Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Задачи оптимизации добычи нефти на месторождении
1.1. Модель нефтяного месторождения 20
1.2. Задача о максимизации интегральной добычи для нефтяного месторождения 26
1.3. Задача о максимизации прибыли 40
Глава II. Задачи оптимального управления добычей нефти для модели группы месторождений
2.1. Математическая модель группы нефтяных месторождений 55
2.2. Задача о максимизации интегральной до бычи. Исследование свойств оптималь ного решения 56
2.3. Задача о максимизации прибыли за фиксированный плановый период 73
2.4. Применение метода динамического программирования для решения задачи о максимизации прибыли 90
Глава III. Использование результатов численного решения задач оптимального управления при планировании добычи нефти по группе месторождений
3.1. Возможности применения методов решения задач оптимального управления при перспективном планировании в нефтяной промышленности 96
3.2. Численное решение задачи о максимизации интегральной добычи для группы место рождений с помощью метода локальных вариаций 109
3.3. Применение результатов численного решения задачи о максимизации интегральной добычи для определения параметров управления в имитационной Системе формирования вариантов ' перспективных планов добычи нефти 121
5. Выводы 129
6. Литература
- Задача о максимизации интегральной добычи для нефтяного месторождения
- Задача о максимизации прибыли
- Задача о максимизации интегральной до бычи. Исследование свойств оптималь ного решения
- Численное решение задачи о максимизации интегральной добычи для группы место рождений с помощью метода локальных вариаций
Введение к работе
Совершенствование методов планирования добычи полезных ископаемых имеет важное народнохозяйственное значение. Как известно, перспективы развития нефтяной, а также газовой промышленности связаны, в первую очередь, с освоением большого коли -чества новых нефтегазоносных площадей, расположенных в основном в отдаленных и труднодоступных районах страны. Расходы на разработку, обустройство месторождений и прочие виды работ, связанные с добычей в этих районах, значительно возрастают по сравнению с традиционными нефтегазодобывающими районами. В таких условиях поиск оптимальных вариантов перспективного плана, правильное определение очередности и сроков ввода в разработку месторожде -ний, темпов их освоения, объемов добычи, необходимых капитало -вложений, становятся особенно актуальными и требуют привлечения современные экономико-математические методы и ЭВМ.
2°. В настоящее время известно большое количество работ,посвященных построению, анализу и использованию экономико-математических моделей для нужд перспективного планирования в нефтяной промышленности [3-8,13,19-22,30,35,40-42,44,47-50,56-58,62] . Некоторые из этих моделей ( например, исследованные в [ 3, 5, 19-21, 41 ] ) весьма детализированы, реализованы на ЭВМ и могут быть непосредственно использованы для разработки вариантов планов- или отдельных их показателей по конкретным нефтедобывающим объектам. Другие предназначены также для решения теоретических вопросов, возникающих при исследовании и качественном анализе задач планирования [ 4,6,7,40,42,44,47-50 J .
Существуют различные подходы к анализу математических моделей сложных систем.
Первый подход основан на применении методов оптимизации.
Как отмечается в работе [ 56], этот подход,наряду с известными достоинствами, имеет ряд недостатков, ограничивающих его использование. "Во-первых, это трудность (и даже невозможность) формализации критериев качества, которыми пользуются эксперты для оценки вариантов развития системы. Во-вторых, в тех случаях, когда критерий качества удается формализовать, часто воз -никают такие оптимизационные задачи, методы решения которых не разработаны" [56].
Подобные трудности использования методов оптимизации характерны не только в нефте-или газодобывающих отраслях, но и во многих других отраслях народного хозяйства. Стремление обойти или преодолеть эти трудности послужило, видимо, одной из главных причин, приведших к возникновению и развитию в последние десятилетия второго подхода к исследованию математических моделей сложных экономических и технических объектов, который основан на применении метода имитации развития системы. Существуют различные способы реализации этого метода. В последнее время большую известность получили методы имитации, разработанные Дж. Форрестером\45,4б),его учениками и последователями [31, 57, 58J. Значительный интерес к имитационному моделированию отмечается также и в нашей стране. В этой связи можно упомянуть, например, сборники статей [II, 33 J .
