Содержание к диссертации
Введение
1 Математическое моделирование ламинарно- турбулентного перехода. Метод дифференциальной прогонки 12
1.1 Постановка задачи 12
1.2 Уравнение Орра-Зоммерфельда 16
1.3 Течение между коаксиальными цилиндрами при наличии продольного магнитного поля 17
1.4 Течение слабоэлектропроводящей жидкости в спиральном магнитном поле 26
1.5 Сравнительный анализ методов решения задачи гидродинамической устойчивости 29
1.6 Метод дифференциальной прогонки 32
2 Модификация численного метода. Достоверность вычислений 35
2.1 Модификации метода дифференциальной прогонки 35
2.2 Приемы программной реализации численного метода 37
2.3 Метод коллокаций 41
2.3.1 Метод коллокаций К.И. Бабенко 42
2.4 Оценка достоверности результатов численного эксперимента 45
3 Устойчивость плоского течения электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле 48
3.1 Вывод уравнений для малых возмущений плоского течения электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле 48
3.2 Численное исследование устойчивости плоского течения электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле 52
4 Численное исследование устойчивости параллель ного течения в трубе кольцевого сечения 68
4.1 Устойчивость параллельного течения в трубе кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля 68
4.2 Влияние азимутального магнитного поля на устойчивость течения в трубе кольцевого сечения 101
Заключение
- Уравнение Орра-Зоммерфельда
- Течение между коаксиальными цилиндрами при наличии продольного магнитного поля
- Приемы программной реализации численного метода
- Численное исследование устойчивости плоского течения электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле
Введение к работе
Актуальность темы. Математическое моделирование ламинарно-турбулентого перехода в электропроводящей жидкости в присутствии магнитного поля представляет значительный интерес. Это связано с широкой распространенностью электропроводящих сред - жидких металлов, ионизованного газа, плазмы, электролитов. С помощью магнитного поля можно эффективно управлять устойчивостью течений таких жидкостей. В последние годы появились новые возможности для исследования устойчивости параллельных течений, что связано, в частности, со значительным прогрессом в области вычислительной техники. В этой связи возникает необходимость разработки эффективных численных алгоритмов и создания библиотеки программ для более полного и детального исследования устойчивости МГД-течений.
Ламинарно-турбулентный переход в электропроводящей жидкости в присутствии магнитного поля интересен также и в теоретическом плане. Область ламинарно-турбулентного перехода располагается между хорошо исследованной областью существования ламинарных течений жидкости и областью существования турбулентного движения. Проблема турбулентности по-прежнему остается открытой, несмотря на то, что в течении целого века привлекает внимание многих выдающихся исследователей. Основные трудности при исследовании турбулентности связаны с наличием большого числа степеней свободы, нелинейностью, сложным и хаотическим характером движения. Поэтому изучение ламинарно-турбулентного перехода представляется важным, так как дает понимание механизмов зарождения и развития турбулентности, условий реализации ламинарного или турбулентного движения. Магнитное поле существенно влияет на ламинарно-турбулентный переход в электропроводящей жидкости - оно может как стабилизировать, так и в отдельных случаях дестабилизировать течения. Магнитное поле является мощным инструментом воздействия на устойчивость течений электропроводящих жидкостей.
Переход к турбулентности или к новым ламинарным течениям непосредственно связан с потерей устойчивости ламинарного потока. Общая теория гидродинамической устойчивости и перехода к турбулентному движению пока не разработана. Наиболее исследована и сторого обоснована теория линейной устойчивости параллельных течений в каналах. Однако несмотря на очень большой объем публикаций по данному вопросу, исчерпывающие результаты получены только в единичных случаях. Даже вопрос об устойчивости простого течения в круглой трубе не решен до настоящего времени. Это связано со значительной сложностью задач гидродинамической устойчивости, которые, к тому же, обычно не решаются аналитическими методами. Численное решение таких задач также может быть сопряжено со значительными трудностями. Для их решения используются специальные численные методы. Наиболее исследованы течения между параллельными бесконечными плоскостями (течения в плоском канале): течение Пуазейля, течение Гарт-мана, течение Куэтта и некоторые другие. Параллельное течение в трубе кольцевого сечения в присутствии внешнего магнитного поля ранее не исследовалось в полной мере.
