Содержание к диссертации
Введение
1 Устойчивость систем разностных уравнений с запаздываниями, описывающих динамику популяций 21
1.1 Биологическая мотивация 21
1.2 Постановка задачи 25
1.3 Характеристическое уравнение общей системы . 29
1.4 Многомерный аналог условия устойчивости Кона . 32
1.5 Перенос методов Березанского-Браверман-Лиза на исследование устойчивости систем 34
1.6 Признаки устойчивости и неустойчивости уравнения
1.7 Приложения к дискретным моделям «хищник-жертва» 41
1.8 Овалы устойчивости для уравнения хп = —xn-i+Bxn-k 47
1.9 Сравнение результатов первой главы с известными результатами 53
2 Устойчивость линейных разностных уравнений с запаздываниями 55
2.1 Линейные разностные уравнения высшего порядка и модели динамики популяций 55
2.2 Формирование гипотезы о симплексе устойчивости . 57
2.3 Вспомогательные технические леммы 60
2.4 Основная теорема о симплексе устойчивости 64
2.5 Следствия из основной теоремы 66
2.6 Максимальность найденного симплекса устойчивости 67
2.7 Замечание о глобальной устойчивости логистического уравнения Пиелоу 71
2.8 Технические результаты об устойчивости разностного уравнения Вольтерра 72
2.9 Симплекс устойчивости для разностного уравнения Вольтерра 74
2.10 Сравнение результатов второй главы с известными результатами 76
2.10.1 Сравнение с работами Кука и Дьери,
Дьери и Хартунга 76
2.10.2 Сравнение с работой Танга и Джианга 77
2.10.3 Предшествующие аналогичные результаты
о дифференциальных уравнениях 86
Заключение 88
Список литературы
- Характеристическое уравнение общей системы
- Перенос методов Березанского-Браверман-Лиза на исследование устойчивости систем
- Формирование гипотезы о симплексе устойчивости
- Замечание о глобальной устойчивости логистического уравнения Пиелоу
Введение к работе
Постановка задачи. Рассмотрим линейное разностное уравнение порядка к
к г=1
где щ Є N, сц ^ 0, (1 ^ і ^ к). При изучении локальных процессов, уравнение (0.1) можно рассматривать как модель динамики популяций. На больших временных интервалах уравнение (0.1) рассматривается как линеаризация относительно стационарного решения логистического уравнения Пиелоу [93, 94, 68, 98, 99] с обратной связью по предыстории длины к:
Уп = ~к (0-2)
1 + Е РіУп-і
г'=1
Компоненты последовательности уп обозначают численность популяции в момент наблюдений п, а > 1 — коэффициент прироста популяции, / > 0 (1 ^ г ^ к) — коэффициент обратной связи в момент п — г.
В свою очередь, модель Пиелоу происходит от модели Бевертона-Холта [45, 50, 55]
1 + /Зуп-і в которой численность популяции в данный момент наблюдений зависит только от ее численности в предыдущий момент.
Проблема прогнозирования поведения (в частности, устойчивости) биологических систем является одной из основных проблем в экологии. Поэтому необходимы определение признаков устойчивости моделей динамики популяций и установление границ устойчивости в пространстве параметров. Асимптотическая устойчивость нулевого решения уравнения (0.1) означает неизбежность депопуляции, если рассматривать это уравнение в качестве модели динамики популяции. Однако, если рассматривать уравнение (0.1) как линеаризацию уравнения (0.2) вокруг его ненулевого стационарного решения, то асимптотическая устойчивость означает стремление популяции к своему ненулевому стационарному решению.
Для частного случая уравнения (0.1), а именнно — уравнения
при а = 1, т = 1 в 1976 г. Левиным и Мэем [75] был найден критерий асимптотической устойчивости. Позднее, в 1994 г., С. Курук-лис определил область устойчивости уравнения (0.4) при т = 1 в пространстве параметров (а, Ь). В 2001 г. Ф. Данная и С. Элайди в работе [51] получили область устойчивости для уравнения (0.4) при т = к — 1. Уравнение (0.4) при произвольных значениях запаздываний тик изучалось в работах Ю. Николаева [26, 27, 28] (2001 - 2004), Ф. Даннана [52] (2004), М. Кипниса и Р. Нигматулина [10] (2004). В результате была найдена граница области устойчивости уравнения (0.4) в пространстве параметров {а,Ь).
Достаточные признаки асимптотической устойчивости уравнения
Хп = 2_^aixn-ii (.0.5;
г=1
изучались в работах Л. Березанского, Е. Браверман, Э. Лиза, М. Пи-тука, Б. Феррейро [43, 44, 77, 79, 80] (2002 - 2005 гг.).
Кроме того, к исследованию устойчивости можно отнести работы X. Пуанкаре [95] (1885), О. Перрона [90] (1911) и А. Кона [48] (1922), посвященные изучению расположения корней полинома, поскольку известно, что линейное разностное уравнение асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все нули его характеристического многочлена лежат внутри единичного круга. Э.И. Джури [8] (1963) изучал расположение корней полинома на комплексной плоскости относительно единичной окружности и применял полученные результаты для исследования устойчивости линейных дискретных систем. Ю.И. Неймарк [23, 25] (1947, 1948) исследовал расположение корней многочлена с помощью метода D-разбиения, используя этот подход к исследованию устойчивости непрерывных динамических систем управления. Метод Z^-разбиения применялся в работах А.Н. Вишнякова, Б.Т. Поляка [3, 96] (2000, 2001), Е.Н. Грязиной [5, 61] (2004, 2005) для исследования устойчивости дискретных систем управления.