В работах школы Дж.Форрестера используется аналогия с теорией автоматического регулирования. В них приводятся модели сложных экономических систем, которые интерпретируются как информационные системы с обратной связью. Они описьгоаются большим количеством линейных разностных уравнений, в правых частях которых: могут содержаться различного вида нелинейности, задержки и т.п.позволяющих осуществлять их запись и анализ на ЭВМ на специально разработанном для этих целей языке. Не решая никаких оптимизационных задач, эксперт имеет возможность, задавая раз - 6 личные закономерности изменения значений тех или иных параметров, следить за соответствующими изменениями других. Ценность такого подхода заключается в том, что он позволяет практикам (разумеется при хорошем математическом и техническом обеспечении) проводить оперативно многовариантные расчеты для оценки последствий принимаемых ими решений.
4°. Несмотря на несомненные выгоды и преимущества применения метода имитации развития системы, следует признать, что только такой режим эксплуатации имитационной модели не позво -ляет оценить возможно более интересные, экстремальные состоя -ния системы из-за существования достаточно большого числа возможных вариантов развития системы.
Учитывая отмеченные недостатки этих двух подходов, В.Р.Ха-чатуровым на Международном симпозиуме по имитационному моделированию в 1973 г. (г. Сухуми) был предложен третий подход, согласно которому при анализе математических моделей сложных систем необходимо сочетать методы имитации и оптимизации [47-49,56]. Этот подход заключается в следующем.
" Из модели исходной системы при различных упрощающих предположениях получают различные модели более простых аппроксимирующих систем, для анализа которых могут быть применены известные методы оптимизации. Решение различных задач оптимизации для аппроксимирующих систем может позволить качественно оценить поведение исходной системы, указать область наиболее предпочтительного варьирования управлений при имитации в модели исходной системы. Необходимо заметить, что различные аппроксимирующие системы могут составляться в зависимости от того, по какому критерию мы хотим оценивать варианты развития исходной системы. Очевидно, что реализация такого подхода для анализа сложных систем может быть осуществлена в человеко-машинном режиме.
Этот подход может позволить в режиме человеко-машинного общения определить реальный (наилучший с точки зрения экспертов) проект развития системы" [бб].
Третий подход может быть реализован путем построения имитационной системы. Чл.-корр. АН СССР Н.Н.Моисеев дает следующее определение понятия имитационной системы: " Имитационная система - это совокупность модели, имитирующей изучаемое явление и закодированной в ЭВМ, системы внешнего математического обеспечения и системы внутреннего обеспечения. Имитационная модель - формализованное описание в ЭВМ изучаемого явления во всей его полноте, на грани нашего понимания. Внешнее математическое обеспечение - совокупность упрощенных моделей явления ( или отдельных его сторон ) и методов анализа этих моделей. Внешнее математическое обеспечение призвано облегчить исследователю работу с имитационной моделью, оно ориентирует его при выборе тех или иных решений. Проверка этих решений на имитационной модели дает возможность совершенствовать внешнее математическое обеспечение. Наконец, внутреннее обеспечение системы - набор программ и устройств, реализующих эффективный диалог человека и машины.
Таким образом, имитационная система представляет собой машинный аналог сложного реального явления. Она позволяет заменить эксперимент с реальным процессом экспериментом с математической моделью этого процесса в ЭВМ " [28, с. 6 J .
Итак, для реализации третьего подхода необходимо создавать специальное математическое обеспечение. Оно должно содержать комплекс программ, с помощью которых решаются различные задачи оптимизации для аппроксимирующих систем и осуществляются режимы имитации в модели исходной системы с учетом анализа решений, полученных для аппроксимирующих систем.
- 8 Если имитационная модель описывается разностными уравнениями, то континуальными аналогами этой модели, очевидно, являются модели, описываемые с помощью дифференциальных уравнений. Задавая для каждой такой модели различные критерии качества, можно получить различные оптимизационные задачи. Эти задачи не всегда имеют достаточно простой вид, позволяющий ре -шать их с помощью известных методов. Поэтому, для качественного анализа имитационной модели считается целесообразным строить достаточно упрощенные, агрегированные модели, получаемые из непрерывных аналогов и аппроксимирующие исходную имитационную модель. Это позволяет при тех же критериях качества сформулировать достаточно простые оптимизационные задачи, для решения которых могут использоваться известные методы, например, методы теории оптимального управления [ 50 J .
5°. Принципиальную схему построения имитационной модели, предназначенной для планирования развития нефте-или газодобывающего района предложил В.Р.Хачатуров [47 - 49].
