Содержание к диссертации
Введение
Глаза I. Задачи контактного взаимодействия мевду тонкостенными элементами и бесконечными цилиндрами или полупространством при кручении с учетом неоднородного старения материалов 19
1. Уравнения теории ползучести для неоднородно стареющих тел 19
2. Кручение усиленного тонким бесконечным цилиндрическим покрытием бесконечного цилиндра или пространства с цилиндрической полостью в условиях не однородной ползучести 24
3. Контактная задача кручения бесконечного цилиндра или пространства с цилиндрической полостью при помощи двух одинаковых конечных цилиндрических оболочек с учетом их вязкоупругих свойств 40
4. Кручение полупространства тонкой круглой пластиной в условиях неоднородной ползучести 60
Глава 2. Задачи контактного взаимодействия между тонкостей нымй элементами и бесконечными іщйвдрами или полупространством при осесимметрйчной деформаций с учетом фактора неоднородного старения 79
1, Упруго-мгновенные перемещения бесконечного цилиндра, полупространства,пространства с цилиндрической по лостью и круглой пластины 79
2. Осесимметричная задача контактного взаимодействия между бесконечным цилиндром или пространством с цилиндрической полостью и тонкими цилиндрическими оболочками конечной длины с учетом факторов неоднородности и старения 91
3. Изгиб круглой пластины на полупространстве с учетом неоднородности старения материалов 105
4. Контактная задача о взаимодействии круглой пластины с полупространством с учетом фактора
старения 112
Краткие выводы 128
- Кручение усиленного тонким бесконечным цилиндрическим покрытием бесконечного цилиндра или пространства с цилиндрической полостью в условиях не однородной ползучести
- Контактная задача кручения бесконечного цилиндра или пространства с цилиндрической полостью при помощи двух одинаковых конечных цилиндрических оболочек с учетом их вязкоупругих свойств
- Осесимметричная задача контактного взаимодействия между бесконечным цилиндром или пространством с цилиндрической полостью и тонкими цилиндрическими оболочками конечной длины с учетом факторов неоднородности и старения
- Изгиб круглой пластины на полупространстве с учетом неоднородности старения материалов
Введение к работе
Теория ползучести - это одна из областей механики деформируемого твердого тела, сложившаяся в последние десятилетия и занявшая свое место наряду с такими областями механики,как теория упругости и теория пластичности. Свойства ползучести обнаруживают материалы различной природы: металлы, пластмассы,горные порода, бетон, естественные и искусственные камни, лед и др.
В современной технике широко применяются конструкции, изготовленные из перечисленных материалов, обладающих свойством ползучести. В связи с этим необходима разработка новых методов расчета элементов конструкций на прочность и долговечность с учетом ползучести материала.
В настоящее время расчет и проектирование таких сооружений и конструкций, как аэродромные и дорожные покрытия, полы промышленных зданий, рельсы, плиты железных дорог, днища резервуар ров, треки для испытания, мосты и т.д., основываются на решении тех или иных задач теории вязкоупругости.
Многие основополагающие результаты теории вязкоупругости изложены в известных монографиях Н.Х.Арутюняна [б] ; Н.Х.Арутюн-яна, В.Б.Колмановского [14] ; Д.Бленда [2о];И.И.угакова [22;] А.А.Ильюшина, Б.Е.Победри [зв] ; М.Н.Колтунова [49] ; Р.Кристен-сена [5l] ; А.К.МалмеЙстера [57] ; М.М.Манукяна[59]; В.В.Москви-тина [68] ; Й.Е.Прокоповича, В.А.Зедгенидзе [77] ; Ю.Н.Работно-ва [79,80] ; А.Р.Ржашщына [82] ; И.И.Улицкого [9l] ; Т. Ширинку лова [93] и др.
Тела, механические характеристики которых не меняются во времени, называются упруго-наследственными и поведение их при загружении описывается теорией наследственной упругости.Областью ее применения является в основном механика полимерных мате-
риалов.
Свойства некоторых строительных материалов, например бетона, существенно зависят от возраста: со временем происходит так называемое старение бетона. Поведение стареющих материалов описывается теорией наследственного старения или теорией упругопол-зучего тела.
Так стареющие, так и нестареющие среды в дальнейшем будем называть вязкоупругими.
Большая часть исследований в области наследственной теории вязкоупругости посвящена нестареющим материалам. Что касается исследования явления ползучести в упругонаследственных материалах, подверженных старению, то их было проведено сравнительно мало. Значительная часть этих исследований относится к бетону.
