Введение к работе
Актуальность . Одшм из основных требований, которым должна удовлетворять система управления, является обеспечение ее устойчивости. Условия, при которых система устойчива, по существу, определяет условия работоспособности системы. Поэтому в процессу проектирования систем автоматического управлений обязательно проводится анализ устойчивости системы.
Теоретическую основу анализа устойчивости нелинейных систем управления в настоящее Бремя составляет метод функций Ляпунова v(x). Центральное место в рамках этого метода занимает вопрос о построении функции V(z). Для конкретной нелинейной динамической систем) соответствующая функция v(x) позволяет решить целый комплекс задач, имеющих важное прикладное значение.
Построение функций Ляпунова в заданной области фазового пространства нелинейной системы, представляет собой трудную проблему. Общих конструктивных методов решения етой задачи, применимых для достаточно широкій классов нелинейных динамических систем, в настоящее время не существует. Большинство методов построения функции V(X) основано на использовании специфики изучаемой системы, что в ряде случаев позволяет указать класс функций, которому принадлежит искомая функция \)(х\. Классическим примером такой ситуации являются механические системы, в которых в качестве функции Ляпунова V часто можно выбрать полную анергию системы. Однако в общем случае класс -функций Ляпунова, как правило, заранее не известен.
Поэтому большой теоретический и практический интерес представляет разработка конструктивных методов построения
функций Ляпунова, частично или полностью ориентировании! на применение ЭВМ и пригодных для широкого класса нелинейші систем управления. Такие методы вместе с реализугацими иі программами могут составить основу для построения подсистемы анализа устойчивости в рамкаї САПР - нелинейны! систем управления.
В настоящей работе предлагается и обосновывается метод численного построения функции V(X) и его использование для решения целого ряда задач устойчивости нелинейных динамически! систем.
Цель работы - разработка и обоснование численного метода построения функций Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных динамических систем;
- ' программная реализация разработанного метода и решение на его основе различных задач устойчивости с использованием ЭВМ.
Методы исследования. Для разработки и обоснования предложенного в работе метода численного построения на ЭВМ функций Ляпунова в задача! анализа устойчивости нелинейны! динамически! систем в диссертации используются: общая теория устойчивости движения, прямой метод Ляпунова, теория линейного программирования, сеточный метод решения задач оптимизации.
Научная новизна. В диссертации предложен новый подход к решению проблемы построения функций Ляпунова в задаче анализа устойчивости нулевого решения нелинейных стационарных систем. В работе получены новые необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости* тривиального решения нелинейны! динамических систем общего вида.
Разработаны алгоритмы численного метода построения
функции Ляпунова на сетке, основанные на сведении задачи построения функции V(X) в области с выколотой окрестностью нуля к задаче линейного программирования. Приведены алгоритмы проверки выполнения свойств функции Ляпунова, построенной на сетке, во всей рассматриваемой области.
В диссертации наряду с задачей асимптотической устойчивости рассматриваются также задачи об экспоненциальной и абсолютной устойчивости.' Показано, что вти задачи могут быть конструктивно решены на основе предложенного метода численного построеіійя функций Ляпунова.
Практическая ценность. Метод функций Ляпунова широко применяется во многих задачах управления. Основную роль при построении функций v(x), как правило, играют аналитические метода. Однако эти методы не позволяют получить конструктивное решение задачи построения функций Ляпунова для нелинейных динамических систем. Поэтому в настоящее время дальнейшее развитие и усложнение задач, возникающих в теории управления, механике, вычислительной математике приводит к необходимости алгоритмизации и реализации на ЭВМ второго метода Ляпунова.
В связи с этим разработанный в диссертации метод численного построения функций v(x) для широкого класса нелинейных систем имеет теоретическую и практическую ценность.
Предлагаемый метод реализован'на ЭВМ и может составить основу для разработки методов проектирования нелинейных систем управления на ЭВМ как в диалоговом, так и в автоматическом режимах.
Апробация работ. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах ИЛУ, МГУ, нз XIV конференции молодых ученых МФТИ (Москва, 1989), на
международном семинаре "Автоматизация проектирования'систем управления" (Алма-Ата, 1989), на VIII Сибирской школе по пакетам прикладных програмі! (Новосибирск, 1989).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приводится в конце автореферата.
Объел работ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы.