Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Фрактальный подход к определению геометрических и электрических свойств природных объектов и неоднородных сред
1.1 Основы фрактальной геометрии 10
1.2 Применение фрактальной геометрии к неоднородным процессам, явлениям и средам 12
1.3 Математическое моделирование фрактальной линии 15
1.4 Самоподобие 24
1.5 Фрактальные интегралы и дифференциалы 28
1.6 Геометрический смысл фрактальной производной разветвленных структур 30
1.7 Обоснование задач исследования по применению фрактальнойгеометрии к физико-техническим средам 33
ГЛАВА 2. Разработка метода измерения фрактальной размерности разветвленных структур
2.1 Разветвленные структуры 37
2.2 Фрактальная размерность дельты реки Селенга 38
23 Определение фрактальной размерности грозового разряда
2.3.1 Размерность обыкновенной молнии 44
2.3.2 Размерность разветвленной молнии 46
2.4 Фрактальная размерность плоскостной проекции счримерных каналов 47
Выводы 53
ГЛАВА 3. Математическая модель поверхностного импеданса фрактальной среды
3.1. Уравнения Максвелла в полупроводящих средах 54
3.2 Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований подобия 55
3.3 Фрактальная модель частотной зависимости скин-слоя гетерофазных сред 58
3.4 Закон подобия для модуля поверхностного импеданса 64
Выводы 69
ГЛАВА 4. Разработка фрактального метода решения задачи о поле земной волны
4.1 Постановка задачи 74
4.2 Фрактальная модель зоны Френеля 75
4.3 Моделирование канторовским множеством и эквивалентной электрической схемой 80
4.4 Спектральная характеристика модуля функции ослабления земной волны 85
4.5 Моделирование ослабления фрагментами растительности . 87
4.6 Фрактальная размерность фрагментов растительности 94
Выводы 99
Заключение 100
Литература
- Применение фрактальной геометрии к неоднородным процессам, явлениям и средам
- Фрактальная размерность дельты реки Селенга
- Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований подобия
- Моделирование канторовским множеством и эквивалентной электрической схемой
Введение к работе
Актуальность темы исследования, Исследования, связанные с фрактальной геометрией и ее приложением к решению научных и технических, фундаментальных и прикладных задач, рассмотрению математических моделей физических и технических объектов, начались после выхода книги Б. Мандельброта1. В ней для математического моделирования изломанных и фрагментированных элементов Б. Мандельброт ввел дробные или фрактальные размерности пространства. Фрактальные объекты в природе многообразны - это ландшафт земной поверхности, блоковая структура и пористость горных пород, разряды молний в атмосфере. Число таких примеров велико. Основными положениями при математическом моделировании фрактальной геометрии являются ее многомасштабность и самоподобие.
Математическое моделирование фрактальными характеристиками физико-технических сред представляет интерес для широкого класса задач, в частности, изучения электрических свойств гетерофазных сред. Знание физических свойств, строения и структуры неоднородной подстилающей среды, их изменения в пространстве и времени требуется в физико-химических методах диагностики окружающей среды и прикладной геофизике. Применение спутниковых и наземных систем передачи информации, навигации и управления также обусловливает необходимость математического моделирования фрактальных характеристик земной поверхности. Для получения объективных количественных данных о физических свойствах и геометрии физико-технических сред необходимо развивать новый, фрактальный подход. Требует существенного развития и обоснование фрактального подхода к описанию частотного и пространственного изменения проводимости а и диэлектрической проницаемости є горных пород, поверхностного импеданса S и спектральной характеристики функции
1 Mandelbrot В.В. Les objects fractals: forme, hazard et dimension. Flammarion, 1975. 200 P.
5 ослабления W электромагнитного поля. Таким образом, значимость рассматриваемых вопросов обусловила актуальность темы исследования,
Большой вклад в математическое моделирование развиваемой области внесли работы профессора АЛ. Потапова из ИРЭ РАН по фрактальным характеристикам радиолокационных искусственных и естественных объектов "\ С,С. Крылов из НИИ физики Санкт-Петербургского университета установил фрактальную структуру проводимости природных материалов''. Термин фрактал глубоко проник в естественно-научную тематику. Объединяющий подход, основанный на идеях фрактальной геометрии, к динамике роста, кинечике процессов роста, теории турбулентности, физике плазмы отражен в сборнике трудов Всероссийского научно-исследовательского института экспериментальной физики (ВНИИЭФ)4. Применением фрактальной геометрии к математическим и физическим задачам занимаются также A.JL Эфрос, СВ. Божокин, Д.А Паршин, Э.М. Базелян, КХП. Райзер, В,А. Герман, О.Ф. Вячеславова, В.В. Булавкин, В.Е. Архинчеев, В.В. Учайкин, Э.И. Могилевский, В.В. Тарасенко и другие исследователи.
