Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общее описание и анализ корректности математической модели упругих сетеподобно организованных объектов 21
1.1. Натуральное описание системы 22
1.2. Необходимые понятия 23
1.3. Потенциальная энергия напряженного состояния 27
1.4. Первая вариация. Система уравнений Эйлера 29
1.5. Условия трансмиссии 32
1.6. Точное математическое описание модели 33
1.7. Невырожденность задачи 34
1.8. Корректность математической модели 37
Глава 2. Функция влияния как математическая модель, описывающая действие сосредоточенной единичной нагрузки на исследуемые объекты 42
2.1. Скалярная переформулировка задачи 42
2.2. Функция Грина (функция влияния) 44
2.3. Основные свойства функции Грина 47
2.4. Свойства производных функции влияния 51
Глава 3. Знакоопределенность функции влияния 54
3.1. Дифференциальные неравенства 54
3.2. Отсутствие внутренних нулей у функции Грина 59
3.3. Знакорегулярность на графе 66
Глава 4. Применение предложенной математической модели к исследованию колебаний упругих сетеподобно организованных объектов 79
4.1. Главные колебания 79
4.2. Вспомогательные сведения из теории конусов 83
4.3. Оценки функции Грина 86
4.4. Доказательства теорем 4.1 и 4.2 88
4.5. Сопоставительный анализ определения собственных частот и критических сил стержневых систем предложенного метода с методом В.Л. Нудельмана 89
Заключение 91
Литература 93
Приложение 100
- Первая вариация. Система уравнений Эйлера
- Функция Грина (функция влияния)
- Отсутствие внутренних нулей у функции Грина
- Сопоставительный анализ определения собственных частот и критических сил стержневых систем предложенного метода с методом В.Л. Нудельмана
Введение к работе
Актуальность исследования.
Диссертационная работа посвящена разработке новых методов математического моделирования упругих сетеподобных систем. Такие системы очень распространены в строительной практике. Примерами таких систем являются подвесные канатные мосты, системы ферм, балок, решеток и т.д.
Помимо упругих систем задачи о процессах на объектах сетеподобной структуры возникают в самых разных разделах естествознания. Это и процессы в нейронных сетях, в системах волноводов и трубопроводов, акустических труб и в электрических и компьютерных системах и многое другое. Поэтому тема исследования актуальна как с теоретической, так и с прикладной точек зрения.
Актуальность с теоретической точки зрения обусловлена тем, что в настоящее время реальные системы сетеподобной структуры изучены лишь в терминах недавно созданной теории краевых задач на графах. Исследование объекта в этом случае опирается на классические дифференциальные уравнения, описывающие отдельные фрагменты изучаемого объекта.
В данном диссертационном исследовании интегрирование названной разнопорядковой системы дифференциальных уравнений осуществляется с помошью нового предложенного метода функции влияния.
Предметом исследования данной работы являются сложные упругие сетеподобные системы строительной механики, описываемые дифференциальными уравнениями разных порядков.
Целью диссертационной работы является развитие метода функции влияния для исследования математической модели упругой сетеподобной системы, составленной из одномерных континуумов по типу простейшего
канатного моста, на основе теории полуупорядоченных пространств.
Научная новизна исследуемого объекта и краткий литературный обзор
Научная новизна исследуемого объекта проявляется уже на уровне построения модели, требует создания новых подходов, которые порождают необходимость разработки новых математических методов для проверки корректности модели, ее качественной адекватности исходной системе, для получения новых знаний об изучаемом объекте.
Современная техническая цивилизация привела к конструкциям композиционного характера, когда объект проектируется и создается в виде системы достаточно простых фрагментов, так или иначе скрепленных в единое целое. При этом оказалось, что свойства всей системы в целом зависят от типа и характера соединений.
К первым математическим идеям анализа подобных задач следует отнести, по-видимому, книгу М. Крейна и Ф.Гантмахера об осцилляционных свойствах малых упругих колебаний стержней, где успешный анализ сопровождался введением новых математических методов и созданием новой теории - теории пространств с конусами.
Особенно актуальной проблема создания математических методов, пригодных для анализа такого рода сложных систем стала к середине XX века. К 80-м годам XX века стали создаваться математические подходы, открывающие пути развития новых средств и методов «синтезирующего анализа» разнообразных моделей, организованных сетеподобным образом (сетки, рамы, решетки, электрические сети, волноводы и прочее). Это новое, но бурно развивающееся направление, опирается на фундаментальные математические идеи, однако связано с пересмотром многих классических концепций.
В работе изучается математическая модель сетеподобно организованного объекта, составленного из одномерных упругих
континуумов по типу простейшего канатного моста, где упругие элементы подобны тросам и стержням (балкам), а все сложности анализа порождаются нетривиальными, с математической точки зрения, взаимодействиями этих элементов. Прежде всего, нас интересуют такие математические свойства модели, как ее корректность, т.е. ее однозначная разрешимость при любых естественных значениях внешних параметров, ее устойчивость относительно малых возмущений. С физической точки зрения одним из важнейших свойств является податливость исходной системы, что адекватно построению функции влияния и доказательству ее знакоопределенности. Наличие последнего свойства позволяет использовать для анализа модели фундаментальные математические идеи, в том числе и методы теории полуупорядоченных пространств. Последнее, в свою очередь, дает возможность установить характеристические свойства малых упругих колебаний, показать простоту ведущей собственной частоты и перенести эти свойства на случай нелинейной задачи.
