Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов и моделей прогнозирования финансовых индексов 18
1.1. Метод нейросетевого прогнозирования 21
1.2. Модели временных рядов 23
1.2.1. Цели, этапы, методы и модели анализа временных рядов 23
1.2.2. Линейные модели стационарных временных рядов 37
1.2.3. Линейные модели нестационарных временных рядов 46
1.2.4. Нелинейные модели временных рядов 51
1.2.5. Прогнозирование финансовых индексов в рамках стационарных моделей «логарифмической прибыли» 55
1.2.6. Проверка гипотезы стационарности динамического ряда значений «логарифмической прибыли» методом Фостера-Стюарта 62
Глава 2. Коллокационные модели прогнозирования 66
2.1. Моделирование систематической составляющей исследуемого процесса в рамках коллокационного подхода 68
2.2. Моделирование случайной составляющей процесса в рамках коллокационного подхода 71
2.2.1. Модель чистой коллокации 71
2.2.2. Оценка функционала «логарифмической прибыли» за период упреждения в рамках модели чистой коллокации 74
2.3. Модель параметрической коллокации 77
2.4. Оценка функционала «логарифмической прибыли» за период упреждения в рамках модели параметрической коллокации 82
Глава 3. Рандомизированные алгоритмы прогнозирования финансовых индексов 88
3.1. Рандомизированный алгоритм точечного прогнозирования финансовых индексов в рамках модели экономического броуновского движения с дискретным временем 88
3.2. Рандомизированные алгоритмы точечного прогнозирования финансовых индексов в рамках коллокационных моделей с дискретным временем 92
33. Рандомизированный алгоритм интервального прогнозирования финансовых индексов в рамках коллокационных моделей с дискретным временем 99
Заключение 105
Список литературы
- Цели, этапы, методы и модели анализа временных рядов
- Нелинейные модели временных рядов
- Моделирование случайной составляющей процесса в рамках коллокационного подхода
- Рандомизированные алгоритмы точечного прогнозирования финансовых индексов в рамках коллокационных моделей с дискретным временем
Введение к работе
Рынок ценных бумаг представляет собой наиболее доступный источник финансирования экономического роста. Он облегчает доступ всем субъектам экономики к получению необходимых денежных ресурсов. В настоящее время фондовый рынок обеспечивает часть притока средств в экономику страны в виде частных и корпоративных инвестиций. И если в начале 90-х годов из-за гигантских темпов инфляции можно было не задумываться о прибыльности вложений, то по мере расширения фондового рынка, совершенствования его законодательно-нормативной основы, приватизации государственного сектора, правительственного регулирования экономического развития, особую актуальность приобретают проблемы, связанные с анализом и прогнозированием его состояния.
Фондовый рынок является важнейшей составной частью финансового рынка, поэтому, приведем определение термина "финансы".
Финансы — это совокупность денежных отношений, организованных государством, в процессе которых осуществляется формирование и использование общегосударственных фондов денежных средств для осуществления экономических, социальных и политических задач [69].
Государственные финансы являются средством перераспределения стоимости общественного продукта и части национального богатства. В основе их лежит система бюджетов. Отдельным элементом в системе государственных финансов включаются внебюджетные фонды для финансирования отдельных целевых мероприятий (пенсионный фонд, фонд социального страхования, фонд занятости).
Финансы - один из важнейших инструментов, с помощью которого осуществляется воздействие на экономику хозяйствующего субъекта (страна, регион, предприятие и др. [20]). Финансовый механизм представляет собой сие тему организации, планирования и использования финансовых ресурсов. В состав финансового механизма входят [2], [21]:
а) финансовые инструменты;
б) финансовые приемы и методы;
в) обеспечивающие подсистемы (кадровое, правовое, нормативное, информационное, техническое и программное обеспечение).
Финансовые инструменты - различные формы краткосрочного и долгосрочного инвестирования, торговля которыми осуществляется на финансовых рынках [20], [58].
Функционирование рыночной экономики основывается на функционировании разнообразных рынков, которые можно сгруппировать в два основных класса: рынки выработанной продукции (товаров и услуг) и рынки трудовых и финансовых ресурсов.
Финансовый рынок — это механизм перераспределения капитала между кредиторами и заемщиками при помощи посредников на основе спроса и предложения на капитал. На практике он представляет собой совокупность кредитных организаций (финансово-кредитных институтов), направляющих поток денежных средств от собственников к заемщикам и обратно.