Разностные уравнения, описывающие даже такую упрощенную имитационную модель, содержат в правых частях нелинейности, разрывы, задержки. Реальная имитационная модель конкретного нефте-или газодобывающего региона обладает теми же принципиальными особенностями, но имеет значительно больший объем, учиты -вает большее количество разнообразных факторов. Естественно поэтому, что решение различных оптимизационных задач для подобных моделей, таких как максимизация интегральной добычи за фиксированный плановый период, максимизация прибыли или минимизация какого-либо вида затрат, вызывает значительные трудности и за -частую практически невозможно.
"Задача проектировщика состоит в том, чтобы определить плановые задания производства отдельным месторождениям 0А Qв ..и? , создать проект сети нефтепроводов, соединяющих месторождения с центральным нефтепроводом, определить очередность строительства, наметить пункты сбора и первичной обработки нефти, спроектировать систему закачки воды для поддержания пластового давления, определить места кустования скважин и режим их разбуривания, спроектировать систему электропитания и т.д. В результате должна быть выдана документация на всё необходимое оборудование, вся его спецификация, включающая тысячи наименований. Всё это множество величин должно быть выбрано так, чтобы не только обеспечить выполнение условия С — УУІІУІ , но и достичь минимума стоимости, ... , и, кроме того, минимизировать значения многих других показателей, которые характеризуют качество проекта" [26, с.470 J .
Несколько различных моделей, полученных из описанной в пункте 6° имитационной модели путем агрегирования, подробно исследованы А.В.Федосеевым и другими [ 1,2,41-43 ] . В этих работах были сформулированы оптимизационные задачи, которые исследованы методами теории оптимального управления, целесообразность применения которых отмечалось в [ 50 J . В них были получены ответы на некоторые важные теоретические вопросы: о принципиальном виде и об однозначности оптимального решения, об оптимальной очередности освоения источников сырья и т.д. Модели и методы решения оптимизационных задач, исследованные в [ 41-43 J , включены в состав внешнего математического обеспечения имитационной Системы формирования вариантов перспективных планов добычи нефти (СФГЦЩ), разработанной в ВЦ АН СССР.
Одна из моделей, рассмотренных А.В.Федосеевым, была построена в предположении, что начальный дебит всех вновь вводимых скважин на месторождении одинаков и не зависит от момента их ввода:
Cji М 9 = Соп Для этой модели нефтяного месторождения были сформулированы и решены задачи о максимизации накопленной добычи и о максимизации прибыли за фиксированный плановый период при фиксированном ограничении на суммарное число скважин на месторождении. Кроме того, задача о максимизации накопленной добычи для модели одного месторождения была решена и при не фиксированном ограничении на суммарное число скважин на месторождении.
8°. В настоящей диссертации рассматривается эта же модель нефтяного месторождения и её аналог для группы месторождений. Для этих моделей сформулированы и решены оптимизационные задачи о максимизации интегральной добычи и о максимизации прибыли за фиксированный плановый период, но в отличие от работ А.В.Федосеева, в этих задачах ограничения на суммарное число скважин на каждом месторождении не были заранее фиксированы. Поэтому, задачи, рассмотренные в диссертации, представляют собой задачи оптимального управления с параметрами. Исследована принципиальная возможность включения этих задач и алгоритмов их численного решения в состав внешнего математического обеспечения имитационной системы и приведены конкретные примеры использования полученных оптимальных решений для анализа имитационных моделей.
9°. Рассматриваемые в настоящей диссертации оптимизационные задачи относятся к классу задач оптимального управления, в решении которых центральное место принадлежит принципу максимума Л.С.Понтрягина [зя] .По этой причине следует сказать несколько слов о применении этого инструмента для исследования экономико-математических моделей.
Через несколько лет после первого опубликования (в 1959 г.) монографии начали появлятся в большом количестве статьи, посвященные исследованию методами теории оптимального управления агрегированных моделей национальной экономики. Среди них можно отметить широко известные статьи [54,56,59-61] . Из отечественных работ укажем лишь некоторые [40 - 43, 50, 52 ] .В последние годы принцип максимума начал широко применяться и для исследования агрегированных моделей использования природных ресурсов, как возобновимых [ 41, 57 ] , так и невозобновимте [l6 J .
Другим эффективным инструментом решения оптимизационных задач является динамическое программирование. Показана принципиальная возможность использования этого аппарата для численного решения задач оптимального управления, рассматриваемых в диссертации.