В описании любой задачи, в которой используются числовые параметры, решение, интересующее практику, как правило, должно быть неотрицательным. Если решение характеризуется несколькими параметрами, и каждый из них положителен, то будем называть положительным состояние всего объекта. Такого рода объекты впервые были рассмотрены при анализе разнообразных ситуаций экономического плана, что породило серьезный интерес к особенностям положительных матриц. Появились первые теоремы о спектральных свойствах таких матриц, которые через спектральные свойства положительных интегральных операторов привели к абстрактному свойству положительных объектов и к созданию теории абстрактной положительности, абстрактной полуупорядоченности и абстрактных положительных операторов. Эта теория связана с именами Перрона, Енча, Л.В. Канторовича [20], М.Г. Крейна [35] и М.А. Красносельского [32], [33], [34].
Свойство положительности широко используется и при изучении
различных физических объектов. Так, например, гармонические свойства колебаний струны являются, как показал О. Келлог, следствием особой квалифицированной положительности функции влияния.
Положительность функции влияния означает, что при внешнем воздействии на струну во всех точках в одну сторону струна прогибается в ту же сторону. Это естественное свойство называют податливостью. В свою очередь его наличие у объекта означает, что если данный объект соответствующим образом описать в математических терминах и выразить состояние деформированной системы через возмущающее усилие с помощью интегрального оператора, то этот оператор будет обладать свойством положительности: он будет определять положительную реакцию системы на положительное внешнее воздействие.
Для спектральных свойств струны О. Келлогом было показано, что свойство положительности является ключевым для доказательства нетривиальных осцилляционных спектральных свойств. В дальнейшем эта идея была развита М.Г. Крейном. Она позволила установить аналогичные свойства для спектра собственных частот стержня и многоопорной балки. Соответствующие методы, развитые для доказательства этих свойств, явились обобщением идеи О. Келлога и привели Крейна М.Г. к созданию теории положительных операторов в полуупорядоченных пространствах.
Дальнейшее развитие этой теории происходило при активном участии воронежских математиков (школа М.А. Красносельского и его учеников).
В настоящей работе широко используется свойство положительности с опорой на теорию положительных операторов, действующих в полуупорядоченных пространствах. Кроме того, в работе используется понятие графа.
Понятие графа применялось для описания сложных конечных моделей. Первоначально была развита «алгебраическая» теория графов, в которой при анализе процессов характер взаимодействий между элементами считался неизменным. При этом задачи, в которых объекты имели
сетеподобную структуру, а соответствующие процессы были наиболее существенными на ребрах, а не в узлах сети, оказались вне поля зрения этой теории. Однако такого рода объекты являются актуальными, например, в инженерно-механической проблематике.
Проведенный нами анализ различных литературных источников не позволяет сказать, что уровень разработанности данной проблемы является достаточным и тем более исчерпывающим. Научного решения требуют такие задачи, где объекты имеют сетеподобную структуру, а соответствующие процессы наиболее существенны на ребрах сети, а не в узлах. Эти объекты оказались вне поля зрения этой теории, но именно они являются актуальными, например, в инженерно-механической проблематике. Решение этой проблемы и составило цель нашего исследования.
Помимо упругих систем задачи о процессах на объектах сетеобразной структуры возникают в самых разных областях естествознания. Это и анализ малых электронных колебаний сложных молекул, и процессы в нейронных сетях, в системах волноводов и трубопроводов, акустических труб и в электрических и компьютерных системах, и многое другое.
Характерной особенностью таких задач является то, что их предметом стал набор дифференциальных уравнений, каждое из которых задано на соответствующем ребре графа.
Эти уравнения естественным образом взаимодействуют между собой. Такого рода объекты появились в публикациях ученых из Воронежа, Санкт-Петербурга, Западной Европы, затем начали появляться работы в японских и корейских журналах. Интерес к изучению данной проблемы возник независимо друг от друга.
На первом этапе на такой объект смотрели как на набор дифференциальных уравнений, решения которых были связаны в узлах. В этих связях основную роль играла матрица графа, именно она участвовала в описании этих условий, указывая, какое ребро с каким связано. Все условия связи считались краевыми условиями. Однако при таком подходе задача
оказывалась достаточно трудной для описания, не говоря уже о первичных шагах анализа, потому что первые результаты получались в основном средствами, которые проходили «сквозь» любые краевые условия. Полученные таким образом первые результаты были физически мало ощутимы. Например, при таком подходе оказывалось чрезвычайно трудным установить свойство положительной обратимости, а доказательство податливости системы (положительности функции Грина) для подобных систем оказалось недосягаемым, хотя интуитивно ясно, что объект этим свойством обладает. В самом деле, сетка из упругих струн при воздействии на нее в одну сторону деформируется в ту же сторону, куда направлена внешняя сила. Эта очевидная податливость оказалась в рамках средств, о которых мы упоминали, недостижимой с точки зрения существующих на тот момент математических средств.
Позднее в творческом коллективе Покорного Ю.В. и его учеников были разработаны методы, позволяющие синтетически и достаточно эффективно смотреть на такого рода объекты, как на задачи на графе, результативно изучить аналог задачи Штурма-Лиувилля, рассмотреть свойства упругой сетки из струн. Предложенный подход существенно опирается на идею положительности и теорию полуупорядоченных пространств. Основные результаты работы коллектива под руководством Ю.В Покорного были опубликованы в монографии [60].