Поскольку в одной биологической нише обитают различные биологические виды, на динамику популяции неизбежно оказывают воздействие и особи других популяций. Поэтому целесообразен переход от уравнения (0.5) к многомерной модели
к
хп = у j AjXn_j, (O.oJ
i=i
где Аі действительные матрицы размера (га х га) (—к ^ і ^ —1); хп : N —> Шт. Здесь компоненты вектора хп обозначают либо численность различных популяций, либо численность различных страт одной популяции [6], либо численность особей одной популяции, находящихся в разных ареалах [88]. Вектор хп в этом случае называется демографическим вектором [45, 50, 55].
Что касается матричных уравнений, И.С. Левицкая [76] в 2005 г.
доказала критерий асимптотической устойчивости уравнения
хп = rcn_i + Вхп-к (0.7)
в терминах ограничений на собственные значения матрицы В. Здесь В действительная матрица размера (т х т), хп : N —> Rm, А; Є N. Для частного случая уравнения (0.7), в котором действительная матрица В размера (2 х 2) есть матрица поворота, умноженная на положительную константу, критерий асимптотической устойчивости был найден [84] в 1999 г. В работе [101] получены достаточные условия устойчивости уравнения (0.7) с неавтономной матрицей В. Частный случай уравнения
хп = Лжп_і + Вхп-к, (0.8)
в котором матрицы А, В перестановочны, изучался в работе И. Ди-блика и Д. Хусаинова [53] (2006). И. Петропоулоу и П. Сиафа-рикас в 2005 г. исследовали существование комплексных решений разностных систем с запаздыванием [92]. Автору диссертации не известны другие работы, в которых бы исследовалась асимптотическая устойчивость матричных уравнений (0.6) и (0.8). Поэтому наша задача — перенести признаки асимптотической устойчивости скалярных уравнений (0.4) и (0.5) на матричные уравнения (0.6) и (0.8). Мы, разумеется, ставим задачу указать характеристическое полиномиальное уравнение для системы (0.6) (как ни странно, это, по-видимому, не было сделано до работ автора диссертации). Но основная наша задача состоит в получении достаточных признаков устойчивости, носящих простой, ясный характер, — то, что по-английски называется explicit stability conditions.
Такого же типа задачу мы ставим в связи со скалярным уравнением (0.1). В 1994 г. в работе К. Кука и И. Дьёри [49] был найден
достаточный признак устойчивости уравнения (0.1). Именно, доказано, что при любых неотрицательных аг- (1 < г < к) условие
г=1
достаточно для асимптотической устойчивости уравнения (0.1). Позже, в 2001 г., И. Дьёри и Ф. Хартунг [62] улучшили этот результат,
увеличив константу 1 в правой части (0.9) до 1 Н—. Оценки Кука-
е Дьёри и Дьёри-Хартунга неоднократно цитировались другими авторами (например, [79],[77],[43]) с целью сравнения с собственными условиями устойчивости. Так естественно возникла задача продолжить последовательность констант в правой части (0.9): 1,1+—,..., доведя ее до максимального значения. Это и стало одной из задач диссертации (оказалось, что максимальное значение равно
!>i+i>D.
Мы поставили (и решили) и более общую задачу, которая естественно вытекает из предыдущей, но не ставилась ранее. А именно, пусть найдены константы Ai,... Ak, такие что принадлежность коэффициентов (<2i,... а&) симплексу
к
а{ > 0, 0 < V ^ < 1 (0.10)
г=і Л{
гарантировала бы устойчивость уравнения (0.1). Тогда мы будем говорить, что найден симплекс устойчивости для уравнения (0.1).
Следуя Куку-Дьёри [49], мы получаем симплекс вида (0.10) со зна-
1 + 1
чениями А{ — і, по Дьёри-Хартунгу [62] А{ = -. Задача дис-
г г
сертационного исследования - улучшить эти оценки и довести их до
/ л К
естественного предела (как оказалось, оценка А{ = — лучше двух
предыдущих, но естественный предел есть Ai = zsin—— -г).
2(2г — 1)
И.С. Левицкая [18] в 2004 г. с помощью численных экспериментов построила области устойчивости для частного случая уравнения (0.1), а именно, уравнения с двумя запаздываниями
при различных значениях запаздываний к,т (1 ^ т < к) в плоскости действительных параметров (о, Ь). Наша задача — спроектировать результаты автора диссертации на это более простое, чем (0.1) уравнение, чтобы осветить важную для теории динамики популяций проблему устойчивости уравнения (0.11). Задача также состоит в переносе результатов диссертации на дискретные уравнения Вольтерра в свертках, которые являются бесконечномерными аналогами уравнения (0.1).
Актуальность темы диссертации. В последние годы модели динамики популяций интенсивно изучались в работах таких авторов, как Е.С. Pielou [93, 94], C.W. Clark [47], К. Gopalsamy [59], V.L. Kocic [68], Н.В. Nichols [88], М. Begon , М. Mortimer [42], J.H. Jaroma, S.A. Kuruklis, G. Ladas [65, 71], F.R. Gell, CM. Roberts [58], Л.В. Недорезов [22], B.H. Новосельцев [29] и многих других.
