Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний Тимонин, Владимир Иванович

Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний
<
Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Тимонин, Владимир Иванович Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний : диссертация ... доктора физико-математических наук : 05.13.18 Москва, 2005

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Задачи форсированных испытаний 13

1.1. Основные понятия и обозначения 13

1.2. Проблема инвариантности 17

1.3. Методы проведения форсированных испытаний ..19

1.3.1. Метод равных вероятностей 19

1.3.2. Методы доламывания и ступенчатых нагружений 25

1.3.3. Регрессионные методы 31

1.4. Предварительные исследования 36

1.4.1. Проблема ненаблюдаемых одновременно параметров 36

1.4.2. Методы предварительных исследований 40

ГЛАВА 2. Предварительные испытания в переменном режиме 45

2.1. Предварительные испытания с одним форсированным режимом 45

2.1.1. Анализ структуры динамических испытаний и постановка задачи 45

2.1.2. Распределение статистики Т2п 48

2.1.3. Цензурирование испытаний и статистики типа Реньи 67

2.1.4. Оценивание функций пересчета по изменению технических параметров 75

2.2. Предварительные испытания с двумя форсированными режимами 79

2.2.1. Задачи испытаний в нескольких режимах и методы их проведения 79

2.2.2. Точные распределения базовой статистики 83

2.2.3. Асимптотическое распределение базовой статистики 91

2.2.4. Оценка зависимостей в испытаниях с переменной нагрузкой..97

2.2.5. Цензурирование испытаний и статистики типа Реньи 104

ГЛАВА 3. Анализ предварительных испытаний в стационарных режимах 109

3.1. Постановка задачи и исследуемые модели 109

3.1.1. Постановка задачи 109

3.1.2. Исследуемые модели для двух форсированных режимов 110

3.2. Испытания с двумя форсированными режимами 112

3.2.1. Анализ однопараметрических моделей 112

3.2.2. Анализ двухпараметрических моделей 127

3.3. Испытания в трех и более форсированных режимах 137

3.4. Анализ цензурированных данных и статистики типареньи 143

3.5. Оценка на основе линейной статистики 157

3.6. Оценка зависимостей в испытаниях с постоянной нагрузкой 165

ГЛАВА 4. Проведение предварительных испытаний при экспоненциальной наработке в нормальном режиме 168

4.1. Постановка задачи 168

4.2. Программные предварительные испытания -линейные функции связи 169

4.3. Динамические предварительные испытания -линейные функции связи 174

4.4. Программные предварительные испытания -нелинейные функции связи 181

ГЛАВА 5. Экспериментальная апробация результатов 191

5.1. Методики предварительных испытаний изделий рэа 191

стр.

5.1.1. Предварительные испытания блоков аналоговой аппаратуры. 191

5.1.2. Предварительные испытания блоков цифровой аппаратуры... 194

5.1.3. Предварительные испытания опорных источников питания.. 196

5.1.4. Предварительные испытания интегральных микросхем 198

5.1.5. Форсированные испытания пружин 201

5.1.6. Форсированные испытания химических источников тока .202

5.1.7. Предварительные испытания транзисторов МП 16Б 206

5.1.8. Предварительные испытания блоков РА 4101 208

5.1.9. Исследование зависимости пробивного напряжения конденсаторов от температуры эксплуатации 209

5.2. Программный комплекс «форис» 211

Выводы 219

Список литературы

Введение к работе

Актуальность проблемы. Испытания технических изделий являются основным средством определения показателей их надежности. По некоторым оценкам, расходы на них в СССР доходили до 10% от стоимости изделий, что в масштабах страны составляло миллиарды рублей. С развитием техники требования к ее надежности постоянно росли. В настоящее время многие изделия должны с высокой вероятностью безотказно работать длительное время, исчисляемое годами, а то и десятилетиями. В этих условиях традиционные статистические методы оценивания показателей надежности оказались неприменимы из-за того, что они требуют длительных испытаний выборок больших объемов. В связи с этим в теории надежности чрезвычайно актуальной стала проблема ускоренных испытаний. Решение этой проблемы может быть осуществлено разными способами: использованием методов прогнозирования или распознавания образов, знанием физики отказов, анализом информации по изделиям-аналогам и др. В данной диссертации рассматриваются только методы, когда сокращение длительности испытаний достигается ужесточением (форсированием) режимов.

