Введение к работе
Актуальность темы исследования
Согласно принятой в естественных науках классификации, к стохастическим системам относятся системы, переменные состояния которых испытывают флуктуации, обусловленные внешними случайными воздействиями и внутренними источниками шумов.
Один из основных подходов к анализу и моделированию процессов в стохастических системах - стохастических процессов - состоит в использовании марковского приближения и аппарата кинетических уравнений, в частности, уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова для непрерывных марковских процессов.
Другой подход использует дифференциальные математические модели стохастических систем - уравнения Ланжевена и стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). При этом модель в форме СДУ позволяет достаточно просто перейти к описанию стохастического процесса методом уравнения Фоккера-Планка (УФП). В то же время численные решения СДУ открывают широкие возможности для проведения численного эксперимента в стохастических системах.
Первой стохастической дифференциальной моделью в физике, по-видимому, была модель Ланжевена, описывающая движение броуновской частицы, взвешенной в жидкости. Полученное П. Ланжевеном уравнение, носящее его имя, - первый пример стохастического дифференциального уравнения. В радиофизике первой работой в этом направлении была статья Л.С. Понтрягина, А.А. Андронова, А.А. Витта, опубликованная в 1933 году и долгое время сохранявшая свое основополагающее значение.
Термин «стохастические дифференциальные уравнения», а также первые работы по их теории принадлежат советскому математику С.Н. Бернштейну. Японский математик К. Ито предложил первый вариант строгой теории СДУ на базе введенного им определения стохастического интеграла. В настоящее время стохастическое интегральное исчисление Ито лежит в основе большинства математических исследований по теории СДУ.
Еще одно определение стохастического интеграла, отличное от определения Ито, предложил Р.Л. Стратонович. СДУ в форме Стратоновича, допускающие предельный переход от реальных физических шумов к идеализированному белому шуму, нашли широкое применение в прикладных исследованиях стохастических процессов.
В настоящее время стохастические модели широко используются в физике и химии, в математической биологии и экологии, в экономике и финансовой математике, в теории оптимального управления и фильтрации сигналов, в других отраслях естественных и технических наук.
В радиофизике на основе стохастических моделей разработана теория шумов и флуктуации в нелинейных электронных системах и автогенераторах, в
радиофизике, гидродинамике и акустике - статистическая теория волн в случайно-неоднородных средах. Несмотря на значительные успехи в этих направлениях, многие вопросы теории стохастических колебаний по-прежнему привлекают внимание исследователей.
Значительный рост интереса к нелинейным колебаниям, возбуждаемым в достаточно простых динамических системах совместным воздействием периодического сигнала и шума, наблюдается также в связи с обнаружением явления стохастического резонанса. Существенный вклад в исследования случайных процессов в нелинейных системах на основе решений нестационарного УФП внесли работы А.Н. Малахова и его учеников.
Однако следует отметить, что в цитированных работах основное внимание уделяется нахождению приближенных аналитических решений для систем с модельными нелинейностями. Возможности численных решений используются явно недостаточно. Кроме того, аналитические результаты на основе решений нестационарного УФП удается получить лишь для нелинейной системы первого порядка (передемпфированного осциллятора). Для систем с одной и более степенями свободы наиболее успешным методом исследования стохастических колебаний, по-видимому, является метод моделирования на основе численных решений стохастических дифференциальных уравнений.
Теория и практика численного интегрирования СДУ в настоящее время развиваются по двум направлениям. В одном из них внимание сосредоточено на разработке математически строгих численных алгоритмов, базирующихся на определении стохастического интеграла Ито. Полученные при этом решения относятся к классу так называемых строгих решений. Для них характерно то, что реализация случайного процесса, являющегося решением СДУ, однозначно определяется заданной реализацией винеровского процесса и начальным условием. К настоящему времени разработан ряд численных алгоритмов строгих решений СДУ Ито различного порядка точности. Однако алгоритмы высокого порядка (например, порядка 5/2) довольно громоздки и по вычислительной эффективности значительно уступают алгоритмам численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Другое направление теории и практики численного интегрирования СДУ ориентировано на получение слабых решений. Отыскание такого решения означает возможность построения вероятностной модели процесса, описываемого СДУ с заданными вероятностными характеристиками винеровского процесса. Для прикладных исследований в отраслях естественных наук, как правило, интерес представляют слабые решения СДУ в форме Стратоновича.
Считается, что для отыскания слабых решений СДУ можно применять методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом белый шум в правой части уравнения заменяется случайным процессом с конечным временем корреляции. Но такой подход требует проверки стохастического смысла интегралов, с которыми неявно оперирует выбранный численный алгоритм решения обыкновенного дифференциального уравне-
ния. Кроме того, удовлетворительного определения порядка точности для слабых решений СДУ к настоящему времени не найдено.
Таким образом, исследование статистических характеристик стохастических колебаний на основе численных решений УФП и СДУ по-прежнему является актуальной задачей математического моделирования и статистической радиофизики, решение которой имеет общетеоретическое, прикладное и методическое значение.
Цель работы
Целью диссертации является разработка численных методов анализа спектрально-корреляционных характеристик периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных системах и методов моделирования стохастических систем на основе интегральных уравнений движения и алгоритмов эволюции систем в дискретном времени.
Методы исследования
Работа выполнена на основе методов теории колебаний, численного моделирования, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.
Научная новизна диссертационной работы заключается:
в методе расчета корреляционной функции стохастических колебаний, основанном на численном интегрировании систем дифференциальных уравнений, следующих из уравнения Фоккера - Планка;
в интегральном методе моделирования стохастических колебаний в нелинейных резонансных системах;
- в обнаружении новых хаотических режимов вынужденных колебаний
дискретного осциллятора Дюффинга и осциллирующего магнитного диполя;
- в математических моделях систем, элементы которых взаимодействуют
по схеме «хищник - жертва».
Практическая значимость работы
Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа стохастических колебаний и моделирования стохастических систем могут найти применение при решении задач проектирования устройств обработки сигналов и прогнозирования процессов развития систем различной физической природы, в учебном процессе высших учебных заведений.
Обоснованность и достоверность результатов работы
Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:
использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа случайных процессов;
использованием апробированных на практике методов анализа и синтеза дискретных систем;
результатами тестирования разработанных математических методов и численных алгоритмов на задачах, имеющих точное аналитическое решение;
соответствием приведенных результатов анализа и моделирования их аналогам, полученным другими авторами;
соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.
Положения, выносимые на защиту
Метод и результаты расчета корреляционных функций периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных стохастических системах первого порядка.
Метод моделирования стохастических колебаний на основе интегральных уравнений движения нелинейных резонансных систем.
Результаты численного эксперимента с дискретным осциллятором Дюффинга, в том числе обнаруженные режимы хаотических колебаний.
Механизм перехода к динамическому хаосу в дискретных бистабиль-ных системах.
Интегральные и дискретные модели вольтерровской системы.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на
V, VI, VII и VIII Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2006 г.; г. Казань, 2007 г.; г. Самара, 2008 г.; г. СанктПетербург, 2009 г.);
Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2007» (г. Томск, 2007 г.);
Всероссийской научно-технической конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.);
38, 39 и 40 научных конференциях преподавателей и сотрудников Самарского государственного университета.
Публикации
По материалам диссертации опубликованы 13 работ, в том числе 5 статей (из них 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание ученой степени доктора наук) и 10 докладов и тезисов докладов научно-технических конференций и семинаров.
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников из 96 наименований. Объем диссертации -164 страницы. Работа содержит 90 рисунков и 2 таблицы.