На рынке финансовых ресурсов встречаются такие рынки, в которых в процессе хозяйствования возникает потребность в средствах для расширения их деятельности, а также такие, в которых накапливаются сбережения, которые могут быть использованы для инвестиций. Именно на рынке финансовых ресурсов, или финансовом рынке, происходит перелив средства, при котором они перемещаются от тех, кто имеет их излишек, к тем, кто требует инвестиций [58]. При этом, как правило, средства направляются от тех, кто не может их эффективно использовать, к тем, кто использует их продуктивно. Это оказывает содействие не только повышению производительности и эффективности эко номики в целом, но и улучшению экономического благосостояния каждого члена общества. На финансовом рынке те, что имеют свободные финансовые ресурсы, передают их на разных условиях другим участникам рынка, которые опосредствованно через субъектов рынка или непосредственно используют привлеченные ресурсы для финансирования разных областей экономики, обеспечения потребностей населения и потребностей государственного бюджета. Финансовые ресурсы предоставляются на условиях займа или на условиях совладения, если инвестор приобретает права собственности на приобретенные за инвестированные средства материальные или нематериальные активы.
Заем оформляется разными видами долговых ценных бумаг, банковского, коммерческого или государственного кредита. Платой за использование заемного капитала выступает процент, который зависит от структуры спроса и предложения на заемный капитал и может корригироваться в ту или иную сторону, обеспечивая инвестору высший или низший уровень прибыли. С одной стороны, уровень процентной ставки может быть ниже ставки прибыли от использования привлеченных ресурсов, чтобы заемщик имел возможность погасить заем и обеспечить возрастание собственного капитала. С другой стороны, процентная ставка может обеспечить инвестору прибыль от предоставления средств в заем, а также компенсировать потери от обесценения ресурсов вследствие инфляции и рисков от осуществления конкретных инвестиций. Реальная ставка прибыли на заемный капитал отвечает средним темпам возрастания экономики с поправкой на риск осуществления конкретных инвестиций. Чем эффективнее функционирует рынок заемного капитала, тем в большей мере процентная ставка на заемный капитал отвечает риску инвестиций и эффективности конкретной области в экономике и экономики в целом.
Уровень прибыли на инвестиции в акционерный капитал определяется уровнем рентабельности конкретного производства и рыночной конъюнктурой, которая влияет на рыночную капитализацию корпорации [2], [30]. Уро вень прибыли на акционерный капитал в значительной мере отвечает уровню эффективности конкретного производства и в случае неэффективной деятельности может обеспечить инвестору нулевую или отрицательную ставку прибыли. Инвестор — собственник акции разделяет риск инвестиций с другими акционерами предпринимательской структуры и потому прибыль на инвестиции в акции может колебаться в значительных границах. В отличие от прибыли на акционерный капитал, процент на заемный капитал, в целом, менее связан с текущей финансово-хозяйственной деятельностью конкретного субъекта хозяйствования и, в основном, определяется конъюнктурой рынка.
Передача в пользование финансовых ресурсов на финансовом рынке оформляется тем ли другим финансовым инструментом. Если ресурсы передаются на условиях займа, это оформляется соответствующими инструментами займа — долговыми ценными бумагами (облигациями, векселями, сберегательными сертификатами и т.п.) или разными видами кредитных инструментов. Если инвестор вкладывает средства в акционерный капитал, такая операция оформляется инструментами собственности — акциями. Платой за предоставленные в заем ресурсы выступает процент, а при бессрочном инвестировании средств в акционерный капитал — прибыль в виде дивидендов и капитализированную прибыль, которая направляется на увеличение собственного капитала корпорации.
Поскольку передача в пользование капитала происходит через продажу финансовых активов, которые отображают права на получение дохода на вложенный капитал, финансовый рынок можно определить как рынок, на котором выпускают, продают и покупают финансовые активы.
Финансовый рынок [54] представляет собой систему экономических и правовых отношений, связанных с куплей-продажей или выпуском и оборотом финансовых активов. Субъектами этих отношений выступают государство, а также те, кто желает передать в пользование свободные финансовые ресурсы, те, которые требуют инвестиций, и финансовые посредники, которые на стабильной, благоустроенной основе обеспечивают перераспределение финансовых ресурсов среди участников рынка.
Лица, которые инвестируют средства в деятельность других субъектов рынка, покупая определенные финансовые активы, называют инвесторами и собственниками финансовых активов — акций, облигаций, депозитов и т.п.. Тех, кто привлекает свободные финансовые ресурсы через выпуск и продажу инвесторам финансовых активов, называют эмитентами таких активов. Каждый финансовый актив есть актив инвестора — собственника актива и обязательства того, кто эмитировал данный актив.