Целью диссертации состоит в научно-техническом обосновании и разработке фрактального метода математического моделирования геометрических и электрических характеристик физико-технических сред, обеспечивающего интерпретацию данных натурного эксперимента на основе их математических моделей.
Задачи исследований:
1) разработать математическую формулировку аксиомы самоподобия фрактальной геометрии, определить фрактальные интегралы и дифференциалы, установить геометрический смысл фракт&чыюй производной;
2 Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Тонология выборки, - М: Университетская книга, 2005, 848 с,
J Крылов С.С., Любчич В,А. Масштабная зависимость кажущегося сопротивления и фрактальная структура железистых кварцитов // Физика Земли, 2002, № 12. С. 14-21. 4 Фракталы в прикладной физике // Под общей редакцией А.К. Дубинова. - ВНИИЭФ, Арзамас-16, 1995,216 с
2) разработать фрактальный метод измерения фрактальной размерности
разветвленных структур (дельты рек, стримерные каналы и разряды молний;
установить и обосновать свойства математических фрактальных моделей частотных зависимостей скин-слоя и поверхностного импеданса гетерофазных сред на основе инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований геометрического подобия;
разработать метод фрактального решения задачи определения спектральной характеристики модуля функции ослабления земной волны для трасс фиксированной длины и ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности в СВЧ диапазоне.
Предметом исследования является математическое моделирование на базе фрактальной геометрии.
Объектом исследования являются фрактальные характеристики физико-технических сред.
Методы исследования основаны на применении фрактальной геометрии, теории функции комплексного переменного^ электродинамики, теории электрических цепей и методов теоретической физики.
На защиту выносятся:
Математическая формулировка аксиомы самоподобия и геометрический смысл фрактальной производной.
Численный метод измерения фрактальной размерности разветвленных структур.
Фрактальные модели частотной зависимости скин-слоя и модуля поверхностного импеданса.
Математический метод фрактального решения задачи определения спектральной характеристики модуля функции ослабления земной волны для трасс фиксированной длины и модуля ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности в СВЧ диапазоне.
Научная новизна. Разработана математическая формулировка аксиомы самоподобия, определены фрактальные интегралы и дифференциалы, установлен геометрический смысл фрактальной производной. С использованием канторовского множества предложен и развит метод измерения фрактальной размерности разветвленных структур. Доказано, что широко представленные в природе разветвленные структуры являются фрактальными объектами. Разработана фрактальная модель стримертных каналов. На основе инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований геометрического подобия созданы математические фрактальные модели скин-слоя и модуля поверхностного импеданса и определены их частотные зависимости. Предметом научной новизны является математический метод фрактального решения задачи о поле земной волны над неоднородными средами.
Научная и практическая ценность. При математическом моделировании сложных природных процессов и явлений эффективен новый метод измерения фрактальной размерности. Результаты диссертации могут быть использованы при решении фундаментальных и прикладных задач, связанных с электромагнитными сигналами в неоднородных средах. Практическая ценность результатов состоит в том, что они могут найти применение при разработках новых технических устройств, в частности, широкополосных фрактальных антенн, а также при математическом моделировании электромагнитных свойств современных материалов. Результаты будут использованы при создании прогнозных карт электрических свойств земной поверхности фрактального типа.
Научная обоснованность и достоверность результатов и выводов подтверждаю гея тем, что они получены в рамках единой фрактальной методологии. При математическом моделировании и интерпретации данных натурного эксперимента осуществлялось сравнение числовых значений фрактальной размерности несколькими независимыми методами.
8 Достоверность математических зависимостей фрактальных характеристик обеспечивалась также сравнением с известными в литературе результатами, моделированием многослойной среды, асимптотическим переходом к классическим формулам, точностью и надежностью используемых данных.