Корректность предложенной математической модели обусловлена использованием вариационного принципа, согласно которого реальное состояние системы дает минимум потенциальной энергии относительно всех виртуальных состояний. Такой подход позволяет получить четкое описание деформации каждого фрагмента и строгое обоснование условий взаимодействия отдельных фрагментов. Такие условия мы называем условиями трансмиссии.
В работе показано, что построенная математическая модель является корректной, т.е. однозначно разрешимой при любом внешнем воздействии,
при малых усилиях внешних возмущений форма меняется мало. Обсуждается свойство податливости модели, связанная с положительностью соответствующей функции влияния, представляющей аналог функции Грина. Классическое определение функции Грина напрямую на изучаемую задачу не переносится. Однако, если обозначить через f(x) интенсивность внешней силы, действующей на рассматриваемую систему Г, то форму отклонения и(х) системы от положения равновесия удается описать с помощью интегрального представления в виде
и(х)= \G{x, s)f(s)ds, г
где интеграл по Г понимается как сумма интегралов по всем ребрам. Так как
полученное решение задачи представлено через интеграл с помощью
функции G(x,s), то по аналогии с математической физикой эту функцию
можно тоже назвать функцией Грина, точнее, функцией влияния. В работе
доказано существование такой функции. Кроме того, удается доказать
непрерывность и положительность функции влияния, благодаря чему
найдены важные физические свойства задачи. К ним относится простота
ведущего собственного значения, что соответствует простоте частоты
главного собственного колебания системы, для которого ведущая
амплитудная функция не имеет внутренних точек покоя. При этом для
доказательства наличия свойства ведущей собственной частоты и ведущего
собственного колебания приходится весьма детально изучать функцию
влияния. В частности, доказывать, что соответствующий интегральный
оператор вполне непрерывен, и 0 -положителен, устанавливать оценки
функции влияния.
В случае нелинейной задачи при условии, что соответствующая функция f(x, и) монотонна и вогнута по и, имеем интегральный оператор
(Gu)(x)- \G{x,s)f(s,u(s))ds, г
который будет и 0-вогнутым в терминах М.А. Красносельского [32].
Последнее означает, что проблему собственных функций и собственных значений нелинейной спектральной задачи
Lu = Я/(х,и) (0.4)
можно обсуждать методами глубокой топологической теории. В (0.4) через L обозначен комплекс связей, позволяющих рассматривать зависимость между решением и(х) и внешним воздействием/^).
Для дальнейшего развития подхода [60] к математическому моделированию сетеподобных упругих систем автором были поставлены и решены следующие частные задачи:
построена и изучена математическая модель сетеподобно организованного объекта, составленного из одномерных упругих континуумов (например, по типу простейшего канатного моста);
построена и изучена функция влияния для уравнения, описывающего формы упругих систем типа канатных мостов;
исследованы свойства математических моделей систем типа простейших канатных мостов.
Методы исследования. Методы исследования математических моделей сетеподобных податливых систем базируются на современном математическом аппарате. А именно: широко применяются вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений в пространствах с конусами, теория нормированных функциональных пространств и теория графов.
Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается математической строгостью проведенных исследований. Все основные результаты, полученные в диссертационной работе, изложены в виде теорем, снабжены точными, подробными доказательствами.
Обоснование математической модели проведено реализацией классических вариационных идей на нестандартном для математики объекте.
Построение и изучение функции влияния осуществлены современными методами анализа, существенно модифицированными для преодоления трудностей, порождаемых особенностями объекта.
Ключевые результаты о податливости модели в форме знакорегулярных оценок функции влияния позволяют использовать методы абстрактной теории уравнений в пространствах с конусами, что приводит к обоснованию физически значимых свойств модели.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе результаты представляют интерес при изучении любого нового класса краевых задач физической природы, поскольку они интересны и значимы с физической и инженерной позиций, а также могут быть использованы при чтении курсов «Инженерные сооружения в транспортном строительстве», «Строительная механика» и при выполнении проектирования инженерных сооружений дорожного строительства для студентов специальности 291000 «Автомобильные дороги и аэродромы».
Полученные в работе результаты представляют научный и методологический интерес.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на VII региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - региону» (2003г.), на VI Международной конференции «Циклы» (2004г.), на заседании кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета, на заседании кафедры естественно-научных дисциплин Северо-Кавказского гуманитарно-технического института, на зимней и весенней Воронежских математических школах (2005г.)
Результаты исследования нашли отражение в публикациях автора, научно-методических рекомендациях, которые внедрены в образовательный процесс Северо-Кавказского гуманитарно-технического института.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений, списка литературы из 70 наименований и занимает 100 страниц.
На защиту выносятся следующие положения:
метод построения функционала потенциальной энергии сетеподобной упругой механической системы;
система разнопорядковых дифференциальных уравнений, на решениях которой минимизируется функционал потенциальной энергии, и которые описывают деформируемое состояние системы;
метод построения функции влияния, играющей роль функции Грина, с помощью которой деформация сетеподобной упругой системы вычисляется в интегральной форме
z(x) = \G(x, s)f(s)ds,
где f(s) - интенсивность внешней силы;
знакорегулярные оценки функции влияния, позволяющие определить качественные характеристики упругих сетеподобных систем;
метод расчета собственных частот малых колебаний упругих сетеподобных систем; Аналогичные свойства установлены для задачи с вогнутой нелинейностью.
