Содержание к диссертации
Введение
1 Динамическая модель фильтрации в трещинновато пористой среде 25
1.1 Относительно ограниченные операторы . 25
1.2 Вырожденные разрешающие аналитические группы операторов 29
1.3 Задача Вернгина 32
1.4 Условия относительной ограниченности операторов 37
1.5 Функциональные пространства и дифференциальные операторы 41
1.6 Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной . 46
2 Эволюционная модель фильтрации в пористой среде 51
2.1 Относительно р-секториальнъте операторы 51
2.2 Вырожденные рйзрешающие аналитические полугруппы операторов 53
2.3 Единицы полугрупп 57
2.4 Существование обратного оператора 59
2.5. Интерполяционные пространства 61
2.6 Задача Веригина -. 63
2.7 Уравнение свободной поверхности фильтрующейся жидкости 68
3 Нелинейная обобщенная модель фильтрации 73
3.1 5-монотонные и 5-коэрцитивньте операторы 73
3.2 Множество решений 76
3.3 Задача Веригина 79
3.4 Обобщенное уравнение Буссинеска 81
Список литературы 84
- Вырожденные разрешающие аналитические группы операторов
- Функциональные пространства и дифференциальные операторы
- Вырожденные рйзрешающие аналитические полугруппы операторов
- Уравнение свободной поверхности фильтрующейся жидкости
Введение к работе
Кроме того, уравнение (0.4) интересно еще и потому, что оно моделирует процесс влагоперевоса в почве [ПО], процесс теплопроводности с "двумя температурами" [107], а также динамику некоторых неныотоновых жидкостей [108], [П7]. Уравнения (0,5) и (0.6) получаются из общего уравнения [22], которое в свою очередь, появилось вследствие критики П,Я. Кочиной [57] классического уравнения Буссиксска, моделирующего фильтрацию жидкости без учета вертикальной составляющей скорости свободной поверхности.
В [70] изучена задача Коши-Дирихле для уравнения (0,6) при условии неотрицательности оператора при производной по времени. Там же построен контрпример, показывающий точность полученных результатов. Однако в [64] показано, что параметр А в уравнении (0,6) может принимать произвольные отрицательные значения Поэтому и в полулинейном случае необходим поиск новых начально-краевых условий.
Историография вопроса. Если положить Т = 0, то задача (0Л) превратится в прямое обобщение задачи Коши (0.7), К задаче (0-3) для уравнения (0.2) редуцируются начально-краевые задачи для нєклассичееких уравнений в частных производных 1б].
Первым, кто начал изучать задачу (0.3) для абстрактного линейного операторного уравнения (0.4), были М,И, Винтик [14] и независимо от него СТ. Крейн и ею ученики [27], [38], В последних работах был детально изучен случай (L, а)-ограниченного оператора М (в нашей терминологии) при условии фредгольмовости оператора L (т.е. indL = 0). Показано, что фазовым пространством уравнения (0.4] служит некоторое подпространство в U коразмерности равной размерности Af-корневого пространства оператора L. Все работы ([14], [27], [38]) имеют сугубо теоретический характер и не содержат никаких приложений.
Первым абстрактные уравнения вида (0.2) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать R.E. Showaiter Ш). Он рассмотрел случай самосопряженного эллиптического оператора L, вырождающегося на некотором множестве ненулевой меры. R.E. Showalter [119) и независимо от него НА. Сидоров со своими учениками [93 первыми начали изучать линейные уравнения вида (0.2) с различными вырождениями оператора L и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.