Теория наследственно-стареющих тел одновременно учитывает как старение, так и наследственность материала.
Начало создания наследственной теории старения было положено в работе Г.Н.Маслова [62] , а ее полное построение как математической теории ползучести дано Н.Х.Арутюняном [б] .
В последнее время ниже в работах [7,8,14] эта теория существенно обобщена и развита применительно к неоднородно-наследственно стареющим средам, когда в них процесс старения в разных точках, протекает разным образом.
Процесс старения таких материалов может происходить или за счет протекающих в них физико-химических превращений,или под действием различного рода полей, так, например, температурного поля, облучения и др.
В первом случае мы имеем дело с естественным старением материала, во втором - искусственным старением.
Технология возведения и изготовления реальных конструкций из стареющих материалов неразрывно связана с процессом их дис-
кретного или непрерывного наращивания элементами материала с различными возрастами. Такие материалы характеризуются тем, что в ходе их наращивания различные элементы этих тел изготавливаются в разные моменты времени, а это значит, что возраст материала таких тел зависит от пространственных координат.
Отметим, что неоднородность наследственно-стареющих тел можно описать при помощи ядер ползучести, когда они, в общем случае, зависят не только от временной координаты, а так же от пространственных координат. Эта точка зрения развита в работах [83,92] , где на основе результатов 6 , приведены реологические уравнения теории ползучести для неоднородно наследственно-стареющих тел.
Здесь, исходя из технологических условий изготовления реальных конструкций, речь будет идти главным образом о неоднородности „ обусловленной переменностью возраста материала в зависимости от пространственных координат.
В теории вязкоупругости важное место занимает исследование контактных задач. Эффективное решение таких задач в общей постановке встречает значительные математические трудности. Поэтому при решении контактных задач обычно приходится принимать упро-щавдие предположения.
Контактные задачи теории вязкоупругости были рассмотрены в работах Ли и Радока [іОІ-ІОЗ] t Хантера [іоо] , Тинга [87] , А. В. Ефимова [32,33] , А.В.Белоконя и Й.И.Воровича [19] и других советских и зарубежных авторов. Обширная литература и методы решения этих задач достаточно полно освещены в [8l] . Обзор некоторых работ и результатов по контактным задачам теории ползучести дан Н.Х.Арутюняном [її] .
Самостоятельный интерес представляют контактные задачи теории ползучести неоднородно наследственно-стареющих тел, когда
_ 7 -
контактирующие тела имеют разные возрасты, зависящие от пространственных координат. При решении этих задач возникают определенные трудности математического характера и, из-за некоммутативности оператора ползучести, принцип Вольтерра в его классической формулировке, вообще говоря, неприменим. В работе Гзб] сформулирован аналог принципа соответствия, позволяющий, зная решение неоднородной упругой задачи, определить решение вязко-упругой неоднородно-стареющей задачи. Аналог принципа соответствия справедлив только для случая постоянных во времени упругих характеристик и экспоненциального представления функции старения.
Работ в этой области сравнительно мало. Исследуемые в настоящей работе вопросы непосредственно связаны с этой проблемой. Исходя из такой ориентировки дадим краткий обзор основных результатов и работ, примыкающих к данной работе.
Сначала остановимся на работах» относящихся к контактным задачам для однородно стареющих тел.
Плоская контактная задача линейной теории вязкоупругости для стареющих материалов впервые была изучена И.Е.Прокоповичем [78] , где в рамках гипотез Г.Герца рассмотрена задача о взаимодействии двух вязкоупругих тел. Известное решение задачи Фла-мана [%] и основные уравнения наследственной теории старения Н.X.Арутюняна позволили автору получить вертикальные перемещения граничных точек полупространства, находящегося в условиях плоской деформации с учетом ползучести. Контактная задача в конечном итоге сведена к решению двумерного интегрального уравнения, по отношению которого применяется метод последовательных обращений, то есть, в начале обращается временный оператор, а затем - координатный. Однако, такой метод решения применим не всегда и имеет место только в том случае,когда область контак-
.- 8 -
та в течении времени монотонно убывает.
В работе М.МДіанукяна [бі] получено решение контактной задачи линейной теории вязкоупругости, с учетом старения материала,, о взаимодействии двух симметрично расположенных штампов при отсутствии сил трения. Задача сведена к решению связанных между собой двух интегральных уравнений.