Краткое содержание работы
Во введении дается обоснование актуальности темы исследования, делается краткий литературный обзор, сформулирована цель работы, изложены основные результаты проведенных исследований, показана их научная новизна, теоретическая и практическая значимость, указаны основные положения, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена описанию натурального объекта, построению
и обоснованию его математической модели, анализу ее корректности.
Объектом исследования в данной работе служит математическая модель упругого сетеподобно организованного объекта по типу простейшего канатного моста. Такая система состоит из двух горизонтальных континуумов, расположенных вдоль отрезка [0,1]. Нижний континуум представлен двумя стержнями У\,у2, соединенными шарнирно. Верхний континуум - упругий трос, деформации которого будем считать определяющимися, как у обычной струны. Оба континуума соединены линейной перемычкой, которая так же является упругим тросом. Обозначим его через є. Нижний и верхний концы сегмента є обозначим соответственно через а и Ь. Отрезки верхнего континуума обозначим через кх,к2. Система закреплена в четырех концевых вершинах.
Отклонение точек системы от положения равновесия опишем функцией z(x). Для удобства изложения будем полагать z(x)=u(x) при хєуиу2> т.е. определенная на отрезке [0,/]=f]U72 функция и(х) задается формой прогиба нижней пары стержней.
Аналогично форму продольной деформации вертикальной тяги обозначим через h(x), т.е. z(x)=h(x) при х єє, а форму верхнего троса через v(x): z(x)=v(x) при хе кх u к2.
Отклонение точек системы от положения равновесия определяется силой натяжения струн, жесткостью стержней на изгиб и плотностью внешних сил. В работе изучаются малые отклонения системы. При этом предполагаем, что деформация стержней определяется только лишь чистым изгибом в главной изгибающей плоскости, т.е. считаем, что сдвигом, кручением и растяжением можно пренебречь.
Пусть функция/?^ определяет жесткость стержней в точках хе ух,у2, а q(x) - силы натяжения струн в точкаххєє,кх,к2.
Будем считать, что функции р(х), q(x) заданы на всем графе так, что
q(x)=0 при хєух,у2,
inf { q(x) }> 0, q(x)eCl прихеє,kt,k2,
р(х)=0приx єє,кх,к2, inf {p(x) }> 0,р(х) є С щтхєух,у2.
Здесь через С" - обозначено множество функций равномерно непрерывных на соответствующих ребрах в индуцированной системе из R* топологии для которых существуют равномерно непрерывные производные до порядка п.
Пусть f: Г -> R - плотность распределения внешней нагрузки, действующей на систему.
Потенциальная энергия P(z) рассматриваемой системы Г определяется равенством
P(z)
ґі\^
v'=4
;Ф')2
+ j^LL^{x-jzf^c^
Согласно вариационным принципам реальная деформация объекта соответствует экстремуму последнего функционала в классе всех виртуальных деформаций.
По принципу Ферма реальная форма z(x) должна обращать в нуль первую вариацию
8P(z0)ср=^ \pzn(pndx + ]|Г [qz'qt'dx + [qz'cp'dx- \f(pdx
/=1 v
/=1 к.
для любой допустимой ср. После естественных преобразований это приводит к системе уравнений
(pz")"=f((pu")"=f) на сегментах /,,
-(qzy=f(-(qv')>=f,-(qh>y=f) на сегментах є и кг Кроме того, мы закономерно получаем условие шарнира
р(а± 0) и"(а ±0) =0,
которое в инженерной математики обычно мотивируется эвристическими соображениями, а также условия трансмиссии в узлах а и Ъ
А(ри")'(а) - q (а+ 0) h'(a+ 0) = О,
A(qv')(b) + q (b+ 0) h'(b+ 0) = 0.
Здесь через t±.(p(g) обозначен скачок функции ср в точке , т.е.
Арф = ^+0)-^-0).
Согласно предыдущему будем рассматривать дифференциальную систему вида
Lz =f, (0.5)
полагая
Lz =
(pz')"(x) при хєуХіу2, ~{qz') (jc) при хєкх,к2.
Уравнение (0.5) будем рассматривать в классе функций, удовлетворяющих условиям непрерывности во всех внутренних вершинах Г, закрепления концов верхнего континуума
v(0)=v(l)=0, (0.6)
шарнирного закрепления нижних стержней
и(0)=и(1)= 0,
и"(0)= и"(1)=0, (0.7)
а также условиям трансмиссии в точках а и Ъ
(pr/ri У (а + 0) + (ру/У! У (a + 0)- (qez'E)(<> + 0) = 0, (0.8)
(qkz\t )(b + 0) + (qkz[2)(b + 0) + (qez')(b + 0) = 0 (0.9)
и условиям шарнирного соединения
(рг/Гі)(а + 0) = 0,
(0.10)
(pr2z;2)(a +0) = 0.
Теорема 1.1. Задача (0.5) — (0.10) однозначно разрешима при любых
правых частях.
Теорема 1.2. Задача (0.5) — (0.10) корректна, т.е. однозначно разрешима при любых правых частях и решение мало меняется при малом изменении правых частей.
