Введение к работе
Актуальность темы. Впервые асимптотические разложения в теории вероятностей появились в 1883 и 1914 годах в работах Дж.Грама1 и К.Шарлье2. Изучая логарифм характеристической функции биномиального распределения, они получили асимптотические разложения, которые сейчас называются рядами Грама-Шарлье типа А и В. Ряд Грама-Шар лье типа А, дающий аппроксимацию плотности распределения впоследствии был модифицирован и получил название ряда Эджворта-Крамера. Он оказался достаточно удобным при исследовании скорости сходимости гладких вероятностных распределений к нормальному закону в центральной предельной теореме. Ряд Грама-Шарлье типа В, дающий аппроксимацию функции распределения целочисленной неотрицательной случайной величины, широкого распространения не получил. По мере того как изучение асимптотических разложений гладких распределений давало все новые и новые результаты, заметных успехов в изучении асимптотических разложений дискретных распределений достигнуто не было. В результате появилась гипотеза о том, что для применения асимптотических разложений наиболее неудобными распределениями являются дискретные распределения, среди дискретных распределений самыми «плохими» являются решетчатые, а среди решетчатых - биномиальное распределение. По-видимому, этим частично объясняется повышенный интерес к задаче аппроксимации биномиального распределения. Задача стала популярной после работы3 Ю.В.Прохорова 1953 года и остается актуальной и сейчас.
1 Gram J. P. J. reine und angew. Math. 1883, Bd94, S. 41-73.
2 CharlierC V. L. Arkiv. Mat. Astr. Fys. 1913/1914, Bd 9, № 25, S. 1-17.
3 Прохоров Ю. В. Асимптотическое поведение биномиального
распределения. Успехиматематическихнаук, 1953, т. 8, № 3, с. 135-142.
В 1983 году ПКорня4 и Э.Л.Пресман5 предложили при рассмотрении пуассоновской функции распределения отказаться от условия неотрицательности параметра Я. При отрицательном параметре X возникает уже не вероятностное распределение, а заряд (знакопеременная мера, мера со знаком). В 1986 году Ю.Круопис в своей работе6 предложил использовать такие пуассоновские заряды для аппроксимации решетчатых распределений, и показал, что свертка всего двух зарядов дает лучшую аппроксимацию биномиального распределения, чем классические пуассоновская и нормальная аппроксимации. Он также указал, что применение большего числа зарядов дает более точную аппроксимацию, но его метод, основанный на выравнивании нескольких первых моментов исходного распределения и аппроксимирующего заряда, был слишком сложным для рассмотрения аппроксимаций большим числом зарядов. Вслед за этим появился целый ряд работ, посвященных аппроксимациям свертками пуассоновских зарядов, но используемые методы оставались довольно сложными. В 1993 году в своей докторской диссертации7 К.А. Боровков указал один простой способ получения таких аппроксимаций для биномиального распределения. В 1997 году вышла, по-видимому, единственная работа8, в которой указано асимптотическое разложение распределения в свертку пуассоновских зарядов. Разложение указано для распределений целочисленных
4 Kornya P. Distribution of aggregate claims in the Individual Risk Theory model. Society of Actuaries: Transactions, 1983, v. 35, pp. 823-858.
3 Presman E. L. Approximation of binomial distributions by infinitely divisible ones. TheoryProb.Appl, 1983, v. 28, pp. 393-403.
Круопис Ю. Точность аппроксимации обобщенного биномиального распределения свертками пуассоновских мер. Литовский математический сборник;Л9рб, т. 26, № 1, с. 53-69.
Боровков К. А. Точность аппроксимации и асимптотические разложения для распределений некоторых случайных процессов. Диссертация на соискание ученой степени д. ф.-м. н. Москва, РАН, Математический институт им. В. А. Стеклова, 1993.
8 Якшявичус Ш. О некотором способе разложения вероятностей решетчатых случайных величин. Теория вероятностей и ее применения, 1997, т. 42, № 2, с. 294-307.
неотрицательных случайных величин, имеющих большую вероятность сосредоточенную в точке нуль, и удовлетворяющих дополнительному условию на вероятности в других точках. К сожалению, ШЛкшявичус позиционировал этот результат лишь как следствие одной из последних теорем, и работа осталась практически незамеченной.
Таким образом, несмотря на то, что тематика исследования асимптотических разложений для решетчатых случайных величин была открыта еще в 1883 году, работы П.Корня, Э.Л.Пресмана и Ю.Круописа в 80-х годах вновь привлекли к ней внимание, и последние 20 лет она является бурно развивающимся направлением современной теории вероятностей. Эта область особенно важна для статистических задач, в которых наличие простого асимптотического разложения с явными выражениями для погрешности аппроксимации позволило бы получать более точные значения статистических оценок и решать вопрос об уровне значимости ошибки.
Цель работы.
1. Исследование сходимости в теореме Пуассона и получение
асимптотического разложения для достаточно широкого класса
решетчатых распределений.
-
Получение явного вида оценок точности аппроксимации начальными членами асимптотического разложения.
-
Получение неравномерных оценок в теореме Пуассона.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
-
Найден новый метод получения асимптотических разложений решетчатых распределений в свертки пуассоновских зарядов.
-
С помощью упомянутого метода указаны асимптотические разложения для более широкого класса решетчатых распределений, чем было известно ранее.
-
Для наиболее известных вероятностных метрик получены явные оценки погрешности аппроксимации сверткой конечного или бесконечного числа членов разложения.
-
Получены новые результаты в известной задаче аппроксимации биномиального распределения, которые не покрываются результатами других авторов.
-
В задаче о пуассоновской аппроксимации обобщенного биномиального распределения получены явные выражения для неравномерных оценок погрешности аппроксимации.
Методы исследования. В первой главе, посвященной сверткам пуассоновских зарядов, используется аппарат тригонометрических рядов Фурье в совокупности с методом характеристических функций. Также используются некоторые факты из теории вероятностных метрик. Во второй главе, посвященной неравномерным оценкам в теореме Пуассона, используется некоторая модификация метода характеристических функций.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Получение простого способа разложения в свертки пуассоновских зарядов, подходящего для наиболее широкого на данный момент класса решетчатых распределений имеет несомненную теоретическую ценность. Простота метода и полученные при этом явные выражения для погрешности аппроксимации позволяют применять полученные результаты в практических задачах теории вероятностей и математической статистики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:
-
VIII Международном семинаре «Дискретная математика и ее приложения» (февраль 2004г.).
-
Семинаре кафедры математической статистики МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством академика РАН Ю.В. Прохорова (март 2004г.).
-
Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ им. М.В.Ломоносова (май 2004г.).
4. VI Международной Петрозаводской конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (июнь 2004г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах. Их список приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.
Структура диссертации. Диссертация состоит из краткого описания ее содержания, двух глав и списка литературы. Первая глава состоит из списка обозначений и 4 разделов, вторая глава состоит из 3 разделов. Некоторые разделы разбиты на подразделы. Полный объем диссертации 74 страницы. Библиография включает 28 наименований. В диссертации имеются 4 таблицы с результатами вычислений и 6 графиков.
