Введение к работе
Актуальность тепы. Методы и результаты теории приближения систематически используются при изучении'явлений природы и проблем техники. Они применяются во многих разделах математики, физики, механики, астрономии.
В диссертации рассматривается широкий круг вопросов теории приближения. При этом много внимания уделяется тем из них, которые имеют непосредственные выходы в прилоьения. Полученные результаты относятся: к численному дифференцированию, оценкам для наилучших приближений, восстановлению функции нескольких переменных по её' известный значениям в узлах, экстремальным задачам теории приближения, оценкам (сверху и снизу) для отклонений методов приближения (установлены общие теоремы, рассмотрены конкретные методы аппроксимации, в частности, суммы Фурье, суммы Фейера, средние Абеля-Пуассона, суммы Балле Пуссена), вопросу сходимости рядов Фурье, тауберовым теоремам, равенствам типа Парсеваля, построению новых методов приближения, обладающих в некоторых направлениях лучпиии аппроксимативными свойствами, чей известные, сильной аппроксимации, дискретному преобразованию Фурье. Основное внимание уделяется вопросам аппроксимации периодических функций.
Цель работы. Дальнейаее изучении точности аппроксимации в зависимости от структурных свойств приближаемой функции,развитие прикладных аспектов теории аппроксимации.
Методы исследования. Используются методы и результаты классического математического анализа, теории функций вещественной переменной, теории интерполирования и приближения функций, теории рядов, интегралов и преобразований Фурье, численного анализа, а также новые методы, предложенные автором.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Дадим их краткое описание.
Ї. Получены новые представления остаточных членов горнул численного ли'1$ереццирования.
2. Развит новый подход, основанные на формулах численного дифференцирования, к вопросу оценок сверху значений полунорм, ладанных на пространствах периодических функций, носредсгясм
модулей непрерывности порядка выше первого. Установленные на основе этого подхода общие теоремы в приловениях (дане в классических случаях, в той числе и к наилучшему приближению) приводят к требуемым неравенствам с постоянными значительно лучшими, чем это было известно ранее.
-
Разработана методика построения математически обоснованных алгоритмов восстановления функции нескольких переменных по её' известный значениям в узлах произвольной сетки, работающих в условиях реального времени.
-
Для наилучших приближений тригонометрическими полиномами в пространствах периодических функций О и А-.* установлены точные (в смысле входящих в них постоянных) неравенства типа Джексона (для наилучших приближений) и А.Н.Колмогорова (для норм производных) с привлечением модулей непрерывности порядка выше первого.
-
Для отклонений сумм Фурье в равномерной метрике дано усиление известного неравенства Лебега, которое учитывает свойства приближаемой функции не только в поостранстве С , но и в пространствах /,„ при 1*р<оо . Установлены новые признаки сходимости тригонометрического ряда Фурье по равномерной норме и в индивидуальной точке. Дано развитие известного результата А.Н.Колмогорова об асимптотическом поведении верхних граней отклонений сумм Фурье на классах дифференцируемых функций применительно к модулям непрерывности высоких порядков.
-
Найдено нестандартное обобщение классического равенства Парсеваля для тригонометрической системы, полезное при рассмотрении вопросов сильной аппроксимации. Рассмотрен вопрос о достаточных условиях выполнения обобщенного равенства Парсеваля для произведения двух функций при условии, что одна из них принадлежит пространству к, , а другая Loo.
-
Установлены общие теоремы об оценках сверху и снизу вначений полунорм, заданных на пространствах периодических функций, посредством модулей непрерывности и наилучших приближений. Эти теоремы в приложениях к конкретным методам приближения приводят к двусторонним оценкам для отклонений, совпадающим с точностью до постоянных.
8. Рассмотрен широкий круг вопросов, связанных с приближе
нием функций конкретными методами, в частности, суммами Фейера,
средними Абеля-Пуассона, функциями Стеклова, суммами Валле Пус
сена. Построены новые методы приближения, обладающие в некото
рых направлениях лучшими аппроксимативными свойствами, чем ра
нее известные.
9. Получены конструктивные характеристики функций класса
hxpl в терминах сильной аппроксимации.
10. Указаны новые возможности применения дискретного пре
образования Фурье к вопросам аппроксимации периодических функций.
Приложения. Результаты работы могут оказаться полезными там, где используются методы теории приближения и анализа Фурье. Для ряда областей вычислительной математики теория приближения является фундаментом, на который опираются численные алгоритмы. Математический аппарат рядов Фурье играет важную роль при изучении колебательных и волновых процессов, в теории управления системами с распределенными параметрами и вообце всюду, где явление можно описать с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений з частных производных. Общеизвестно значение разложения Фурье в радиотехнике и электросвязи. Многие радиотехнические, расчёты з той или иной степени отражают представления, на которых построена математическая теория рядов Оурье. В теории и практике автоматического управления часто встречаются процессы, которые могут рассматриваться как периодические и к ним применим аппарат теории приближения периодических Функций. Методы теории приближения применимы пси сасснотрении задач идентификации, значение которых во многих областях знаній(в том числе и в области управления) возрастает.
