Введение к работе
Актуальность темы. Методы Монте-Карло (методы статистического моделирования) находят самое широкое применение при решении мпогих прикладных задач. Он дает возможность конструировать алгоритмы для ряда практически важных задач, хорошо приспособленные к реализации на ЭВМ. Они обладают естественным параллелизмом и асннхрошюстью. Для решения краевых задач используются существующие глубокие связи между уравнениями матемапгческоЯ физики н случайными процессами. Первый нетривиальный пример такой связи это известное соотношение между процессом случайных блужданий и дифференциальным уравнением, описывающим изменение концентрации диффузпрующего вещества.
Теория Марковских процессов широко используется при решении разнообразных линейных краевых задач математической физики, с помощью которых описывзются многие нестационарные физические процессы. Получить решение уравнения математической физики с начально-краевыми условиями в аналитической форме, особенно в многомерном случае, удается лишь в исключительных случаях. Построение несмещенных оценок
функционалов от решений таких уравнений я&тяется одним из осноенмх и
|і I. . '
11' быстро развивающихся разделов теории метода Монте-Карло. Поэтому
построению и обоснование эффективных статистических алгоритмов для
решения краевых задач математической физики является актуальным
вопросам теории метода Монте-Карло.
Цель работы. Основной целью данной диссертационной работы
является построение, обоснование и редлнзация на ЭВМ статистических
алгоритмов для решения краевых задач, связанных с оператором
параболического типа в сложных областях.
Основные задачи исследования :
I. постороение несмещенных и є - смешенных оценок с конечной дисперсией для решение начально-краевой задачи для некоторых диффузионных уравнений.
П. построение несмещенных и »смещенных оценок с конечной дисперсией для решения задача Коши для обобщенного уравнения неизотрошюй диффузии,
Ш.постраение цепью Маркова с поглощением, слаба аппроксимирующей решение системы стохастических дифференциальных уравнений таких, что математическое ожидание определенного функционала от траекторий цепи была близко к решению пергой краевой задачи для обобщенного уравнения неіізотрошюГі диффузии,
ІУ.прозсрка предложенных алгоритмов на ЭВМ для решения конкретных задач.
Д?ся>л1»гя исследования 'опирается на применение методов теория
случайных процессов, тсории-дафферетшальных и шггегралышх уравнений.
При построении и исследовании статистических алгоритмов используется
результаты из теории мартингалов и теории методоз Монте-Карло.
Научная поспит. Все основные результаты диссертации является
новыми. 1С наиболее существенным ее положением относятсл следующие:
разработаны алгоритмы построения несмещенных и е-смещенных оценок
для решения начально-краевых задач для обобщенного уравнения
неизотрошюй диффузші. Построенные оценки обладают конечной
дисперсией, j
предложены алгоритмы метода Монте-Карло для решения задачи Коши
для обобщенного уравнения неизотропной диффузии. Построены
насмешенные и Б-смещгиные оценки с конечной дисперсией,
построена цепь Маркова аппроксимирующие решение системы
стохастических дифференциальных уравнений, получена функционалы.
которые математическое ожидшше близко решения первой граничное задачи для обобщенного уравнения нензотропной диффузии.
Ппаїсгическая ценность работы заключается в том, что ее результаты могут быт использовгтеї для:
-
дальнейшей разработки численных методов решения многих прикладных задач, использующих аппарат Марковских (диффузиониих) процессов;
-
непосредственного решения ряда задач уравнения диффузии. В том числе решетія задач теплопроводности;
3) непосредственного решения ряда конкретных прикладных задач.
Например, задача финансовой математики, задачи стохастических теории
управления , генетических задачах, изучении процесса размножения
отдельной популяции в ограниченных областях , которые задается
параболическим уравнением.
Апробации пяботм. Основные результаты исследований докладывались на международной конференции " Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (Ташкент, 1994 г), на , конференции по теории вероятпостаЧ и математическое статистике, <1'посвященной 75-летгао академика С. X. Сираждтювз (Фергапа, 1995 г), на Республиканской конференции " Молодых физикоз и математиков"', посзящешгон 75-летию ТашГУ (Ташкент, 1996 г), иа семинаре "Математическое моделирование в экономике" Университета Мировой экономики и дипломатии, на семинаре по теории вероятностей и математической статистике института Математики АН РУз и Ташкентского Государственного Университета им. М. Улутбека.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах.! 1-6].
Объем работы. Работа состоит из введение двух глав, списка цитируемой литературы и приложения. Иа 103 страницах машинописного
