Введение к работе
Актуальность темы. Математическая гидродинамика по-прежнему остается одним из актуальных направлений современной науки и науки будущего. Нет необходимости перечислять все направления современной гидродинамики, описывать связанные с ними задачи и сложность их решения (в том числе математическую). Укажем лишь те вопросы, которые рассматриваются в работе. Основной задачей данной работы является математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода в параллельных течениях некоторых простых двухфазных систем. Модельные уравнения, описывающие движение таких сред (монодисперсная смесь), хорошо известны в литературе, где обсуждаются как феноменологические, так статистические аспекты движения и характера межфазного обмена импульсом. Однако относительная простота модели позволяет выделить и проанализировать моменты, возникающие при исследовании более сложно устроенных систем гидродинамического типа. Многофазные системы широко распространены в природе. Только с середины прошлого столетия механика многокомпонентных систем стала приобретать современный вид. При этом в виду своего прикладного значения наиболее изученными оказались такие направления, как, например, ударно-волновые процессы в неоднофазных средах, обтекание тел двухфазными потоками, пленочные течения, вибрационные и фильтрационные движения, движение газо-жидкостных смесей и т.д. При этом имеющиеся модели гидродинамического типа, допускающие существование стационарных или периодических решений, являются основой для распространения результатов и ставят новые задачи для теории устойчивости. Обобщение подходов, развитых Ляпуновым, для уравнений гидродинамического типа и бесконечномерных динамических систем позволяет в ряде случаях ответить на вопрос об устойчивости (по Ляпунову). Наибольшие успехи достигнуты в решении вопроса о законности линеаризации (первый метод Ляпунова), который подробно изучен для уравнений параболического типа и уравнений Навье-Стокса. При этом оказывается, что некоторые выводы об устойчивости или неустойчивости, полученные для линеаризованных уравнений, переносятся и на нелинейные уравнения. Применение методов спектральной теории линейных операторов в гидродинамической теории устойчивости и бифуркаций остается и будет наиболее плодотворным и развивающимся направлением при изучении вопросов устойчивости течений жидкости. При этом спектральные методы
могут быть средством качественного исследования влияния параметров модели на структуру спектра малых возмущений. О необходимости развития спектральной теории говорит тот факт, что строгий результат об абсолютной устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе не получен по сей день. Сравнительно недавними явились результаты зарубежных авторов (Trefethen et. al.) по применению теории псевдоспектров для исследования устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе. Количественное исследование спектра линеаризованных уравнений, как правило, сопряжено с решением задачи на собственные значения для уравнений с малым параметром при старшей производной. Данное обстоятельство накладывает определенные ограничения и требования на численные методы, исследование сходимости которых необходимо проводить отдельно. Изучение бифуркаций и возникновения турбулентности течений гидродинамических систем сопряжено с огромным объемом вычислительной работы. При этом даже в случае, когда существует строгая теория (например, движений системы на аттракторе), нет возможности проверить строгую выполнимость условий теорем, поэтому многие результаты проверяются посредством численного эксперимента. Наиболее распространен при исследовании бифуркации метод Ляпунова-Шмидта, позволяющий свести задачу ветвления к аналогичной проблеме для системы малой размерности и получать вторичные режимы в виде ряда по степеням малого параметра. В вычислительном плане наиболее эффективными являются спектральные методы конечномерной дискретизации гидродинамических уравнений. Прямое численное моделирование ламинарно-турбулентного перехода остается основным средством исследователя даже в отсутствии глобальной теоремы существования.
Цель работы. Исследование возможности моделирования ламинарно-турбулентного перехода для монодисперсных смесей. Разработка библиотеки процедур для автоматизации отыскания собственных значений линеаризованной задачи. Исследование применимости спектральных методов для моделирования колебательной неустойчивости параллельных течений смеси. Качественный и количественный анализ спектра линеаризованных уравнений движения монодисперсной смеси в окрестности некоторого стационарного параллельного течения.
Решаемые задачи:
1. Возможность математического моделирования ламинарно-турбулентного перехода в случае монодисперсной смеси. Примени-
мость первого метода Ляпунова. Качественный анализ спектра пучка операторов, соответствующих линеаризованным уравнениям для монодисперсной смеси.
Разработка библиотек, позволяющих автоматизировать решение задачи на собственные значения, с использованием метода дифференциальной прогонки. Исследование условий применимости спектральных методов Галеркина с использованием глобально ортогональных базисов в линейном и нелинейном случаях.
Исследование влияния формы основного профиля, геометрии течения на характер спектра для параллельных течений монодисперсной смеси. Численное подтверждение качественных результатов, относящихся к спектру линейной задачи.
Научная новизна и значимость работы.
1. Показано, что уравнения для моно дисперсной смеси могут быть включены в общую теорию математической гидродинамики, изложенную в известной монографии Юдовича "Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости", и на них распространяются результаты соответствующих теорем (в частности, обоснование законности линеаризации). Установлена дискретность спектра и полнота собственных и присоединенных векторов в некотором банаховом пространстве, а оператор задачи порождает аналитическую полугруппу.