В § 2.4 на примере задачи о максимизации прибыли за фиксированный плановый период исследована принципиальная возможность использования метода динамического программирования для численного решения рассматриваемых в диссертации задач оптимального управления. Выписаны рекуррентные соотношения Беллмана, которые в общем случае дают возможность находить приближенное численное решение исходной задачи, а при выполнении условия "очередности" ввода месторождений в разработку позволяют получить точное решение исходной оптимизационной задачи. Указаны два способа получения приближенного решения исходной задачи.
Глава Ш посвящена использованию численных методов решения задач оптимального управления, рассмотренных во второй главе, для улучшения исходных вариантов перспективного плана добычи нефти по нефтедобывающему объединению.
В § 3.1 обсуждаются возможности применения методов решения задач оптимального управления для целей перспективного планирования в нефтяной промышленности. Описываются основные моменты методики имитационного моделирования, отмечаются характерные особенности нефтедобывающей отрасли, облегчающие построение для неё имитационных систем. Приводится краткое принципиальное описание разработанной в ВЦ АН СССР совместно с институтом СибНИИНП Системы формирования вариантов перспективных планов добычи нефти и показывается возможность и целесообразность включения резуль - 19 татов, полученных в диссертации, во внешнее математическое обеспечение данной имитационной системы.
В § 3.2 описан численный метод решения задач оптимального управления для группы месторождений, основанный на алгоритме последовательных приближений для метода локальных вариаций И.А.Крылова и Ф.Л.Черноусько [ 17 J. Приведены численные примеры для условной группы месторождений.
В § 3.3 приводятся результаты решения задачи о максимизации интегральной добычи для двух условных нефтедобывающих объединений. Показано, как они могут быть использованы при составлении варианта перспективного плана по объединению.
Объем диссертации 137 машинописных страниц., список литературы насчитывает 62 названий.
Задача о максимизации интегральной добычи для нефтяного месторождения
Для модели нефтяного месторождения, описанной в предыдущем параграфе, будем решать задачу оптимального управления о максимизации интегральной добычи нефти за фиксированный плановый период [о,т].
Задача ставится следующим образом. Требуется найти экстремум функционала г У = QMo/i — УУіах , (1.2.1) о при дифференциальных связях о . Q = f-П - 3-fi- Q , (1.2.2) I N = n 9 (1.2.3) граничных условиях Q{0) 0 , (1.2.4) Ы[о) 0 , (1.2.5) фазовом ограничении N() А/ , іє[ т] 9 (1.2.6) и ограничениях на управление О C-Kl() k(t) , іє[оД] , (1.2.7) где - непрерывная функция времени мент Т фиксирован, правый конец траектории считается свободным.
При фиксированном значении Л/ имеем обычную линейную задачу оптимального управления с фазовым ограничением (1.2.6). Более интересной с практической точки зрения представляется задача, в которой Л/ рассматривается как подлежащий определению параметр. В таком случае получаем задачу оптимального уп -равления, в которой от параметра зависят как правые части дифференциальных уравнений, так и фазовые ограничения. Это означает, что требуется определить как максимальное возможное количество скважин на месторождении (или, что то же самое, плотность сетки скважин), так и график ввода в строй новых скважин по годам, при которых суммарная добыча нефти за фиксированный период достигает наибольшего значения.
В последней постановке для рассматриваемой задачи справедлива следующая теорема. Теорема I.I. Оптимальное управление в задаче о максимизации накопленной добычи (I.2.1) - (1.2.7) при заранее не фиксированном А/ имеет следующий вид: KW при О і Т , ЗД= V (1.2.8) О при f і Т , где момент времени Т ( 0 Т Т) и оптимальное N опре -деляются из системы уравнений
Следует отметить, что аналогичные постановки задач встречаются в работе [39 ] при рассмотрении динамики биологических популяций. Однако там допускается только непрерывное изменение управления. - 28 Т V Т ]{i- Xf l4fi[Tj)fl(t)Jtt = 4-е,р[Ж(Т-т)]і, (1.2.9) Шоі = C-N (1.2.10) При этом справедливо равенство: N(T) = N . Доказательство. 1. Введем, следуя [ 10,п.67,с.364], уравнение для параметра: N = 0 . (І.2ДІ)
Из (1.2.3) и (1.2.7) видно, что N (t) есть монотонно неубывающая функция времени. Таким образом, если фазовое ограничение выполняется как равенство при некотором t Т , то оно эффективно для любого "t є [i,T J , а если N (Т) N .то фазовое ограничение не эффективно. Следовательно, исходная задача (I.2.I) - (1.2.7) сводится к одному из двух видов: а) задача (1.2,1) - (1.2.5),(1.2.7) при условии, что правый конец траектории лежит на поверхности Я Ы,Ю г А/- N = 0 , (I.2.I2) т.е. фазовое ограничение (1.2.6) заменено граничным условием (1.2.12); б) задача (I.2.I) - (1.2.5),(1.2.7) со свободным правым концом без фазовых ограничений. При N О яз (I.2.I5) получаем, что т \4{e)-Q(e)Jle = О . (I.2.I7) о Так как УМ 0 при 0 t Т , то (1.2.17) может быть справедливым лишь пря Q(t) — 0 , т.е. опять же при И (і) — О . Таким образом, оптимальное управление в задаче б) есть yiftj—O , однако это управление за ведомо не является оптимальным для исходной постановки задачи, так как ему соответствует нулевое значение функционала, а пря любом другом управления функционал положятелен. Таким образом, мы должны заключить, что оптимальное управление задачи а) слу-жят решеняем задачя в первоначальной постановке. Теорема доказана.