В настоящее время актуальна проблема устойчивости скалярных и матричных разностных уравнений, являющихся линеари-зациями дискретных уравнений динамики популяций. Изучению этой проблемы посвящены работы В.Б. Колмановского [12, 13, 14], A.M. Родионова [34, 35, 36, 37], Ю.П. Николаева [26, 27, 28], А.Н. Новоселова, А.Д. Козака [11], М.М Кипниса [9, 10, 67], L. Berezansky, Е. Braverman [43, 44], Е. Liz, J.В. Ferreiro, М. Pituk [77, 79, 80], F.M. Dannan [52, 51], S.N. Elaydi, S. Zhang [56, 57,103], K. Gopalsamy [60, 59], K.L. Cooke , I. Gyori, F. Hartung [49, 62, 63], E.I. Jury [8, 66], I. Kovacsvolgyi [69], S.A. Kuruklis [70], J.P. LaSalle [17, 73], S.A. Levin,
R. May [75, 85, 86], M. Chen , J.S. Yu [46, 102] и многих других авторов.
При нынешней вычислительной технике любая задача об устойчивости конкретной дискретной системы с точно определенными коэффициентами невысокой размерности решается в секунды. Но практически в любой модели динамики популяций коэффициенты не могут быть высчитаны точно (это касается и технических систем, хотя, возможно, в меньшей степени). Поэтому актуальна задача исследования геометрии области устойчивости самых общих дискретных уравнений, чтобы по "облаку" возможных коэффициентов модели динамики популяций оценить, находится ли оно, полностью или частично, в области устойчивости в пространстве параметров. Полное описание области устойчивости скалярного разностного уравнения с двумя запаздываниями, например, проведено в работе М.М. Кипниса и P.M. Нигматулина [10]. Геометрия области устойчивости для более общих уравнений и систем изучается в работах Б.Т. Поляка и Е.Н. Грязиной [5, 61] и Ю.П. Николаева [26, 27]. Вышеуказанные работы обнаруживают такую изощренность областей устойчивости, что становится очевидной нужда в простых, эффективных, быстро проверяемых (explicit) методах оценки областей устойчивости, причем для самых общих уравнений, которые могут содержать несколько (или много) запаздываний. Именно это и является темой диссертации.
Актуальность этой задачи подтверждается публикациями последних лет, наряду со статьями автора диссертации и ее научного руководителя, работ Э. Лиза [77], Л. Березанского и Е. Браверман [43, 44], К. Кука и И. Дьери [49], И. Дьери и Ф. Хартунга [62]. Результаты автора диссертации переносят результаты двух первых из вышеназванных работ на более общие системы, и усиливают оцен-
ки двух последних работ. Об актуальности темы также свидетельствует появление с интервалом в четыре месяца в одном журнале статьи китайских исследователей [100] и статьи автора диссертации [НО] (совместно с научным руководителем). Эти две статьи конкурируют в простых оценках областей устойчивости. Как показано в диссертации, во многих случаях оценки автора диссертации эффективнее.
Методы исследования. В работе используются методы Z-преобразования, принцип аргумента, конструирование и анализ годографов систем и уравнений. Используется также один из современных методов — удлинение памяти разностных уравнений. Этот метод был применен впервые А. Халанаем [39, 64] для дифференциальных уравнений, а затем перенесен на разностные уравнения Э. Лизом, А. Ивановым и Б. Ферейро [77, 78].
Новизна полученных результатов. Новыми являются следующие результаты работы:
Ослаблены известные ранее достаточные условия устойчивости разностного уравнения (0.1) посредством построения симплекса устойчивости в пространстве его параметров.
Доказана максимальность найденного симплекса устойчивости для (0.1).
Получены достаточные условия асимптотической устойчивости разностного уравнения Вольтерра в свертках.
Для разностных систем (0.6) и (0.8) найдены достаточные признаки асимптотической устойчивости и неустойчивости, аналогичные известным признакам для соответствующих скалярных уравнений.
Найден критерий асимптотической устойчивости системы (0.8) при Л — —Е, где Е - единичная матрица.
Получено характеристическое уравнение для (0.6), на основании которого доказан критерий асимптотической устойчивости системы (0.6).
Теоретическая и практическая значимость. Изучение динамики популяций — важный раздел прикладной математики, в котором существенную роль играют запаздывания, длинная память, последействие — три названия по существу одного феномена. Те же эффекты возникают и в технических системах. Задача выявления устойчивости в таких случаях имеет первостепенную важность.
Чаще устойчивость в динамике популяции является желательным фактом, если речь идет об устойчивости ненулевого уровня популяции тех видов, которые важны для сохранения биологического многообразия Земли. Устойчивость нежелательна — если речь идет об устойчивости нулевого уровня популяции, так как в этом случае устойчивость означает ее неизбежную гибель. Поэтому для нас важны признаки устойчивости моделей динамики популяций, которые и являются предметом диссертации.
В исследовании устойчивости, как показал опыт, разностные модели ничуть не хуже дифференциальных. В них выявляются те же эффекты (проблемы устойчивости, бифуркации и т.д.), но по количеству исследование разностных уравнений значительно уступает исследованию дифференциальных уравнений.