Упомянутые выше вопросы рассматривались в работах [1]-[125].
Цель работы. Целью данной работы является обоснование, разработка и тестирование эффективных численных методов, создание библиотеки программ для изучения влияния внешнего магнитного поля на ламинарно-турбулентный переход в параллельных течениях вязкой электропроводящей жидкости. Исследование при помощи данных методов и программ устойчивости параллельных МГД-течений в продольном и азимутальном магнитных полях.
Решаемые задачи:
Уравнение Орра-Зоммерфельда
Рассмотрим самую общую постановку задачи устойчивости течений вязкой жидкости. Пусть вязкая несжимаемая жидкость заполняет трехмерную область П и при заданных внешних силах F и скорости ос на границе S существует стационарное решение уравнений Навье-Стокса U(x), ро(х) (х - точка области Г2, U - скорость, ро -давление). Взяв скорость и давление любого течения при тех же F, ос в виде U + v(x,і), pn+p{x,t), где v(x,t), p(x,t) - возмущения стационарного потока и полагая v(x, 0) известным и равным а(х),
Считая возмущения малыми, пренебрегаем в (1.1) нелинейным членом [44]. Решение линеаризованного уравнения будем разыскивать в виде v = и}(х)ехр гСі, р = q(x)exp tCt. Получим спектральную задачу -iCu + (t/V) ш + (wV) U = -Vq + -1-Аш, (1.5) Не div ш = 0, (1.6) « \s = 0. (1.7)
Будем далее считать 7 ограниченной областью класса СМ. Через Sp (Р 0) обозначим замыкание множества М гладких соленои-дальных векторов, исчезающих на S по норме Lp. На множестве векторов из пространства Соболева Wp , исчезающих на S, определим оператор А, полагая (1.8) ;4v = -П „ Av - (UV) v - (vV) С/ ite где П - оператор ортогонального в Li проектирования Lp на Sp. Свойства оператора П описаны в [37].
Задачи (1.1)-(1.4), (1.5)-(1.7) могут быть теперь записаны в виде —- + Av = Kv, v\t=o = а, (1.9) at Аи = Си, (1.10) где К = —П (vV) v. Здесь учтено, что H(grad q) = 0. В.И. Юдовичем [98, 99] доказана следующая лемма. Лемма 1 1. Оператор А в Sp замкнут, его спектр состоит из собственных значений Сі, Сі,...; 2. соответствующие собственные и присоединенные векторы обращуют полную систему в $2/ 3. при к —у со, 1т Си — —сю; 4- существует не более конечного числа собственных значений Си с Im Ck 0.
Следуя указанным выше работам В.И. Юдовича, примем следующие определения.
Определение 1 Пусть Е, Е\ - банаховы пространства. Будем говорить, что стационарное течение U{x), PQ{X) положительно устойчиво по Ляпунову {Е,Е\), если
1. при любом а Є Е из некоторой сферы \\CL\\E 8Q уравнение (1.9) имеет решение Nla = v(t) Є Е\ при всяком t 0,
2. каждому є 0 найдется такое 6 0, что из \\О \\Е о следует, что \\У(І)\\Е! е пРи t 0.
Определение 2 Будем говорить, что (U,po) г)-устойчиво (E,Ei), если выполняется условие 1 определения 1 и по любой паре чисел 7] 0, е 0 найдется такое 5 0, что из ая д следует \\v(t)\\ЕІ є при t rj.
Добавление слова «асимптотически» означает, что v()l.Ei — 0 при t — со. На языке -устойчивости удобно описывать свойство решений улучшать с течением времени дифференциальные свойства.
В.И. Юдовичем были доказаны следующие теоремы.
Теорема 2 Пусть спектр оператора А расположен в полуплоскости ІтС 0. Тогда течение (/, ро) положительно асимптотически устойчиво по Ляпунову (Sp, Sp) при любом р 2.
Теорема 3 Пусть оператор А имеет хотя бы одно собственное значение в полуплоскости ІтС 0. Тогда течение (U,po) неустойчиво (С , Sp) при р 2 и любом к.
В теореме можно заменить любым пространством, плотным в Sp.
Теорема 4 Пусть F, S, OL бесконечно дифференцируемы, а спектр оператора А расположен в полуплоскости ІтС 0. Тогда течение (U,po) пложительно асимптотически г\-устойчиво по Ляпунову (5Р, С ) при любом к и любом р 3.