2. Заслужявает внимания следующий интересный факт. Из доказанной только что теоремы I.I следует, что для получения оптимального результата в задаче с нефиксированным N необходимо бурить скважины не на протяжения всего янтервала планярования LOjTJ , а пяшь на некоторой его начальной частя. Другими словами, суммарное количество скважин к концу планового перяода N (Т) = N оказывается меньше того чяслэ сквакин, которое можно было бы пробурять пря полном использования капиталовложений на протяжении всего планового периода
Задача о максимизации прибыли
В предыдущем параграфе была решена задача о максимизапия интегральной добычи для агрегированной модели нефтяного месторождения (1.2.2)-(1.2.7). Здесь для той же модели рассматривается еще одна задача оптимального управления - задача "о максимизации прибыли": т Зі = \ [p-QW -C-n(±)]eKo{ H)J,t— мах , (І.З.І) о где Р - продажная пена нефти; $ - коэффициент дисконтирования, вводимый для соизмеримости дохода и затрат в различные моменты планового периода.
Точно также, как это было сделано выше при решении задачи о максимизации интегральной добычи, можно показать, что правый конеп оптимальной траектории обязательно лежит на поверхности P(N,N) = /V-A7- О , (1.3.2) а предположение о том, что N(T) N . приводит к заведомо неоптимальному решению. Поэтому ниже мы будем описывать решение задачи о максимизации прибыли только для случая выполнения равенства в условии (1.2.6) NlT) = N , или, что то же самое,для случая, когда правый конеп лежит на поверхности (1.3.2). . Вначале исследуем наиболее простой вариант задачи без дисконтирования, т.е. положим в (I.3.I) 6 = 0.
Будем решать задачу (I.3.I), (1.2.2)-(1.2.7) с помощью принципа максимума Понтрягина. Также как и при решении задачи о максимизации накопленной добычи введем дополнительное уравнение для параметра Л/ : /7=0. (і.з.з)
Из теоремы существования 1 17 ,4.2 J следует, что в задаче (I.3.I), (1.2.2)-(1.2.7) оптимальное управление существует. Выпишем гамильтониан и сопряженную систему: Так как оптимальное управление может быть или У1\ч — О , или же И. (ч Ф О , и в зависимости от этого сопряженная система может иметь различные решения, рассмотрим два возможных случая.
Вначале исследуем более простой случай, когда оптимальное управление k(t)=0 . При этом N-0 , Q(t)=0 на всем интервале L,Tj , а кроме того, о( — С .
Дадим экономическую интерпретапию полученным результатам, сформулированным в теореме 1.2. С Если плановый период достаточно короток ( Т "pgf )» то бурить скважины нецелесообразно, так как доход от продажи добытой нефти оказывается меньше затрат на строительство скважин Прибыль в этом случае равна нулю. -г С Если же I -—го , то тогда весь плановый период делится моментом времени Г на две части, в первой из которых скважины бурятся с темпом, максимально допустимым выделяемыми капиталовложениями, а во второй - новые скважины не бурятся вовсе, так как им придется работать слишком малое время и увеличение дохода от продажи добытой из них нефти будет меньше, чем затраты на их строительство.