Проблеме форсированных испытаний посвящено большое количество публикаций как у нас в стране, так и за рубежом. В частности, решению вопросов, связанных с их проведением, полностью или частично посвящены монографии [1-7]. Среди отечественных авторов отметим работы Кордонского, Перроте, Карташова, Седякина, Пешеса. Из иностранных авторов - Д. Кокса, В. Нельсона, Н. Сингпурваллу, Д. Хана, Ф. Прошана, Н. Манн.

К настоящему времени удалось получить ответы на многие вопросы, возникающие при проведении форсированных испытаний. Определены условия, которым должен удовлетворять форсированный режим, способы пересчета результатов форсированных испытаний к нормальным условиям, продолжительность (коэффициент ускорения) испытаний. Решена проблема инвариантности, что позволяет распространить результаты предварительных исследований на другие партии [8,9]. Достаточно полно разработаны программы предварительных исследований, на стадии которых проверяются (или устанавливаются) различные предпосылки методов форсированных испытаний [10,11]. Созданы соответствующие нормативно- техническая документация и программное обеспечение.

Вместе с тем, несмотря на свои очевидные преимущества, форсированные испытания еще не получили достаточно широкого распространения. Дело в том, что для их реализации вначале необходимо проведение так называемых предварительных исследований и испытаний, на стадии которых:

- выбираются форсированные режимы;

-определяются функции пересчета результатов форсированных испытаний на нормальный режим;

- проверяются различные модели расходования ресурса; -обосновывается возможность применения полученных результатов для новых партий исследуемых изделий.

К сожалению, современные методы предварительных исследований (их основными компонентами являются предварительные испытания и соответствующее статистическое и программное обеспечение) часто становятся главной причиной отказа от использования форсированных испытаний. Они требуют проведения испытаний выборок больших объемов, причем в течение времени, для которого необходимо определить показатели надежности в нормальном режиме, а оно нередко исчисляется несколькими годами (подробно эти методы описаны в [10]). Это приводит не только к очень высокой стоимости предварительных испытаний, но и делает получаемые результаты морально устаревшими. Кроме того, частое использование параметрических моделей пересчета результатов форсированных испытаний к нормальным условиям приводит к снижению достоверности получаемых оценок показателей надежности. По мере развития техники эти проблемы будут только усиливаться. Поэтому не будет преувеличением сказать, что широкое внедрение форсированных испытаний сводится к сокращению продолжительности и уменьшению стоимости, а также к повышению достоверности предварительных исследований.

Таким образом, в работе решается задача сокращения продолжительности и стоимости, а также повышения достоверности результатов предварительных испытаний, являющаяся крупной научно-технической проблемой и необходимым условием широкого применения методов форсированных испытаний на практике.

Основными объектами применения разработанных методов являлись различные изделия радиоэлектроники - отрасли, определяющей развитие научно-технического прогресса в последние десятилетия. Вместе с тем их вполне можно использовать и для анализа данных по испытаниям любых других изделий, а также в областях науки и техники, где требуются продвинутые методы статистического анализа.

Постановка задачи. Комплекс решаемых в работе задач связан с двумя ключевыми проблемами предварительных испытаний:

а) определению корреляционных или функциональных связей между наработками изделия в двух (или более) режимах;

б) определению функциональных связей между распределениями наработок до отказа в двух (или более) режимах.

Уточним, что между ними есть принципиальные различия. В первом случае речь идет об установлении стохастических связей между компонентами случайного вектора, состоящего из наработок до отказа одного и того изделия в различных режимах. Во втором - об определении зависимостей между функциями распределения наработок в различных режимах.

Для решения первой проблемы неприменимы классические методы математической статистики, когда исходным материалом для анализа являются векторы, между компонентами которых необходимо определить существующие связи. Дело в том, что у одного изделия невозможно измерить вектор из наработок в различных режимах (после измерения одной из них изделие разрушается или необратимо меняет свои начальные свойства). Возникает так называемая проблема ненаблюдаемых одновременно параметров, для решения которой в работах Г.Д. Карташова [9 - 12] были разработаны и обоснованы:

- специальные модели, связывающие между собой наработки изделия в различных режимах;

- способы проведения испытаний по определению связей между этими наработками;

- методы статистической обработки результатов этих испытаний.