Торговля финансовыми активами между участниками рынка происходит по посредничеству разнообразных финансовых институтов. Именно они обеспечивают непрерывное функционирование рынка, размещение среди инвесторов новых и оборот на рынке эмитированных прежде активов. Наличие на финансовом рынке большого количества финансовых посредников с широким спектром услуг оказывает содействие обострению конкуренции между ними, а следовательно, снижению цен на разные виды финансовых услуг. Чем более развит и конкурентноспособен финансовый рынок, тем меньше вознаграждение финансовых посредников за предоставленные другим участникам рынка услуги. Финансовые посредники являются необходимыми участниками финансового рынка, которые обеспечивают инвесторам оперативное вложение средств в финансовые активы и изъятие средств из процесса инвестирования. Участникам рынка, которые требуют инвестиций, финансовые посредники помогают задействовать средства за соответствующую своей конкурентной позиции плату. Чем выше конкурентная позиция заемщика на рынке, тем ниже плата за пользование финансовыми ресурсами. Роль финансового рынка заключается в том, что он [31], [35]:
- мобилизует временно свободный капитал из многообразных источников;
- эффективно распределяет аккумулированный свободный капитал между многочисленными конечными его потребителями;
- определяет наиболее эффективные направления использования капитала в инвестиционной сфере;
- формирует рыночные цены на отдельные финансовые инструменты и услуги, объективно отражающие складывающееся соотношение между предложением и спросом;
- осуществляет квалифицированное посредничество между продавцом и покупателем финансовых инструментов;
- формирует условия для минимизации финансового и коммерческого риска;
- ускоряет оборот капитала, т.е. способствует активизации экономических процессов.
Роль финансовых рынков в рыночной экономике можно проиллюстрировать упрощенной блок-схемой, приведенной на рис Л:
Кроме того, финансовые рынки выполняют ряд важных функций [58].
1. Обеспечивают такое взаимодействие покупателей и продавцов финансовых активов, в результате которого устанавливаются цены на финансовые активы, которые уравновешивают спрос и предложение на них.
На финансовом рынке каждый из инвесторов имеет определенные соображения относительно доходности и риска своих будущих вложений в финансовые активы. При этом, конечно, им учитывается существующая на финансовом рынке ситуация: минимальные процентные ставки и уровни процентных ставок, которые отвечают разным уровням риска. Эмитенты финансовых активов, для того чтобы быть конкурентоспособными на финансовом рынке, стремятся обеспечить инвесторам необходимый уровень доходности их финансовых вложений. Таким образом, на эффективно действующем финансовом рынке формируется равновесная цена на финансовый актив, которая удовлетворяет и инвесторов, и эмитентов, и финансовых посредников.
2. Финансовые рынки вводят механизм выкупа у инвесторов надлежащих им финансовых активов и тем самым повышают ликвидность этих активов.
Выкуп у инвесторов финансовых активов обеспечивают финансовые посредники — дилеры рынка, которые в любой момент, если это нужно инвесторам, готовы выкупить финансовые активы, которыми они владеют. Чем эффективнее функционирует финансовый рынок, тем более высокую ликвидность он обеспечивает финансовым активам, которые находятся в его обороте, поскольку любой инвестор может быстро и практически без потерь в любой момент превратить финансовые активы в денежную наличность.
Финансовые посредники всегда готовы не только выкупить финансовые активы, а и продать их инвесторам в случае необходимости. Осуществляя на постоянной основе выкуп и продажу финансовых активов, финансовые посредники не только обеспечивают ликвидность финансовых активов, которые находится в обращении на рынке, но и стабилизируют рынок, противодействуют значительным колебаниям цен, которые не связаны с изменениями в реальной стоимости финансовых активов и изменениями в деятельности эмитентов этих активов.
3. Финансовые рынки оказывают содействие нахождению для любого из кредиторов (заемщиков) контрагента соглашения, а также существенно снижают затраты на проведение операций и информационные затраты.
Финансовые посредники, осуществляя большие объемы операций по инвестированию и привлечению средств , уменьшают для участников рынка затраты и соответствующие риски от проведения операций с финансовыми активами. Как на рынке акций и облигаций, так и на кредитном рынке имен но посредники играют решающую роль в перемещении капиталов. В особенности заметна эта роль при финансировании посредниками корпораций, которые имеют не самый высокий кредитный рейтинг, и количество которых достаточно велико во всех странах мира. Финансовые посредники уменьшают затраты через осуществление экономии на масштабе операций и усовершенствования процедур оценивания ценных бумаг, эмитентов и заемщиков на кредитном рынке.