Рассмотрим поведение функционала при Т — . Из (I.I.5) -(I.I.7) путем ряда преобразований получаем :
Как следует из теоремы 1.2, при оптимальном разбуривании месторождения имеем : І0МЛ=ХШ{і-ехр[-5(Т-Є)рЄ . о Л/ о - В пределе получаем : независимо от длительности периода разбуривания месторождения Т . Это означает, что при любом положительном Т за достаточно большой плановый период из месторождения может быть добыт практически весь начальный извлекаемый запас нефти. В то же время с уменьшением периода разбуривания сокращаются расходы на добычу и поэтому для увеличения прибыли следует пробурить минимальное количество скважин (одну) и сделать это кзк можно скорее,
Задача о максимизации интегральной до бычи. Исследование свойств оптималь ного решения
Задача о максимизации интегральной добычи формулируется следующим образом.
Требуется найти кусочно-непрерывные управляющие функции Ґіі ft ),... Р ҐІМ ft) и значения параметров /V , ..., Nm , при которых удовлетворяется система дифференциальных уравнений (2.I.I), (2.1.2); выполняются начальные условия (2.1.3), (2.1.4), условия на правом конпе (2.1.7), ограничения на управление (2.1.6) и максимизируется функционал У = 2Z iQ.COolt . (2.2.1) L = l О
Так же как в главе I, все NL рассматриваются как подлежащие определению параметры. При этом (2.1.1)-(2.1.7), (2.2.1) представляет собой задачу оптимального управления с параметрами, от которых зависят как правые части дифференциальных уравнений, так и условия на правом конпе. Приведем эту задачу к другому вя ТП7. Интегрируя почленно уравнение (2.I.I) на интервале L0,ТJ , получим: т Т о Т о tattUt = 4 UlWdt -Jfr-QilT) , (2.2.2) о NL о \Nb а с другой стороны т о ОіМ = іІ ) Єхрв(і-Т)] . (2.2.3) О и Из (2.2.2) и (2.2.3) получаем: SQ- olt = f J )l-exp[M()]Mt . о /Vj, о Vt Введем функпии: j.(N.,t) a- {l-ex/ [M(t)]}. (2.2.4) Функпия -f v ( N 0, Ь ) определяет количество нефти, добытой на 1 -ом месторождении из одной скважины, пробуренной в момент t , за все время от момента ее ввода до конца планового периода.
Таким образом, первоначальная задача приводится к задаче, которая при нефиксированных Ы-ь представляет собой усредненную экстремальную задачу с параметрами 114 J : Очевидно, что задачи (2.1.1)-(2.1.7), (2.2.1) и (2.2.5)-(2.2.7) эквивалентны. Результаты исследования свойств оптимального решения этих задач сформулированы в теореме 2.1.
Теорема 2.1. Оптимальное решение задачи о максимизации интегральной добычи нефти из группы месторождений (2.1.1)-(2.1.7), (2.2.1) обладает следующими свойствами: 1. Существует оптимальный период полного рэзбуривания группы нефтяных месторождений ( Т ) такой, что оптимальное решение задачи (2.1.1)-(2.1.7), (2.2.1) удовлетворяет условию 1сД.Й = K(t) , при о t f , l=d 7{J±)=0 , при T i T для всех 1 = 1,..., , причем время полного рэзбуривания Т строго меньше планового периода. 2. Оптимальное управление релейно, т.е. период LO,TJ может быть разбит на конечное число интервалов времени i"bK_d,"tK) таких, что для любого К-1,..., S ( t0=0 , i,$- T ) сущест t . і ± вует такой номер Доказательство. I. Доказательство теоремы будем вести с помощью приншша максимума Понтрягина [ 32] . Так же как в 1.2, введем уравнения для параметров Л/ : Выпишем гамильтониан м - Условия трансверсальности для разных номеров і имеют один из двух возможных видов в зависимости от эффективности условий на правом конпе (2.1.7). Так как нам заранее не известно, для каких номеров I соотношения (2.1.7) выполняются как равенство, а для каких как неравенство, то не уменьшая общности можем считать, что существует такое неотрипательное пелое число Это означает, что правый конеп оптимальной траектории лежит на пересечении поверхностей Соответствующие условия трансверсальности записываются в виде:
Во втором случае Q:(~t) — О , А/. (Г/ = О что может выполняться в двух случаях: либо при О = А/. (г)< Л/., либо при 0 - NAT) — Ni . Заметим, что при Д/. = О формула (2.2.10) приобретает вид: т л/.-^о Л/, о ' К- Т - -^ ^-^(З^)^ . (2.2.13) Очевидно, что при Q.tvt) =0 как (2.2.10), так и (2.2.13) дают один и тот же результат: Ы> - 0
Наконеп, ситуация 0 < МДТ)< Д/^ не соответствует ни одному из вышеуказанных возможных видов управления. Таким образом, доказано, что двум единственно возможным видам оптимального управления: V1\,("W = О , H-t(t)^0 —соответствуют два возможных взаимоисключающих вида условий на правом конпе - 63 - оптимальной траектории: О = N.(T) ^ N. и О < N.(T) = Л/.