Применение фрактальной геометрии к неоднородным процессам, явлениям и средам
Идеи фрактальной геометрии используют при изучении поглощения излучения в пористых: средах [82,92,111], для характеристики развитой турбулентности [54,78J, при моделировании свойств поверхности твердых тел [44,60,68], для описания диэлектрического пробоя и разрядов молний в атмосфере [53,67,93], длительных временных рядов природных процессов,
просачивания жидкости через пористые среды [46,51,85,87], при исследовании различных стадий роста вещества за счет диффузии и последующей агрегации [63], для описания размерности ландшафтов и параметров окружающей среды, разрушения горных пород, статистики высоты и формы морских волн. Число таких примеров велико [2,51,52,56,63,68,85,101,102,103,104,105,108,111], Фрактальная геометрия, ее первичные понятия, рассмотрены в классических книгах [44,62,78,85,87,97], а также в обзорах А.А. Потапова [74 79] и Г.Ю. Ивапюка [53]. В [88,74-79] фрактальность природных объектов предложено использовать для исследования процессов в окружающей среде. Зондируя радиолокационными методами физико-технические объекты на поверхности земли, можно судить об их искусственном или природном происхождении. Их отличие как раз и будет определяться размерностью: искусственные образования должны иметь целочисленную размерность, а естественные -дробные фрактальные размерности.
Фрактальная структура присуща многим физическим явлениям и процессам, происходящим в гетерофазных средах со случайным распределением фаз. К таким неоднородным средам можно в полной мере отнести лесные и ледовые покровы, представляющие собой типичные фрактальные объекты [98].
Фрактальные объекты иерархическим построением заполняют свободное пространство. Они инвариантным способом повторяют сами себя при масштабном преобразовании. Самоподобная инвариантность приводит к тому, что геометрические и физические параметры выражаются друг через друга степенным образом. Переходы от одних масшіабов к другим описываются геометрическими преобразованиями подобия координат г и времени / [57]: rffr, tl=qt. (1.2) Здесь j] - масштабный множні ель, меняя его, можно переходить от одной траектории к другой. Исключая масштабный множитель следующим приемом: г =7= vh получаем r = CT] txlk. (1.3) Чтобы отвлечься от неопределенного множителя С!?, подобное соотношение во фрактальной геометрии принято записывать в следующем виде: rVh, (1.4)
Это одно из краеугольных соотношений фрактальной геометрии. Оно описывает степенной рост со временем линейного размера области при блуждании фрактального объекта, поэтому показатель // называют размерностью блуждания [63]. В природе фрактальность объектов проявляется при их росте. Если искусственные или математические объекты можно строить в любом направлении - от малого размера к большому или наоборот, то, например, образование трещин на поверхности земли сначала начинается с малых, а затем происходит их рост. При росте структур, что существенно, происходит бурное их разветвление или запутывание. Природные объекты стремятся захватить как можно больший объем и плотнее его заполнить. Причем, рост фрактальных объектов со временем подчиняется универсальному степенному закону (1.4) [47,62,68].
Доминирующим фактором, влияющим на электрические свойства торных пород, является их влагосодержание, которое зависит от пористости среды [44,46,63,68,80,86]. Выделяют пять наиболее характерных состояний горных пород естественной влажности и залегания: Водоносные Неводоносньте Сыпучие Трещиноватые Монолитные,
Максимальная проводимость обычно соответствует водоносным и трещиноватым породам, минимальная - не водоносным средам, сыпучим или монолитным. Опубликовано много работ по исследованию перколяционных систем [2,87,101-106,110,111], Среди них интересны работы в приложении к задачам сейсмоэлектромагнетизма [103,104,105,108,109]. Изучаются проводимость и диэлектрическая проницаемость высокоомных кристаллических массивов. Объектом исследования являются также области с очень низкой электропроводностью, называемые литосфериыми электромагнитными "окнами".