В странах с развитой рыночной экономикой функционируют высокоэффективные финансовые рынки, которые обеспечивают механизм перераспределения финансовых ресурсов среди участников рынка и оказывают содействие эффективному размещению сбережений среди областей экономики. В России и странах, которые ступили на путь рыночных превращений в экономике, финансовые рынки находятся на разных стадиях формирования и развития [12], [13]. На развитие финансовых рынков в таких странах оказывают содействие массовая приватизация, преодоление кризисных явлений и положительные сдвиги в экономике. Параллельно с этим, как правило, происходит формирование соответствующей законодательной базы и механизма, который гарантирует ее выполнение.
Таким образом, учитывая огромное влияние финансовых рынков, в целом, и фондовых рынков, в частности, как на мировую экономику, так и на экономику отдельного государства, остро встает вопрос эффективной работы на таких рынках на всех уровнях: от индивидуальных трейдеров до институциональных инвесторов. Эффективность работы же немыслима без качественных инструментов прогнозирования, особую роль в которых занимают математические методы и модели. Существующим на рынке методам и моделям посвящена первая глава этого диссертационного исследования. В последнее время специалисты оценивают как очень перспективный метод нейросетевого прогнозирования. Более подробно с данной методикой, а также с возможностью ее примене ния можно ознакомиться в [22], [65], [92]. Многие компании стали выпускать готовые решения на основе данного метода, например, Brain Maker Pro фирмы California Scientific Software. Краткий обзор метода нейросетей изложен в разделе 1.1 данной работы.
При прогнозировании финансовых показателей, в настоящее время хорошо зарекомендовали себя и широко применяются стохастические модели временных рядов [84], [88]. Линейные стохастические модели, разработанные Дж. Боксом и Г. Дженкинсом— ARIMA(p,d,q) — модели авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего порядков: р — авторегрессии, d — "интегрирования", q — скользящего среднего) используются в современных пакетах прикладных программ (например, в системе Statistica — фирма производитель StatSoft Inc, USA).
Модели ARMA(ptq) обобщают стационарные линейные модели авторегрессии и скользящего среднего. Однако, далеко не все временные "эконометри-ческие" ряды стационарные. В статистических данных финансово-экономической информации обычно выделяют следующие составляющие:
• медленно меняющийся тренд;
• периодические или непериодические циклы;
• нерегулярная, флуктуирующая составляющая.
Наличие трендовой составляющей обычно определяет "нестационарный" характер в общих моделях. Модели ARIMA(p,d,q) обобщают как стационарные линейные стохастические модели, так и нестационарные модели, в которых нестационарность является однородной, т.е. случайная составляющая, полученная после удаления детерминированного тренда из уровней временного ряда, представляет собой стационарный (в широком смысле) временной ряд.
Линейные модели, даже с небольшим числом параметров, достаточно точно аппроксимируют широкий класс стохастических процессов.
В основе большинства моделей прогнозирования финансового индекса лежит его представление в виде
At=Ao-e" , (0.1)
где
AQ - значение индекса в начальный момент времени;
Ht - "логарифмическая прибыль" за период t.
Многочисленные исследования временных финансовых рядов показывают наличие зависимости в значениях "логарифмической прибыли", хотя они могут быть и некоррелированными, а зависимость — весьма слабой. Этот факт нашел отражение в следующих нелинейных моделях: ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroskedastic model) - авторегрессионная модель условной неоднородности (R. Engle, 1982); GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedastic model) - обобщенная авторегрессионная модель условной неоднородности (Т. Bollerslev, 1986), а также их последующих модификациях.
Одним из недостатков общих моделей ARIMA(p,d,q) и моделей ARCH, GARCH является их однофакторность.
Коллокационные модели, описанные во второй главе данного диссертационного исследования, обладают большой универсальностью по отношению к используемой информации об исследуемом объекте, как в математическом1, так и статистическом смысле.
Одна из обобщенных моделей средней квадратической коллокации — модель параметрической коллокации, позволяет адекватно оценивать значения случайных процессов с трендом. Это особенно важно при прогнозировании таких случайных процессов, как цены финансовых активов, финансовые индексы. Параметрическая модель коллокации объединяет регрессионные модели (оценка тренда) и модели средней квадратической коллокации (оценка сигнала) в единообразную схему.
Во второй главе диссертации приводится алгоритмы прогнозирования финансовых индексов модели (0.1) в рамках коллокационного подхода.
Под коллокацией, с математической точки зрения, понимается определение функции путем подбора аналитической аппроксимации к определенному числу заданных линейных функционалов.
Продемонстрирована универсальность алгоритма параметрической кол-локации. Достоинством модели параметрической коллокации является то, что основные соотношения модели, позволяют в рамках единого алгоритма оценить как детерминированную составляющую случайного процесса, так и его случайную составляющую, что свойственно не всем моделям анализа временных рядов.