Во второй главе развивается метод построения функции влияния. Здесь под функцией влияния подразумевается функция двух переменных G(x,s) при x,s є Г, позволяющая выразить в виде
z(x) = \G{x, s)f(s)ds (0.11)
реальную форму системы, соответствующую внешней нагрузке с интенсивностью f(x). Приведенная интегральная форма обращения задачи дает право называть G(x,s) функцией Грина задачи, не смотря на то, что эта функция не определена с помощью аксиом аналогично тому, как это делается в классической теории дифференциальных уравнений.
Теорема 2.1. Среди непрерывных на ГхГ функций существует единственная функция G(x,s) такая, что решение исходной задачи может быть записано в виде (0.11).
Основные свойства функции Грина изучаются исходя из возможности ее представления в виде
H(x,s) <рх(х) <р2(х) ... 9>]4{х)
G(x,s) =
det/A (#>,)
/14 (#(,*)) /14(я(.)) /14(%(.)) ... /14Ы0)
(0.12)
где l\, h, ..., їй - каким-либо образом перенумерованные функционалы, определяющие все условия (0.6) — (0.10), а фь ц>2> -, Фн - фундаментальная система решений однородного уравнения на множестве всех ребер Я(Г) системы Г.
Через H(x,s) в (0.12) обозначено фундаментальное решение,
построенное следующим образом. Функция H(x,s) строится из функций Грина G(x;s) двухточечных задач на соответствующих ребрах
Gy(х, s ) х, s є г і х У і (і = 1,2),
Gc(x,s) x.sesxs, H(x,s) = \ ~ \ {
Gk\x,s) x,s^kiy.kj (/ = 1,2),
О, в остальных случаях
при краевых условиях на концах ребер, определяющих стандартную краевую задачу.
Для знакорегулярного анализа функции Грина оказываются необходимы следующие свойства:
Лемма 2.1. Функция Грина при каждом x±s удовлетворяет всем условиям lk(G(-,s))=0, к=1,...,14приs Ф ,-.
Лемма 2.2. Краевая задача, определяющая рассматриваемую физическую систему, является самосопряженной в естественном смысле.
Лемма 2.3. Функция Грина G(x,s) при хф$ удовлетворяет уравнению
Lz = 0.
Лемма 2.4. Если s&kx,k2,s , то
G(s-0,s)=G(s+0,s), G'(s+0,s)-G'(s-0,s)=-l. Лемма 2.5. Если seyx,y2, то
G(j) (s-0,s)=GU) (s+0,s),j=0,l,2,
В третьей главе изучаются свойства функции влияния, описывающие механические свойства исследуемых систем. Вначале точно объясняется свойство механической податливости системы, которое сформулировано в виде теоремы 3.1.
Теорема 3.1. Любое нетривиальное решение дифференциального неравенства
Lz>0 неотрицательно, не имеет нулей внутри Г и имеет ненулевые производные в граничных вершинах.
В теоремах 3.2 - 3.4 аналогичные свойства доказываются для срезок g(x)=G(x,s0) при s0 єЛ(Г).
Эти наиболее трудоемкие для данной работы факты позволяют установить в главе 4 следующие результаты:
Теорема 4.5. Пусть z0(x) — решение рассматриваемой задачи для уравнения Lz=l. Тогда для каждого s существуют числа a{s)>0 и /3{s)<
z0(x) a(s)
причем a (s), P(s) суммируемы на Г.
Последний результат позволяет использовать методы теории конусов при доказательстве свойств системы и ее решения.
Рассмотрим спектральную задачу
Lz=Xm(x)z, z\8r=0, (0.13)
где т(х) - плотность распределения масс на физической системе, т.е. на Г.
Теорема 4.1. Пусть функция т(х) суммируема и неотрицательна (т(х)ФО) . Тогда для задачи (0.13) справедливы следующие свойства:
существует позитивное собственное значение А 0;
это собственное значение является вещественным, строго положительным и простым, т.е. корневое пространство, соответствующее X 0, одномерно;
3) Я 0 строго меньше модулей остальных точек спектра;
соответствующая Я 0 собственная функция z0(x) не имеет нулей в Г;
для любой знакопостоянной на Г собственной функции задачи (0.12) соответствующее собственное значение совпадает с Я 0, а сама
собственная функция должна быть коллинеарна z0 (х). В главе 4 также изучается нелинейная краевая задача
Lz=Xf(x,z), z\dr=0. (0.14)
Если f(x, z) линейна по z, то приходим к предыдущей спектральной задаче (0.13).
Рассмотрим вопрос существовании нетривиальных решений задачи (0.14), которые будем называть квазисобственными функциями, для случая нелинейности по z функции f(x,z). При этом сделаем физически естественное предположение о непрерывности и неотрицательности Срутищи f(x,z) при z>0 и/(х,0)=0, сохраняя для L все прежние « краевые » условия.
Теорема 4.2. Пусть f(x,z) при хєГ строго возрастает по z и строго вогнутая, т.е.
f(x, Xz)> X f(x, z) (0< Я <1).
Тогда существует интервал (Х0,ХЖ) (при 0<Х0<Хаа<ро) такой, что каждому X из этого интервала отвечает единственное нетривиальное решение z(x, X) задачи (0.14). При этом
а) z(x, X) строго возрастает по X;
б) \z(x,X)\ —> оо при X —» Хж и \\z(x,X)\\ -> 0 при X -> Х0.