Данная работа является вкладом в установление равновесия между исследованиями непрерывных и дискретных моделей.
Апробация. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской научной конференции "Математика.
Механика. Информатика" (Челябинск, 2006 г.) [106], XIV Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 2007 г.) [107], XII региональной научно-практической конференции "Математика. Информатика. Технологический подход к обучению в вузе и школе" (Курган, 2007 г.) [111], Международной конференции "Dynamical System Modelling and Stability Investigation" (Киев, 2007 г.), 12-й Международной конференции по разностным уравнениям (ICDE 2007, Лиссабон, Португалия, 2007 г.), VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2007 г.) [113], а также на семинаре профессора В.П. Тананы в Южно-Уральском государственном университете (Челябинск, 2006 г.).
Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Список литературы включает 113 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
Первая глава посвящена исследованию устойчивости линейных разностных систем (0.6) и (0.8).
В п. 1.1 обосновано применение математических моделей для исследования устойчивости биологических систем. Изложены основания для рассмотрения разностной системы общего вида как линеаризованной модели динамики популяции, а также введены основные определения, касающиеся устойчивости систем.
В п. 1.2 представлены некоторые результаты об устойчивости линейных скалярных уравнений вида (0.4) и (0.5) и дана постановка задачи.
В п. 1.3 получено характеристическое уравнение системы (0.6) и доказан критерий асимптотической устойчивости.
Теорема 1. Уравнение (0.6) асимптотически устойчиво тогда
и только тогда, когда все корни уравнения
к det(Ezk -^Aiz*-*) = 0
лежат внутри единичного круга. Если хотя бы один корень лежит вне единичного круга, то система (0.6) неустойчива.
Получен достаточный признак неустойчивости системы (0.6).
Теорема 2. Если |det.Afc| > 1, то система (0.6) неустойчива.
В п. 1.4 получен многомерный аналог известного условия устойчивости Кона [48] для скалярных уравнений.
Теорема 3. Если
Еіи.іі<і.
г=1
то нулевое решение уравнения (0.6) асимптотически устойчиво.
В п. 1.5 изложены достаточные признаки асимптотической устойчивости системы (0.6), для вывода которых применяются идеи Ха-ланая, ранее использовавшиеся другими авторами [77, 78] для нахождения признаков устойчивости скалярных уравнений.
Теорема 4. Если существуют натуральное число р (1 ^ р ^ к) и множество индексов I С {р,р + 1,..., к}, такие что
+Е ш + Е 1мк< - р)( їй* ~Е\\ + иїі)<і.
І0 ІЄІ \ 3=2 J
то уравнение (0.6) асимптотически устойчиво.
Теорема 5. Если существуют натуральное число р (1 ^ р ^ к) и множество индексов I С {р,р + 1,..., к}, такие
(-і)і+1л
+ ііаіі + -р) (іИі+ч + ил) < і.
mo уравнение (0.6) асимптотически устойчиво.
В п. 1.6 представлены признаки устойчивости и неустойчивости матричного уравнения (0.8), перенесенные с соответствующего скалярного уравнения, исследованного ранее Куруклисом [70]. Здесь же приведен пример, показывающий невозможность сформулировать критерий асимптотической устойчивости системы (0.8) в терминах ограничений на собственные числа матриц А и В.
В п. 1.7 найденные автором признаки устойчивости применены для исследования поведения дискретной модели динамики популяций "хищник-жертва".
В п. 1.8 изучен частный случай системы (0.8) при А = — Е, для которого найден критерий асимптотической устойчивости в терминах ограничений на собственные числа матрицы В.
Теорема 6. Система хп = —хп-\ -+- Вхп-ь асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы В лежат внутри области комплексной плоскости, ограниченной кривой
Г = {, Є С : z = (-l^sin^e-, -1 < v < |} .
Найдены достаточные условия неустойчивости этой системы.
В п. 1.9 приведено сравнение полученных в первой главе результатов с известными признаками асимптотической устойчивости скалярных и матричных разностных уравнений.
Во второй главе изучается область устойчивости линейного разностного уравнения (0.1).
В п. 2.1 приведены линеаризации различных вариантов логистического уравнения. Указана связь между логистическим уравнением Пиелоу с обратной связью по предыстории длины к и разностным уравнением (0.1). Поставлена задача поиска простых достаточных условий устойчивости.
В п. 2.2 даны основные определения, сформулирована гипотеза о симплексе устойчивости в пространстве параметров уравнения (0.1). В качестве источника возникновения гипотезы указаны результаты Левина и Мэя [75], а также результаты численных экспериментов И.С. Левицкой [18], касающиеся области асимптотической устойчивости уравнения (0.11) с двумя запаздываниями.
В п. 2.3 приведены некоторые вспомогательные леммы, необходимые для дальнейших рассуждений.
В п. 2.4 представлен основной результат данной главы, в котором определена граница симплекса устойчивости в пространстве положительных параметров уравнения (0.1).
Теорема 7. Если as ^ 0 (1 ^ s ^ к) и
s=l /Sm2(2s-1)
то уравнение (0.1) асимптотически устойчиво.
В п. 2.5 получены следствия из основной теоремы 7, которые дают еще более простые достаточные признаки асимптотической устойчивости уравнения (0.1).