Несмотря на то, что на сегодняшний день существует множество динамических стохастических моделей прогнозирования финансовых индексов: линейных стационарных и нестационарных, нелинейных моделей, обзор которых приводится в первой главе диссертационного исследования, коллокационных, описанных во второй главе работы, задача повышения качества прогнозов финансовых индексов остается по-прежнему актуальной.
Целью диссертационного исследования является разработка экономико-математических моделей краткосрочного прогнозирования финансовых индексов, позволяющих повысить качества прогнозов в рамках коллокационных моделей.
Для достижения указанной цели в работе поставлены и решены следующие задачи:
• изучен коллокационный подход к прогнозированию финансово- экономической информации;
• проанализированы методы проверки временного ряда на стационарность;
• разработан алгоритм проверки временного ряда значений логарифмической прибыли на стационарность;
• выполнено исследование по выбору оптимального значения объема выборки, обеспечивающее стационарность уровням временного ряда логарифмической прибыли;
• выполнена эмпирическая проверка эффективности процедуры Эйткена (по данным временного ряда индекса РТС за семь лет), используемая для оце
нивания математического ожидания стационарного процесса логарифмической прибыли;
• разработана рандомизированная модель прогнозирования финансовых индексов, позволяющая повысить точность коллокационных прогнозов.
Объектом исследования является фондовый рынок и его финансовые инструменты.
Предметом исследования являются математические методы и модели, используемые при прогнозировании финансовых индексов.
Методологические и теоретические основы исследования. Теоретическую базу исследования составили: теория случайных процессов, эконометри-ческие методы и модели, статистические методы анализа, теория коллокационных моделей.
Достоверность полученных результатов подтверждается корректным использованием указанных выше методов, надежной информационной базой и соответствующей апробацией результатов.
В процессе исследования проанализированы и использованы разработки научных коллективов и отдельных ученых Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации, Всероссийского заочного финансово-экономического института, Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и других организаций.
В качестве инструментария исследования применялись: регрессионные модели, модели временных рядов, программный продукт системы обработки данных Statistica (фирма производитель StatSoft Inc, USA), Excel, а также программные продукты, разработанные автором).
Информационную базу исследования составили: публикации по проблеме прогнозирования финансовых показателей в научных изданиях. Исследования проводились на основе данных по итогам торгов в "Российской торговой системе" (РТС).
Работа проведена в рамках пункта 1.4 Паспорта специальности 08.00.13 "Математические и инструментальные методы экономики".
Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке рандомизированной коллокационной модели прогнозирования финансовых индексов, позволяющей повысить прогнозные качества коллокационных моделей. Структура модели и ее практическое применение к прогнозированию финансовых индексов описаны в третьей главе данного исследования.
Элементы новизны содержат следующие результаты диссертационного исследования:
• формулировка чистой коллокации в форме задачи на условный экстремум, и решение ее методом Лагранжа;
• алгоритм вычисления критических значений / — статистик, используемых в методе Фостера-Стюарта проверки временного ряда на стационарность;
• алгоритм процедуры определения оптимального объема выборки, обеспечивающий стационарность уровням временного ряда логарифмической прибыли;
• рандомизированная модель прогнозирования финансовых индексов, позволяющая повысить точность коллокационных прогнозов.
Практическая значимость полученных результатов. Модели и алгоритмы, разработанные в диссертации, ориентированы на использование в научно-исследовательской и практической деятельности информационно-аналитических отделов, в модулях программ мониторинга финансовых индексов.
Самостоятельное практическое значение имеют:
• алгоритм и программное обеспечение теста на проверку временного ряда на стационарность;
• алгоритм и программное обеспечение модели параметрической коллокации, включающие оценку Эйткена;
• алгоритмы и программное обеспечение, рандомизированной модели коллокации прогнозирования финансовых индексов;
• исследования по определению оптимального объема выборки при построении коллокационных прогнозов;
Внедрение и апробация результатов исследования.
Разработанные в диссертации модели, алгоритмы и программы, используются для прогнозирования финансово-экономических показателей в научно-исследовательской и практической деятельности информационно-аналитического отдела ООО «НТМ-Сервис».
Материалы диссертационного исследования используются кафедрой математического моделирования экономических процессов Финансовой академии при Правительстве РФ в преподавании дисциплины "Эконометрическое моделирование" при изучении темы "Анализ моделей временных рядов".
Полученные теоретические, методологические и практические результаты докладывались и обсуждались на проводимой в 2005 г ежегодной научной конференции Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ), «Прикладные аспекты статистики и эконометрики».
Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в трех печатных работах, в которых автору в совокупности принадлежит 1,2 п.л.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 100 наименований, двух приложений. Общий объем составляет 100 страниц машинописного текста.