Первая вариация. Система уравнений Эйлера
Диссертационная работа посвящена разработке новых методов математического моделирования упругих сетеподобных систем. Такие системы очень распространены в строительной практике. Примерами таких систем являются подвесные канатные мосты, системы ферм, балок, решеток и т.д.
Помимо упругих систем задачи о процессах на объектах сетеподобной структуры возникают в самых разных разделах естествознания. Это и процессы в нейронных сетях, в системах волноводов и трубопроводов, акустических труб и в электрических и компьютерных системах и многое другое. Поэтому тема исследования актуальна как с теоретической, так и с прикладной точек зрения.
Актуальность с теоретической точки зрения обусловлена тем, что в настоящее время реальные системы сетеподобной структуры изучены лишь в терминах недавно созданной теории краевых задач на графах. Исследование объекта в этом случае опирается на классические дифференциальные уравнения, описывающие отдельные фрагменты изучаемого объекта.
В данном диссертационном исследовании интегрирование названной разнопорядковой системы дифференциальных уравнений осуществляется с помошью нового предложенного метода функции влияния.
Предметом исследования данной работы являются сложные упругие сетеподобные системы строительной механики, описываемые дифференциальными уравнениями разных порядков.
Целью диссертационной работы является развитие метода функции влияния для исследования математической модели упругой сетеподобной системы, составленной из одномерных континуумов по типу простейшего канатного моста, на основе теории полуупорядоченных пространств.
Научная новизна исследуемого объекта проявляется уже на уровне построения модели, требует создания новых подходов, которые порождают необходимость разработки новых математических методов для проверки корректности модели, ее качественной адекватности исходной системе, для получения новых знаний об изучаемом объекте.
Современная техническая цивилизация привела к конструкциям композиционного характера, когда объект проектируется и создается в виде системы достаточно простых фрагментов, так или иначе скрепленных в единое целое. При этом оказалось, что свойства всей системы в целом зависят от типа и характера соединений.
К первым математическим идеям анализа подобных задач следует отнести, по-видимому, книгу М. Крейна и Ф.Гантмахера об осцилляционных свойствах малых упругих колебаний стержней, где успешный анализ сопровождался введением новых математических методов и созданием новой теории - теории пространств с конусами.
Особенно актуальной проблема создания математических методов, пригодных для анализа такого рода сложных систем стала к середине XX века. К 80-м годам XX века стали создаваться математические подходы, открывающие пути развития новых средств и методов «синтезирующего анализа» разнообразных моделей, организованных сетеподобным образом (сетки, рамы, решетки, электрические сети, волноводы и прочее). Это новое, но бурно развивающееся направление, опирается на фундаментальные математические идеи, однако связано с пересмотром многих классических концепций.
В работе изучается математическая модель сетеподобно организованного объекта, составленного из одномерных упругих континуумов по типу простейшего канатного моста, где упругие элементы подобны тросам и стержням (балкам), а все сложности анализа порождаются нетривиальными, с математической точки зрения, взаимодействиями этих элементов. Прежде всего, нас интересуют такие математические свойства модели, как ее корректность, т.е. ее однозначная разрешимость при любых естественных значениях внешних параметров, ее устойчивость относительно малых возмущений. С физической точки зрения одним из важнейших свойств является податливость исходной системы, что адекватно построению функции влияния и доказательству ее знакоопределенности. Наличие последнего свойства позволяет использовать для анализа модели фундаментальные математические идеи, в том числе и методы теории полуупорядоченных пространств. Последнее, в свою очередь, дает возможность установить характеристические свойства малых упругих колебаний, показать простоту ведущей собственной частоты и перенести эти свойства на случай нелинейной задачи.
В описании любой задачи, в которой используются числовые параметры, решение, интересующее практику, как правило, должно быть неотрицательным. Если решение характеризуется несколькими параметрами, и каждый из них положителен, то будем называть положительным состояние всего объекта. Такого рода объекты впервые были рассмотрены при анализе разнообразных ситуаций экономического плана, что породило серьезный интерес к особенностям положительных матриц. Появились первые теоремы о спектральных свойствах таких матриц, которые через спектральные свойства положительных интегральных операторов привели к абстрактному свойству положительных объектов и к созданию теории абстрактной положительности, абстрактной полуупорядоченности и абстрактных положительных операторов. Эта теория связана с именами Перрона, Енча, Л.В. Канторовича [20], М.Г. Крейна [35] и М.А. Красносельского [32], [33], [34].
Свойство положительности широко используется и при изучении различных физических объектов. Так, например, гармонические свойства колебаний струны являются, как показал О. Келлог, следствием особой квалифицированной положительности функции влияния.
Функция Грина (функция влияния)
Для доказательства основных теорем, основываясь на полученных оценках G(x,s), далее используются методы теории полуупорядоченных пространств. Напомним необходимые понятия и факты.