Теорема 8. Если as ^ 0 (1 ^ s ^ к) и
0
з=і Z
то уравнение (0.1) асимптотически устойчиво.
Как показано в дальнейшем, в п. 2.6, постоянная | в теореме 8 неулучшасма. Однако если мы позволим правой части неравенства (0.12) быть зависимой от порядка уравнения, то ее можно увеличить, что подтверждается следующей теоремой.
Теорема 9. Если as ^ 0 (1 ^ s ^ к) и
S = l
то уравнение (0.1) асимптотически устойчиво.
В п. 2.6 доказана неулучшаемость полученных в двух предыдущих пунктах результатов.
Теорема 10. Пусть As ^ 0 (1 ^ s ^ к), пусть существует такое s (1 ^ s ^ к), что As ^ 2 sin 2(2І-в Тогда найдется точка (ai,...,a,k) такая, что as ^ 0 (1 ^ s ^ к), 0 < X!s=i Is" < 1 м уравнение (0.1) с коэффициентами ai,..., а& неустойчиво.
Теорема 10 дает основания называть найденный в теореме 7 симплекс наилучшим симплексом устойчивости уравнения (0.1).
Теорема 11. Для всякого г > | найдется такое к Є N и точка ((21,...,() Є Ш.к такая, что as ^ 0 для любого s (1 ^ s ^ к), 0 < J2s-i sas ^. г и уравнение (0.1) с коэффициентами ai,..., aft нег/стой'чг/ео.
Теорема 12. Дуіл всякого R ^ 2fesin 2(2fc-i) найдется точка (ai,..., 0) Є Kfc такая, что as ^ 0 (1 ^ s ^ к), 0 < Yls=i sas ^ R и уравнение (0.1) с коэффициентами а\,..., aft неустойчиво.
В п. 2.7 указаны достаточные условия локальной асимптотической устойчивости логистического уравнения Пиелоу с обратной
связью по предыстории длины к. Высказаны некоторые замечания относительно лобалыюй устойчивости этого уравнения.
В п. 2.8 приведены некоторые теоретические факты, касающиеся устойчивости разностного уравнения Вольтерра в свертках
п
%п — %п—1 У. ^і^п—і-і 77. — 1, Z, . . . ^U.loj
г=1
где ajGl, a,i ^ 0 (г = 1, 2,...), ряд ^) щ сходится.
В п. 2.9 доказаны достаточные условия асимптотической устойчивости уравнения (0.13).
Теорема 13. Пусть as ^ 0 для всех s Є N. Если
оо e=l ZSm2(2*-l)
то уравнение Вольтерра (0.13) асимптотически устойчиво. Отсюда вытекает следующий результат. Теорема 14. Пусть as ^ 0 для всех s Є N. Если
8=1 Z
то уравнение Вольтерра (0.13) асимптотически устойчиво.
В п. 2.10 приведено сравнение полученных во второй главе результатов с известными результатами относительно дифференциальных и иптегро-дифференциальпых уравнений. Показано, что найденные автором достаточные условия устойчивости лучше некоторых известных признаков устойчивости. Проведено сравнение найденных признаков асимптотической устойчивости с конкурирующей работой Танга и Джианга [100], в которой границы области
гарантированной устойчивости описываются нелинейными уравнениями. Сделан общий вывод о частичном взаимном перекрытии признаков, найденных в данной диссертации, с признаком работы [100]. Указаны классы разностных уравнений, в которых признаки автора заведомо лучше признака работы [100]. Сравнение проиллюстрировано примерами и рисунками.
В заключении суммируются все полученные в диссертации результаты.
Публикации. Все результаты диссертации своевременно опубликованы [104] - [113]. Во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит постановка задачи и общее руководство.
Результаты, выдвигаемые на защиту. На защиту выдвигаются следующие результаты:
Вывод характеристического уравнения линейной системы (0.6), позволяющего анализировать поведение демографического вектора в моделях популяций с учетом предыстории.
Теорема об области асимптотической устойчивости матричного уравнения (0.8) при А = —Е.
Теорема о матричном аналоге достаточного условия асимптотической устойчивости Кона для (0.6), дающего быстрый (хотя и грубый) ответ на вопрос об устойчивости моделей популяций с предысторией и учетом взаимодействия популяций.
Теоремы о достаточных признаках асимптотической устойчивости матричного уравнения (0.6), основанных на идеях удлинения памяти уравнения. Эти теоремы позволяют диагностировать устойчивость динамики популяций тоньше, чем аналоги признака Кона.
Теорема о симплексе устойчивости линейного уравнения (0.1), дающая простой признак устойчивости модели динамики популяций с длительной предысторией.
Теорема о максимальности найденного симплекса устойчивости.
Достаточные признаки асимптотической устойчивости разностного уравнения Вольтерра в свертках для моделей динамики популяций с учетом неограниченной предыстории.
Характеристическое уравнение общей системы
Определение 1.3.1. Производящей функцией последовательности хп : N — Шт называется формальный ряд оо x{z) = Z(xn) = У хпгп: где zEC.
Например, для последовательности хп = - производящая функция x(z) = - . Этот ряд сходится при \z\ \а\. Для последовательности хп — Ц: производящая функция x(z) = -3-. Последний ряд сходится при \z\ \а\.