Суть предложенного Г.Д. Карташовым метода заключалась (в простейшем варианте) в проведении испытаний двух выборок изделий в нормальном и переменном режимах. Не вдаваясь в излишнюю детализацию, подчеркнем, что в переменном режиме изделия испытываются как в нормальном, так и в форсированном режимах. Требуемые функции связи между наработками определяют затем сравнением результатов испытаний этих двух выборок. При очень слабых ограничениях на распределения наработок Г.Д. Карташов доказал, что определяемые таким методом связи между наработками остаются неизменными для любых партий данных изделий.

Работы Г.Д.Карташова стали основой существующих в настоящее время методов проведения предварительных испытаний и обработки их данных. Вместе с тем необходимость проведения испытаний в постоянном нормальном режиме стала, как уже упоминалось выше, главным препятствием для широкого внедрения форсированных испытаний в практику.

Основной причиной необходимости использования нормального режима является недостаточная разработанность методов обработки результатов предварительных испытаний. Вторая и четвертая главы диссертации посвящены разработке новых, значительно более экономичных моделей проведения таких экспериментов, позволяющих ограничиться использованием только переменного режима. Для этого потребовалось:

- провести анализ информации о распределении наработок в нормальном режиме, содержащейся в результатах испытаний в переменных режимах;

- разработать новые непараметрические методы анализа данных в этих моделях, позволяющие решать поставленные задачи по результатам испытаний только в переменных режимах (учитывая специфический характер этих данных - цензурированность, зависимость и т.п.). Методы должны быть пригодны для выборок любых объемов;

- определить оптимальную структуру переменных режимов в смысле минимизации средней продолжительности предварительных испытаний;

-. создать соответствующее программное обеспечение;

- апробировать и реализовать результаты работы в производстве и нормативно - технической документации.

Для решения второй проблемы обычно проводят испытания в нескольких постоянных форсированных режимах, после чего стандартными регрессионными методами осуществляют экстраполяцию результатов к условиям нормального режима. В этом случае подавляющее большинство существующих методов требует знания вида распределения наработок до отказа, а также его неизменности во всем диапазоне используемых режимов (по этому поводу см., например, обзоры [15, 16, 17] или монографию [4]). Кроме того, сложность используемых моделей заставляет применять в расчетах приближенные или асимптотические выражения, что в условиях постоянного недостатка статистического материала приводит к значительным ошибкам при прогнозе показателей надежности. Те же недостатки присущи и непараметрическим методам анализа данных. Их обзор с примерами приложений дан в монографии [18]. Авторы отмечают,

что для небольших и даже средних объемов выборок результаты могут быть совершенно неудовлетворительными.

В третьем разделе диссертации разработаны регрессионные методы анализа результатов предварительных испытаний, не требующие знания вида распределения наработок до отказа. Для этого потребовалось:

- исследовать существующие модели связи между функциями распределения и выделить среди них класс моделей, позволяющих оценивать свои параметры свободными от распределения методами;

- разработать точные статистические методы оценки этих параметров по результатам (полным и цензурированным) предварительных испытаний;

- провести анализ точности предложенных процедур методами статистического моделирования;

- апробировать и реализовать результаты работы в производстве и нормативно - технической документации.

Научная новизна работы заключается в том, что:

1. Доказана принципиальная возможность определения связей между ненаблюдаемыми одновременно параметрами (наработками до отказа одного и того же изделия в различных режимах) по результатам испытаний одной выборки в переменном режиме. Эти функции связи будут инвариантны для любых партий аналогичных изделий.

2. Впервые получены методы проверки справедливости моделей расходования ресурса (Пальмгрена - Майнера, Седякина и др.) по испытаниям одной выборки в переменном режиме.

3. Впервые поставлена и решена задача проверки адекватности моделей связи между функциями распределения наработок в различных режимах, не требующие знания типа этих функций.

4. Все разработанные методы являются точными, то есть применимы для выборок любых объемов. Получена новая общая итерационная процедура вычисления точных распределений статистик предложенных критериев, применимая для выборок больших объемов (для двухвыборочных критериев объемы выборок могут составлять 10000 единиц и более).

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Для проверки однородности двух зависимых выборок, полученных по испытаниям в переменном режиме, разработаны обобщения критерия Колмогорова-Смирнова, основанные на применении оценок Каплана- - Мейера функций надежности. Получены точные и асимптотические распределения их статистик (вид статистик зависит от плана проведения предварительных испытаний).

2. Для статистической проверки степенных моделей Лемана при испытаниях в двух различных режимах обобщен критерий Колмогорова - Смирнова на случай неоднородных выборок (полных и цензурированных справа), получены точные и асимптотические распределения его статистики.