Пусть Е - банахово пространство. Множество К называется конусом если оно выпуклое, замкнутое и не содержит противоположных элементов, т.е. По фиксированному конусу К в исходном пространстве Е может быть введен частичный порядок, а именно: множество К объявляется совокупностью неотрицательных элементов, причем и v , как и положено, если (v-u)eK, т.е. Совокупность элементов х, удовлетворяющих неравенствам и х v, называется конусным отрезком и обозначается через (u,v) . Наряду с обычной нормой в пространстве Е может быть введена, согласованно с порядком, так называемая и 0 -норма, единичным шаром для которой является конусной отрезок (- и0,и0). Другими словами Множество элементов х из Е с конечной и 0 -нормой обозначается через Еи . Через К обозначается множество положительных элементов из Е„ , т.е. Ки =КслЕи . Пространство EUg с нормой JCU является полным, т.е. банаховым пространством, если конусной отрезок (0,и0) ограничен по исходной норме. Это имеет место, если исходный конус обладает свойством нормальности. Напомним, что конус К называется воспроизводящим, если К +(-К)=Е. Конусы неотрицательных функций в основных функциональных пространствах C[a,b] [а,Ь] обладают свойствами нормальности и воспроизводимости. Конус неотрицательных функций в С а телесен, т.е. имеет непустую внутренность. Его напоминают конусы типа Ки в произвольном пространстве Е, так как в любом Ки элемент и 0 содержится в нем вместе с замкнутым шаром единичного и0 - радиуса. Оператор А: Е— Е называется положительным, если он оставляет инвариантным конус К. Другими словами, оператор А: Е— Е положителен, если А К = К, т.е. Ах є К при любом хє К. Оператор А называется и0-положительным, если при некотором фиксированном ненулевом элементе и0е К для любого хє К существуют такие а,Р 0, что аи0 Ах /?и0. Другими словами, и0 -положительность оператора ті означает, что оператор А преобразует все ненулевые векторы из К во внутренние векторы Ки . Если из того, что х, у єМ аЕ и х у следует Ах Ау, говорят, что оператор А монотонен на множестве М. Теорема Крейна — Рутмана (упрощенная версия). Пусть А: Е Е -вполне непрерывный, и0 -положительный на воспроизводящем конусе К оператор. Тогда он имеет ненулевой собственный вектор в Кы Собственное значение оператора А называется позитивным, если соответствующий ему собственный вектор лежит в конусе. Предыдущая теорема означает, что в ее условиях оператор А имеет строго положительное позитивное собственное значение. Теорема 4.3 (Красносельский М.А.). Пусть выполнены условия предыдущей теоремы и XQ- позитивное собственное значение оператора А, а х 0- соответствующий ему собственный вектор. Тогда а) с точностью до множителя х0 является единственным в К собственным вектором оператора А, т.е. в конусе нет других собственных векторов; б) Х0 соответствует только один (с точностью до нормы) собственный вектор в Е, а именно, -х0; в) AQ- максимальное собственное значение, т.е. любое другое собственное значение X оператора А (в том числе и комплексное) удовлетворяет неравенству И v г) XQ является простым собственным значением в том смысле, что для XQ не существует помимо х0 других собственных векторов, но и не существует присоединенных векторов. Другими словами, соответствующее Х0 корневое пространство оператора А одномерно. Оператор А называется и 0 -вогнутым, если он и 0 -положителен и для любых х є К и t е(0, 1) найдется такое r/(x,t) 0, что Пусть оператор А нелинейный, но преобразует нуль в нуль, т.е. АО = 0. Вопрос о существовании ненулевых собственных векторов нелинейного оператора А и о свойствах этих собственных векторов имеет в качестве ответа следующий фундаментальный результат. Теорема 4.4 (Красносельский М.А., Ладыженский). Если оператор А вполне непрерывный и иQ-вогнут на конусе К, то существует интервал (AO AQ) при Аж AQ такой, что каждому А из этого интервала соответствует единственное решение в конусе К уравнения Если это решение обозначить через и(А) (т.е. А и(А) = А и(Я)), то: а) векторнозначная (со значениями К а Е) функция и(А) скалярного аргумента А строго убывает по А на интервале ( АХ,А0 ); в) при Ає( A JAQ) значения нормы и(А) сплошь заполняют вещественную полуось (О, со) или, другими словами, и(А) является непрерывной бесконечной ветвью собственных значений.
Отсутствие внутренних нулей у функции Грина
Рассмотрим модель простейшего канатного моста. Система состоит из двух горизонтальных континуумов, расположенных вдоль отрезка [0,1]. Нижний континуум состоит из двух стержней ух, /2, соединенных шарнирно. Верхний континуум - упругий трос, деформации которого будем считать определяющимися, как у обычной струны. Оба континуума соединены линейной перемычкой, которая так же является упругим тросом. Обозначим его через є. Нижний и верхний концы сегмента є обозначим соответственно через а и Ь. Отрезки верхнего континуума обозначим через (индексы верхнего континуума соответствуют индексам нижнего континуума). Система закреплена в четырех концевых вершинах (см. рис. 1).
Отклонение точек системы от положения равновесия опишем функцией z(x). Для удобства изложения будем полагать z(x)=u(x) при х&ух,у2, т.е. определенная на отрезке [0,I\ = y\ Jy2 функция и(х) задается формой прогиба нижней пары стержней. Аналогично обозначим z(x) через h(x) при хєє— форму продольной деформации вертикальной тяги, а через v(x)=z(x) при хє кх и к2 - форму верхнего троса.