Следующая теорема есть критерий асимптотической устойчивости разностной системы (1.1.6). Теорема 1.3.1. Уравнение (1.1.6) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все корни уравнения к &et(Ezk - J2 AiZk l) = 0 (1.3.1) г=1 лежат внутри единичного круга. Если хотя бы один корень уравнения (1.3.1) лежит вне единичного круга, то система (1.1.6) неустойчива.
Уравнение (1.3.1) мы назовем характеристическим для (1.1.6).
Доказательство теоремы 1.3.1. Рассмотрим производящую функцию x(z) последовательности хп (n 0). Пусть хп - решение системы (1.1.6). Тогда к оо к г — 1 со M = X)Ai xn-izn) = х АІ E Xr izr + zi X xn-izn l) = i=l n—0 i=l r=0 n=i к i-1 = E lE + x(z)zl), i=l r=0 где x-i, ..., _fc начальные условия. Следовательно, к к г—1 г=1 г=1 г=0 Отсюда получаем к к г—1 ги = ( - л г А - ) что дает x(z) = , (1.3.2) det -EtiA- ) где Q(z) матрица размера (ттгх 1), элементы которой - многочлены. Если все корни уравнения (1.3.1) лежат внутри единичного круга, то все нули знаменателя (1.3.2) лежат вне единичного круга.
Следовательно, x(z) можно разложить в степенной ряд с радиусом сходимости больше 1. Значит, уравнение экспоненциально устойчиво при любых начальных условиях. Таким образом, (1.1.6) асимптотически устойчиво.
Теперь предположим, что существует корень z уравнения (1.3.1), такой, что \z\ 1. Будем искать решение уравнения (1.1.6) вида хп = Czn, где С Rm, С ф 0. Тогда {Ezk - =1Аг к 1)С = 0. Эта система вырожденная, поскольку z - корень уравнения (1.3.1). Следовательно, существует ненулевое решение С, и хп = Czn не стремится к нулю при п - со. Действительные последовательно сти ип = Re Czn и vn = Im Czn также являются решениями урав нения (1.1.6), и по крайней мере одна из них не стремится к нулю при — со. Значит, уравнение (1.1.6) не является асимптотически устойчивым. Если, дополнительно, \z\ 1, то решение хп — Czn неограниченно. Тогда, по крайней мере одна из последовательно стей ип = Re Czn nvn = Im Czn является неограниченной, и (1.1.6) неустойчиво. Теорема доказана. Теперь докажем простой достаточный признак неустойчивости системы (1.1.6). Теорема 1.3.2. Если \ detAk\ 1, то уравнение (1.1.6) неустойчиво. Доказательство. Характеристическое уравнение системы можно записать в виде к кт det{Ezk - YjAiZk l) = P{z) = aiz = 0, (1.3.3) г=1 г=0 где akm = 1. Полагая z — 0 в (1.3.3), получим ао — det-Afc 1. Поскольку \ао\ - модуль произведения всех корней многочлена P(z), то существует корень характеристическо го многочлена, лежащий вне единичного круга. Значит, уравнение (1.1.6) неустойчиво.
Перенос методов Березанского-Браверман-Лиза на исследование устойчивости систем
Следующий признак асимптотической устойчивости уравнения (1.1.7) вытекает непосредственно из теоремы 1.3.1.
Следствие 1.6.1. Уравнение (1.1.7) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все корни уравнения det{B + Azk l - Ezk) = О (1.6.1) леоісат внутри единичного круга. Если хотя бы один корень уравнения (1.6.1) леэюит вне единичного круга, то уравнение (1.1.7) неустойчиво. Если fc 1 и Ь 1, то скалярное уравнение (1.2.1) неустойчиво (см. рисунок 1.1). Для матричного уравнения (1.1.7) аналогичный результат следует из теоремы 1.3.2.
Следствие 1.6.2. Если к 1 и det ІЗ] 1, то уравнение (1.1.7) неустойчиво.
Следующий признак, вытекающий из теоремы 1.4.1, является достаточным условием асимптотической устойчивости системы (1.1.7), независящим от запаздывания (delay-independent condition). Следствие 1.6.3. Если А + 5 1, (1.6.2) то уравнение (1.1.7) асимптотически устойчиво. Пример 1.6.1. Рассмотрим уравнение хп = Ахп-\ + Bxn-k, ( -0.5 0 \ „ / 0.3 -0.1 \ где А = , В = у 0.4 0.1 у \ -0.2 0.2 J Тогда Ai + Яі = 1.4 1, но ЦАЦ + Щ = 0.9 1. Следовательно, согласно Следствию 1.6.3, это уравнение асимптотически устойчиво при любом значении запаздывания к.
Если в теореме 1.5.1 взять р = 1,1 = {1, &}, то получим следующий признак устойчивости для (1.1.7). Следствие 1.6.4. Если \\А + В\\ + (к- ЩВ\\(\\А - Е\\ + Б) 1, (1.6.3) то уравнение (1.1.7) асимптотически устойчиво. Полученный результат удобен для применения, если \\А-Е\\ «1и В 1. Пример 1.6.2. Рассмотрим уравнение хп = Acn_i + Bxn-k, где /1.01 -0.02 \ в={-0.2 О У 0 1.01 ) \ 0.01 -0.2
Для любой матричной нормы \\А\\ + Б р{А) + р(В) = 1.21 1. Здесь р(А) и р{В) - спектральные радиусы матриц А и В соответственно. Значит, условие (1.6.2) неприменимо для исследования асимптотической устойчивости данной системы. Однако, \\А + Ві + (к- 1)5І(І4 - Яі + 5i) - 0.83 + {к - 1)0.0504. Отсюда следует, что следствие 1.6.4 гарантирует асимптотическую устойчивость уравнения при к = 1, 2, 3,4.