Таким образом, применение метода линеаризации в гидродинамической теории устойчивости обосновано. В данном пункте были приведены определения устойчивости течений, основные свойства спектра оператора А, играющего основную роль в линейной теории гидродинамической устойчивости, условия устойчивости и неустойчивости стационарных течений. С физической точки зрения, процедура линеаризации уравнения Навье-Стокса означает переход от решений конечной амплитуды к рассмотрению бесконечно-малых решений. Приведенным выше условиям устойчивости может быть приписан следующий физический смысл: если течение неустойчиво к бесконечно-малым возмущениям, то оно неустойчиво и к возмущениям конечной амплитуды.
Течение между коаксиальными цилиндрами при наличии продольного магнитного поля
Рассмотрим устойчивость течения вязкой электропроводящей жидкости в трубе кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля. Обозначим через гвн радиус внутреннего цилиндра, гнар - радиус наружного цилиндра, d = гнар - гв„ -величина зазора между цилиндрами (см. рисунок 1.1), = 1 - безразмерный радиус внутреннего цилиндра (далее в качестве масштаба длины принята величина зазора между цилиндрами). Параметр определяет геометрию канала: большие соответствуют малому зазору между цилиндрами, малые - большому. При —» со профиль скорости переходит в профиль скорости плоского течения Пуазейля. При — 0 профиль скорости стремится к профилю в круглой трубе с той только разницей, что на оси сохраняются граничные условия прилипания. Между цилиндрами протекает электропроводящая жидкость. Цилиндры предполагаются для упрощения задачи идеально электропроводящими. Внешнее магнитное поле Н$ однородно и направлено вдоль оси цилиндров. Жидкость течет под действием постоянного продольного градиента давления. Внешнее магнитное поле не оказывает воздействия на стационарное течение, но существенно влияет на волновые процессы в электропроводящей жидкости. Далее предлагается исследование устойчивости такой конфигурации при сделанных выше предположениях. Система уравнений магнитной гидродинамики имеет вид ВН 1 — + (У V) Н = (JTV) V + —АН, (1.19) дУ т + (VV)V = -v(p + Al?Tp\ + + Al(HV)H + - -AV, (1.20) divH = 0, divV = 0, (1.21) лі но A j. п ,47ГСГ где Л/ = -—тт - - число Альфвена, Кщ = Vcvd—z магнитное 4irpV с2 число Рейнольдса, Де = ——— число Рейнольдса, с - скорость света, v d - ширина зазора между цилиндрами (принята в качестве масштаба длины), а - электропроводность жидкости, Vcp - среднерасходная скорость (принята в качестве масштаба скорости), р - плотность жидкости, v - кинематическая вязкость, Щ - напряженность внешнего магнитного поля (принята в качестве масштаба напряженности магнитного поля). Удобно ввести обобщенное давление Р — р 4 Я2 Л1- . Таким образом, структура уравнений магнитной гидродина мики такова, что три параметра (например, Л1, Re, Rm) полностью определяют поведение системы при заданных граничных условиях.
Также при расчетах использовалось магнитное число Прандтля Рт = Ryu/Re, прямо пропорциональное электропроводности. Стационарное течение, возникающее под действием осевого градиента давления,имеет следующий профиль скорости U = ar2 + bln{r) + c, (1.22) 2Jn(l + f) ; 1 + Ч + 2-(1 + 2 + 22)Ці + ) Ь(і + ) М0 (1 + 20 с = а /п И) где г - расстояние от оси цилиндров. Решение системы уравнений (1.19)-(1.21) представим в виде V = U + v, (1.23) H = H0 + h, (1.24) Р = Ро + Р, (1-25) где С/, Д"о» Л) стационарное решение, а величины v, h, Р - возмущения скорости, магнитного поля и давления. Подставим (1.23)-(1.25) в уравнения (1.19)-(1.21). Получим следующую систему уравнений для возмущений:
Приемы программной реализации численного метода
Рассмотрим устойчивость течения вязкой электропроводящей жидкости в трубе кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля. Обозначим через гвн радиус внутреннего цилиндра, гнар - радиус наружного цилиндра, d = гнар - гв„ -величина зазора между цилиндрами (см. рисунок 1.1), = 1 - безразмерный радиус внутреннего цилиндра (далее в качестве масштаба длины принята величина зазора между цилиндрами). Параметр определяет геометрию канала: большие соответствуют малому зазору между цилиндрами, малые - большому. При —» со профиль скорости переходит в профиль скорости плоского течения Пуазейля. При — 0 профиль скорости стремится к профилю в круглой трубе с той только разницей, что на оси сохраняются граничные условия прилипания. Между цилиндрами протекает электропроводящая жидкость. Цилиндры предполагаются для упрощения задачи идеально электропроводящими. Внешнее магнитное поле Н$ однородно и направлено вдоль оси цилиндров. Жидкость течет под действием постоянного продольного градиента давления. Внешнее магнитное поле не оказывает воздействия на стационарное течение, но существенно влияет на волновые процессы в электропроводящей жидкости. Далее предлагается исследование устойчивости такой конфигурации при сделанных выше предположениях.