Отдавая честь первооткрывателю, мы будем называть как абстрактные уравнения вида (0.2), (0.3). так и конкретные их интерпретации (0,4), (0.5), (0.6), уранкт ми Соболевского типа. В дальнейшем всюду мы считаем этот термин синонимом терминов т,лсевдопараболическиеуравнения"([17]; [34], [66], [122]), "уравнения типа Соболева1 {[52], [53), [73], [74], (75), [76J, [77], [78], [79]-[84], [116])Т "уравнения типа Соболева-Гальперна"(136]: [120)) и "уравнения не типа Кощи-Ковалевской11 ], [56]). Кроме того, мы считаем уравнения Соболевского ті па самостоятельной областью лежащей на стыке функционального анализа и неклассических уравнений в частных производных. Заметим еще, что важность и необходимость создания общ й теории уравнений вида (0.2), (0.4) отмечали ИТ. Петровский [Щ и Ж.-Л. Лионе [44],
Задача Веригипа в первоначальной постановке [2], [13] выглядит следующим образом. Предположим, что ii = ff - гильбертово пространство, L - ограниченный самосопряженный оператор в Я. Пусть Но = ker L Й ІЦ_) - инвариантное пространство, отве чающее положительной (отрицательной) части спектра оператора L. Пусть Р- (Р+) - соответствующие спектральные проекторы. Требуегся для некоторого Т Є 1+ найти вектор-функцию и : [0,Т] — ІІ, удовлетворяющую условиям (0.1) и уравнениям (0.2), (0.3), но в данном случае проекторы Р (-Р+) имеют иной смысл, чем у нас. Однако мы сохраним термин "задача Ве-ригжяа", предпочитая его терминам "ЗЛЛШЇТ икс-парабол и чес кая задача" [97] и "задача сопряжения"[55].
Актуальность темы диссертации. Все результаты по уравнениям Соболевского типа можно весьма условно поделить на две части. К первой по традиции следует отнести работы, в которых объектом исследования являются уравнения и системы уравнений в частных производных, которые изучаются посредством коэрцитивных оценок. Основной результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается как следствие ю какой-либо глубокой топологической теоремы тина теоремы о неподвижной точке. К этому разделу можно отнести результаты В.Н. Врагова [1G] и ого учеников А.И, Кожанова 35 С.Г\ Пяткова [58], [59] и других [124]; АЛ. Осколкова [52]. [53] и его учеников [54]; Г.В. Дездидсико [21]. [109] и многих других [108], [123.
Ко второй части относятся работы, в которых объектом исследовании выступают абстрактные операторные уравнения вида (0.2), а. конкретные начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений вида (0.3), (0.4) служат иллюстративными примерами общих абстрактных результатов. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В. Мельникова и ее ученики [47], [48], НА. Сидоров и его ученики [92-[94], R.E. Showaltcr [119(, A. Favini [112], [111), A. Faviiii и A. Yagi [115] и многие другие [116], [117], [118].
К этому же разделу следует отнести работы ГА. Свиридюка и его учеников [64]-[91]. В них тоже изучается однозначная разрешимость задачи Коши (0.3) для абстрактного операторного уравнения (0,2). Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является выделение и изучение фазового пространства уравнения (0.2), Впервые термин "фазовое пространство1 данном контексте появился в работах [74], [78] где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений"[68], [69], [72], [75].
Перечислим сначала работы, в которых фазовые пространства уравнений вида (0.2) изучены наиболее полно. Прежде всего здесь следует отметить цикл работ ГА, Свиридкжа) в которых изучались фазовые пространства линейного уравнения (0.2). Отправной точкой послужила работа [67], в которой абстрактные результаты были приложены к начально-краевой задаче для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочикой [5] моделирующей движение жидкости, фильтрующейся в трещинновато пористой среде. Затем эти результаты были развиты в работах [73], [75]. Весьма краткий обзор этих результатов содержится в [7б. Здесь полностью изучены фазовые пространства уравнения (0.2) в случаях, когда оператор М (L, ст)-ограни чей и (1/,р)-секториалее.
