Содержание к диссертации
Введение
Глава 2. Построение итерационной теории симметричной деформации 15
2.1. Основные уравнения с учетом всех компонент напряженно-деформированного состояния 15
2.2. Вывод основных уравнений для третьего и последующих напряженных состояний без учета обжатия пластины 26
Глава 3. Некоторые задачи симметричной деформации одно слойных пластин 29
3.1. Деформация по цилиндрической поверхности изотропной пластины 29
3.2. Действие синусоидальной нагрузки на трансверсально изотропную пластину 40
3.3. О влиянии локальности нагрузки, сдвиговой и трансверсальной податливостей на напряженно-деформированное состояние 46
Глава 4. Симметричная деформация слоистых трансверсально изотропных пластин 57
4.1. Вывод основных уравнений с учетом всех компонент напряженно-деформированного состояния 57
4.2. Основные уравнения и зависимости при "z = с*3 для третьего и последующих напряженных состояний 73
Глава 5. Итерационная теория симметричной деформации слоистых пластин на основе уточненного подхода в первом приближении 77
5.1. Построение выражений для перемещений первого приближения 77
5.2. Основные уравнения и зависимости для первого приближения 83
5.3. Основные уравнения и зависимости для второго приближения 95
5.4. О сходимости итерационной теории 102
Заключение ПО
Литература
- Вывод основных уравнений для третьего и последующих напряженных состояний без учета обжатия пластины
- Действие синусоидальной нагрузки на трансверсально изотропную пластину
- Основные уравнения и зависимости при "z = с*3 для третьего и последующих напряженных состояний
- Основные уравнения и зависимости для первого приближения
Введение к работе
Однослойные и слоистые пластины, являющиеся элементами тонкостенных конструкций, нашли широкое применение в различных областях техники.
В настоящей работе рассматриваются вопросы, связанные с построением итерационных теорий и исследованием симметричной деформации однослойных и слоистых трансверсально изотропных пластин.
Произвольную внешнюю нагрузку, действующую на однослойную или слоистую пластину симметричного строения, можно представить в виде симметричной и несимметричной (относительно срединной плоскости) нагрузок. Подавляющее большинство исследований посвящено расчету на действие несимметричной (изгибной) нагрузки. Действие симметричной нагрузки исследовано весьма слабо. При этом исходили, видимо, из того представления, что напряженно-деформированное состояние симметричной деформации вносит малый вклад в общее напряженно-деформированное состояние, где определяющим является изгибная деформация. Следует также отметить, что к настоящему времени по существу отсутствует важный анализ о влиянии симметричной деформации на общее напряженное состояние. В этой связи задача исследования симметричной деформации и определение областей параметров пластин, для которых учет симметричной деформации необходим, представляется весьма актуальной.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложений.
Вывод основных уравнений для третьего и последующих напряженных состояний без учета обжатия пластины
В 2.1 методом варьирования по определяемому состоянию получены с учетом всех компонент напряжений и перемещений основные уравнения итерационной теории симметричной деформации трансверсально изотропной пластины. Анализ решений некоторых задач показал, что, начиная с третьего напряженного состояния, перемещение W уточняется незначительно. Поэтому для напряженных состояний с j 4 можно принять v/j O; z = co. (2#27)
Варьирование (2.12) по перемещениям U , Щ приводит с учетом (2.22) к таким уравнениям равновесия 1 4%Х ЦХУ,У ЧК 7 1Л уО а рассмотрение выражений при вариациях усилий к таким зависимостям WWa W b ( Mi (2.29) 4 = 151 hGzu4-23ihGz(wz+uz), (х,у), Подставляя (2.29) с учетом (2.22) в уравнения равновесия (2.28), будем иметь f2[ yo,s( ) ] = 77hSzl2Uv-l0(w-2yu2l (2эд (Х,У; -- ). Продифференцируем первое уравнение (2.30) по / , а второе по У и сложим результаты; затем продифференцируем первое уравнение по у , а второе - по X и вычтем из первого второе. В итоге получим основные уравнения для определения третьего напряженного состояния i2v\-mhCz%-2-hGz(4\-%); {гз1) Второе уравнение (2.31) по сравнению с предыдущим вариантом 2.1 (см. (2.21)) осталось без изменения. Введем обозначения =/2Z?;y =f4Az; 833=-23lhQj20, (2.32) тогда уравнения (2.31) примут вид К V Ч Кг % = Кг (У Ч - %)} (2.33) При этом из (2.25) с учетом (2.27) имеем