Система уравнений магнитной гидродинамики имеет вид ВН 1 — + (У V) Н = (JTV) V + —АН, (1.19) дУ т + (VV)V = -v(p + Al?Tp\ + + Al(HV)H + - -AV, (1.20) divH = 0, divV = 0, (1.21) лі но A j. п ,47ГСГ где Л/ = -—тт - - число Альфвена, Кщ = Vcvd—z магнитное 4irpV с2 число Рейнольдса, Де = ——— число Рейнольдса, с - скорость света, v d - ширина зазора между цилиндрами (принята в качестве масштаба длины), а - электропроводность жидкости, Vcp - среднерасходная скорость (принята в качестве масштаба скорости), р - плотность жидкости, v - кинематическая вязкость, Щ - напряженность внешнего магнитного поля (принята в качестве масштаба напряженности магнитного поля). Удобно ввести обобщенное давление Р — р 4 Я2 Л1- . Таким образом, структура уравнений магнитной гидродина мики такова, что три параметра (например, Л1, Re, Rm) полностью определяют поведение системы при заданных граничных условиях. Также при расчетах использовалось магнитное число Прандтля Рт = Ryu/Re, прямо пропорциональное электропроводности.
Введем цилиндрическую систему координат: ось z направлена вдоль оси цилиндров, г - радиальная координата, р - азимутальная координата. Решения системы (1.29)-(1.31), как указывалось в разделах 1.1,1.2, будем отыскивать в виде К(г), Шір(г), иг(г), /гг(г), (г),/г2(г),д(г)}ехрг - + , (1.32) где ujr (p zjhr,hv,hz, - радиальная, азимутальная, осевая комплексные компоненты возмущений скорости и напряженности магнитного поля, q - возмущение давления, а - осевое волновое число, т = 0,1,2,3,... - азимутальное волновое число, С = X + iY - комплексная фазовая скорость, в которой X - собственно фазовая скорость, a aY - декремент затухания возмущения (У 0) или инкремент его нарастания (Y 0).
Подставим (1.32) в (1.29)-(1.31), после чего получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для комплексных амплитуд возмущений
Рассмотрим влияние азимутального магнитного поля на устойчивость течения, рассмотренного в пункте 1.3 в случае слабой электропроводности жидкости. Азимутальная составляющая внешнего магнитного поля HQ^ создается электрическим током, протекающим по центральному цилиндру. Таким образом, внешнее магнитное поле можно представить в виде вГ] Но? — Щг = 1? нар. , Т Є |/*BH.J ^*Hap.J ? (1.77) (1.78) где в - коэффициент, выражающий степень «закрученности» магнитного поля. Спиральное магнитное поле (1.77), (1.78) не вызывает деформации стационарного профиля скорости (1.22). Для получения соответствующей системы уравнений представим возмущения магнитного поля и скорости в виде рядов по Rm: v = VQJrRmvi + ..., h = Rmhi + Rmh,2 + После подстановки данного выражения в уравнение (1.29) оставим только члены нулевого порядка малости по Rm. Уравнения (1.30), (1.31) оставим без изменений, так как они не содержат коэффициентов, зависящих от электропроводности. Тогда линеаризованная система уравнений магнитной гидродинамики (1.29)-(1.31) примет вид
Численное исследование устойчивости плоского течения электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле
Рассмотрим изменение картины устойчивости при увеличении магнитного числа Прандтля. На рисунке 3.6 приведены зависимости Re (Al) в случае Рт = 0.1 и Рт = 1.5. С увеличением числа Альфвена критические числа Рейнольдса Яе возрастают, причем для Рт = 0.1 такое возрастание носит «ступенчатый» характер. Критические числа Рейнольдса в случае Рт = 1.5 в исследованной области нарастают равномерно. На рисунке 3.7 приведены нейтральные кривые при значениях параметров Рт = 0.25 и Al = 0.005, 0.01, 0.15. В данном случае размер области неустойчивости очень сильно зависит от числа Альфвена. С увеличением числа Альфвена область неустойчивости уменьшается