Введение к работе
Актуальность работы. При изучении различных процессов происходящих в реальной действительности , приходится сталкиваться с одним из наиболее важных понятий - понятием об устойчивости движения . Основы теории устойчивости движения были разработаны в конце прошлого века великим русским ученым А.М.Ляпуновым . Им было предложено два метода решения задач устойчивости . Второй (прямой) метод Ляпунова является мощным строгим аналитическим и весьма эффективным методом при решении многих теоретических и прикладных ВОП-г росов устойчивости движения . Изложение и развитие этой теории полно освещены в известной монографии А.М.Ляпунова, а также в работах Н.Г.Четаева , Е.А.Барбашина* Н.Н.Красов-ского, В.И.Зубова, И.Г.Малкина, А.М.Летова, К.П.Персидского и других .
Как известно, устойчивость по Ляпунову рассматривается на бесконечном интервале времени, что является серьезным препятствием для многих приложений, т.к. большинство объектов исследования функционируют в течение конечного промежутка времени. В настоящее время, имеются различные подходы к определению устойчивости наконечном отрезке времени (Н.Г.Четаев , Н.Д.Моисеев , Г.В.Каменков , А.А.Лебедев, К.А.Абгарян и др.). Но ни одна из известных постановок об устойчивости на конечном отрезке времени не заняла до сих пор доминирующего положения . В 'этой связи развитие метода функции Ляпунова применительно к исследованию устойчивости и стабилизации движения на конечном отрезке времени представляется актуальной задачей .
К исследованию нестационарных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений приводят многие задачи механики и техники. Они исследованы многими авторами (А.М.Ляпунов, Н.Г.Четаев, Н.П.Еругин, К.А.Абгарян, М.-Й.Ву и др.). Наличие зависимости коэффициентов системы от времени вносит принципиальные трудности в изучении структурных свойств системы (устойчивости, управляемости, и наблюдаемости). Исследование устойчивости линейных нестационарных систем на конечном отрезке времени, обеспечивающее точное попадание к началу координат за конечное время, а также на бесконечном интервале времени до сих пор полностью нерешенная задача .
Цель работы. Цель работы заключается в исследовании устойчивости и стабилизации движения нелинейных неавтономных, квазилинейных и квадратических систем на конечном отрезке - времени, а также в исследовании устойчивости линейных нестационарных систем на конечном и бесконечном интервалах времени. Применение полученных результатов к исследованию нестационарных систем .
Методы исследования. Теоретические исследования проводились на основе общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории матриц, теории устойчивости движения и теории управляемости .
Научная новизна. В работе предлагается новый подход , являщийся дальнейшим развитием метода функции Ляпунова и теоремы Н.Г.Четаева об асимптотической устойчивости, применительно к. решению задач устойчивости на конечном отрезке времени; впервые решена задача стабилизации движения квази-
- 5 -линейных и квадратических систем на конечном отрезке времени; получены достаточные условия устойчивости линейных нестационарных систем на конечном отрезке времени , а также на бесконечном интервале времени.
Теоретическая и практическая ценность. Все основные теоретические результаты сформулированы в виде теорем и следствий, которые сопровождаются строгими математическими доказательствами и подтверждаются решениями прикладных задач рассматриваемых на конечном отрезке времени, а также на бесконечном интервале времени .
Положения выносимые на защиту. Исследование устойчивости линейных нестационарных систем на конечном и бесконечном интервалах времени, стабилизация движения квазилинейных и квадратических дифференциальных систем на конечном отрезке времени.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Украинской научной конференции " Моделирование и исследование устойчивости процессов " ( 26-28 мая 1992 г., 24-28 мая 1993 г., г. Киев ); на конференции - конкурсе молодых ученых и специалистов по математике и механике ( 25-26 марта 1993 г., г. Алматы ) ; на научной конференции посвященной бо-летиго Казахского государственного Национального университета имени Аль-Фараби ( 12-14 октября 1994 г., г. Алматы ), на семинарах кафедры кибернетики ( рук. д.т.н. Бияров Т.Н." ) и теории управления ( рук. д.т.н." проф. Айсагалиев С.А. ) .
Публикации. По теме диссертации опубликованы 6 печатных работ, список которых приводится в конце автореферата .
- б -
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения^ двух глав, заключения, списка использованных источников и изложена на ЦО страницах машинописного текста . Список использованной литературы содержит 64 наименования .