Первое из этих уравнений представляет: собой линейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода, а второе - интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Решение этих интегральных уравнений получено методом, аналогичным применяемому в работе [78] .
Т.Шаринкулов [ы] установил, что плоская контактная задача линейной теории вязкоупругости, с учетом старения материала,для тел, модуль упругости которых возрастает с глубиной по степенному закону, тоже может быть сведена к решению двумерного интегрального уравнения. В другой работе того же автора [95] на основе наследственной теории старения приводится решение плоской контактной задачи вязкоупругости с учетом сил трения, когда коэффициенты поперечного расширения сжимаемых тел равны и постоянны во времени. Задача опять сведена к решению двумерного интегрального уравнения.
На основе клей рабо» Ы Н.Ф.Какосимадя, применив наолед-ственную теорию старения, разработал приближенный способ расчета фундаментальной полосы и круглой плиты, лежащих на вязкоупругом основании [41,42] . Для описания механических свойств основания автор использовал модель полупространства, находящегося в условиях плоской деформации. Задача сведена к решению интегрального уравнения Вольтерра, второго рода.
Решение задачи о цилиндрической изгибе вязкоупругой пластинки на упругом основании на основе прямого применения принци-
па Вольтерра получено А.А.Зевиным [37] .
Пространственная контактная задача теории вязкоупругооти в линейной постановке изучалась Й.Е.Прокоповичем и Н.Ф.Какосимади [43] . На основе работы [78] получено решение для невозрастаю-шей во времени области контакта.
Пространственная контактная задача теории вязкоупругооти, с учетом старения материала, рассматривалась также М.Цределяку [Юб] , В частности, автор рассмотрел контакт двух сферических те», находящихся под действием постоянной сжимающей силы.
Ряд контактных задач теории нелинейной ползучести рассмотрен в работах Н.Х.Арутюняна [ю] , А.И.Кузнецова [52] , С.М.Мхи-таряна [69-71] и др.
Своеобразной контактной задачей является задача о термонап-ряженном состоянии массивных бетонных блоков, лежащих на скальном основании или ранее уложенном бетоне. В результате сцепления блока с основанием на поверхности контакта появляются касательные напряжения, которые препятствуют температурным деформациям и обуславливают напряженное состояние блока.
Температурные напряжения в прямоугольном блоке исследованы в работе Н.Х.Арутюняна и Б.Л.Абрамяна [із] . Предварительно построив решение соответствующей упруго-мгновенной задачи, авторы решают задачу с учетом ползучести бетона. В дальнейшем это решение было развито М.М.Манукяном [бо] и М.А.Задояном f34J и применено ими к круглым и прямоугольным блокам.
Многие работы посвящены исследованию расчета балок и плит на вязкоупругом основании, встречающихся в разнообразных областях практики. Эти задачи подробно рассмотрены в монографиях А. Р.Рканицына [82] и Т.ІЩШиринкулова [эз] .
Отметим также ряд последних обзоров и работ в области пол^ зучести в условиях однородного старения материалов[23,57,88,89].
Следует отметить, что рассматриваемые выше контактные задачи теории вязкоупругости решены при постоянной области контакта, в то время как решение контактной задачи теории вязкоупругости существенно зависит от поведения контактной зоны во времени[98, 99, 106] *
Работ в этом направлении немного, тем не менее мы не будем останавливаться на этих работах и перейдем к обсуждению контактных задач теории вязкоупругости для неоднородно наследственно стареющих тел, связанных с вопросами взаимодействия тонкостенных элементов с деформируемыми телами.
Первая работа в этой области принадлежит Н.Х.Арутюняну[7]. Им рассмотрена задача Мвлана [104] для полуплоскости в постанов-ке теории вязкоупругости для неоднородно наследственно-стареющих тел. Предположено, что контактирующие элементы (стрингер и полуплоскость) обладают свойством вязкоупругости и имеют разные возрасты, приттом возраст стрингера зависит от пространственных координат. Решение задачи сведено к решению интегро-дифферен-циального уравнения. В частном случае, когда возраст стрингера не зависит от пространственных координат, но отличен от возраста полуплоскости, решение интегро-дафференциального уравнения получено в замкнутой форме.