таким образом, что положение носика нейтральной кривой изменяется слабо, соответствуя незначительному увеличению критических чисел Рейнольдса, в то время как «хвост» нейтральной кривой «укорачивается» на два порядка. Таким образом, при некоторых значениях параметров область неустойчивости очень чувствительна к изменению числа Альфвена. На рисунке 3.8 представлены нейтральные кривые при Рт = 1.5 и Al = 0.005, 0.01, 0.15. В отличие от рассмотренных выше случаев они не замкнуты. При увеличении числа Альфвена наблюдается увеличение критических чисел Рейнольдса и некоторое малое смещение области неустойчивости в сторону коротковолновых возмущений.
На рисунках 3.9, 3.10, 3.11 представлены кривые критических зависимостей Re (Pm) при числах Альфвена Al = 0.005, 0.01, 0.15, соответственно. Картина неустойчивости имеет вид, необычный для задач гидродинамической устойчивости. Наблюдаемые на данных рисунках области неустойчивости имеют сложную форму. Штриховкой показано расположение области неустойчивости относи телыю критических зависимостей. При Рт — 0 величины критических чисел Рейнольдса стремятся к соответствующим значениям в случае диэлектрической жидкости, при Рт — оо величины критических чисел Рейнольдса уже при Рт 10 выходят на горизонтальные асимптоты, соответствующие идеально электропроводящей жидкости. Увеличение магнитного числа Прандтля от 0.0001 до 0.01 приводит к небольшому увеличению критических чисел Рейнольдса. При дальнейшем увеличении магнитного числа Прандтля наблюдается скачкообразное увеличение критических чисел Рейнольдса, а кривая критических зависимостей поворачивается в сторону уменьшения магнитного числа Прандтля, ограничивая рассматриваемую область неустойчивости сверху. С увеличением числа Альфена данная область неустойчивости уменьшается, причем изменение числа Альфвена более сильно влияет на ее верхнюю границу (рисунки 3.9, 3.10, 3.11). Выше рассмотренной области неустойчивости располагается область устойчивости, которая ограничена сверху второй ветвью критических зависимостей. Критические числа Рейнольдса данной ветви убывают с увеличением магнитного числа Прандтля. Такое расположение кривых критических зависимостей приводит к скачкообразному увеличению критических чисел Рейнольдса при увеличении Рт и наличию области существенной стабилизации рассматриваемого течения но отношению к малым возмущениям. Аналогичная ситуация наблюдается и при Рт « 1. На рисунках 3.9, 3.10 при Рт» 1 критические зависимости имеют характерный максимум, котороый при дальнейшем увеличении числа Альфвена исчезает. При этом на его месте возникает узкая «щель» устойчивости данного течения (рисунок 3.11).
Таким образом, картина устойчивости течения электропроводящей жидкости в плоском канале достаточно сложна и своеобразна. Прежде всего следует отметить тот факт, что продольное магнитное поле существенно стабилизирует данное течение. Увеличение числа Альфвена при некоторых значениях параметров может приводить к скачкообразному увеличению критических чисел Рейнольдса. Обнаружены области устойчивости данного течения к малым возмущения при числах Рейнольдса порядка 106 -f- 107. Подтверждено существенное влияние диссипации на устойчивость данного течения. При изменении магнитного числа Прандтля наблюдается существенное изменение критических чисел Рейнольдса, причем может наблюдаться скачкообразная стабилизация данного течения. Изменение параметров (числа Альфвена и магнитного числа Прандтля) может приводить к качественной перестройке нейтральных кривых - отщеплению от носика нейтральной кривой замкнутой области неустойчивости, которая уменьшается и исчезает при увеличении числа Альфвена.
