Введение к работе
Актуальность темы, Основным предметом настоящей работы является построение аппроксимаций и изучение их точно сти для распределений случайных процессов, тесно стланных со схемой суммирования независимых случайных величин, когда и пределе возникает луассоповское и двойственное ему показательное распределение. Главным образом рассматриваются процессы частных сумм независимых случайных величин и околокрнтиче-сіпіс марковские ветвящиеся ироцесы.
Проблематика первой части диссертации восходит к классической работе Пуассона (1837), в которой был доказан факт аппроксимации биномиального распределения (при большом числе испытаний и малой вероятности успеха) распределением Пуассона. Начиная с J 930-х гг. в работах Прохорова, Ле Кама, Ходжеса, Керстпна, Франкспа и др. были начаты исследования точности такой аппроксимации (в более общей схеме обобщенного биномиального распределения). В дальнейшем они были продолжены в работах Чсна, Серфлннга, Барбу, Холла, Круоппса, Пфайфера, Дгахсвельса и др. Но задача выбора оптимальной формы аппроксимирующих законов — как нуассоновского, так п особенно его модификаций (а'ппрокпшацптп'і более высоких порядков), а так.ке нахождения окончательных оценок для точности даваемых ими прпблткешш, остается во многом открытой.
Тематика первой части работы тесно связана с рассматриваемыми во второй и третьей частях задачами об асимптотике распределений околокрнтнческих марковских процессов — как конечномерных, так и в функциональной постановке. Этому уже классическому кругу задач были посвящены исследования Фелле-ра, Колмогорова, Севастьянова, Ламперти, Нея, Золотарева и др. Здесь большой интерес представляют нахождение предельною поведения условных распределений таких процессов при условии их невырождеиия (включая построение асимптотических разложений), особенно в общем случае неоднородных во времени процессов (устойчивость переходных явлений), а также исследование асимптотического поведения л^ траекторий и построенных но ним полей п случае большого начального числа чаг-тпц.
Цель работы — установление оценок точно'ти аппрокеп ма.нтпт, ь ргГі.е случаен - ц собственно предельных теорем, п гак-
же построение аппроксимаций высших порядков D описанных выше задачах.
Методика исследования. Для построения аппроксимаций в теореме Пуассона предложен новый метод скорректированного склеивания. Для исследования квазипуасеоновской аппроксимации развивается вариант известного операторного метода.
Для изучения условных распределений ветвящихся процессов предложен новый метод "подстановки". Переходные явления в неоднородном случае исследуются с использованием метода производящих функций.
Функциональные предельные теоремы доказываются в работе в основном с помощью метода одного вероятностного пространства (метода вложения Скорохода).
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит главным образом теоретический характер. Однако часть результатов, в том числе построенные модификации пуассонов-кой аппроксимации, могут представлять интерес и для приложений.
Апробация результатов и публикации. Основные результаты работы докладывались на 4-м Советско- японском Симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (Тбилиси, 1982), 3-м (Лувсн, 1983) и 5-м (Орхус, 1987) Европейских Конференциях молодых статистиков, 1-м (Ташкент, 198G) и 2-м (Уггасала, 1990) Всемирных конгрессах Общества Бернуллп и на 3-м Советско-фннском Симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (Турку, 1991), а также на ряде семинаров.
По теме диссертации опубликованы 12 работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы — 133 етрашшыжурналыюго формата.