3. Итак, вся группа из М месторождений может быть разделена на две подгруппы. К первой подгруппе относятся -С (о ^ ^ X ^ УН) месторождений таких, что т ^ \nL(tU-fc = N. > О , o{L>0 9 1=1,...9. о L
Ко второй подгруппе относятся остальные (УИ-) месторожде- ний, для которых Заметим, что очевидно, Действительно, в противном случае мы имели бы /?. (tj =^) ддя всех , чему соот-ветствует заведомо неоптимальное нулевое значение функционала.
Рассмотрим первую подгруппу месторождений и для нее найдем вид оптимального управления. существует
Все функции F.(t) (1=1,.../) монотонно убывают на интервале [О ,Т] t причем Fl(T) = - o('v < О . Очевидно также, что не существует номера К такого, что F (t) < О на всем интервале [о,Т ]
Численное решение задачи о максимизации интегральной добычи для группы место рождений с помощью метода локальных вариаций
Для численного решения задач оптимального управления существуют много различных методов. Эти методы условно принято разделять на две большие группы; прямые и непрямые. К прямым относятся все те методы, которые основываются на просмотре допустимой окрестности некоторой точки управления U VW из позволяющем найти другую точку управления U (t), при которой значение максимизируемого функционала - Js+i -, будет больше, чем Js . Эти методы непосредственно не используют необходимых или достаточных условий экстремума.
Непрямые методы направлены на отыскание управляющей функции, непосредственно удовлетворяющей необходимым или достаточным условиям. Наибольшее значение имеют методы, использующие необходимые условия. Задача расчета оптимальной программы сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти методы в настоящее время получили широкое распространение. Они удобны для программирования и позволяют использовать простые стандартные программы.
Широко используемым численным методом решения задач оптимального управления со свободным концом является метод, предложенный И.А.Крыловым и Ф.Л.Черноусько [17].
Управление U(t) мы будем разыскивать в классе кусочно-непрерывных функций. На значения фазовых переменных при і = Т никаких условий накладывать не будем. Импульсы \{t) при і = Т должны удовлетворять условиям У.(Т) = О . (3.2.5)
Процедура рашения этой задачи, предложенная И.А.Крыловым и Ф.Л.Черноусько, состоит в следующем: а) Пусть нам задано диспетчерское решение U# . Интегри руя систему (3.2.1), мы находим Х . б) Составим функцию Гамильтона Н = Z"V;f4x,uO и уравнения для сопряженных переменных » Г. =-Z T Y. . (3.2.6)
в) Проинтегрируем систему (3.2.6) при краевом условии (3.2.5) справа налево от t = Т до t = -fc0. При этом будем считать, что X = х , U = и Одновременно из условия мак-симума функции Гамильтона мы будем определять новое управле-ние U.d . Поскольку величины X(i)=Xx и У.ь (t ) , полученные интегрирование системы (3.2.6), нам известны, то новое управление будет также известной функцией времени. Теперь, используя управление U , мы повторим операции а), б), и т.д.
После сравнительно несложной модификации этот метод может быть применен для численного решения задачи о максимизации интегральной добычи, рассмотренной во второй главе. В этом случае вычислительная процедура имеет следующий вид.
Пусть нам известно S -ое приближение оптимального управления: & (s) . "у = ni Ц) . i = i,-,»"; j-i,...,p.
Здесь р - число интервалов времени, на которые разделен весь плановый период [ 0 , Т ] . Длина временного шага в этом случае будет: At = і -і -І .
Поскольку обычно при практических расчетах временной шаг берется равным одному году, в дальнейшем и нам целесообразно принимать : Р - Т , At = 1 .
К тому же это заметно упростит описание схемы. В случае возникновения необходимости в уплотнении разностной сетки, нетрудно внести соответствующие коррективы в формулы расчетов.
