Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Определения и свойства многомерных устойчивых законов 19
ГЛАВА II. Оценки для расстояния по вариации скорости сходимости к многомерному устойчивому закону 25
ГЛАВА III. Оценки интегрального типа в терминах псевдомоментов 46
ГЛАВА ІУ. Равномерная аппроксимация сферически симметричными устойчивыми законами 65
ЛИТЕРATУРА 75
- Определения и свойства многомерных устойчивых законов
- Оценки для расстояния по вариации скорости сходимости к многомерному устойчивому закону
- Оценки интегрального типа в терминах псевдомоментов
- Равномерная аппроксимация сферически симметричными устойчивыми законами
Определения и свойства многомерных устойчивых законов
Функция распределения & (ос) , 0С R устойчива, если для любых вещественных о 0, ёз70 и любых векторов что для того, чтобы функция распределения tr(0)7 0С К » была устойчива необходимо и достаточно, чтобы её характеристическая функция была представиш (, в сферичеоких координатах) формулой где Ct, fc R ) Tf - угол между векторами b,li ± - конечная борелевская мера на 5 , называемая спектральной мерой устойчивого распределения, Д -параметр .; tu ,,K устойчивого распределения, оС - показатель устойчивого распределения. Обозначим через иу.(0С;А) устойчивую функцию распределения в f{ .положим & (х) = G (oa,l) (параметр а npegno/iataemca равным КУЛЮ), р
ПРЕДЛОЖЕНИЕ і.з. с P.Lemt L64]
Класс предельных распределений С в смысле слабой сходимости) для нормированных сумм где последовательность векторов Ац и числовая последовательность Dn 0 надлежаще выбраны, является многомерными устойчивыми законами. Б этом случае мы говорим, что jL или г принадлежат области притяжения устойчивого закона. В случае О L dL мы говорим, что А или х принадлежит области нормального притяжения устойчивого закона. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4.
Устойчивый закон Qd(X,A\ . XeR„ . Д 0 , 0 ct«A, Относительно точки d (o,...,o)Z называется сферически сишетричныщ если его характеристическая функция имеет вид 1 .( ) бОСр -"А \Ц J.
Оценки для расстояния по вариации скорости сходимости к многомерному устойчивому закону
Пусть Х Хя.---- последовательность независимых, одинаково распределенных случайных векторов С св.) со значениями в К. ;
Р - распределение св. Х и EXj.—О, если ЕХ существует; j_)
J - распределение нормированной суммы где вектора Ал определены в U.8). Пусть & (о:,А\ - невырожденный устойчивый закон в ft с показателем d. и параметром \ , 0 oL cL}(H), Л 0 I Q k(OZ,A) - сферически симметричный устойчивый закону положим & (ос) G&fOC i.) J
QJL(ОС)=0) ( 1) і (СС/Л) - плотность распределения закона
Далее будут использоваться следующие обозначения: если ІЦ, обобщенная мера, то Jl[, , где ft - натуральное число, есть
У1 - кратная композиция Jtt с собой; знак интеграла без указания области интегривования означает интегрирование по всему пространству. Через l\Ji_,"b?0 - обозначаем гауссовское распределение в (( с нулевым средним и матрицей ковариаций і __L , где X - единичная К ft- матрица; 1 - отвечающая закону \) - плотность, Iv—Nl, 1Г—1Г± , через СХ ") обозначаем постоянные, зависящие от величин, стоящих в скобках.
Положим T— f + torj и определим постоянную fli/6 ,1) оле дующим образом: Ck(Ga/i}=suf
Оценки интегрального типа в терминах псевдомоментов
Пусть г. С [у - устойчивые распределения, плотности которых L Лх) удовлетворяют условию
Предложение 3.3. Подгауосовые симметричные устойчивые распределения в R. , характеристическая функция которых может быть представлена в виде: с невырожденной, положительно определенной квадратичной формой 22 размерности f .
Для простоты выкладок рассмотрим двумерный случай. Пусть с.в. ()4.,]&) имеет характеристическую функцию Сх.ф.)
Равномерная аппроксимация сферически симметричными устойчивыми законами
Идеальные метрики 5s о 13 определены в Введении. Отметим свойства метрик s , которыми мы будем далее пользоваться (подробнее свойства метрик см. раооты Б.М.Золотарева [15], LI6] , [19] , О] ):
1) регулярность: для любых распределений Г,х,И
2) однородность порядка S : для любого числа С-ФО
3) для конечности 5(-Р/Р) Е ж Целом $ 1 достаточны следующие условия:
а) все смешанные соответственные моменты, вплоть до порядка YYI , составленные из координат векторов X и Y » совпадают;
б) разностный момент порядка S конечен, т.е. s(X,Y)=S \аГ1 Fx (a)- FY ф а ,
где \-у - функция распределения св. X. При этом условии а) является и необходимым.
Пусть Х,Лі Ха,-" независимые, одинаково распределенные св. в К. Y YiYa ... независимые, одинаково распределенные св. в Я , тогда из свойств метрик V следует, что для любых
- 66 Следовательно, если мы рассмотрим в качестве X устойчивую св. в К. с нормировкой бц — ft. , то
где fi определено во Введении.
Для действительной функции э из класса (З (см. главу 3) метрика j определяется так же, как и метрика js но S заменяется на множество 3"$ всех таких функций і что
В гауссовском случае оценка в равномерной метрике в терминах идеальных метрик получена В.В.Сенатовым 43] и имеет следующий вид.
Предложение 4.1. С43І
Пусть Р - распределение св. Х± с нулевым средним и ковариационной матрицей I , Гц - распределение нормированной суммы jfl_ &± "" &п . Тогда при всех 11 имеет место оценка (Ч»2 ) где С (К.) : С Ю - постоянная в неравенстве "сглаживания".
Если взять , то оценка С4.3) имеет вид
Рассмотрим теперь случай предельного сферически симметричного устойчивого закона
В работе 363 В.И.Паулаускасом было получено следующее неравенство "сглаживания", которое мы будем использовать в дальнейшем для закона (yd .
Из этого разложения следует существование постоянной (L (К ОЛ для любого сферически симметричного устойчивого закона в j Рассмотршд подробнее зависимость постоянных СЦк,( 1 АЭ((С,0 ) от размерности пространства 1С . Б случае d I [4 ao]Mttfc( ) =) WV6)
Из леммы Б.фон Бара L55 ] следует, что оценка (4.) выполняется для любого сферически симметричного устойчивого закона и 1 О (4.7) 8С (5)- (\ГГ) ,s o, (4.8) где функция % к. Л"Ь) определена в (3.3).
Тогда, используя реккурентное соотношений- (3.4), предста-г-вим правую часть (4.7) в следующем виде: Ь№)-Ч-Щщ-)Ь В ы№. (4.9)
В работе В.Ы. Золотарева [75] для функций 0A/OI(S)получены следующие реккурентные формулы: если