3. Для решения аналогичной задачи рассмотрено обобщение критерия Сэвиджа. Проведено сравнение критериев методом статистического моделирования, даны рекомендации по использованию их в различных ситуациях.

4. Для испытаний в нескольких режимах получены методы проверки моделей Лемана, основанные на обобщении статистик Кифера - Гихмана. Разработаны методы вычислений их точных распределений для полных и цензурированных справа данных.

5. Для случая экспоненциальной наработки до отказа в нормальном режиме получены достаточные условия оптимальности (по средней продолжительности) предварительных испытаний в зависимости от порядка чередования составляющих их режимов.

6. Создан комплекс программ, реализующих разработанные алгоритмы. Результаты диссертации докладывались на семинаре «Математические методы в технике» МГУ им. М.В. Ломоносова, Всесоюзной научно-технической конференции «Применение статистических методов в производстве и управлении» (Пермь, 1984), 1-ом Всемирном конгрессе общества математической статистики и теории вероятностей (Ташкент, 1986), Международном симпозиуме «Надежность» (Магдебург, 1990), П-ой Международной конференции «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1994), Международном симпозиуме «Надежность и качество» (Пенза, 2001, 2003 гг.).

Практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты позволяют сократить длительность и стоимость проведения предварительных испытаний, повысить достоверность оценок показателей надежности за счет применения непараметрических методов анализа их результатов.

Полученные результаты использовались в РДВ319.01.11-ХХ «Радиоэлектронная аппаратура и электрорадиоэлементы военного назначения. Типовые методики ускоренных испытаний на безотказность и долговечность»

Диссертация выполнялась в рамках нескольких НИР, проводившихся по решению правительства РФ, и предназначенных для разработки общих требований к надежности, методам испытаний и контроля изделий радиоэлектронной техники военного назначения: Перечень этих НИР, а также примеры анализа предварительных испытаний, проводившихся разработанными методами, приведены в пятом разделе диссертации.

Методы проведения форсированных испытаний

Пусть П0 - нормальные испытания, проводимые в HP є о по плану однократной выборки с целью оценки или контроля показателя надежности XQ . Программа этих испытаний состоит в следующем. Из контролируемой партии делают случайную выборку объема п. Отобранные изделия испытывают в HP єд. Изделия испытывают до отказа, X X но не дольше времени tQ . Значение tQ может меняться от партии к партии. Характеристики п, є о и tQ .устанавливают в ТУ.

Рассмотрим случай, когда в процессе испытаний у изделий измеряют наработки 0Q. УТОЧНИМ, что характеристика GQ представляет собой время работы изделия в HP s0 при выбранной программе испытаний. Очевидно, что90 =min{ 0,t }. X і

После испытаний П станут известными п реализаций (наработок) GQ, i = l,n, случайной величины 0Q. ПО этим данным известными статистическими методами [22] оценивают показатель надежности XQ ИЛИ при необходимости принимают решение о возможности принятия представленной на контроль партии.

В последующем для краткости изложения будем рассматривать определительные испытания, состоящие в нахождении оценок показателей надежности Хд. Известно, что знание интервальной оценки для XQ позволяет легко построить контрольные испытания.

Приведем примеры испытаний П0 . 1. Испытания на безотказность YIQ проводят с целью оценки вероятности безотказной работы PQ(tг) за гарантированное время tr. Они p продолжаются в течение времени tr, т.е. VQ =tr. Точечная оценка для Po(tr) может быть рассчитана по формуле po(t)=l.Mr). (L8)

Здесь do(tr) - число изделий выборки, которые отказали за время испытаний, или, другими словами, число 0Q, І = l,n, меньших tr. т 2. Испытания на долговечность ITQ проводят с целью оценки средней наработки на отказ TQ. Изделия выборки испытывают до отказа, т.е. т tQ = +00. Точечную оценку для TQ определяют по формуле Т0=-Е60- (1-9) ni=l 3. Испытания на ресурс ITQ проводят с целью оценки у-процентного ресурса Rl. Испытания продолжают время t , за которое откажет приблизительно (1-у)-100 процентов изделий выборки. В качестве точечной оценки для Rl полагают Rg=to 0-Ю)

Обозначим П форсированные испытания, проводимые по описанной выше программе, но только в некотором ФР s в течение времени t . X X Испытание П называют ускоренным по сравнению с EL , если оно не X XX менее информативно, чем ITQ, НО менее продолжительно, т.е. t tQ .