Аналогично получаются основные уравнения для четвертого и последующих напряженных состояний. Для четвертого напряженного состояния они имеют вид К Ч\ + Кг % = Кз(у2уГг+%)+С % і (2.34) V Z% -ззос0% + -с0 %-Ц-Са Ц г = о, ГДЄ ««TV K2---330h C--7i C-lThQ:-При этом перемещения и усилия определяются так ие= — и. — (VT, t + U ) + —\? -f0,5(1-/t)f ], ix,y;rt-+-4 s)i (2.35) Как показали дальнейшие исследования при действии на пластину локальной нагрузки допущения (2.27) следует вводить лишь с четвертого напряженного состояния. Тогда для этого случая второе уравнение (2.34) остается без изменения, а первое примет вид К v\+C% Ч VY J OVVVU (2-36) 6 36 М 480 2,х ЗЗоС L М W} бх ицг є чц ч,% ч1 /з[ г,п С учетом допущений (2.27) граничные условия для третьего и последующих напряженных состояний получаются из условия на контуре (2.26) в виде f[(AiMin-Mn)8a.n+(AiMifMs)8uis]ds=o,(i= i,e )A2.w)
Из основных уравнений, полученных при допущении W-=0, Є =сх , видно, что порядок уравнений, описывающих потенциальное напряженное состояние, понижается на два. Это приводит к упрощению решения задач. Что касается уравнений, описывающих вихревой краевой эффект, то они остаются без изменений.
Для оценки итерационной теории рассмотрим деформацию по цилиндрической поверхности свободно опертой изотропной пластины ( JUL = 0,3) под действием симметричной нагрузки где а - длина пластины. Определялись напряжения 6 и перемещения W в четвертом приближении ( J = 0, 2, 4, 6). Учитывая, что в этой задаче А/ - 0, Ув 0, из (2.9) будем иметь Hy -o.fyuhp. (3_2) С учетом (3.1) выражение (3.2) примет вид Ny = -0,5/thpo sin . (з.з) Граничные условия шарнирного опирання будут выполнены, если решение первых уравнений (2.19), (2.21), (2.23) представить в виде д х Wj=WoJ ln—, (3.4) вторые уравнения будут выполняться тождественно fj =0. (3.5)
Разрешая основные уравнения (2.19), (2.21), (2.23) относительно W0 и используя зависимости (2.14), (2.25), в соответствии с (2.2), (2.3), (2,5) определяем напряженно-деформированное состояние пластины. По упрощенным уравнениям (у %// = сх?, W. = Q ) для зо третьего и последующих напряженных состояний решения первых уравнений (2.33), (2.34), удовлетворяющих условиям шарнирного опирання, принимались в виде Р. = (р sin—, (3-6) а вторые уравнения, описывающие вихревой краевой эффект, выполнялись тождественно, так как - =0.
При решении по упрощенным уравнениям использовались зависимости для третьего напряженного состояния (2.29), а для четвертого - (2.35) и в соответствии с (2.3) и (2.5) уточнялось напряженное состояние для третьего и четвертого приближений.
Результаты расчетов (определялись перемещения W и напряжения б х при z = 0,5А для середины плиты) даны в табл. 3.1. При этом приближения 3 и 4 соответствуют решениям по упрощенным уравнениям для 3-го и 4-го напряженных состояний. для напряжений в третьем приближении получаются результаты, близкие к точным, как по первой, так и по второй (по упрощенным уравнениям) итерационной теориям симметричной деформации транс-версально изотропной плиты. Это свидетельствует о хорошей сходимости метода варьирования по определяемому состоянию. По отношению к точному решению результаты этого метода (перемещения и напряжения) могут оказаться как "сверху", так и "снизу".
Из табл. 3.1 следует, что при h /а = I значения напряжений для z = 0,5 h , полученные по упрощенным уравнениям (вторая методика) , оказались даже более точными, чем по уравнениям с учетом всех компонент напряженно-деформированного состояния (первая методика). Для других точек пластины (0 Z 4 0,5) более точные результаты получены по первой методике.
