Введение к работе
Актуальность работы. К изучению математических моделей колебаний дискретных систем с симплектической структурой приводят задачи из различных областей естествознания, науки и техники. Среди них ведущую роль играют задачи дискретной гамильтоновой и лагранжевой механики, задачи дискретного вариационного исчисления, задачи связанные с построением и разработкой симплектических методов интегрирования для дифференциальных гамильтоновых систем уравнений, сохраняющих основные инварианты данных систем. Фундаментальная теорема классической гамильтоновой механики утверждает, что эволюция гамильтоновой системы во времени есть эволюция симплектической трансформации. С этой точки зрения любая га-мильтонова система имеет симплектическую структуру. В частности, к моделям, сохраняющим симплектическую структуру фазового потока, относятся дискретные линейные симплектические системы
Y;
1+1
И% г
0,1,
N, Wi
'Аг Вг С, Di
где вещественная 2п х 2п матрица системы является симплектической:
wTJWi = j, j
0 I -I о
,г = 0,. ..,N.
Частным случаем системы (1) являются следующие важные классы дискретных уравнений и систем: гамильтоновы системы разностных уравнений, дискретные уравнения Штурма-Лиувилля порядка 2п, п Є N, векторные дискретные уравнения Якоби и Штурма-Лиувилля.
Настоящая работа посвящена разработке новых математических методов в осцилляционной теории (или теории колебаний) систем (1) и их приложениям в алгоритмах вычисления собственных значений дискретных самосопряженных краевых задач. Осцилляционная теория, или теория Штурма, имеет фундаментальное значение для теории линейных самосопряженных краевых задач со времени доказательства знаменитых теорем Штурма1 об осцил-ляционных свойствах собственных функций краевой задачи —{jp{t)x'{t))' = \x(t), х(0) = x(l) = 0. Осцилляционная теория для (1) является разностным аналогом теории для линейных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений
JV' = n(t)y,H(t)
-C(t) A(t)T A(t) B(t)
U(ty = 4{t)
1 Sturm C. Memoire sur une classe d'Equations a differences partielles // J. Math. Pures Appl. 1836. Vol. 1. P. 373-444.
с вещественным гамильтонианом 1-L(t), при этом краевые задачи для гамиль-тоновых систем с общими самосопряженными граничными условиями являются предельно общей постановкой линейных самосопряженных граничных задач 2. В то время как осцилляционная теория для дифференциальных систем (2) изучена достаточно глубоко в работах В. Б. Лидского, Ф. Р. Ганмахе-ра, М.Г. Крейна, В.А. Якубовича, В.И. Арнольда, F. Atkinson, W. Coppel, W. Reid, W. Kratz и др., аналогичная теория для общего случая систем (1) активно развивается лишь последние годы и к настоящему моменту далека от завершения. Основной трудностью при построении математических моделей колебаний дискретных систем является формулировка концепции нуля решения. В то время как для дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля определение нуля решения в классическом случае является очевидным, для его дискретного аналога - уравнения — А(г\ Ах і) + r\ Х{+\ = 0 существование "обобщенного"нуля на интервале (і, і + 1] связано с нарушением одного из двух условий Х{+\ т^ 0, Х{/(г\ Х{+\) > 0 (при этом предполагается, что Х{ т^ 0). Аналогичная ситуация имеет место в случае фокальных точек матричных решений системы (2) и ее разностного аналога - системы (1). Фокальная точка для сопряженного базиса - 2п х п матричного решения Y(t) = [X(t)T U{t)T]T дифференциальной системы (2), удовлетворяющего
rangY{t) = п, XT{t)U{t) = UT{t)X{t), (3)
определяется условием detX(t) = 0 и имеет кратность m(t) = deiX(t) = п — rangX(t). В данной работе, при построении математической модели колебаний дискретных систем (1), в основе понятия "обобщенного нуля "матричного решения лежит определение фокальной точки сопряженного базиса Y{ = [Xf UfY на (і, і + І]3. Существование фокальной точки связано с нарушением хотя бы одного из двух условий
КегХг+1 С КегХг, ХіХ}+1Ві > 0, (4)
где КетА - ядро А, А^ означает псевдообратную для А и А > 0 означает, что А = Ат неотрицательно определенная. Количественной мерой нарушения (4) является число фокальных точек m(Yi) на интервале (і, і + 1] (с учетом их кратностей)4. Предлагаемый в работе новый математический аппарат, названный методом сравнительного индекса, предназначен для разработки и исследования дискретной модели колебаний, основанной на современной концепции числа фокальных точек.
2 Гохберг И. Ц., Крейн М.Г. Теория волтерровых операторов в гильбертовом пространстве. М.:
Наука. 1967. 508 с.