Цели, этапы, методы и модели анализа временных рядов
Метод нейронных сетей представляет собой технологию создания искусственного интеллекта, которая была создана на базе исследований работы человеческого мозга и направлена на построение логически функционирующей системы из большого числа простых элементов, взаимосопряженных разветвленными связями.
Такая система создается по подобию биологической, в которой каждый нейрон, который состоит из тела клетки и множества входных отростков (дендритов), соединяющих ее с другими нейронами, воспринимает от тех сигналы в точках возбуждения (синапсах), образуя нейронные сети. Принятые сигналы, достигая тела нейрона, алгебраически суммируются и наращивают его возбуждение, при превышении которым некоторого порога срабатывает принцип «все или ничего» и посылается сигнал к другим нейронам.
Биологическому нейрону соотносится математическая модель искусственного как сумматора S. На его вход поступает множество сигналов, каждый из которых умножается на весовой коэффициент (синаптический вес) Wtj, соответствующий связи /-того нейрона с у-м. Сигнал pj на входе последнего формализуется как PJ=fCiL zlWiJ-Qj\ і где Qj - порог возбуждения j-того нейрона, af— функция его адеквации, причем в простейшем случае если/ 0, то на выходе 1, а если / 0, то 0 или — 1. У.Маккалок и У.Питтс показали, что совокупность таких сумматоров, связанных между собой в единую сеть, моделируют нервную систему. Затем Ф.Розенблатт [65] доказал для искусственной однослойной нейронной сети (персептерона), где отсутствуют обратные связи выходов нейронов с их входами, теорему обучаемости. Согласно ей, задавшись наборами входных а, и выходных рк, можно подобрать такие Win чтобы набору {at} отвечал выход {д}. Им же была предложена процедура обучения, подстраивающая синаптические веса по ошибкам, которые измеряются на выходе нейронной сети.
Впрочем, анализ возможностей разделения входных образов на представимые персептероном подклассы выявил жесткую ограниченность того, что он способен выполнять и чему, следовательно, может обучиться. Но этих недостатков лишены многослойные нейронные сети, содержащие между а, и Д еще один или несколько слоев с нейронами XttYt и Т-Д- П.Вербу, Д.Паркер и другие предложили метод обратного распространения ошибки для обучения такой сети на примерах с настройкой Wtj таким образом, чтобы для каждой пары из входного вектора и выходного минимизировать сумму квадратов отклонений компонент последнего от их заданных величин.
Наконец, из теоремы А.Н.Колмогорова [47] о возможности отображения некоторого множества X на множество Y с помощью пороговых преобразований родилось понимание, что если между множеством наборов входов и выходов действительно имеется некоторая однозначная связь, то исследователь, сможет обнаружить ее, обучая нейронную сеть на выборочных примерах. Возможности этого метода существенно расширились с появлением генетических алгоритмов, основанных на идеях теории наследственности и селекции. Их применение позволяет тренировать сеть с любым количеством нейронов промежуточного слоя и, исходя из множества первоначальных предположений, вырабатывать все более правильные представления.
Нелинейные модели временных рядов
Одной из причин обращения к нелинейным моделям является стремление найти объяснение ряда феноменов временных рядов [98], таких как «кластерность» цен, «аномальные» изменения, наличие «тяжелых хвостов» в А распределениях величин логарифмической прибыли /zn = ln——, Ап-\ долговременная коррелированность цен и другие характерные свойства, неподдающиеся объяснению в рамках линейных моделей. Нет единого мнения, какие нелинейные модели предпочтительней использовать: стохастические или хаотические, существует немало аргументов как за, так и против каждого из подходов. Как следует из эмпирических исследований, экономические показатели, и финансовые индексы, в частности, носят флуктуационный характер. Эти флуктуации могут носить весьма высокочастотный и нерегулярный характер, который может наблюдаться, как известно, и в стохастических и в хаотических моделях, что и объясняет попытки описания такими моделями флуктуационных эволюции, резких переходов, сгруппированности (кластерное) значений и т.д.
Модели ARCH и GARCH Для описания эволюции величин h = {hn)n i, где / „=In- -, (1.57) Р.Энгель обратился к условно-гауссовской модели [83 с. 189], в которой hn=anzn (1.58) где условная дисперсия (волатильность) ап определяется следующим образом: сгя2 = а0 + Еа и-» , (1.59) /=1 с параметрами ао 0,а/ 0, / = 1,...,p. (1.60) Из (1.3) следует, что волатильность a„ является функцией от квадратов значений логарифмической прибыли ,2 1.2 Л и-1 ,—»« и—р и большие (малые) значения h n-i приводят к большим (малым) значениям 2 2 aw . Возникновение же больших hn в предположении, что предшествующие 2 2 / и-1,....,А и-;? были малыми, происходит за счет появления больших значений єи.