Контактная задача о вдавливании без трения штампа в двухслойную стареющую вязкоупругую полосу рассмотрена в работе Е. В.Коваленко, А.В.Манжирова [47] . Предположено, что сила, действующая на штамп, и область контакта не изменяются с течением времени, а слои изготовлены в различные моменты времени. Задача приведена к определению неизвестных под штампом контактных напряжений т интегрального уравнения, содержащего оператори Фредгольма и Вольтерра. Решение полученного уравнения затем строится асимптотическими методами при большом времени.
- II -
В работе В.М.Александрова, Е.В.Коваленко и А.В.Манжирова [2 J даются решения некоторых плоских и осесимметричных контактных: задач теории ползучести, исследование которых существенно опирается на модель неоднородно стареющих сред НД.Арутюняна.
В частности, рассмотрены задачи о действии нормальной нагрузки на тонкий неоднородно стареющий слой при произвольной функции его старения и контактные задачи для многослойных вязко-упругих оснований в предположении, что верхний слой неоднородно стареющий и тонкий, а нижний, однородно стареющий слой имеет произвольную толщину. Изучены случаи искусственного и естественного старения пакета слоев.
В работе В.М.Александрова, Н.Х.Арутюняна, А.В.Манжирова[і] рассмотрены плоские и осесимметричные задачи теории ползучести неоднородно-стареющих тел для многослойных оснований. Получены основные уравнения плоских и осесимметричных контактных задач, содержащие интегральные операторы Фредгольма и Вольтерра.
Работа А.В.Манжирова [бв] посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния неоднородно-стареющих вязкоупрутах тел при их взаимодействии с жесткими штампами.
В работе С.Е.Мирзояна 63]построена функция влияния для кусочно-однородно стареющей полуплоскости. Затем в работе [65] этого же автора,а также в работах С.ЕШирзояна и С.М.Мхитаряна [64,67] рассмотрен ряд контактных задач о взаимодействии между бесконечными или конечными стрингерами и полосами при различ ных граничных условиях с учетом фактора неоднородного старения материалов. Решение поставленных задач получены или в замкнутой форме (стрингеры бесконечные), или сведены к бесконечным системами интегральных уравнений (стрингеры конечные).
Некоторые контактные задачи, а также задачи термоползучести для неоднородно стареющих тел рассмотрены в работах Г 24,
31,35] .
Ряд задач по устойчивости неоднородно-стареющих вязкоупру-гих стержней и по оптимизации наращиваемых вязкоупругих те л, приведен в[14] .
Нелинейные уравнения теории ползучести неоднородно-стареющих тел предложены в [12,14] .
Теперь перейдем к контактным задачам теории упругости для цилиндров»
Контактным и смешанным задачам теории упругости для упругого бесконечного цилиндра посвящено большое число исследований, достаточно полная билиография которых содержится в 81 .
Здесь мы дадим краткий обзор работ, посвященных контактным задачам для бесконечных цилиндров, подкрепленных тонкостенными элементами.
Задача о контакте тонкой полубесконечной оболочки со сплошным бесконечным упругим цилиндром была впервые рассмотрена Г.Я. Поповым [74] . Автор поставленную задачу свел к интегральному уравнению и далее применил метод Винера Хопфа.
Аналогичная задача исследована в работе Б.И.Когана и А.Ф. Хрусталева [48] . №шевие задачи авторы свели к опредалешш функ-дай напряжения, удовлетворяющей бигармоническому уравнению.Окон-чательные выражения для контактных напряжений получены в квадратурах.
В работе Н.Х.Арутюняна и С.М.Мхитаряна [lb] рассмотрена контактная задача о передаче кольцевой сосредоточенной горизонтальной нагрузки от бесконечной цилиндрической облочки к бесконечному упругому сплошному цилиндру. Решение указанной задачи сведено к решению интегро-дифференциального уравнения с симметричным ядром. Получено замкнутое решение последнего уравнения в виде квадратур.
- ІЗ -
В.М.Александров и Л.С.Шашсих в работе [5] исследовали задачу об упругой деформации круглой цилиндрической оболочки конечной длины, надетой с натягом на круглый бесконечный упругий цилиндр. При этом внешняя поверхность цилиндрической оболочки нагружена нормальным давлением. Задача сведена к решению интегрального уравнения, приближенное решение которого авторы получили численным методом.
Исследование ряда контактных задач о взаимодействии цилиндров с тонкостенными элементами дано в монографии В.М.Александрова, С.М.Мхитаряна [ЗІ .
Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками рассмотрены в монографии В.С.Саркисяна [84] .