В табл. 3.2. приведены по высоте среднего сечения результаты для W я &х точного решения и решения во втором, третьем и четвертом приближениях с учетом всех компонент напряжений и перемещений для толстой изотропной пластины a -h (U = 0,3). Как видно из табл. 3.2, даже для толстой пластины полученные результаты хорошо согласуются с точными по всей толщине пластины.
В качестве второго примера рассмотрим деформацию по цилиндрической поверхности заделанной по краям изотропной пластины под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 3.1).
Действие синусоидальной нагрузки на трансверсально изотропную пластину
Из приведенных данных (рис. 3.2, 3.3 и табл. 3.3) видно, что для перемещений итерационный процесс сходится быстрее, чем для напряжений. На сходимость процесса приближений коэффициент Пуассона не влияет, на величину перемещений влияет мало, на напряжения - существенно. Уменьшение относительной толщины пластины улучшает сходимость процесса приближений. Следует отметить, что в третьем приближении перемещения УТ уточняются незначительно, и принятое ранее допущение W = О, Е7 = вполне оп-равдывается.
Из приведенных значений &х на рис. 3.2 и 3.3 и сопоставления с [57] видно, что результаты, полученные по построенной итерационной теории в третьем приближении при cc/h =1,5, находятся в удовлетворительном соответствии с данными, полученными ме тодами конечных разностей в [57], где автор (на стр. 133) отмечает, что применение более густой сетки дает значительные уточнения в угловых точках. Следует отметить, что в угловых точках заделки ( Z = 3,5 А ) напряженное состояние имеет особенности [69]. Как показано в [69], влияние этих особенностей ограничивается весьма малой областью, радиус которой вблизи угловой точки составляет около 0,15п , поэтому можно считать, что полученные для угловых точек напряжения представляют собой усредненные значения напряжений в этой малой абласти [69].
В рассмотренной задаче напряженное состояние состоит из основного, основного потенциального и потенциального краевого эффекта.
Анализируя полученные результаты и данные работ [57] и [82], где также рассматривалась пластина с заделанными краями под действием равномерно распределенной нагрузки для изгибной деформации, приходим к выводу, что даже для изотропных пластин составляющие симметричной деформации при -г 3 вносят существенные поправки в общее напряженное состояние пластины (в заделке до 30$, по середине пластины до 20$) при приложении нагрузки к одной из лицевых плоскостей. При увеличении длины пластины влияние симметричной деформации уменьшается и при -г % 10 симметричную деформацию для изотропной пластины, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, можно не учитывать.
Для исследования влияния сдвиговой и трансверсальной подат-ливостей на сходимость процесса приближений итерационной теории симметричной деформации рассмотрим свободно опертую прямоугольную трансверсально изотропную пластину со сторонами CL и 8 » на ко торую действует симметричная поперечная (сжимающая) нагрузка
Для численной реализации решения была составлена программа на языке АЛГОЛ (приложение № I). Значения W и для центральной точки ( z = 0,5 ) пластины с 6-I000CZ {6»а соответствует случаю плоской деформации) даны в табл. 3.4 и 3.5, а для квадратной пластины - в табл. 3.6 и 3.7. Следует отметить, что полученные по указанной программе результаты (кги ) для изотропной пластины, деформирующейся по цилиндрической поверхности, находятся в хорошем соответствии с точным решением на основе уравнения теории упругости (табл. 3.1).
Из приведенных табличных данных следует, что итерационная теория симметричной деформации пластины, основанная на методе варьирования по определяемому состоянию, дает хорошую сходимость как для перемещений, так и для напряжений в широком диапазоне изменения геометрических и упругих характеристик.
Сопоставляя полученные результаты для симметричной деформации с данными, полученными для изгибной деформации А.В. Плехановым [81] , приходим к выводу, что для толстых пластин (a/h 3 ) увеличение трансверсальной податливости (E/Qz ) с І до 3 приводит к увеличению составляющих напряжений симметричной деформации в общем напряженном состоянии с 10% до 20$, при этом влияние сдвиговой податливости {E/Qz ) мало.