Таким образом, нелинейные модели (1.57)-(1.59) могут объяснять эффекты типа «кластерности», т.е. сгруппированности значений hn в группы «больших» и группы «малых» значений. Это оправдывает название модели ARCH (p)(AutoRegressive Conditional Heteroskedastic model) — авторегрессионная модель условной неоднородности (гетероскедастичности), в которой условная дисперсия aw ведет себя весьма неоднородно, так как зависит, согласно (1.59), от предшествующих значений 2 2 h n-\,h /7-2,... - Параметр модели/? — порядок авторегрессии.
Успех условно-гауссовской модели ARCH(p), давшей объяснение целому ряду феноменов в поведении финансовых индексов («кластерность», «вытянутость» плотности распределения величин), породил огромное количество ее обобщений, преследующих цель дать возможные объяснения ряда других эффектов, обнаруживаемых методами статистического анализа.
Исторически одной из первых таких обобщений была введенная в 1986 году Т. Боллерслевом (Т. Boilers lev) [87] обобщенная (Generalised) ARCH-модель, характеризуемая двумя параметрами р и q, и обозначаемая GARCH(p,q).
Одним из недостатков спецификации модели (1.59), является то, что параметры (1.60) всегда должны быть неотрицательны, для того, чтобы условная дисперсия всегда была бы положительной. Однако, при включении большого числа лагов (что требуется для моделирования некоторых процессов), эта предпосылка может быть нарушена. Для гарантированного выполнения условия (1.60), при практической реализации моделей типа ARCH(p\ для ограничения числа лагов спецификации, выбиралась специальная линейно убывающая структура коэффициентов модели [74, с.357].
В работе [87] предлагается обобщение модели ARCH(p) путем включения в спецификацию модели лаговых значений условной дисперсии, что позволяет уменьшить общую длину лагов.
Моделирование случайной составляющей процесса в рамках коллокационного подхода
Задача квадратического приближения случайных функций (приближения в смысле минимума средней квадратической ошибки), впервые поставлена и решена А.Н. Колмогоровым как задача экстраполяции и интерполяции стационарных случайных последовательностей [46], [47]. В дальнейшем теория А.Н. Колмогорова была распространена на непрерывные стационарные случайные процессы и применена к задачам теории автоматического управления Винером [100].
Модель среднего квадратического прогнозирования (чистая коллокация), которая в данном разделе рассматривается как частный случай коллокации, представляет собой аналог формулы прогноза Колмогорова-Винера, известной из теории случайных процессов.
Пусть изучаемый стационарный процесс Z(t) принадлежит некоторому множеству Н функций, определенных в заданной ограниченной замкнутой области D и обладающих в ней определенной гладкостью. Пусть на Н определены г линейных линейно-независимых ограниченных функционалов Li,L2,...,Ln,Sn+i,...,Sr, и известны значения первых п функционалов на неизвестном процессе Z (результаты измерений): z = LZ, (2.11) где т L = (L\,...,Ln) — п мерный вектор-столбец функционалов, определенный на Z. z — (п - мерный) вектор значений функционалов на Z. Требуется оценить т значения функционалов S = (Si,...tSr_n) на неизвестном стационарном процессе Z u = SZ (2.12)
Данная задача известна как локальная задача коллокации [7]. Обозначим через s ("сигнал") блочный вектор значений функционалов на случайном процессе Z s г,1 (2.13) где z — (« - мерный) вектор наблюденных значений функционалов (2.11); и — (г-я) - мерный вектор значений функционалов, подлежащий оценке (прогнозу). Обозначение (2.13) позволяет представить уравнения наблюдений в виде z = t/s, (2.14) где U— блочная mx п матрица U = [l О], (2.15) /— единичная я x п- матрица, 0 — нулевая матрица п х(г - п).
Таким образом, задача состоит в оценке (прогнозе) r-п значений — элементов вектора и (ординат изучаемого процесса). В качестве критерия качества решения, выбирается показатель (функционал) вида sTCj}s - min, (2.16) где Css— автоковариационная матрица сигнала. Показатель (2.16) аналогичен критерию качества в обобщенном методе наименьших квадратов, в котором одним из сомножителей является матрица обратная по отношению к автоковариационной матрице вектора возмущений.