Дополнительные вычисления, основанные на следствии 1.6.1, показывают неустойчивость уравнения при к 4.
Если взять р = 1,1 = {1,к}, то теорема 1.5.2 дает следующий признак устойчивости для (1.1.7), зависящий от четности или нечетности запаздывания к.
Следствие 1.6.5. Если \\А + (-1) +1 + (к - ЩВ\\(\\А + Е\\ + В) 1, (1.6.4) то уравнение (1.1.7) асимптотически устойчиво.
Полученный результат удобен для применения, если \\А + Е\\ 1иЯ 1. Пример 1.6.3. Рассмотрим уравнение хп = Ахп-\ + Bxn-k, где /-0.95 0.01 \ в=(-0.2 0 \ 0 -0.96 J \ 0 -0.18
Для любой нормы имеем A + J5 р{А)-\-р{В) = 1.16 1. Следовательно условие (1.6.3) неприменимо к исследованию устойчивости этой системы. При нечетных значениях к следствие 1.6.5 тоже не дает ответа об устойчивости, поскольку А + ВЦ р(А + В) = 1.15 1. Значит, при нечетных значениях к условие (1.6.4) не выполняется. Для четных значений к имеем 11 4 — JSoo + (А; — 1)HJBIIOOCH . + Поо Ч- оо) = 0.78 + (Л — 1)0.052.
Отсюда, согласно следствию 1.6.5, получаем, что данное уравнение асимптотически устойчиво при к = 2 и к = 4.
Дополнительные вычисления корней характеристического уравнения (1.6.1) показывают, что уравнение устойчиво при к = 6, 8 и неустойчиво при к = 1, 3, 5,7 и при к 9.
Возникает вопрос — можно ли сформулировать критерий асимптотической устойчивости системы (1.1.7) в терминах ограничений только на собственные числа матриц А и В?
Ответ отрицательный, что проиллюстрировано в следующем примере. Пример 1.6.4. Рассмотрим уравнение хп = Ахп \ + Вхп-з, „ / -0.1 0.3 \ А ( 0.1 -0.6 \ где В = \ . Если А = , то это уравне \ 0.1 0.2 J \ -0.7 0.2 у ние асимптотически устойчиво согласно следствию 1.6.1. / -0.2 0.6 \ Однако, если А — \ I, то уравнение неустойчиво, хо тя собственные значения матрицы Айв том, и в другом случае Лх =0.8, Х2 = -0.5.
Формирование гипотезы о симплексе устойчивости
Рассмотрим разностное уравнение с двумя запаздываниями где а, Ь Є Ж, запаздывания т, к Є N, причем т к.
В дальнейшем под асимптотической устойчивостью уравнения (2.2.1) будем понимать асимптотическую устойчивость его нулевого решения. Каждое решение уравнения (2.2.1) однозначно определяется начальными условиями Х{ (—к $С г — 1).
Определение 2.2.1. Нулевое решение уравнения (2.2.1) устойчиво, если Ує 0 35 0[Vi (-к і -1) \х{\ 5 \/п 0 \хп\ є].
Определение 2.2.2. Нулевое решение уравнения (2.2.1) асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и любое его решение (хп) обладает свойством lim хп = 0. п— 00
Определение 2.2.3. Областью устойчивости уравнения (2.2.1) будем называть множество всех таких пар (а, Ь): что уравнение (2.2.1) с данными коэффициентами а, 6 и запаздываниями к,т асимптотически устойчиво.
Левицкая [18] с помощью численных экспериментов, основанных на методе .D-разбиения и принципе аргумента, построила области устойчивости уравнения (2.2.1) при различных запаздываниях /г, т. Некоторые области устойчивости показаны на рисунке 2.1.