Количественным критерием одинаковой информативности двух определительных испытаний является равенство точностей и достоверностеи получаемых оценок показателя надежности XQ, а контрольных - равенство ошибок 1-ого и 2-ого родов (рисков потребителя и изготовителя при разбраковке продукции).

После испытаний П станут известными наработки 0 , і = l,n, изделий выборки. Уточним, что значения 01 , і = l,n, представляют собой реализации случайной величины 0 =min{ ,t }.

Полученные данные удобно представлять в виде эмпирической функции распределения іці):=Ш,Іе]-ооД?], п где d (t) - число наработок 0 , меньших t.

Основная задача форсированных испытаний П состоит в определении оценок XQ показателя надежности XQ ПО данным испытаний, т.е. по F (t).

Другими словами, в нахождении такого функционала 1х от F (t), который позволял бы получать содержательные оценки вида X=1X(R) (1.11) Инвариантному описанию методов форсированных испытаний П посвящены работы [23,24]. Приведем полученные в них основные результаты.

Анализ структуры динамических испытаний и постановка задачи

В настоящем разделе производится анализ динамических предварительных испытаний, рассмотренных в предыдущей главе. Показывается, что информация, содержащаяся в результатах испытаний в режиме e(t), достаточна для того, чтобы построить критерий проверки модели (1.4). Предварительно заметим, что случай использования двух форсированных режимов будет рассматриваться в следующем разделе.

Напомним, что на испытания ставится 2n + m изделий, каждая из п пар испытывается в переменном режиме: сначала оба изделия і-ой пары, і = l,n, в нормальном режиме, а после отказа одного GQ , оставшееся годным переводится в форсированный режим и испытывается до отказа в момент 0 + GQ (рисунок 2.1). Остальные m изделий испытываются из изделий в момент времени только в нормальном режиме до отказа в момент j,j = un 0=( " Ш)(РИсунок2.2).

Рассчитаем п реализаций прогнозируемых наработок в 8Q тех изделий, которые отказали в є : rj = GQ + ф(9 ), і = l,n. Тогда объединенная выборка 0 = (б0,гі ,9о,Л2 -- 0О»г1п) ПРИ справедливости (1.4) будет извлечена из той же совокупности, что и выборка 0.

Введем следующие обозначения. Пусть ( 1,) - наработки до отказа в нормальном режиме изделий і-ой пары. Тогда Go=min(4i, 2) и, при справедливости (1.4) - г,=тах( 1, 2)- Возникает вопрос, нельзя ли использовать то обстоятельство, что испытания в s(t) уже содержат в себе и испытания в режиме eg и в режиме є Ответ положителен.

Переформулируем базовую теорему, приведенную в 1.4. Согласно этой теореме, при условии (1.4), объединенная выборка Q = \j9o»Tlb0O»Tl2»-"» O»Tlnj извлечена из совокупности с функцией распределения FQ(X). С другой стороны, независимо от справедливости (1.4), выборку 0 = (9(),6о -" 0) также можно считать извлеченной из той же совокупности, если рассматривать ее как цензурированную [64]. В данном случае отказы GQ одновременно являются и моментами цензурирования переключаемое изделие снимается с испытаний в SQ. Следовательно, можно построить критерий проверки (1.4), основываясь на сравнении одинаковых выборочных характеристик, вычисленных по разным выборкам Q и 0 (заметим, что одна из выборок является частью другой выборки).

Пусть Po(t)= 1 - FQ (t) - функция надежности в режиме SQ. Обозначим di(t), d2(t) - количество элементов выборок 0 и Q соответственно, меньших t. Очевидно, di(t) d2(t). Тогда оценками P(t) по этим выборкам будут 2n-d2(t) (2.1) d,(t)r п 1 Pe(t) = di(t) = 0 ,1 (1)5 -1 i=1 2n-2i + 2. О , d!(t) = n

Оценка Pe(t) называется оценкой Каплана-Мейера функции P(t) по цензурированным данным [65]. В данном случае она имеет такой вид потому, что объем множества риска перед і- ым отказом равен (2n-2i +2) (о терминологии см. [18]). Иногда не выделяют отдельно случай di(t) = п и считают Pe(t) по общей формуле при dj(t) 0, однако в нашем случае выкладки существенно упрощаются при введенном PQ (t).