Задачи для тонких круглых пластин, сцепленных с полупространством, встречаются при проектировании железобетонных подпорных стен, отдельных конструкций гидротехнических и горнодобывающих сооружений, деталей точногоь машиностроения и др.
Наиболее характерными здесь являются работы М.Я.Леонова[53, 54] , М.И.Горбунова-Посадова [28,29] .П.И.Клубина [46] Д.Г.Иш-ковой [39,40] , В.К.Голуб и В.И.Моссаковского [27J , В.М.Сеймова [85] , И.И.Воровича и М.Д.Солодовника [26] , В.М.Александрова и М.Д.Солодовника [4] и других авторов. Методы решения этих задач освещены в [76,81] .
В то время как область контактных задач в постановках классической теории вязкоупругости и теории ползучести однородно-стареющих тел хорошо разработана, область контактных задач в постановке теории ползучести неоднородно-стареющих тел почти не изучена. Между тем такие задачи встречаются в практике мостостроения и при строительстве различных гидротехнических сооружений и плотин. Кроме того, их исследование представляет самостоятельный теоретический интерес. Контактные задачи в постановке тео-
рий ползучести неоднородных сред многопараметровн и, вследствие невозможности разделения друг от друга временного и пространственного операторов, их исследование сопряжено с преодолением значительных трудностей аналитического и вычислительного характера. Весьма важное в теоретическом и прикладном аспектах значение имеет исследование родственных к обычным контактным задачам задач взаимодействия тонкостенных элементов с массивными деформируемыми телами с учетом фактора неоднородного старения.Эти задачи : связаны с вопросами передачи нагрузок, часто встречающимися в инженерной практике, и поэтому их изучение представляется актуальным.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию задач контактного взаимодействия тонкостенных элементов с деформируемыми телами в постановке теории ползучести неоднородно наследственно-стареющих сред.
Вкратце изложим содержание диссертации.
Работа состоит из двух глав кратких выводов.
Первая глава посвящена исследованию контактных задач кручения бесконечного цилиндра или пространства с цилиндрическим от-весртием посредством тонкой цилиндрической оболочки и полупространства тонкой круглой пластиной, с учетом фактора неоднородного старения контактирующих тел.
Первый параграф имеет вспомогательный характер. Здесь приведены исходные уравнения теории ползучести для неоднородно наследственно-стареющих тел в случае малых деформаций.
Во втором параграфе рассмотрены две контактные задачи теории ползучести о передаче нагрузки от тонкой бесконечной цилиндрической оболочки к бесконечно длинному сплошному цилиндру или бесконечному пространству с цилиндрической полостью при кручении. При этом предполагается, что контактирующие элементы имеют
разные возрасты. Решение этих задач сводится к решению ннтегро-дифференциальннх уравнений. Последние, в свою очередь, когда возраст оболочки не зависит от пространственных координат, но отличен от возраста основания, с помощью преобразования Фурье сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода, решение которых дается в квадратурах.
В третьем параграфе исследована контактная задача кручения бесконечного сплошного цилиндра при помощи двух симметрично расположенных одинаковых конечных цилиндрических оболочек. Полагается,, что контактирующие элементы имеют различные возрасты, притом возраст оболочки зависит от осевой координаты. Решение обсуждаемой задачи сводится к решению сингулярного интегро-дифференциаль-ного уравнения, содержащего как операторы Фредгольма по координатам, так и операторы Вольтерра по времени. Последнее, в свою очередь, на основе метода ортогональных многочленов Чебышева, сводится к бесконечной системе линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Далее, на основе принципа сжимающих отображений, доказывается квазиполная регулярность полученной сис-теш. В одном частном случае, когда возраст оболочки не зависит от осевой координаты, но отличен от возраста цилиндра, проведен численный анализ задачи. Выявлены закономерности изменения контактных напряжений и их коэффициентов интенсивности во времени. В этом параграфе рассмотрена также задача, когда беоконечное пространство с цилиндрической полостью скручивается посредством конечных оболочек, прикрепленных к поверхности полости» Методы решения обоих задач полностью совпадают.
В четвертом параграфе дается решение задачи о контакте крг/глой тонкой пластины с полупространством в условиях неоднородного старения материалов. При помощи присоединенных функций Лежандра разрешающее интегральное уравнение, содержащее опера-
торы Фредгольма и Вольтерра, сведено к эквивалетной квазивполне реі^яярной бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра, Рассмотрены частные случаи поставленной задачи. В некотором диапазоне изменения характерных параметров проведен численный анализ задачи, в результате чего выяснен ход изменения крутящих контактных напряжений под пластиной и коэффициента их интенсивности на крае контактной зоны, а также угла поворота пластины. Выяснены также некоторые эффекты, связанные с разновозрастноотью контактирующих тел.