Особое внимание уделяется определению геометрии области и построению геоэлектрических моделей верхней части консолидированной земной коры, в частности "геоэлектрического портрета1 разломной области. Геоэлектрическая модель тектонических нарушений (разломов) на поверхности кристаллического массива интересна с точки зрения фрактальных антенн -излучателей электромагнитных эмиссий литосферной природы [108]. Проводящий (или диэлектрический) активный разлом можно рассматривать как полосковую (щелевую) антенну - широкополосный излучатель в высокоомной среде, а всю разбитую системой разломов площадь кристаллического массива -как плоскостную фрактальную излучающую систему. Установлено, что пространственное распределение разломов имеет фрактальную структуру [53]. Геометрические характеристики составляющих земную литосферу блоков на различных уровнях оказываются весьма близкими. Среда в большом диапазоне размеров оказывается геометрически самоподобной. Так, закон повторяемости землетрясений (закон Гуттенберга - Рихтера) ярко иллюстрирует самоподобность сейсмического процесса. Установлен фрактальный характер геофизических характеристик, полученных при каротаже скважин.
Фрактальная размерность дельты реки Селенга
Дельта реки представляет собой типичную разветвленную структуру. На Земном шаре имеется всего 24 дельты рек. В качестве объекта выберем дельту реки Селенга, электронная (ГИС) карта которой представлена на рис. 2.1, Дельта состоит из случайно распределенных проводящих участков суши и воды. Суша заполнена густой растительностью со свойствами диэлектриков с потерями.
Река Селенга является главной артерией оз. Байкал (53 % водосбора озера). Впадая в озеро, река создает сильнейший гидроудар, тем самым формируя своеобразный облик ее дельты. Это сопровождается образованием множества водных потоков, составляющих разветвленную фрактальную структуру. Дельта представляет собой сложный фрактальный узор и является проводником на полупроводящей подложке для распространяющихся вдоль нее электромагнитных волн естественного и искусственного происхождения.
Первый метод измерения фрактальной размерности состоит в использование формулы Мандельброта-Ричардсона (1.1): L = C %] . Ее применение заключается в следующем. Сначала берется циркуль с раствором, равным некоторому масштабу % \ (мм). С этим раствором циркуля обходим вес видимые на карте рис. 2.1 рукава дельты, получаемая общая длина при этом будет L,, Затем раствор циркуля меняется, т.е. берется масштаб х 2 (мм) отличный от % ] - Новым раствором циркуля также подсчитывается общая длина L 2. Описываемая последовательность повторяется как можно большее число раз. По полученным значениям и строится билогарифмический график с осями In/, и ln;f. Если дельта реки является фрактальным объектом, то на графике все точки % . и L . лягут на прямую линию. По углу наклона затем находится фрактальная размерность. Так, для дельты Селенги было получено D () =139 + 0,02,
Второй метод измерения фрактальной размерности состоит в следующем. Сначала на структуре выделяем некоторую замкнутую область линейного размера R. Длину всех ветвлений внутри области можно найти из закона самоподобия (1.9): цЬ = Сп . Конкретизируя масштабный параметр L U 1 /.Л1" как т]-MR, получаем — L = Сп или, отвлекаясь от несущественных множителей: L RD. (2.1) Карту рис. 2.1 очерчиваем в виде квадрата, который в свою очередь разбиваем на 4 равных квадрата. Подсчет длины вдоль одного русла демонстрируем на рис. 2.2а, где показано, как выбранный масштаб укладывается вдоль одного из русел 5 раз. Для квадратика 1 на рис. 2.26 получаем, что масштаб в одну единицу измерения укладывается 34 раза. Линейный размер квадрата можно взять произвольным, мы для определенности положим его равным \1х- При последующем измерении рассматривается прямоугольник, состоящий из квадратов 1 и 2, и т.д. В итоге
Подсчет общей длины русел дельты р. Селенга. получаем: Lix = Н 56, 73, 89; R = -/1, ,.2, ,.3, -..4, Здесь .2 означает, что площадь квадратов 1 и 2 равна 2, так что линейный размер соответствующего прямоугольника как раз будет ..-2. По методу линейной регрессии по точкам In L и In R строим прямую, угловой коэффициент которой даст размерность D. В данном случае он оказывается равным 1.39 ± 0.02. Однако для оденки погрешности лучше исходить из следующей формулы;
В этом случае по четырем измерениям можно найти шесть значений Д усредняя которые, находим D = 1.38 ± 0.02. Для проверки рассматриваем те? же квадраты на рис. 2.26, но измерения проведем с меньшим масштабом, в 0,5 единиц измерения. Здесь получено R = -/2, /4, -/6, ./8. По методу линейной регрессии, D = 1.40 , по формуле (2.2): D (2) =1.38 + 0.02.