Таким образом, статистически задача формулируется так: проверить однородность выборок Q, 0, то есть проверить гипотезу Ho:Pq(t)=P0(t). (2.2) Для проверки (2.2) предлагается статистика вида Pq(t) T2n= max — 0 t co[Pq(t)]2+[l-Pq(t)]2 Pe(t)-Pq(t) (2.3) S Статистика (2.3) является аналогом статистики Смирнова применительно к рассматриваемой проблеме. Здесь также проверяется однородность двух выборок, хотя они не являются независимыми, и, кроме того, одна из них является прогрессивно цензурируемой выборкой. В дальнейшем для краткости обозначим РЄ( )-РЧ(0 Pq(t) [Pq(t)]2+[1-Pq(t)] В следующем разделе рассматривается вопрос нахождения распределения (2.3) при справедливости HQ.

Исследуемые модели для двух форсированных режимов

Рассмотрим сначала следующий эксперимент. Пусть проводятся испытания двух выборок изделий в режимах г\ и є 2 (в данный момент не важно, являются ли оба режима форсированными или один из них является нормальным режимом). Пусть г\ Є2- Обозначим соответственно F(t), G(t) - функции распределения наработок до отказа в этих режимах. Спрашивается, какие соотношения между F(t), G(t) можно оценить, чтобы метод оценивания не зависел от конкретного вида этих функций?

Обозначим \ = ( i,...,т), Л = Спь—Лп) " моменты отказов в режимах єі,Є2 соответственно; Fm(t), Gn(t) - эмпирические функции распределения выборок l,r\; Y = (Yi,Y2,-,Ym+n)»Yi Yi+l»i = l,n-l - объединенный вариационный ряд выборок ,rj"; r(j) = rj, s(rj) = Sj - номер (ранг) элемента і(Лр в ряде у.

В 1954 году в работе [50] Леманом были введены соотношения между двумя функциями распределения, которые получили название моделей Немана (или лемановских альтернатив). Эти модели рассматривались им в качестве альтернативных гипотез к основной гипотезе однородности двух выборок, откуда и получили второе название. Они имеют вид F(t) = p(G(t)), (3.1) где ф(х), х є [0,1] - непрерывная, монотонно возрастающая функция с очевидными граничными условиями ф(0) = 0, ф(1) = 1.

Леман показал, что при справедливости (3.1) распределение рангов Л, Sj, і = l,m;j = l,n не зависит от вида F(t), G(t), а определяется только функцией ф(х).

В 1956 году Сэвиджем [83] был разработан чрезвычайно популярный критерий проверки однородности двух выборок, который является локально наиболее мощным критерием против лемановских альтернатив вида F(t) = [G(t)]k,k l. (3.2)

В 1972 году Коксом [49] была предложена модель пропорциональных интенсивностей отказов (proportional hazard rate), которая является частным случаем (3.1) и имеет вид [1-F(t)]k=(l-G(t)), или, в эквивалентной форме, A,2(t) = k.A.!(t), (3.3) где A,j(t),A,2(t) - интенсивности отказов соответственно в режимах ei,S2 Модель Кокса оказалась чрезвычайно удобной для непараметрического сравнения неоднородных выборок, в том числе и случайно цензурируемых выборок. Стало возможным оценивать регрессионные зависимости коэффициента k = k(ui,U2,— u ) от внешних факторов iij,i = \,. Подробно возможные модели и методы их оценивания даны в монографиях [18,84]. Вместе с тем, не вдаваясь в излишнюю детализацию, следует заметить, что все предлагаемые методы оценки k = k(ui,U2,.-- u ) основываются на максимизации функции правдоподобия и, в соответствии с этим, при построении доверительных множеств и проверок гипотез, используются нормальная или % - аппроксимации логарифма отношения правдоподобия (или частичного отношения правдоподобия). Как отмечается в упомянутых монографиях, для небольших и даже средних объемов выборок результаты могут быть совершенно неудовлетворительными.

В главе рассматриваются модели (3.2), (3.3) и их обобщения, а также предлагаются другие методы их оценивания, которые применимы для любых объемов выборок.

В диссертации исследуется 4 вида моделей связи между F(t), G(t): Hi: F(t) = [G(t)]k, (3.4) H2: 1-G(t) = [l-F(t)]k, (3.5) H3 : F(t) = a[G(t)]k +(1-a)[G(t)]k , (3.6) H4 : 1-G(t) = a[l-F(t)]k + (l-a)[l-F(t)]k , (3.7) где параметры k,lq,k.2 характеризуют степень различия выборок, параметр а определяет наличие двух процессов деградации, ведущих к отказу изделия.