Вторая глава посвящена исследованию ооесимметричных контактных задач о взаимодействии между тонкостенными элементами и и бесконечными цилиндрами и пространством с учетом фактора неоднородного старения.
Первый параграф имеет вспомогательный характер. В этом параграфе получены выражения упруго-мгновенных перемещений граничных точек бесконечного цилиндра, полупространства и круглой тонкой пластины от произвольной горизонтальной или вертикальной осе-симметричной нагрузки.
Во втором параграфе исследуется две контактные задачи о передаче кольцевых ооесимметричных горизонтальных нагрузок от двух одинаковых вязкоупругих цилиндрических оболочек конечной длины и малой толщины к бесконечному вязкоупругому сплошному цилиндру или к бесконечному пространству с цилиндрической полостью. При этом предполагается, что в зонах контакта действуют только тангенциальные напряжения. На основе результатов первого параграфа, решение задач сводится к решению интегро-дифференциальных уравнений фредгольмо-вольтеррового типа. Последние, в свою очередь, на основе аппарата ортогональных полиномов Чебышева, сводятся к эквивалентным бесконечным системам интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Показана квазивполная регулярность
этих систем.
В третьем параграфе этой главы рассмотрена задача об изгибе круглой тонкой пластины на полупространстве под действием распределенных нормальных нагрузок. При этом полагается, что материалы пластины и основания обладают свойствами вязкоупругости и изготовлены в различные моменты времени. Силы трения,возникающие между пластиной и основанием, пренебрегаются. При помощи аппарата ортогональных полиномов Лежандра разрешающее двумерное интегральное уравнение, после обращения по времени, сведено к бесконечной системе линейных интегральных уравнеий Вояьтерра второго рода.
В четвертом параграфе исследуется контактная задача о взаимодействии круглой пластины с полупространтсвом. Предполагается, что пластина симметрично загружена по своей поверхности касательными напряжениями, причем контактирующие материалы имеют различные возрасты. Исходя из того, что изгибная жестокость пластины пренебрежимо мала, в зоне контакта нормальные напряжения пренебрегаются. Решение задачи сведено к решению двумерного интегрального уравнения с ядром в виде интеграла Вебера-Сонина. Последнее, в свою очередь, при помощи присоединенных функций Лежандра сведено к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра, исследование которой проводится на основе принципа сжимающих отображений. Проведем численный анализ задач.Выяснены закономерности изменения контактных напряжений, зависящих как от времени, так и от разновозрастности контактирующих пар.
Основное содержание диссертационной работы опубликовано в статьях [I07-II2] .
Результаты работы регулярно докладывались на семинарах отдела теории вязкоупругости и на семинарах и конференциях молодых ученых Института механики АН Арм.ССР.
Основные результаты диссертации докладывались также на второй Всесоюзной конференции -"Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Днепропетровск, 1981г.), на Всесоюзном.симпозиуме "Ползучесть в конструкциях" (Днепропетровск, 1982г.)., на школе-семинаре "Теория упругости и вязкоупругости" (Цахкадзор, 1982г.).
В окончательном виде диссертационная работа была доложена:
на семинаре ВНИИ Гидротехники им.Б*Е.Веденеева и на общем семи
наре Института механики АН Арм.ССР.
Работа выполнена в отделе теории вязкоупругости Института механики АН Арм.ССР.
Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю академику.АН Арм.ССР Н.Х.Арутюняну за постановку задач и ценные указания.
Автор искренне благодарен также научному консультанту С.М.Мхитаряну за большую помощь в работе.
*
Кручение усиленного тонким бесконечным цилиндрическим покрытием бесконечного цилиндра или пространства с цилиндрической полостью в условиях не однородной ползучести
Условимся понимать под упруго-мгновенной задачей теории упругости задачу о напряженном состоянии чисто упругого тела с упругими коэффициентами, зависящими от времени под действием поверхностных и объемных сил, зависящих от координат и времени, при этом понимая действие сил статически.