2.Установлено, что линеаризованные уравнения для дисперсной фазы и слагаемое, описывающее межфазное взаимодействие в смеси, обусловливают существование отображения поля скоростей дисперсной фазы на поле скоростей дисперсионной фазы, осуществляемое пучком линейных обратимых операторов. При этом спектральная задача сводится к нелинейной задаче на собственные значения для голоморфного семейства замкнутых операторов с вполне непрерывной резольвентой. Обобщение теорем о неявных аналитических функциях и применение следствий теоремы Като дает представление о поведении характеристических чисел пучка операторов, как ветвей голоморфной функции. Установлено преобразование комплексной плоскости, переводящее сходственные точки спектра друг в друга при фиксированных значениях параметров, определяющих задачу. Для спектра двумерных возмущений данным обстоятельством качественно можно разъяснить сложную структуру параметрических зависимостей для критического числа Рейнольдса и спектральных зависимостей, а так же повышение значения критического числа Рейнольдса практически на порядок.
3.Установлено, что качественная картина устойчивости определяется величиной степени дисперсности примеси, а геометрия течения и форма основного профиля в определенном смысле отвечают за изменение количественных характеристик. Замкнутые подобласти у нейтральных кривых и ветви у параметрических зависимостей для трехмерных возмущений могут наблюдаться как в узко щелевом приближении, когда напорное течение в кольцевом зазоре вырождается в плоскопараллельное течение Пуазейля, так и при различных значениях радиуса внутреннего цилиндра. При этом характер распределения энергии пульсаций в сечении канала определяется величиною степени дисперсности.
Научная и практическая значимость работы. Разработанная библиотека процедур для решения спектральной задачи позволяет существенно автоматизировать процесс вычислений и минимизировать подготовительный этап. В частности, для начала расчетов необходимо иметь лишь приближенное представление о локализации спектра на комплексной плоскости. Исследована применимость и сходимость спектрального метода Галеркина с использованием полиномов Чебы-шева для линеаризованных уравнений, описывающих монодисперсную смесь. Приведен пример расчета плоских автоколебаний для монодисперсной смеси. Предложен способ дискретизации сильно нелинейного слагаемого, основанный на свойствах глобальной ортогональности и рекуррентных соотношениях для полиномов Чебыше-ва.
На защиту выносятся:
1. Результаты исследования возможности математического моделиро
вания ламинарно-турбулентного перехода в случае монодисперсной
смеси. Применимость первого метода Ляпунова. Качественный ана
лиз спектра пучка операторов, соответствующих линеаризованным
уравнениям для монодисперсной смеси.
2. Разработка библиотеки процедур, позволяющих автоматизировать
решение задачи на собственные значения, с использованием метода
дифференциальной прогонки. Численная схема для исследования
бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа плоскопараллельного те
чения Пуазейля монодисперсной смеси.
3.Результаты исследования влияния формы основного профиля, геометрии течения на характер спектра для параллельных течений монодисперсной смеси. Численное подтверждение качественных результатов, относящихся к спектру линейной задачи.
Достоверность результатов. Возможность использования процесса Бубнова-Галеркина в задаче об отыскании собственных чисел изучена, когда оператор представим в виде суммы самосопряженного, симметричного оператора Т и оператора К, который вполне непрерывен в энергетическом пространстве первого. В этом случае Н.И. Польским показано, что собственные элементы задачи могут быть построены как пределы собственных элементов, получаемых процессом Бубнова-Галеркина, если резольвента оператора Т"'К имеет простые полюсы. При этом приближенные решения сходятся по энергии оператора Т. Однако, как установлено Ладыженской и Юдовичем, обобщенные решения будут решениями в исходном гильбертовом пространстве. В случае исследования автоколебаний применимость методов Галерки-на хорошо изучена для параллельных течений. Важным моментом как для линейной задачи, так и при исследовании автоколебаний оказывается вопрос о существовании и единственности обобщенного решения в соответствующих пространствах. Эта проблема решается работами В.И. Юдовича и О.А. Ладыженской. Сходимость метода дифференциальной прогонки оценивается апостериорно (контрольными вычислениями и сравнением с уже известными результатами). Поскольку в методе дифференциальной прогонки решается система конечных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, то применимы соответствующие теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметра и начальных данных. При этом коэффициенты матрицы дисперсионного определителя являются аналитическими, однозначными функциями собственного значения.
Апробация работы. Основные результаты докладывались автором на следующих конференциях: VII—VIII-й Всероссийских конференциях молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики" (Новосибирск, 2002-04 гг.), доклады на которых дважды были отмечены дипломом третьей степени, Всероссийская конференция "Теория и приложения задач со свободными границами" (Бийск, 2002г.), Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002г.), Международная конференция "Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей" (Новосибирск, 2004г.), 28-й сибирский тсплофизический семинар (Новосибирск, 2005 г.).
Личный вклад автора. Описанное в диссертации исследование было проведено автором самостоятельно, в том числе разработана библиотека процедур для автоматизации решения задачи на собственные значения. На основе сравнительного анализа спектральных методов (в частности, методов, использующих глобально ортогональные функции) построена схема, использующая Чебышев-Фурье дискретизацию уравнений автоколебаний, для исследования бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа плоскопараллельного течения Пуазейля монодисперсной смеси. Автором самостоятельно проведен качественный анализ спектральной задачи на основе известных результатов теории линейных операторов. Установлено, что пучок операторов, соответствующий линеаризованным уравнениям для монодисперсной смеси, удовлетворяет требованиям теорем, доказанных В.И. Юдовичем и обосновывающим первый метод Ляпунова в гидродинамике.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Работа содержит 50 рисунков, 10 таблиц, библиография насчитывает 170 наименований. Общий объем диссертации- 128 страниц.
Публикации, Автором по теме диссертации опубликовано 18 печатных работ, из них 2 статьи в журналах по списку ВАК.