3 Bohner М., Dosly О. Disconjugacy and transformations for symplectic systems // Rocky Mountain
Journal of Mathematics. 1997. no. 3. Pp. 707-743.
4 Kratz W. Discrete Oscillation // Journal of Difference Equations and Applications. 2003. Vol. 9.
Pp. 127-135.
Интерес к изучению осцилляционных свойств систем (1) вызван, как и в непрерывном случае, их приложениями, в частности, в дискретном вариационном исчислении и в теории граничных задач. В дискретном вариационном исчислении рассматривается задача минимизации дискретного функционала
Т(х) = J2 f(i,x(i + 1), Ах (і)) —> inf для векторной функции х(і) Є Wn дис-
г=0
кретного аргумента і = О,..., N + 1, удовлетворяющей заданным граничным условиям. Среди необходимых (достаточных) условий минимума дискретного функционала содержится условие неотрицательности (положительности)
его второй вариации i^(^) = J2{zT(i + l)Q(i)z(i + 1) + 2zT(i + l)R(i)Az(i) +
i=0
+ (Az(i))TP(i)Az(i)}. При исследовании знакоопределенности дискретного квадратичного функционала i^(^) ВСДУЩУЮ роль, как и в непрерывном случае5, играет осцилляционная теория для векторного уравнения Якоби. К настоящему моменту дискретная осцилляционная теория позволяет исследовать знакоопределенность квадратичных функционалов более общего вида, чем это было принято рассматривать в классическом вариационном исчислении.
Второй важнейшей областью приложений дискретной осцилляционной теории, с которой непосредственно связаны основные результаты диссертационной работы, является теория граничных задач. Как частный случай, данная теория включает классическую спектральную теорию для разностных скалярных и векторных уравнений Штурма-Лиувилля. Так, для дискретной краевой задачи Штурма-Лиувилля — А(г\ Ах і) + г\ Х{+\ = \х{+\, Хо = = xn+i = 0, осцилляционная теорема Штурма устанавливает равенство между числом собственных значений указанной краевой задачи, не превосходящих А = 6, Ь Є Ж. и числом фокальных точек на (0,7V+1] векторного решения
1 1М(1)
Уі, 2/0 = [0 Г
СИМПЛЄКТИЧЄСКОЙ СИСТеМЫ Уі+і
_rf) _ А 1 + (rf» - А)/г,(1> вычисленного для данного X = Ь. Одним из последних достижений в дискретной спектральной теории для систем (1) с линейной зависимостью от спектрального параметра А является доказательство в 2007 г. обобщения осцилляционной теоремы Штурма6. Данный результат связывает число конечных собственных значений симплектической краевой задачи, не превосходящих заданное А, с числом фокальных точек некоторого сопряженного базиса системы (1).
Общим преимуществом приложений осцилляционных теорем Штурма
5 Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. М.:
Факториал, 1998. 351 с.
6 Dosly О., Kratz W. Oscillation theorems for symplectic difference systems // Journal of Difference
Equations and Applications. 2007. no. 13. Pp. 585-605.
для дискретного и непрерывного случаев в численных методах решения краевых задач является возможность вычислять число собственных значений краевой задачи на произвольном отрезке [а, Ь] С К, решать различные проблемы, связанные с локализацией спектра, в частности, определять число всех отрицательных или всех положительных собственных значений краевой задачи, а также вычислять только одно собственное значение с заданным номером, используя метод бисекций.
Хорошо известно, что метод бисекций для расчета собственных значений симметричной трехдиагональной матрицы (Дж. Гивенс (1954), Дж. Уил-кинсон (1965)) основан на осцилляционной теореме Штурма для дискретного уравнения Штурма-Лиувилля второго порядка. Метод нахождения собственных векторов и собственных значений симметрических матриц с помощью приведения к трехдиагональной форме, основанный на вычислении обобщенных нулей последовательностей Штурма, активно развивался в работах С.К. Годунова и его учеников7. Хорошо известны также приложения осцилляционной теории в алгоритмах вычисления собственных значений и собственных функций краевых задач для дифференциальных гамильтоновых систем и их частных случаев. Среди них ведущую роль занимают численные алгоритмы, основанные на различных модификациях метода прогонки, таких как прогонка с унитарной матрицей-функцией (В. Б. Лидский, М.Г. Нейгауз (1962), F. Atkinson (1964), W. Reid (1980)), прогонка с тригонометрическими трансформациями (А. А. Абрамов, 1991), другие модификации метода дифференциальной прогонки (А. А. Абрамов, 2011). В алгоритмах, основанных на приложениях осцилляционной теории8'9'10, устойчивый перенос краевых условий сочетается с параллельным вычислением функций от числа сопряженных точек на заданном интервале интегрирования при фиксированном значении спектрального параметра.
