC) на примере агрегации пяти простых валют, составляющих счетную единицу SDR (Special Drawing Rights - специальные права заимствования) Международного Валютного Фонда (МВФ): немецкой марки (DEM), французского франка (FRF), английского фунта стерлингов (GBP), японской иены (JPY), доллара США (USD). Приводимые ниже расчеты опираются на данные Международного Валютного Фонда [200] за январь 1993 г. - декабрь 1999 г. о средних (среднеарифметических) значениях курсов указанных валют за соответствующие месяцы (/ = 1,...,Г = 84 ). Найденные оптимальные значения м\,...,м 5 и q\,...,q\ весовых коэффициентов и количеств отдельных простых валют, агрегируемых в SAC, приведены в Табл. 2. Нетрудно видеть, что применение составных валют позволяет существенным образом снизить изменчивость (вариацию) соответствующих инвариантных индексов меновой ценности (стандартное отклонение StD7 =0.0011 агрегированной валюты SAC не менее, чем в тридцать раз ниже стандартного отклонения StD, 0,0357, / = 1,...,5, любой простой валюты и почти в восемь раз меньше, чем стандартное отклонение StD6 = 0,0086 счетной единицы МВФ). Визуально об этом можно судить по Рис. 2. SAC SDR DEM FRF GBP - - - JPY USD Рис. 2. Динамика приведенных (к моменту t0 - 01.01.1993) инвариантных индексов меновой ценности простых (DEM, FRF, GBP, JPY, USD) и агрегированных (SAC, SDR) валют. Кроме того, ряды приведенных индексов меновой ценности агрегированной валюты SAC и входящих в нее валют практически не коррелируют (см. Табл. 4), что можно рассматривать как дополнительный аргумент в пользу обоснованности использования SAС в качестве «стабильной счетной единицы» (numeraire). Проиллюстрируем теперь изложенный метод построения сложного товара с минимальной вариацией (SAG) на примере агрегации пяти простых товаров: говядины (Beef), нефти (ОН), риса (Rice), стали (Steel), пшеницы (Wheat). Приводимые ниже расчеты опираются на данные Международного Валютного Фонда [200] за январь 1993 г. - декабрь 1999 г. о средних (среднеарифметических) значениях цен указанных товаров за соответствующие месяцы (t = \,...,Т = 84). Результаты, полученные для «товарной» счетной единицы в целом аналогичны «валютной» (см. Рис. 3). 0,6 н 1 1 1 1 1 1 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Рис. 3. Динамика приведенных (к моменту t0 - 01.01.1993) индексов меновой ценности составного товара SAG и простых товаров (Beef, Oil, Rice, Steel, Wheat). Найденные (в рамках Постановки №1) оптимальные значения w ,...,wj и q\,...,q\ весовых коэффициентов и количеств отдельных простых товаров, агрегируемых в SAG, приведены в Табл. 5. Табл. 5. Структура корзины товаров с минимальной вариацией (SAGB). \.Beef 2.0ІІ 3.Rice 4.Steel 5.Wheat w] 22,66% 19,41% 18,99% 18,59% 20,35% я] 0,3302 1,7528 0,1128 0,0819 0,2035 Строго говоря, описание товарного рынка при помощи «простой модели обмена» не вполне корректно, так как не соблюдается требование «непосредственности» обмена любого товара на любой другой товар. Однако формально построенный индекс товарного рынка Ind(w ;t), обладающий наименьшей вариацией, может рассматриваться как инструмент хеджирования рыночного риска и в этом смысле вполне способен составить, конкуренцию, например, форвардным контрактам. Действительно, использование на рынке товаров в качестве счетной единицы агрегированного товара SAG позволяет снизить стандартное отклонение по сравнению с любым простым товаром более, чем в двадцать раз (см. Табл. 6). Табл. 6. Стандартные отклонения простых товаров {Beef, Oil, Rice, Steel, Wheat) и агрегированного товара SAG. Призванные выступать индикаторами движения товарного и валютного рынков, соответственно, индексы SAG и SAC могут использоваться в качестве аналогов индексов роста цен на товары (индексов инфляции, индексов потребительской корзины, индексов изменения покупательной способности и т.п.) и индексов изменения курсовой стоимости валют. Номинирование валют и товаров в указанных индексах позволяет напрямую сравнивать меновую ценность последних на различные временные периоды без использования операции дисконтирования, тем самым избавляя исследователя от весьма неоднозначной проблемы выбора нормы дисконта. На наш взгляд, свое применение валютные (SAC), товарные (SAG), а также фондовые индексы минимальной вариации могут найти в сфере хеджирования валютного и рыночного рисков, соответственно. Действительно, многие финансовые инструменты (например, валютные свопы, товарные и валютные опционы, фьючерсы и другие [54]) призваны как раз демпфировать колебания валютных курсов, товарных цен и цен активов, с чем, как мы видели, успешно справляются и механизмы, использующие построенные нами индексы минимальной вариации. Использование композитных валют минимальной вариации может оказаться также полезным и при номинировании (accounting) средств (активов) транснациональных корпораций (ТНК), обычно держащих (инвестирующих) свои активы в нескольких национальных валютах [199].