Отклонение точек системы от положения равновесия определяется силой натяжения струн, жесткостью стержней на изгиб и плотностью внешних сил. Изучим малые отклонения системы. При этом будем предполагать, что деформация стержней определяется только чистым изгибом в главной изгибающей плоскости, т.е. будем считать, что сдвигом, кручением и растяжением можно пренебречь. Будем называть, как это принято, интервалом (а,Ь) множество точек из линейного пространства Е, обладающих свойством
Аналогично определяется отрезок (замкнутый интервал), отличающийся от открытого добавлением конечных точек а и Ъ и определенный, аналогично предыдущему, при 0 А 1. Замкнутый отрезок обозначим [а,Ь]. На таком отрезке (интервале) может быть естественным образом введена ориентация в направлении от а к Ь, как это нами было сделано выше, или от Ъ к а. В последнем случае, например, интервал (а,Ь) может быть задан в виде
Задание ориентации на интервале (а,Ь) потребуется в дальнейшем для корректного определения производной от функции, заданной на этом интервале, т.к. от ориентации зависит знак отношения — для Ах подлежащей дифференцированию функции и(х): при изменении ориентации меняется знак Ах и, следовательно, знак соответствующего предела. Отметим сразу, что Ах, без дополнительных оговорок, есть вектор. Мы под Ах понимаем величину вектора Ах = АЛ\Ь — а\, т.е. точки х=а+А(Ь-а) и х+ Ах=а+(А + АА)(Ь-а) при параметризации от а к Ъ отличаются на вектор Ах=АА(Ь-а). 2. Геометрическим графом Г в R называется (здесь и далее мы опираемся на понятийную среду из [60]) объединение непересекающихся интервалов Yi={Pi-\,ai), i=l,2,..,m (называемых ребрами) и некоторой совокупности их концов. Множество этих концов обозначается через J(T), каждая точка из J(T) называется внутренней, вершиной графа Г. Концы интервалов у І , не включенные в J(T), называются граничными вершинами Г, их множество обозначается через дГ. Обозначим множество всех вершин графа Г через У(Г), а объединение всех ребер - ЩГ). Тогда Говорят, что вершины а/ч и а і примыкают к ребру Уі=(аі_],аі), а ребро У} примыкает к вершинам а{_х иа;-. Топологией на Г будем считать индуцированную из R3 топологию. Изучаемые в дальнейшем графы будем считать связными. Для вещественнозначной функции z: Г- R сужение на ребро у; будем обозначать через zy {х). Для каждого ребра yt введем натуральную параметризацию по формуле и di - длина ребра yi. При выбранной параметризации q t ребра /,- функция z((pi (t)) оказывается обычной функцией скалярного аргумента, определенной на промежутке из R.
Сопоставительный анализ определения собственных частот и критических сил стержневых систем предложенного метода с методом В.Л. Нудельмана
Проведем сопоставительный анализ определения собственных частот и критических сил стержневых систем предложенного нами метода (метода функции влияния) с методом В.Л. Нудельмана, описанного в его книге «Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем».
В ней предпринималась попытка доказательства строгой положительности и простоты всех точек спектра краевых задач, возникающих при описании малых деформаций стержневых систем типа решеток первое из которых есть условие непрерывности, а второе и третье — условия шарнира. Такого рода задача возникает для малых упругих деформаций расположенной вдоль отрезка [0,1] цепочки из двух стержней, соединенных шарнирно в точке.
Очевидно, функция являющаяся линейной при x Ф ,, удовлетворяет равенству и"=0 всюду при хфО и потому при любом А: дает решение задачи (0.1) - (0.3) при Л = 0 .
На наш взгляд, результаты, полученные Я.Л. Нудельманом неточны. По-видимому, причиной ошибочности этих результатов явилось отсутствие на тот момент четкой математической теории краевых задач на геометрических графах.
В данной главе изучены свойства ведущей собственной частоты для спектральной задачи, представляющей математическую модель малых упругих колебаний простейшего канатного моста. Показано, что эта частота является простой, а соответствующая ей амплитудная функция не имеет узлов внутри Г. Аналогичные свойства, установлены для задачи с вогнутой нелинейностью. В диссертационной работе проведены исследования математической модели упругой сетеподобной системы методом функции влияния. В результате выполнения диссертационной работы получены следующие основные научные и практические результаты: 1) Построена и изучена модель сетеподобно организованного объекта, составленного из одномерных упругих континуумов по типу простейшего канатного моста. 2) Для этой модели: дано вариационное обоснование, мотивирующее адекватность математической модели относительно исходного физического объекта. Показана корректность модели, т.е. однозначная разрешимость математической задачи при любых допустимых значениях параметров и устойчивость решения относительно малых возмущений внешних параметров; построена и изучена функция влияния, играющая роль функции Грина. Показано, что однозначно определенная функция влияния G(x,s) позволяет выписать деформацию всей системы в интегральной форме где f(s) - интенсивность внешней силы; установлены знакорегулярные оценки функции ,, влияния, обеспечивающие позитивную обратимость исходной задачи в конусе неотрицательных на Г непрерывных функций, в том числе и 0-положительность (по Красносельскому М.А.) сооветствующего интегрального оператора в пространстве непрерывных на Г функций;свойства ведущей собственной частоты для спектральной задачи, соответствующей малым упругим колебаниям исходной системы. Показано, что эта частота является простой, а соответствующая ей амплитудная функция не имеет узлов внутри Г. Аналогичные свойства установлены для задачи с вогнутой нелинейностью.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю кандидату физ.-мат. наук, профессору Галкиной Валентине Андреевне за постановку задач и общие рекомендации к их выполнению, обсуждение полученных результатов, оказанную помощь и поддержку при работе над диссертацией.