Выражение (2.19) с учетом (2.21) принимает вид и, множитель Лагранжа равен X = Cz}z. (2.22) Подставляя (2.22) в первое уравнение системы (2.18), получим s — i ,ssu L 2z z или, с учетом (2.20), s = Csz-C zl Z = H-z . (2.23)
Таким образом, чтобы получить оценки значений сигнала, необходимо иметь измерения z, значения автоковариационной функции измерений Czz и взаимной ковариационной функции Csz, по которым рассчитываются соответствующие матрицы.
Точность полученной оценки характеризуется автоковариационной матрицей ошибок оценок Ess = Cov{s—sys—s}= = Cov{s — s,s}= Cov{sts}— Cov{s,s}= = Css-Cov{H.ziS}=Css-H-Czs = Css-Csz C-l-Czs. (2.24) Замечание. При вьгеоде (2.24) использована обобщенная теорема Пифагора [6, с.267], [61].
Рандомизированные алгоритмы точечного прогнозирования финансовых индексов в рамках коллокационных моделей с дискретным временем
В коллокационных моделях прогнозирования финансовых индексов в рамках модели (1.62)-(1.65), временной ряд уровней «логарифмической» прибыли предполагается стационарным, с автоковариационной функцией С , зависящей только от лага (в отличие от модели ЭБД, в которой уровни ряда h — независимы). Прогноз финансового индекса 4i+ = 4,- . (3-13) полностью определяется прогнозом функционала АЯ, который, в случае выполнения нулевой гипотезы Н0:т = 0, (3.14) определяется моделью чистой коллокации. Формула, по которой вычисляется значение прогноза линейного функционала (3.15) п+к i=n+l получена в разделе 2.2.2 AH = CAH h Chh hf (3.16) где Т h = (h\, }%2,..., hn ) — заданные значения уровней динамического ряда; Спп— автоковариационная функция уровней ряда;
Ог АЯ — вектор взаимных ковариаций значений //;, / = 1,...,п стационарного динамического ряда и значения линейного функционала А/7 rCov(hbhH) Cov(h2,AH) ch,AH = v Cov(hn,AH)) п+к Cov(hhAH) = Cov(hhSh)= Y.Chh(i-l). l=n+\ Таким образом, в случае справедливости гипотезы (3.14), алгоритм коллокации имеет вид Ап+к = Ап еАЙ = Ап ехр } (3-17) где ЛЯ Сдад-С/Й-/ . (3.18) В случае, справедливости альтернативной гипотезы, Щ .ШФО , (3.19) когда параметр т неизвестен, алгоритм включает оценку линейного функционала (3.15) по модели параметрической коллокации, изложенной в разделе 2.2.4. АН = т-к+САНіИ См-(Іі-І т), (3.20) где к— период упреждения прогноза, т— оценка математического ожидания стационарного случайного процесса «логарифмической» прибыли, полученная по выборочным данным h = (hhh2,....hn) . (3.21) Как показано в разделе 2.2.4. (табл.2.1., табл.2.2), в качестве оценки т, следует использовать оценку Эйткена, обеспечивающую более точные результаты, по сравнению со средней по выборке m = (IT -Cj;l I) lIT -Cj;l-h = B-h, IT =(1,1,...,1), (3.22) где B=(iT cj;l-i)-liT-Chl Второе слагаемое в правой части (3.20) имеет смысл поправки к оценке m-k, обусловленной зависимостью членов последовательности (3.21).
Таким образом, рандомизированный алгоритм коллокации, на базе оценки Эйткена имеет следующую формализацию. A n+k = An-exp(AH ), (3.23) где АН = АЯ при / /крит5 (324) АН при W WT АЯ Сдя -С .А, (3.25) AH = m-k + Cmh-C-l {h-I-m), (3.26) где оценка т вычисляется по формуле (3.22). Вычисленное по формуле (3.33) значение статистики, сравнивается с ее табличным (критическим) значением.
Таким образом, как следует из (3.23) и (3.24), прогноз финансового ин декса An+k с периодом упреждения к, в рамках рандомизированного алгоритма коллокации, представляет собой комбинацию оптимального прогноза в рамках чистой коллокации (3.24) при ЭД крих, и параметрической коллокации (3.25) при Искрит.
Рандомизированный алгоритм прогнозирования финансового индекса в рамках коллокационной модели "логарифмической прибыли", основанный на использовании среднего по выборке, выполняется по тем же формулам (3.25)-(3.26), только оценка т вычисляется по правилу п т = — Y,hi (3.34) В таблицах 3.4 - 3.6 приведены значения статистических характеристик качества прогнозов индекса РТС для исследуемых моделей, рассчитанных по данным за каждый год: тривиального прогноза (ТП); параметрической коллокации (КЛ1); рандомизированной коллокации (РКЛ1).