Для оценки итерационной теории представляет интерес решение задач с большим показателем изменяемости напряженно-деформированного состояния. К классу таких задач относится задача о действии локальной нагрузки. При рассмотрении этой задачи введем понятие о степени локальности нагрузки. Под степенью локальности нагрузки будем понимать отношение площади пластины в плане к площади нагружения на лицевой плоскости (если нагрузка приложена по всей площади лицевой плоскости, то степень локальности ее равна I и такую нагрузку будем называть нелокальной). Эффект от действия поперечной локальной нагрузки будет зависеть не только от степени ее локальности, но и от ее вида. В работе рассмотрено действие локальной нагрузки, распределенной по площади квадрата равномерно и в виде пирамиды. Чтобы оценить влияние вида локальной нагрузки на напряжения и перемещения пластины, равнодействующие локальных нагрузок принимались одинаковыми и равными равнодействующей равномерно распределенной по всей лицевой плоскости поперечной нагрузке.
Основные уравнения и зависимости при "z = с*3 для третьего и последующих напряженных состояний
Исследования, проведенные для трехслойных пластин на основе уравнений 4.1, показали, что в третьем и последующих приближениях перемещение иг уточняется незначительно и им можно прене а бречь. Это эквивалентно принятию для напряженных состояний J % 4 допущения Е - = » для всего пакета.
Основные уравнения первого (несамоуравновешенного) и второго (самоуравновешенного) состояния пластины с учетом всех компонент напряжений и перемещений (4.7), (4.10) останутся без изменений. Уравнения для самоуравновешенных напряженных состояний J ъ 4 получаются методом варьирования по определяемому состоянию из вариационного уравнения (4.6), которое для третьего и последующего напряженных состояний (с учетом допущения Ez= и ортогональности 6jx dj,a » б/ху к fi ) примет вид
Из основных уравнений, соответствующих допущению z=0 3 {UK- = О, J У/ 4), видно, что и для слоистых пластин порядок уравнений, описывающих потенциальное напряженное состояние, понижается на два, а уравнения, соответствующие вихревому краевому эффекту, остаются без изменения.
Для оценки сходимости решений с использованием упрощенных уравнений {Ez=oa , j?/ 4) рассматривалась та же задача, что и в предыдущем параграфе. Результаты расчетов ( х/0 ЦРИ Z = 0,5 п ) в третьем приближении отличаются незначительно от ре -зультатов, полученных на основе решений уравнений с учетом всех компонент напряженно-деформированного состояния (рис. 4.1, 4.3), а в четвертом приближении уточняются незначительно.
Использования допущения -с при j 4 для всего пакета, как и для однослойных пластин, уменьшает вычислительные трудности при решении задач, но по сравнению с однослойными пластинами уточняет напряженно-деформированное состояние медленнее, что приводит к необходимости решения задач для тонких слоистых пластин в высоких приближениях.
Исследования, проведенные в гл. 4, показали, что принятая исходная модель первого приближения слоистой пластины (при у = = О, W0 = 0) и последующие приближения не позволили построить итерационный процесс, который обладал бы хорошей сходимостью для существенно неоднородных по толщине слоев пластины. Одним из возможных путей улучшения сходимости итерационной теории является привлечение для первого приближения уточненной модели слоистой пластины.
В отличие от методики расчета слоистых пластин, приведенной в главе 4, полученные здесь выражения для перемещений слоев удовлетворяют всем условиям контакта слоев как в отношении перемещений, так и напряжений (условие контакта в отношении напряжений у выполняется приближенно из-за допущения Ц - О, принятого при построении выражений для УТ ). Принятые в главе 4 выражения для перемещений удовлетворяют лишь условиям контакта в перемещениях; при переходе от этих перемещений к напряжениям (в соответствии с законом Гука) условия контакта слоев в напряжениях не выполняются.
Окончательные выражения для перемещений (5.25) содержат два произвольных коэффициента OL и в . Их в дальнейшем будем определять из условий самоуравновешенности напряжений при плоской деформации слоистой пластины и и где Sy обусловлено деформациями U„ у , а бу - деформациями уу . При таком определении постоянных ОС ж в упрощаются основные уравнения и краевые условия.