С момента доказательства осцилляционной теоремы для систем (1) с линейной зависимостью от спектрального параметра А является актуальным вопрос о возможностях её приложений в алгоритмах решения дискретных самосопряженных краевых задач. Как показал проведенный анализ, соответствующие приложения осцилляционной теории для дифференциальных граничных задач потребовали наличия развитого математического аппарата, практически отсутствующего в дискретной осцилляционной теории для
7 Годунов С. К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения
систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1992. 360 с.
8 Greenberg L., Marietta М. Numerical methods for higher order Sturm-Liouville problems // Journal
of Computational and Applied Mathematics. 2000. Vol. 125. Pp. 367-383.
9 Marietta M. Numerical solution of eigenvalue problems for Hamiltonian systems // Advances in
Computational Mathematics. 1994. Vol. 2, no. 2. Pp. 155-184
10 Абрамов А. А. О вычислении собственных значений нелинейной спектральной задачи для гамиль
тоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики
и математической физики. 2001. Т. 41. С. 29-38.
концепции кратностей фокальных точек. Существующий аппарат, основанный на дискретной вариационной технике, оказался недостаточным для доказательства многих открытых проблем, поставленных в данной теории в конце 90-х г. прошлого века. В частности, открытыми оставались вопросы о соотношениях между кратностями фокальных точек сопряженных базисов симплектических систем при изменении начальных условий и коэффициентов систем; при произвольных симплектических трансформациях; при переходе от системы (1) к ей обратной; другие открытые вопросы, важные для приложений. Построению такого аппарата, его приложениям в дискретной осцилляционной теории и в алгоритмах вычисления собственных значений дискретных симплектических краевых задач посвящена настоящая работа.
Цель диссертационной работы. Введение и разработка математического аппарата, позволяющего получать новые количественные и качественные характеристики осцилляционных свойств решений дискретных симплектических систем, установить основные законы их изменения, а также разработать численные алгоритмы решения дискретных краевых задач, основанные на приложениях новых результатов дискретной осцилляционной теории.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются дискретные симплектические системы, а предметом исследования - осцилля-ционные свойства матричных решений данных систем.
Методы исследования. В работе используются методы линейной алгебры и матричного анализа, элементы теории разностных уравнений, симплектические методы интегрирования гамильтоновых систем и численные методы решения краевых задач. Разработка программного обеспечения проводилась в среде MATLAB.
Научная новизна.
-
Предложен новый математический аппарат в исследовании и разработке математических моделей колебаний дискретных симплектических систем - метод сравнительного индекса.
-
С использованием метода сравнительного индекса впервые получены результаты, связывающие число фокальных точек двух сопряженных базисов одной симплектической системы (обобщение теорем отделимости) или двух сопряженных базисов различных симплектических систем (обобщение теорем сравнения).
-
Разработана концепция числа фокальных точек сопряженного базиса обратной симплектической системы (числа фокальных точек на полуинтервале [і, і + 1)). Решена открытая проблема о равенстве числа фокальных точек главных решений на (0, N + 1] и [0, N + 1).
-
Впервые получены результаты, связывающие число фокальных точек сопряженного базиса и базиса, подвергнутого произвольной симплектической трансформации. Решена проблема об обобщении принципа взаимности для
дискретной симплектической системы при произвольной симплектической трансформации сопряженного базиса.
-
Доказаны основные теоремы относительной осцилляционной теории для двух симплектических систем с линейной зависимостью от спектрального параметра и различными самосопряженными (в том числе связанными) граничными условиями на конечном отрезке изменения дискретной переменной. Впервые доказаны теоремы, представляющие число собственных значений дискретной краевой задачи на произвольном интервале (а, &]; впервые получены результаты, связывающие число собственных значений двух спектральных задач с различными симплектическими матрицами коэффициентов на интервалах (—оо, а] и (—оо, Ь] при произвольно заданных а, Ь Є Ш. Получены неравенства для собственных значений двух дискретных симплектических краевых задач с различными самосопряженными граничными условиями, в частности, обобщенные свойства перемежаемости спектров двух задач с разделенными и связанными граничными условиями.
-
Впервые предложены и доведены до программной реализации алгоритмы вычисления фокальных точек сопряженных базисов дискретных симплектических систем, основанные на разработанных в диссертации вариантах ортогональной прогонки, сохраняющих симплектическую структуру задачи.
-
Разработаны и доведены до программной реализации численные методы определения собственных значений дискретных линейных симплектических краевых задач с самосопряженными граничными условиями, основанные на новых результатах дискретной осцилляционной теории.