Аяяробация работы. Результаты работы докладывались на:
а) Международных конференциях по теории приближения функций
(Калуга - 975, Киев - Ї983)
б) Всесоюзных школах и конференциях по теории функций и прибли
жений (Баку - І977, Ї989, Воронея - I9S3, Саратов - Ї986,
1990, І992, Иркутск - 1987, Луцк - 1389, Днепгюпотровск-iSSO)
в) На семинаре по теории дифференцируемых функций многих перемен
ных в Математическом институте им. Б.А.Стеклова (руководители се
минара: член-корреспоидент РАН Л.Д.Кудрявцев, академик С.М.Ни
кольский) в і990, Ї99Ї, 1993 г.г.
г) На Санкт-Петербургском межвузовском семинаре по теории прибли
жения в І965 - 992г.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 12 - ти работах ( из них Z монографии ).
Основные обозначения
Все рассматриваемые функции, если не очевидно противное, вещественнозначные; R, , />у. , j+ , /V суть, соответственно, иногества вещественных, неотрицательных, неотрицательных целых, натуральных чисел, CL&() = (1/jc) J7^ J?(x) C&i- ;ё ос Яoa,
Фурье функции ; Al(fjOc) -at. (QCei-ix + 6&ftJ&>\&x , если -kerf *Ao(f,x)*Oo{&/v,j Sn-d^^LAiCff-x.) -сумма Фурье, 6~n.(-fj3c)=(nt-i)x T_ /4/) , - сумма Фейера,
ЛІ (f,x)~ TZ^J-lf^C^ffoc, &6J,
I Cf,xj = Z г (-1)йС* t(* + (г-ztot/z)
-конечные разности порядка t ,
АА1 I Ґ &пС(ГШ)і/ї) )*
^'У " їлг/ttti) I ,1h (t/Z) J
-ядро Фейера, „trt-Щ
Через Ни обозначаем множество тригонометрических полиномов порядка не выше П. , Рп, - множество алгебраических многочленов порядка не выше п. ; Н'&Н-п } ^(х)" i^flt)cLt.
По определению ряд 2Г сс& совпадает с рядом оса+^2 (осх+Хі)
Функции вещественной переменной, имеющие в некоторой точке устранимый оазрыв, доопределяются в ней по непрерывности, в других случаях символ О/о понимается как О ; символ Л/о , где Сст-О » - как "=« . Определив liffjXJ^uQz дальнейших объяснений употребляем символ ЬС(Р) . Чесез Зк,х. (-) обозначаем функцию В.А.Стеклова порядка % для Функции f :
*М #» WU L%1 *&*)<&, W ffj- 3h/i tfA/l., (4))
при l-ІЄ/г. Вместо %3t - периодическая функция говорим просто периодическая функция. Пусть 1< р s <* . Чеоез Lo обозначаем множество измеримых периодических функций, для которых величина
J (J.^lt-I) > если d.ip-tj
UИр - І froc fup I(20)1. если Р' > конечна; С - пространство непрерывных периодических функций с нормой II fll.? "Zgbjftol) %р - Lp при / *р ^« , if~= С . Если
ХЄ/V , то Wlp= { 4&С * 3 (г~*)- абсолютно непрерывная на l-axjX], 4.&Є. %р}-; W*pJ* Хр.
Через Hftp обозначаем множество функционалов 'Ф''dp->J6't таких, что Ф ({+$)*Ф()+Ф(д)тъ любых ^деХр.ТтФеЯКр
полагаем
м.е№р - *<р {Ф(ї)/-Н1Ґ%}-
І& '\Л/р<9 Будем говорить, что полунорма Ps С ~*/с^ принадлежит классу А, если: а) РШ'*Ь))~ Р№) для любой є С и любого t^,
б) существует такая постоянная А) , что Pffj-Mll-Pf/ со для
любой ^6 С . Если в рассмотрении участвует полунорма Р&/\3
то С*ч,(6А) = *уа Р(Д\Ш, En.(t) = u4 PCf-T).
Полагаем '*'* & Г6 Нп.
p ч>пе^ н ґгеи». н
Если ^Є Li , то -jJ означает функцию сопряженную с ,(сы.
[16, с. 518, 519] ). Через /,п(>)обозначаем множество измеримых функций, заданных на JD , для которых величина
II 1 Ті II ={(Ы*1Р№ если f*p<<", 11+l-u Up ihac Ьф lt(x,)i, если д--^
конечна; (&) - множество функций непрерывных на СО , С (>)=
« {(е аъу.Н'Че Сф)}; EntfZ)Jp*gJ Hf-Q/Ы/р,
CJ* (4,А,<Х>)^itt*c fup{ і*2ґ6х)І:х,ХгИ<ґг>,шУ