Основные уравнения и зависимости для первого приближения
В соответствии с решением, полученным на основе уравнений этой главы (5.44), определялись прогибы Уґ и напряжения 6"х nPH Z = 0,5 Н для центральной точки трехслойной пластины в таком диапазоне изменения параметров Е /Е = 1 10 , а/Н = 1 10, Zh/б = 0,8 10, Ci/oC - 1 5. Принималось, что слои пластины Н 3 изотропны и Li = JX = Li = 0,3.
Для $ ?CL будем иметь случай плоской деформации. Некоторые результаты для этой задачи представлены в табл. 5.4., из которой следует, что перемещения W и напряжения ГХ в случае действия равномерно распределенной нагрузки по всей площади пластины, а также при действии локальной нагрузки {а/с/ = 5), находятся в хорошем соответствии с решением, полученным на основе : уравнений теории упругости.
Для квадратной пластины ( а = ё ), нагруженной равномерно по площади центрального квадрата ( of -J3 ), результаты для перемещений ttr и напряжений 6 представлены на рис. 5.3, где сплошные линии соответствуют равномерно распределенной нагрузке по всей площади пластины, т.е. а/и = I, а пунктирные -а/и 10 ( а = ЪН и Е /Е = 10 )„. Из рис. 5.3 следует, что для локальной нагрузки и существенно неоднородных пластин перемещения № и напряжения ( существенно увеличиваются, особенно когда несущие слои тонкие.
Таким образом, итерационная теория, построенная на основе уточненной модели слоистой пластины для первого приближения, позволяет определять напряженно-деформированное состояние в широком диапазоне изменения упруго-геометрических параметров слоистых пластин с высокой точностью уже в первом приближении, обеспечивая бнструю сходимость процесса последовательных приближений.
Основные результаты работы заключаются в следующем.
1. В работе на основе метода варьирования по определяемому состоянию получены для четвертого приближения основные уравнения итерационной теории симметричной деформации трансверсально изотропных однослойных пластин. Уравнения первого приближения -четвертого порядка - описывают обобщенное плоское напряженное состояние и определяют несамоуравновешенное по толщине пластины напряженное состояние. Уравнения последующих напряженных состояний определяют самоуравновешенные напряженные состояния, их порядок равен шести, они уточняют внутреннее напряженное состояние и описывают напряженное состояние погранслоя.
2. На основе допущения = оо получены упрощенные уравнения для определения третьего и четвертого напряженных состояний. Порядок этих уравнений на два ниже, что дает возможность сравнительно просто получать решения в более высоких приближениях.
3. Для однослойной пластины исследована сходимость итерационного процесса с учетом всех компонент напряженного состояния и при допущении Ez = ? (Для третьего и последующих напряженных состояний) в зависимости от упругих и геометрических параметров изотропной и трансверсально изотропной свободно опертой пластины, исследована сходимость напряженного состояния типа погранслоя для заделки.
4. Исследовано влияние трансверсальной и сдвиговой подат-ливостей, степени локальности нагрузки, относительной толщины пластины на НДС однослойной пластины.
5. Построена итерационная теория симметричной деформации слоистых пластин с учетом всех компонент напряженного состояния и при допущении Е7 - о Для третьего и четвертого напряженных состояний при выполнении условий сопряжения слоев в отношении перемещений (условия сопряжений в отношении напряжений, записанные через перемещения согласно закону Гука, не выполняются) . Порядок основных уравнений не зависит от числа слоев и равен для первого напряженного состояния четырем, а для всех последующих - шести. Исследована сходимость итерационного процесса. Показано, что для толстых слоистых пластин сходимость процесса приближений удовлетворительна, а для других пластин сходимость процесса приближений ухудшается.
6. Построена итерационная теория симметричной деформации слоистых пластин при уточненной (более общей) модели первого приближения, когда условия сопряжения слоев выполняются как в отношении перемещений, так и в отношении напряжений, записанных через перемещения согласно закону Гука. Первое напряженное состояние описывается уравнениями двенадцатого порядка, второе и последующие при допущении = сх - уравнениями четвертого порядка. При этом, в отличие от итерационной теории п. 5, уже первое приближение описывает напряженное состояние погранслоя. Полученные числовые результаты свидетельствуют о хорошей сходимости процесса приближений уже во втором приближении для широкого диапазона изменения упруго-геометрических параметров слоистых пластин.