Заметим, что модели обозначаются через буквы Н из статистических соображений - при расчетах уровней значимости под выполняемостью модели подразумевается выполняемость некоторой гипотезы.

Динамические предварительные испытания -линейные функции связи

В 4.3 рассмотрен случай динамических предварительных испытаний, проводимых методом двоек. Как и в 4.2, исследуется вопрос продолжительности испытаний в зависимости от порядка чередования нормального и форсированного режимов. Все выкладки будут проделаны для режима (4.2), для режима (4.3) приведены конечные результаты.

Заметим, что вопрос сравнения режимов є и при динамических испытаниях рассматривался в работе [102]. В ней исследовалась проблема сравнения режимов по суммарной наработке изделий в процессе испытаний. Было показано, что для экспоненциального распределения эти режимы были эквивалентными. С практической точки зрения, однако, значительно более важным является вопрос именно продолжительности испытаний, в наибольшей степени влияющий на возможность применения форсированных режимов.

Напомним, что испытания в динамическом режиме (4.2) проводятся следующим образом. Выборка, случайным образом разбитая на п пар, начинает испытываться в є о. При отказе одного из изделий і-й пары, оставшееся годным изделие переключается в є , где доводится до отказа. После проведения испытаний получают информацию в виде п векторов (9, 02), где 01 - время работы і-й пары в So; 02 - время работы той же пары в є ( обычные обозначения 0Q,01 не используются, так как переменный режим может быть &[ ИЛИ Є2 ).

Если наработка до отказа имеет экспоненциальное распределение в режиме So и в режиме є , то 0, 0Ї, являются независимыми случайными величинами для любых і. Пусть j, " наРаботки до отказа изделий і-й пары в режиме Ео, тогда для режима s\ получим, что A1 minrpi Ї ї ft1 max(%l,52)-min(5l,%2) «! =тіп( , 2Л 02 = ; » к где k- коэффициент ускорения испытаний.

Очевидно, что функции распределения величин 0} и 2 имеют соответственно вид F1(t) = l-e"2Xt,F2(t) = l-e"k ot,t 0. Очевидной оценкой для к в этом случае является статистика 2iej k =- -. (4.12) n . v у Zel2 i=l n Так как случайная величина 2KXQ ( Z @2 ) распределена по закону i=l 2 П І 2 % (2п), величина 4A,Q(] ]0})- по закону % (2п) и они независимы, то к i=l имеет распределение k-F(2n,2n), где F(2n, 2п) - распределение Фишера с (2п, 2п) степенями свободы [101]. Из свойств распределения Фишера следует, что математическое ожидание оценки имеет вид Ek = k . Оценка смещена, поэтому п-1 введем несмещенную оценку к\ = к. Ее дисперсия равна величине п Dk1=_ zLk2. 1 n(n-2) Если испытания проводятся с использованием Є2, то, аналогично предыдущему, легко показать, что несмещенной оценкой к будет статистика пІе2 г i=l т г 2п —1 .о к2 = — , имеющая дисперсию Dk2 = к . 2(п-1)еі П(П-2) і=1

Таким образом, режимы Е\ , 2 дают одинаковую точность при оценке коэффициента ускорения. Рассмотрим вопрос о средней продолжительности испытаний. Очевидно, что в режимах є , 2 продолжительность испытаний равна T = max(0j + 02). Обозначим T\— время испытаний в ц, Т - время і испытаний в Є2 Дальнейшее изложение основано на двух утверждениях, в которых приняты следующие обозначения. Если Gj(x), G2(x)- функции распределения ,\,,2 соответственно, то Ъ,\ 2означает что Gj(x) G2(x), Vx 0. Соотношение , ,2 означает, что Gj(x)=G2(x), V х 0. Обозначим gi(x)=Gj(x), і = 1,2. Теорема 4.1. Пусть ,1,2,2 распределены по показательному закону Ехр(1) и независимы. Определим случайные величины ъ\ =— Ъ,\ + п(%2) z2 = п(— l) + 2- Пусть функция h(x), х 0, удовлетворяет условиям: 1. 0 h(x) x; 2. h(x)-непрерывно дифференцируема; (4-13) 3. V(x)= х - h(x) - возрастающая функция.

Похожие диссертации на Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний