Введение к работе
Актуальность темы. Математическое моделирование широко используется при решении различных классов прикладных задач. В особенности это относится к нелинейным задачам. Одной из областей, в которой эффективно используются методы математического моделирования, является теория подземной фильтрации аномальных жидкостей. Решению возникающих в этой области задач посвящена обширная литература. Однако, во-первых, в основном используются линейные модели, а во-вторых, рассматривается случай изотропной среды. В то же время, многие практические задачи требуют использования нелинейных законов фильтрации (с предельным градиентом, многозначные законы). Кроме того, изучение движения жидкостей в пористых средах свидетельствует об их анизотропности. Поэтому исследование математических моделей, учитывающих нелинейный и анизотропный характер зависимости скорости фильтрации от градиента давления, построение эффективных методов численной реализации таких моделей является актуальной задачей.
Цель исследований. Цель работы - построение и исследование математических моделей задач анизотропной фильтрации несжимаемой жидкости, построение и исследование приближенных методов решения указанных задач.
Методы исследований. При изучении рассматриваемых в работе задач используются методы выпуклого анализа, нелинейного функционального анализа, теория монотонных операторов, метод конечных элементов.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в исследовании корректности математических моделей задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному многозначному анизотропному закону фильтрации, построении и исследовании приближенных методов для решения вариационных неравенств второго рода в банаховых и гильбертовых пространствах, которые возникают при математическом описании рассматриваемых задач фильтрации, численной реализации предложенных алгоритмов.
Практическая ценность. Разработанные математические модели и численные методы могут быть использованы при решении конкретных стационарных задач фильтрации — задач фильтрации несжимаемых жидкостей, следующих нелинейному многозначному анизотропному закону фильтрации.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на итоговой научно-образовательной конференции студентов Казанского государственного университета 2005 г., XIV, XV Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, Крым, 25-31 мая 2005 г., 25-31 мая 2007 г.), научной конференции "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 3-8 июля 2006 г.), 6-ом, 7-ом Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (г. Казань, 1 - 4 октября 2005, 21-24 сентября 2007 гг.), VII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 17-24 мая 2006 г.), VII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2008) (Алушта, Крым, 24-31 мая 2008 г.), итоговых научных конференциях Казанского государственного университета 2005-2007 г.г., научных семинарах кафедры вычислительной математики КГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. Из них одна — в издании из списка, рекомендованных ВАК-Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и изложена на 120 страницах и содержит 21 рисунок. Список литературы состоит из 149 наименований.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований (грант 06-01-00633).