Следующий метод основывается на методах фрактальной геометрии, которые позволяют получить соотношение, связывающее число пересечений N руслами реки произвольного периметра с линейным размером R (1.19):
Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований подобия
Представление уравнений Максвелла в форме дифференциальных уравнений отражает ряд фундаментальных свойств. Так, зная электрические и магнитные поля в некоторой точке, можно всегда найти их значения в соседней точке. Инвариантность относительно выбора инерциальных систем отсчета приводит к тому, что одна из размерных постоянных оказывается максимальной скоростью в природе, приобретая, тем самым, фундаментальный характер. Мы рассмотрим инвариантность уравнений Максвелла относительно групповых масштабных преобразований, иначе - преобразований подобия. Преобразования подобия были использованы А.Н. Колмогоровым [36] для описания турбулентности. Как впервые было замечено Л.Ф. Ричардсоном [114], турбулентность в широком диапазоне масштабов разбита на самоподобные завихрения. Каждое из таких завихрений описывается уравнением Навье -Стокса, и переход от одних завихрений к другим осуществляется масштабным преобразованием.
При масштабном преобразовании траектории движения материальных тел переходят в другие, подобные траектории. При этом координаты, описываемые радиус - вектором г и временем t9 переходят в новые значения г и / , связанные следующим образом [39]: =r?r, f=r]ht. (3.4) Согласно методологии фрактальной геометрии, в новых координатах подобным же степенным образом должны меняться и компоненты электромагнитного поля, т.е. E=V E, В =пьВ9 (3.5) где здесь и ниже е, h, ; и pi - степенные показатели. Аналогичным образом изменяются и электрические параметры среды: Применим (3.4-3.6) к следующему уравнению: дВ dt получаем СГ-ІГ7 г ь-н дВ п V х = -л — dt Чтобы это выражение не зависело от масштабного множителя //, необходимо положить e-b \-Ju (3.7)
Постоянные 0 и С специальным выбором единиц измерения всегда можно обратить в единицу. Поэтому к ним нельзя применять преобразования подобия.
Далее рассмотрим следующее уравнение: С2ЧхВ = є + —. dt єи После группового масштабного преобразования получаем J] С VxS = —Е Е + 7] Е, dt гп Чтобы множитель 7 сократился, необходимо выполнение двух соотношений: e-h-h-\-l;) e-b--\-р.. Объединяя их с (3.7), находим законы подобия, которым удовлетворяют уравнения Максвелла: ?=rf г, / =? /. (3.8) =7е, Д =/;ЛВ, e-b l-h, (3,9) =73 -V r =7M r. (ЗЛО) Преобразования (3.8-3 Л 0) позволяют проводить анализ физических и геометрических величин при распространении электромагнитной волны в статистически самопободной среде. Уравнения Максвелла удовлетворяют следующим законам подобия: ?=7?, Q?=Ti h(B. (ЗЛІ)
Они позволяют переходить от решения уравнений Максвелла для электромагнитной волны определенной частоты к полям другой частоты, распространяющейся в статистически самоподобной среде.
Комбинируя законы (3 Л1) с преобразованием (3.10), находим пространственное и частотное поведение проводимости и диэлектрический проницаемости во фрактальной среде:
Обычно применяемый метод для определения пространственного и частотного характера электрических параметров неоднородной среды основывается на перколяциоином подходе [37,38,98]. Такой подход приводит к следующему пространственному поведению проводимости и диэлектрической проницаемости: т-i/v jSjv G L , є L , и частотной характеристики проводимости: а О) .
Здесь т, $, У и р - критические индексы, ответственные за перколяционньтй переход системы из одного состояния в другое. Видим наличие целого спекгра показателей. Предлагаемое в диссертации рассмотрение блуждания элек іромагнитного поля по хаотично расположенным диэлектри ческим и проводящим участкам позволяет все степенные показатели свести к одному -размерности блуждания [7,11].
В качестве примера приведем известную частотную зависимость проводимости елаболегированного кремния: а ть% [26]. Тогда из (3.12-3,13) следует, что А = 1-11 и а- Г081, є /JJ?2? о- - С8, є оґ7.