Работа J76] стала основой для многих глубоких исследований. Среди всех отметим результаты В.Е. Федорова [89, [90], [101], в которых всесторонне изучены фазовые пространства уравнений (0,2) при условии ( -радиальности оператора М. В настоящее время эти результаты обобщают результаты A. Favini и A Yagi [115] и служат основой для многочисленных приложений [81],
К настоящему времени задача Веригина для уравнений собо-левского типа изучена мало. Из работ, обнаруженных в математической литературе, необходимо прежде всего отметить статью СТ. Суворова [97], где рассматривается вариационная постановка двухфазной задачи фильтрации с условиями Верягина на поверхности раздела. Оказывается, что в регулярном случае данный подход приводит "почти к решению "исходной задачи. Исследована также обобщенная разрешимость параболической задачи в нецилиндрических областях. Обсуждается возможность численной реализации вариационного метода. Кроме того, необходимо отметить статью А.А. Панкова и Т.Е. Панковой [55], в которых мы находим развитие результатов Н.Н- Веригина [13( ы С.Г. Суворова [97],
К сожалению, несмотря на обилие результатов и приложений, теория относительной -ограниченности операторов и вырожденных аналитических групп операторов остается малоизвестной широкой математической общественности. По этой причине уже сейчас появляются статьи1, в которых с использованием других обозначений изложены те же результаты, что и в [76], [101], но без всяких ссылок и доказательств. Ввиду таких обстоятельств мы
Баскаков А.Г,, Чернышев К.И, К спектральной теории пар линейных операторов // Изв. РАЕН, сер. МММИУ. 1997. ТЛ, т 2. С.3-30. сочли необходимым поместить в диссертацию сводку основных результатов теории относительных cr-ограничснных операторов и вырожденных аналитических групп операторов.
Первым относительно сскториальные операторы рассматривал Г.А. Свиридюк [75]. Им было показано, что понятие относительной секториальности оператора является естественным обобщением понятия секторнальности оператора [27], [29]) [104]. Однако вскоре обнаружилось, что понятие относительной секторнальности оператора оператора обобщает понятие относительной а-ограниченности оператора только в случае устранимой особой точки в бесконечности L-резольвенты оператора М. Для того, чтобы ликвидировать этот досадный пробел, Т. А. Бокарева ввела в рассмотрение [8] понятие относительной р-секторнальности оператора, обобщающее понятие относительной сг-ограниченности оператора и в случае полюса в бесконечности L-резольвенты оператора М. Первые итоги в этом направлении были приведены в обзоре [44], Затем были введены в рассмотрение относительно сильно р-секториальные операторы справа (слева) [8] и относительно сильно р-секториальные операторы [89], (90]. В дальнейшем относительно р-секториальные операторы изучались в различных ситуациях. Именно, ЛЛ. Дудко [24] исследовала случай, когда оба оператора замкнуты, а пространства Я и g совпадают; А.А, Ефремов [26] исследовал задачи оптимального управления для уравнений соТюлевского типа с относительно р секториальньши операторами; А,В. Келлер 31] нашла достаточ ные (а в некоторых случаях и необходимые) условия существования ограниченных решений таких уравнений; Г.А. Кузнецов [39] начал поиск относительно р-секториалъных операторов среди эллиптических операторов; М.М. Якупов [10б использовал относительно р-секториальные операторы для изучения фазовых пространств некоторых задач гидродинамики вязкоупругих жидкостей.
Класс 5-монотонных и s-коэрцитивных операторов ввел в рассмотрение Г.А. Свиридкж. Б [64], [70] км была получена локальная разрешимовть однородной задачи Коши-Дирихле для уравнения (0.6) при условии А — Аь где Ai - первое собственное значение однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа — А в ограниченной области i С Ж"- Затем в [85] этот результат был распространен на случай неоднородной задачи Копти-Дирихле, В [84] методами [23] локальное решение было продолжено до глобального.
Основной метод диссертации - изучение абстрактных задач (0.1),(0.2) и (0.1), (0.3), а затем редукция к ним задачи Веригина-Дирихле для уравнений (0.4). (0.5). (0.6). Б ходе редукции мы используем стандартную технику, созданную на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных производных. Основы этой техники были заложены в классической монографии (96]. Современное состояние можно представить по монографиям [411,(421,1441,(501,(981,1103].
Краткое содержание диссертации. Б первой главе изучена задача (0.1) для уравнения (0.2) с относительно -ограниченными оператор ам и,
В п.1.1 вводятся относительно ( -ограниченные операторы, изучаются свойства их резольвент, строятся проекторы по относительному спектру. В и.1.2 строятся вырожденные аналитические группы операторов и изучаются их ядра и образы. В п.1.4 приводятся необходимые и достаточные условия относительной стог рани ченности операторов в терминах относительно присоеди- Егенных векторов. В основном асе результаты почерпнуты из [76] и [101]. П.1.5 тоже носит справочный характер. В нем собраны и систематизированы основные факты теории дифференциальных операторов в частных производных в функциональных пространствах.
Во второй главе изучена задача Всригина для линейных уравнений соболевекот типа с относительно р-сскториальными операторами- Поскольку теория относительно секторналъньгх операторов пока еще недостаточно широко известпа; то в первых четырех параграфах второй главы дается сводка основных результатов этой теории. В п.2.1 вводятся относительно -мультирезольвенты и изучаются их свойства. В п.2.2 строятся вырожденные аналитические полугруппы операторов и изучаются свойства их ядер и образов. В п.2.3 указываются условия, достаточные для существования единиц этих полугрупп, которые, очевидно, являются проекторами, дающими нам нужное расщепление пространств. В т[.2А даются условия существования оператора L± . Полные доказательства приведенных здесь результатов можно найти либо в диссертации В.Е. Федорова [100, либо в его же учебном пособии [101].
Здесь параметры а,0€ R+. Aet характеризуют среду, свободный член / которой соответствует источникам (стокам жидкости). Причем ранее показано [67], что параметр Л может принимать отрицательные значения.
Третья глава диссертации посвящена исследованию задачи Ве-ригина для полулинейного уравнения (0,3), В п. 3.1 изучены свойства s-монотонных и s-коэрцитивных операторов по сравнению с монотонными и коэрцитивными операторами [17]. В п. 3.2 описывается множество решений задачи Дирихле для уравнения (0.3)-В п. 3.3 рассмотрена задача (0.1), (0.3), где в отличие от предыдущих глав спектральные проекторы строятся по спектру оператора L. В п.3,4 рассматривается задача Дирихле-Веригина для уравнения (0.6). Все результаты носят качественный характер, однако втзтіду [66] могут быть использованы при численных расчетах.
Благодарности. В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Георгию Анатольевичу С ви рн дюку за чуткое руководство и стимулирующие дискуссии. Автор так же выражает огромную блашдарность заведующему кафедрой математического анализа Челябинского государственного педаї О-гического университета Анатолию Семеновичу Макарову за помощь при выходе из возникавших затруднений. Кроме того, автор благодарен коллективу кафедры математического анализа Челябинском госуниверситега за конструктивную критику, а так же моим родителям Александру Николаевичу и Вере Васильевне за веру и терпение.
Вырожденные разрешающие аналитические группы операторов
Первым относительно сскториальные операторы рассматривал Г.А. Свиридюк [75]. Им было показано, что понятие относительной секториальности оператора является естественным обобщением понятия секторнальности оператора [27], [29]) [104]. Однако вскоре обнаружилось, что понятие относительной секторнальности оператора оператора обобщает понятие относительной а-ограниченности оператора только в случае устранимой особой точки в бесконечности L-резольвенты оператора М. Для того, чтобы ликвидировать этот досадный пробел, Т. А. Бокарева ввела в рассмотрение [8] понятие относительной р-секторнальности оператора, обобщающее понятие относительной сг-ограниченности оператора и в случае полюса в бесконечности L-резольвенты оператора М. Первые итоги в этом направлении были приведены в обзоре [44], Затем были введены в рассмотрение относительно сильно р-секториальные операторы справа (слева) [8] и относительно сильно р-секториальные операторы [89], (90]. В дальнейшем относительно р-секториальные операторы изучались в различных ситуациях. Именно, ЛЛ. Дудко [24] исследовала случай, когда оба оператора замкнуты, а пространства Я и g совпадают; А.А, Ефремов [26] исследовал задачи оптимального управления для уравнений соТюлевского типа с относительно р секториальньши операторами; А,В. Келлер 31] нашла достаточ-ные (а в некоторых случаях и необходимые) условия существования ограниченных решений таких уравнений; Г.А. Кузнецов [39] начал поиск относительно р-секториалъных операторов среди эллиптических операторов; М.М. Якупов [10б использовал относительно р-секториальные операторы для изучения фазовых пространств некоторых задач гидродинамики вязкоупругих жидкостей.
Класс 5-монотонных и s-коэрцитивных операторов ввел в рассмотрение Г.А. Свиридкж. Б [64], [70] км была получена локальная разрешимовть однородной задачи Коши-Дирихле для уравнения (0.6) при условии А — Аь где Ai - первое собственное значение однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа — А в ограниченной области i С Ж"- Затем в [85] этот результат был распространен на случай неоднородной задачи Копти-Дирихле, В [84] методами [23] локальное решение было продолжено до глобального.
Основной метод диссертации - изучение абстрактных задач (0.1),(0.2) и (0.1), (0.3), а затем редукция к ним задачи Веригина-Дирихле для уравнений (0.4). (0.5). (0.6). Б ходе редукции мы используем стандартную технику, созданную на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных производных. Основы этой техники были заложены в классической монографии (96]. Современное состояние можно представить по монографиям [411,(421,1441,(501,(981,1103].
Краткое содержание диссертации. Б первой главе изучена задача (0.1) для уравнения (0.2) с относительно -ограниченными оператор ам и, В п.1.1 вводятся относительно ( -ограниченные операторы, изучаются свойства их резольвент, строятся проекторы по относительному спектру. В и.1.2 строятся вырожденные аналитические группы операторов и изучаются их ядра и образы. В п.1.4 приводятся необходимые и достаточные условия относительной стог рани ченности операторов в терминах относительно присоеди- Егенных векторов. В основном асе результаты почерпнуты из [76] и [101]. П.1.5 тоже носит справочный характер. В нем собраны и систематизированы основные факты теории дифференциальных операторов в частных производных в функциональных пространствах.
Б п.1.3 приведены основные результаты первой главы. Здесь поставлена и изучена задача Веригина для уравнения (0.2) при условии (L, а ограниченности оператора М. Доказана теорема о существовании и единственности задачи Веригина при естественных предположениях на правую часть уравнения Получена в явном внде формула общего решения. Приведенные здесь абстрактные результаты в п.1.6 прилагаются к конкретной задаче, возникшей в приложениях.
Функциональные пространства и дифференциальные операторы
Отдавая честь первооткрывателю, мы будем называть как абстрактные уравнения вида (0.2), (0.3). так и конкретные их интерпретации (0,4), (0.5), (0.6), уранкт ми Соболевского типа. В дальнейшем всюду мы считаем этот термин синонимом терминов т,лсевдопараболическиеуравнения"([17]; [34], [66], [122]), "уравнения типа Соболева1 {[52], [53), [73], [74], (75), [76J, [77], [78], [79]-[84], [116])Т "уравнения типа Соболева-Гальперна"(136]: [120)) и "уравнения не типа Кощи-Ковалевской11 ], [56]). Кроме того, мы считаем уравнения Соболевского ті па самостоятельной областью лежащей на стыке функционального анализа и неклассических уравнений в частных производных. Заметим еще, что важность и необходимость создания общ й теории уравнений вида (0.2), (0.4) отмечали ИТ. Петровский [Щ и Ж.-Л. Лионе [44],
Задача Веригипа в первоначальной постановке [2], [13] выглядит следующим образом. Предположим, что ii = ff - гильбертово пространство, L - ограниченный самосопряженный оператор в Я. Пусть Но = ker L Й ІЦ_) - инвариантное пространство, отве чающее положительной (отрицательной) части спектра оператора L. Пусть Р- (Р+) - соответствующие спектральные проекторы. Требуегся для некоторого Т Є 1+ найти вектор-функцию и : [0,Т] — ІІ, удовлетворяющую условиям (0.1) и уравнениям (0.2), (0.3), но в данном случае проекторы Р (-Р+) имеют иной смысл, чем у нас. Однако мы сохраним термин "задача Ве-ригжяа", предпочитая его терминам "ЗЛЛШЇТ икс-парабол и чес кая задача" [97] и "задача сопряжения"[55].
Актуальность темы диссертации. Все результаты по уравнениям Соболевского типа можно весьма условно поделить на две части. К первой по традиции следует отнести работы, в которых объектом исследования являются уравнения и системы уравнений в частных производных, которые изучаются посредством коэрцитивных оценок. Основной результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается как следствие ю какой-либо глубокой топологической теоремы тина теоремы о неподвижной точке. К этому разделу можно отнести результаты В.Н. Врагова [1G] и ого учеников А.И, Кожанова 35 С.Г\ Пяткова [58], [59] и других [124]; АЛ. Осколкова [52]. [53] и его учеников [54]; Г.В. Дездидсико [21]. [109] и многих других [108], [123.
Ко второй части относятся работы, в которых объектом исследовании выступают абстрактные операторные уравнения вида (0.2), а. конкретные начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений вида (0.3), (0.4) служат иллюстративными примерами общих абстрактных результатов. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В. Мельникова и ее ученики [47], [48], НА. Сидоров и его ученики [92-[94], R.E. Showaltcr [119(, A. Favini [112], [111), A. Faviiii и A. Yagi [115] и многие другие [116], [117], [118].
К этому же разделу следует отнести работы ГА. Свиридюка и его учеников [64]-[91]. В них тоже изучается однозначная разрешимость задачи Коши (0.3) для абстрактного операторного уравнения (0,2). Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является выделение и изучение фазового пространства уравнения (0.2), Впервые термин "фазовое пространство1 данном контексте появился в работах [74], [78] где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений"[68], [69], [72], [75].
Перечислим сначала работы, в которых фазовые пространства уравнений вида (0.2) изучены наиболее полно. Прежде всего здесь следует отметить цикл работ ГА, Свиридкжа) в которых изучались фазовые пространства линейного уравнения (0.2). Отправной точкой послужила работа [67], в которой абстрактные результаты были приложены к начально-краевой задаче для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочикой [5] моделирующей движение жидкости, фильтрующейся в трещинновато пористой среде. Затем эти результаты были развиты в работах [73], [75]. Весьма краткий обзор этих результатов содержится в [7б. Здесь полностью изучены фазовые пространства уравнения (0.2) в случаях, когда оператор М (L, ст)-ограни чей и (1/,р)-секториалее.
Работа J76] стала основой для многих глубоких исследований. Среди всех отметим результаты В.Е. Федорова [89, [90], [101], в которых всесторонне изучены фазовые пространства уравнений (0,2) при условии ( -радиальности оператора М. В настоящее время эти результаты обобщают результаты A. Favini и A Yagi [115] и служат основой для многочисленных приложений [81],
К настоящему времени задача Веригина для уравнений собо-левского типа изучена мало. Из работ, обнаруженных в математической литературе, необходимо прежде всего отметить статью СТ. Суворова [97], где рассматривается вариационная постановка двухфазной задачи фильтрации с условиями Верягина на поверхности раздела. Оказывается, что в регулярном случае данный подход приводит "почти к решению "исходной задачи. Исследована также обобщенная разрешимость параболической задачи в нецилиндрических областях. Обсуждается возможность численной реализации вариационного метода. Кроме того, необходимо отметить статью А.А. Панкова и Т.Е. Панковой [55], в которых мы находим развитие результатов Н.Н- Веригина [13( ы С.Г. Суворова [97],
Вырожденные рйзрешающие аналитические полугруппы операторов
Отдавая честь первооткрывателю, мы будем называть как абстрактные уравнения вида (0.2), (0.3). так и конкретные их интерпретации (0,4), (0.5), (0.6), уранкт ми Соболевского типа. В дальнейшем всюду мы считаем этот термин синонимом терминов т,лсевдопараболическиеуравнения"([17]; [34], [66], [122]), "уравнения типа Соболева1 {[52], [53), [73], [74], (75), [76J, [77], [78], [79]-[84], [116])Т "уравнения типа Соболева-Гальперна"(136]: [120)) и "уравнения не типа Кощи-Ковалевской11 ], [56]). Кроме того, мы считаем уравнения Соболевского ті па самостоятельной областью лежащей на стыке функционального анализа и неклассических уравнений в частных производных. Заметим еще, что важность и необходимость создания общ й теории уравнений вида (0.2), (0.4) отмечали ИТ. Петровский [Щ и Ж.-Л. Лионе [44],
Задача Веригипа в первоначальной постановке [2], [13] выглядит следующим образом. Предположим, что ii = ff - гильбертово пространство, L - ограниченный самосопряженный оператор в Я. Пусть Но = ker L Й ІЦ_) - инвариантное пространство, отвечающее положительной (отрицательной) части спектра оператора L. Пусть Р- (Р+) - соответствующие спектральные проекторы. Требуегся для некоторого Т Є 1+ найти вектор-функцию и : [0,Т] — ІІ, удовлетворяющую условиям (0.1) и уравнениям (0.2), (0.3), но в данном случае проекторы Р (-Р+) имеют иной смысл, чем у нас. Однако мы сохраним термин "задача Ве-ригжяа", предпочитая его терминам "ЗЛЛШЇТ икс-парабол и чес кая задача" [97] и "задача сопряжения"[55].
Актуальность темы диссертации. Все результаты по уравнениям Соболевского типа можно весьма условно поделить на две части. К первой по традиции следует отнести работы, в которых объектом исследования являются уравнения и системы уравнений в частных производных, которые изучаются посредством коэрцитивных оценок. Основной результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается как следствие ю какой-либо глубокой топологической теоремы тина теоремы о неподвижной точке. К этому разделу можно отнести результаты В.Н. Врагова [1G] и ого учеников А.И, Кожанова 35 С.Г\ Пяткова [58], [59] и других [124]; АЛ. Осколкова [52]. [53] и его учеников [54]; Г.В. Дездидсико [21]. [109] и многих других [108], [123.
Ко второй части относятся работы, в которых объектом исследовании выступают абстрактные операторные уравнения вида (0.2), а. конкретные начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений вида (0.3), (0.4) служат иллюстративными примерами общих абстрактных результатов. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В. Мельникова и ее ученики [47], [48], НА. Сидоров и его ученики [92-[94], R.E. Showaltcr [119(, A. Favini [112], [111), A. Faviiii и A. Yagi [115] и многие другие [116], [117], [118].
К этому же разделу следует отнести работы ГА. Свиридюка и его учеников [64]-[91]. В них тоже изучается однозначная разрешимость задачи Коши (0.3) для абстрактного операторного уравнения (0,2). Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является выделение и изучение фазового пространства уравнения (0.2), Впервые термин "фазовое пространство1 данном контексте появился в работах [74], [78] где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений"[68], [69], [72], [75].
Перечислим сначала работы, в которых фазовые пространства уравнений вида (0.2) изучены наиболее полно. Прежде всего здесь следует отметить цикл работ ГА, Свиридкжа) в которых изучались фазовые пространства линейного уравнения (0.2). Отправной точкой послужила работа [67], в которой абстрактные результаты были приложены к начально-краевой задаче для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочикой [5] моделирующей движение жидкости, фильтрующейся в трещинновато пористой среде. Затем эти результаты были развиты в работах [73], [75]. Весьма краткий обзор этих результатов содержится в [7б. Здесь полностью изучены фазовые пространства уравнения (0.2) в случаях, когда оператор М (L, ст)-ограни чей и (1/,р)-секториалее.