Практическая значимость. Разработанный метод сравнительного индекса при математическом моделировании колебаний дискретных симплектических систем может быть использован:
в новых численных методах и комплексах программ для решения дискретных линейных самосопряженных краевых задач, в том числе полученных при конечноразностных и конечноэлсментных аппроксимациях самосопряженных дифференциальных операторов;
при решении проблемы минимизации дискретных функционалов в задачах дискретного вариационного исчисления, задачах дискретной лагран-жевой и гамильтоновой механики;
в алгоритмах решения проблемы собственных значений для разреженных А - матриц специальной структуры, в частности, симметрических ленточных и блочно-трехдиагональных матриц;
в алгоритмах исследования устойчивости численных методов, связанных с проблемами локализации спектра соответствующих вспомогательных самосопряженных разностных операторов.
Построенная в работе относительная осцилляционная теория для пары самосопряженных дискретных краевых задач может найти приложения в задачах исследования устойчивости колебаний и параметрического резонанса в линейных гамильтоновых системах, а предложенные в работе алгоритмы вычисления собственных значений, основанные на методе прогонки, могут быть использованы в задачах теоретической и прикладной гидродинамики, акустики и геофизики, при исследовании волновых процессов в стратифицированных жидких и упругих средах, в задачах контактного взаимодействия.
Реализация.
Полученные результаты внедрены в учебный процесс для подготовки бакалавров по направлению 231300 «Прикладная математика».
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Разработка теоретических основ метода сравнительного индекса в построении и исследовании математических моделей колебаний дискретных симплектических систем.
-
Теоремы сравнения и отделимости для дискретных симплектических систем, представленные в форме равенств, связывающих число фокальных точек сопряженных базисов данных систем.
-
Доказательство основных формул относительной осцилляционной теории для двух симплектических краевых задач с линейной зависимостью от спектрального параметра и общими самосопряженными граничными условиями: соотношения для числа собственных значений спектральной краевой задачи на интервале (а, &]; соотношения для числа собственных значений двух спектральных задач с различными матрицами коэффициентов и граничными условиями; неравенства для собственных значений для двух краевых задач с различными граничными условиями.
-
Доказательство обобщений дискретного принципа взаимности при произвольных трансформациях сопряженных базисов симплектических систем. Формулы связи между числом фокальных точек при произвольных симплектических трансформациях.
-
Варианты разностной ортогональной прогонки, предназначенные для переноса краевых условий дискретных самосопряженных краевых задач:
-вариант ортогональной прогонки, основанный на использовании симплектических перестановок строк сопряженного базиса;
-модификация варианта дифференциальной прогонки А.А. Абрамова, основанной на использовании тригонометрических трансформаций.
5. Алгоритмы расчета собственных значений дискретных краевых задач,
основанные на вычислении фокальных точек сопряженных базисов симплек
тических систем с параметром. Алгоритмы вычисления числа фокальных то
чек сопряженных базисов, основанные на предложенных вариантах метода
прогонки и новых результатах осцилляционной теории:
алгоритмы, основанные на вычислении индекса симметрического оператора, связанного с сопряженным базисом и матрицей системы;
алгоритмы, основанные на новых формулах теории трансформаций для сопряженных базисов симплектической системы.
Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Связь работы с научными проектами. Работа была выполнена при поддержке РФФИ (грант 07-07-00213а).
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры Общей Математики факультета ВМиК МГУ (руководители академик РАН В.А.Ильин, академик РАН Е. И. Моисеев); на научно-исследовательском семинаре кафедры Вычислительных Методов факультета ВМиК МГУ под руководством проф. A.M. Гулина; на следующих 14 научных конференциях и конгрессах:
III, IV международная научная конференция "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (Тверь, 1998; Москва, 2000); 6th International Conference on Difference Equations (Augsburg, Germany, 2001); V International congress on mathematical modelling (Dubna, 2002); VI научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» ( Москва, 2003); 8th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2003 (Brno, Czech Republic, 2003); VI International congress on mathematical modeling (N. Novgorod, 2004); 10th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2005 (Munich, Germany, 2005); European Advanced Studies Conference, EASC7 (Homburg, Germany, 2006); 12th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2007, (Lisbon, 2007); Progress on difference equations, International conference PODE 2008 (Laufen/Salzach and Salzburg, Germany, 2008); Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем"(Москва, 2008); 14th International Conference on Difference Equations and Applications, ICDEA 2009 (Estoril, Portugal, 2009); Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем"(Москва, 2011);
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 27 статьях и монографии. Из них 8 статей опубликовано в отечественных рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК: [1]-[3],[5],[8],[10]-[12],4 работы:[4],[6]-[7],[9] опубликованы в международных рецензируемых изданиях, включенных в системы цитирования (библиографические базы) "Scopus"H "Web of Science: Citation Index Expanded "(база данных по естественным наукам).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