Моделирование канторовским множеством и эквивалентной электрической схемой
Отсюда и следует утверждение, что если в свободном пространстве длина волны есть Д, то в среде она будет порядка АЩ Еще одно полезное соотношение можно получить, сравнивая скин - слой с модулем поверхностного импеданса. Оно имеет следующий вид: \8\=42к . (4.3) Перепишем его, выражая длину волны через частоту: И=- #с (4.4)
Соотношение (4.4) получено для однородных сред. Но оно не содержит явно никаких электрических величин, кроме фундаментальной постоянной -скорости света, поэтому будет верным и для неоднородных сред.
Если излучатель и приемник находятся так далеко друг от друга, что формально можно положить /- «, то поле, согласно (4.3), затухает на глубине Нс=ЛЩі2я (рис. 4,3а). При конечной длине трассы, вблизи излучателя и приемника, основной вклад в точке приема вносят небольшие глубины, в средней точке трассы глубина, согласно (4.2), максимальна и равняется Нс = - IA\S\ (рис. 4.36). Реально, ввиду неоднородного распределения импеданса, характер глубины затухания будет таким, как представлено на рис, 4.3в, При конечной длине трассы, в неоднородной по электрическим параметрам среде, картина нижней зоны Френеля изменится, она станет изломанной (рис, 4.2в). О фигуре на рис. 4.36 стоит сказать следующее. Полуэллипсоидная картина, вообще говоря, будет верна на коротких трассах. На достаточно длинных трассах нижняя граница выйдет на скин - слой бесконечно длинного разноса излучателя и приемника, и станет такой, как показано на рис. 4.3а. Сами участки вблизи излучателя и приемника получили название "взлетной" и "посадочной площадок Л.И. Мандельштама. В общем случае характер границы скажется на величине электрического поля в точке R.
На параметры земной электромагнитной волны в месте ее приема существенное влияние оказывает наличие самой земли. Рельеф местности, распределение электрических параметров - все это влияет на то, какое поле мы получим в месте приема. Удобной величиной, описывающей влияние рельефа и свойства среды, является функция ослабления W9 определяемая как отношение электрического поля с учетом среды к электрическому полю над бесконечной проводящей плоскостью [40,93]. Очевидно, для свободного пространства W = \. Поскольку известен скейлинговый закон для импеданса, то для нахождения частотной характеристики функции ослабления, последнюю необходимо выразить через поверхностный импеданс. Для этого используем формулу теории распространения радиоволн, именно для однородной и плоской радиотрассы функция ослабления дается формулой Зоммерфельда [48]; Здесь / - длина трассы, параметр S = / к о S" /2 э где к 0 = со/С. В интеграле (4,5) заменим е ох-—-ае и получаемое выражение два раза интегрируем по частям. При выполнении неравенства S! » 1, из (4.5) будет следовать Sl I \oS
На фиксированном расстоянии от излучателя формула (4.6) не содержит явно никаких параметров среды, кроме импеданса. Поэтому формула (4.6) будет справедлива и для гетерофазных сред. Для таких сред импеданс подчиняется закону (3,22), следовательно, частотная характеристика модуля функции ослабления для фрактальных подстилающих сред будет следующей:
Нас будет интересовать только частотная зависимость функции ослабления. Проводимость и электромагнитные постоянные будем включать только для сохранения размерности. Не выявляемая явно в (4.7) зависимость от проводимости связана с тем, что в случайно-неоднородных средах можно говорить только о некоторой эффективной проводимости, которая становится зависящей от длины трассы [54].
Фрактальной геометрией описываются многие физические, технические и математические объекты. Среди них определенное положение занимают канторовские множества. Если фрактальная линия принимает для своей размерности значения от 1 до 3, то канторовские объекты могут иметь размерность меньше единицы. К алгебраическому канторовскому множеству, например, относится геометрический ряд. К геометрическому канторовскому множеству относится следующее построение [44,62,91]. Возьмем отрезок единичной длины и разделим его на три равные части. Среднюю часть отбрасываем, а оставшиеся две части также делим на три равные части и отбрасываем срединные. Процедуру повторяем как угодно долго. В итоге остается пылевидный объект, который так и называется- канторовской пылью. Его размерность вычислим с помощью формулы (1.1).