Работа J76] стала основой для многих глубоких исследований. Среди всех отметим результаты В.Е. Федорова [89, [90], [101], в которых всесторонне изучены фазовые пространства уравнений (0,2) при условии ( -радиальности оператора М. В настоящее время эти результаты обобщают результаты A. Favini и A Yagi [115] и служат основой для многочисленных приложений [81],
Уравнение свободной поверхности фильтрующейся жидкости
Новизна полученных результатов. Прежде всего необходимо отметить нопизну постановки задачи Веригина (ОЛ) для линейных уравнений (0,2). Такая постановка учитывающая спектральные свойства оператора М относительно оператора L, па наш взгляд, является естественным обобщением классической задачи Веригина,
Впервые построено точное решение задачи Веригина (0.1) для уравнения (0,2) при любых Т Є К в случае (L, -ограниченного оператора М, инрк любых Т Ж+ в случае (І, р)-секторпального "относительно ограниченный оператор", которое введено в 30] совсем по другому поводу). В дальнейшем теория относительно а-юграниченных операторов и порождаемых ими вырожденных аналитических групп операторов легла в основу многих исследований. Именно, Л.Л.Дудко [24] рассмотрела класс замкнутых операторов, являющихся относительно -ограниченными операторами; А.А. Ефремов [26] изучил задачу оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа с относительно т-ограниченными операторами; А.В, Келлер [31] нашла необходимые и достаточные условия существования ограниченных решений таких уравнений; Г.А. Кузнецов [Щ нашел необходимые и достаточные условия относительной а-ограниченности операторов в терминах относительно присоединенных векторов, причем более простые, чем в [24] и [76]: М.М. Якупов [106] использовал относительную -ограниченность для исследования морфологии фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа.
К сожалению, несмотря на обилие результатов и приложений, теория относительной -ограниченности операторов и вырожденных аналитических групп операторов остается малоизвестной широкой математической общественности. По этой причине уже сейчас появляются статьи1, в которых с использованием других обозначений изложены те же результаты, что и в [76], [101], но без всяких ссылок и доказательств. Ввиду таких обстоятельств мы
Баскаков А.Г,, Чернышев К.И, К спектральной теории пар линейных операторов // Изв. РАЕН, сер. МММИУ. 1997. ТЛ, т 2. С.3-30. сочли необходимым поместить в диссертацию сводку основных результатов теории относительных cr-ограничснных операторов и вырожденных аналитических групп операторов.
Первым относительно сскториальные операторы рассматривал Г.А. Свиридюк [75]. Им было показано, что понятие относительной секториальности оператора является естественным обобщением понятия секторнальности оператора [27], [29]) [104]. Однако вскоре обнаружилось, что понятие относительной секторнальности оператора оператора обобщает понятие относительной а-ограниченности оператора только в случае устранимой особой точки в бесконечности L-резольвенты оператора М. Для того, чтобы ликвидировать этот досадный пробел, Т. А. Бокарева ввела в рассмотрение [8] понятие относительной р-секторнальности оператора, обобщающее понятие относительной сг-ограниченности оператора и в случае полюса в бесконечности L-резольвенты оператора М. Первые итоги в этом направлении были приведены в обзоре [44], Затем были введены в рассмотрение относительно сильно р-секториальные операторы справа (слева) [8] и относительно сильно р-секториальные операторы [89], (90]. В дальнейшем относительно р-секториальные операторы изучались в различных ситуациях. Именно, ЛЛ. Дудко [24] исследовала случай, когда оба оператора замкнуты, а пространства Я и g совпадают; А.А, Ефремов [26] исследовал задачи оптимального управления для уравнений соТюлевского типа с относительно р секториальньши операторами; А,В. Келлер 31] нашла достаточ ные (а в некоторых случаях и необходимые) условия существования ограниченных решений таких уравнений; Г.А. Кузнецов [39] начал поиск относительно р-секториалъных операторов среди эллиптических операторов; М.М. Якупов [10б использовал относительно р-секториальные операторы для изучения фазовых пространств некоторых задач гидродинамики вязкоупругих жидкостей.
Класс 5-монотонных и s-коэрцитивных операторов ввел в рассмотрение Г.А. Свиридкж. Б [64], [70] км была получена локальная разрешимовть однородной задачи Коши-Дирихле для уравнения (0.6) при условии А — Аь где Ai - первое собственное значение однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа — А в ограниченной области i С Ж"- Затем в [85] этот результат был распространен на случай неоднородной задачи Копти-Дирихле, В [84] методами [23] локальное решение было продолжено до глобального.
Похожие диссертации на Исследование математических моделей фильтрации жидкости