Можно заметить, что точки пересечения границы области устойчивости с осями координат согласованы с результатом Левина и Мэя (см. теорему (1.2.2)), согласно которому уравнение Xn — Хп—\ CLXn—fc асимптотически устойчиво если и только если Перед основной теоремой докажем некоторые вспомогательные леммы. Лемма 2.3.1. Для любого си Є (0,7г] существует т Є R, такое, что для всякого s Є N (2.3.1) 1 sin(m — s)u) + . .. . W— 0. Sin 2(2 Sin f C0S(m - 2 Доказательство. Если о; = 7Г, то очевидно, что неравенство (2.3.1) ВЫПОЛНЯеТСЯ При Любом ЦеЛОМ 771. Пусть ш Є (0,7г). Положим / ш т = - + - arctg —— 2 о; Wef. (2.3.2) Поскольку 11 11 sin(ra — s)u = sin(m )u cos(s )ш — cos(m — -)ojsin(s )UJ, Zi Zi Zi /л a sin 0, неравенство (2.3.1) можно записать в виде sin - 1 11 Gin I - sm(s - -)UJ + tg(m - -)u cos(s - -)u 0. (2.3.3) Подставляя (2.3.2) в (2.3.3), получаем, что (2.3.1) эквивалентно следующему неравенству: / N sin , 1 ujcos(s — h)uj Г{Ш) -= чіл " Sln(S - 9 W + \ " - (2-3"4) Sm2(2i l) 2 2 Для доказательства неравенства (2.3.4) рассмотрим два случая. СЛУЧАЙ 1:шЄ (0,2]. Рассмотрим функцию /М тг - tg(s - Ьи + (2-3-5) Sm 2(27=1)C0S(S- 2)W 2 2 такую, что F{uS) = f(oS) cos(s — \)ш. Функция / имеет устранимый разрыв при со = 2 j и lim /(w) = 0. Положим /( zy) = 0. 2я-1
Неравенство (2.3.4) будет доказано, как только мы докажем убывание функции f(u) (см рисунок 2.3) на интервале (0, 2] (0) )-Если s 1, то этот интервал есть просто (0, fzy]- Действительно, при убывающей / получаем, что при ш Є (0, T ZJ) /( ) 0, cos(s-)w 0, а при о; Є ( ї гйїі 71") /( ) cos(s —)w 0, значит F(tj) 0 на (0, 2] П (0,7г) (см. рисунок 2.4).
Следовательно, если си Є (0, JJJZI], то ^ ^ ^, а если а; Є [^zj, 2s^]> то ^ ^ 0. Кроме того, ФІ^Ьі) — 0- Значит, ^(о;) ^ 0 на интервале (0,2Іу. Отсюда следует, согласно (2.3.6), что ^ ^ 0 на. (0, ^fzj]-Поэтому ір(ш), а значит и f(u>), убывает при и Є (0, jfrf] П (0, 7г). Для Случая 1 лемма доказана. СЛУЧАЙ 2: и > ^..
Замечание о глобальной устойчивости логистического уравнения Пиелоу
Согласно известной теореме о линеаризации [54, Теорема 4.35] асимптотическая устойчивость стационарной траектории х = -1 мо 2JJ=I Рз дели-Пиелоу (2.1.5) с обратной связью по предыстории длины к имеет место тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво нулевое решение линейного уравнения (2.1.7).
Следовательно, из теорем 2.4.1 и 2.5.1 получаем, что для локальной асимптотической устойчивости логистического уравнения (2.1.5) достаточно выполнения одного из условий: к lm 2; г=1 2. "Т1 (0.500/01 +1.000/ + 1.618/ + 2.247/ + 2.879/ +...) 1.
Проведенные автором численные эксперименты показывают, что, если коэффициенты логистического уравнения (2.1.5) удовлетворяют одному из вышеуказанных условий, то стационарное решение х глобально асимптотически устойчиво.
Таким образом, подтверждается "народная теорема"[81]: «Локальная устойчивость единственного полоэюительного равновесия модели одного биологического вида влечет его глобальную устойчивость» (перевод автора - Д. Комиссаровой).
Однако, строгое доказательство этого высказывания было найдено только в простейших случаях, когда популяция моделируется дифференциальными или разностными уравнениями первого порядка. В случае, когда биологическая система моделирует ся разностным уравнением высшего порядка или дифференциальным уравнением с запаздыванием, только численное моделирование подтверждает справедливость вышеуказанного утверждения. Как указано в [81], не известно ни одного случая его аналитического доказательства.
Рассмотрим разностное уравнение Вольтерра в свертках п хп = xn_i - аг-жп_г-, га =1,2,... (2.8.1) г=1 где й{ Є Ш, щ 0 (г = 1, 2,...), и существуют с 0, q Є (0,1) такие, что для всех п Є N ап cqn.
Автором диссертации не найдена в доступной литературе теория устойчивости уравнения (2.8.1), поэтому кратко изложим основные факты.
Всякое решение уравнения (2.8.1) однозначно определяется начальным условием доопределение 2.8.1. Нулевое решение уравнения (2.8.1) устойчиво, если Ve 0 36 0 [ V o жо = Vn 0 \хп\ є]. Определение 2.8.2. Нулевое решение уравнения (2.8.1) асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и для любого решения (хп) этого уравнения Km хп = 0. п— Определение 2.8.3. Производящей функцией числовой последовательности хп (п 0) называется формальный ряд \{z) = Z(xn) = У а;п2:п, где z Є С.
Определение 2.8.4. Сверткой двух последовательностей хп и уп называется последовательность п п ХпО Уп = 2 Хп УІ = 2ХІ Уп-г- (2.8.2) г=0 г=0 Производящая функция от свертки имеет вид Z(xnoyn) = x(z)y(z). (2.8.3) Пусть последовательность хп (п 0) - решение уравнения (2.8.1). Тогда #i = XQ — а\Хо, Х2 = Х\ — [а\Х\ + О2 о), з = #2 {а\Х2 + а2Х\ + а3о),
Умножим первое уравнение на z, второе на z2, третье на z2, и так далее, а затем сложим полученные тождества, добавив к обеим частям XQ. В результате, согласно (2.8.3) и определению 2.8.3, полагая ag = 0, получаем
Похожие диссертации на Простые оценки областей устойчивости в дискретных моделях динамики популяций