Приступим сначала к построению полей упруго-мгновенных перемещений для бесконечного сплошного цилиндра от крутящих нагрузок в цилиндрической системе координат
Перемещения точек упругого бесконечного сплошного цилиндра радиуса fL от единичной кольцевой сосредоточенной касательной нагрузки, действующей в сечениях . - 5Г0 и = - -z0 (рис.1), определяются из решения следующей краевой задачи; о У ± _2v_. _v_ v О Эч2 + г Ъъ ч? + 3-22 " (ОгЪ И, оо 2 схэ) (1.7) t (t,t)/x = H = S (42- ,)-(&-.So) Сюда должны быть добавлены условия ограниченности напряжений и перемещений при Ч -О. Отметим, что здесь V (4,t) - упруго-мгновенные перемеще - 25 ния точек бесконечного сплошного цилиндра в тангенциальном направлении, а о О) - известная дельта-функция Дирака,
Приняв во внимание закон 1!ука, эту краевую задачу можно представить в виде (1.8) V Qx а/ / a R где & - модуль сдвига для материала цилиндра, К краевой задаче (1,8) применим преобразование Фурье по 3 , В результате получим (1.9) - 26 i$ V (г, s)= f уКг) e - oo Решение уравнения (1.9) можно записать в виде где Іх (х) и \СІ ( ) - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно.
Поскольку напряжения и перемещения должны быть ограниченными при ъ - О # то сразу находим V 0 , &) -Ali (U),
Входящая сюда постоянная А определяется изграничного условия при t = ft: А " Gi.iaOL«0 Учитывая (ІДО), для интересующей нас функции V (l,$) получим следующее выражение: У (",g)- 2 & о)І4 C s) (ІДІ) Gs І2 (s s) Теперь при помощи обратного преобразования Фурье из (I.II) непосредственно находим, что нужная нам в дальнейшей функция влияния -упруго-мгновенные перемещения граничных точек бесконеч - 27 -. ного сплошного цилиндра от крутящей единичной кольцевой сосредоточенной тангенциальной нагрузки - дается формулой оо Y (О) - 2 f Sti\(& oV&i.n(siE)- Ii(tLS) J g (I.I2) Вполне аналогичным образом находим, что упруго-мгновенные перемещения граничных точек бесконечного пространтсва с цилиндрической полостью, от крутящей единичной кольцевой сосредоточенной тангенциальной нагрузки имеет вид о V (С г) 2 С VVY (S-0- sinCsa) K/jtS) і s О c Здесь КЛ (x) (nr 1,2) - модифицированные функции Бесселя второго рода. 2.2. Постановка задач и вывод определяющих уравнений. 1«
В этом параграфе рассматриваются две контактные задачи теории ползучести неоднородно стареющих тел, о передаче нагрузки от тонкой бесконечной цилиндрической оболочки к бесконечно длинному сплошному цилиндру или бесконечному пространству с цилиндрическим отверстием при кручении, когда материалы контактирующих тел обладают свойствами ползучести и имеют разные возрас ты.
Упомянутые две задачи будут рассматриваться параллельно. В первой задаче бесконечно длинный сплошной цилиндр радиуса PL , усиленный по своей поверхности покрытием в виде тонкой бесконечной цилиндрической оболочки малой толщины К , скручивается касательными силами интенсивности о, («г.,і) .приложенными на совокупности двух симметрических отрезков Г- і) -CL] и [о,, і ] (рис.2)
Во второй задаче бесконечное пространство с цилиндрическим отверстием радиуса К- , усиленное тонкой бесконечной цилиндрической оболочки толщины К , опять скручивается касательными силами интенсивности О, ( , О , действующими на совокупности двух отрезков [- ,-0,] и [а, &]. цусть Ci (t, t ) - мера ползучести, GA С"Ь) -переменный во времени модуль сдвига и Xt ( ) - зависящий от осевой координаты возраст материала тонкого покрытия. Цусть Сг (t,t) будет мерой ползучести, т2 (й)=тг = Const - возрастом и G2 Ct) - модулем сдвига материала цилиндра.В дальнейшем примем, что (j C) = Gi - Солз G2 Сі) = G2 = Const.
Кроме того, будем считать, что для материалов оболочки и цилиндра коэффициенты поперечного сжатия для упругой деформации - 29 1 ("О и деформации ползучести 52 U, ) одинаковы и постоянны - (t) г 2 (A, t) = Con ьі . Эти величины в дальнейшем обозначим через i и - соответственно для оболочки и цилиндра. Требуется определить закон распределения тангенциальных контактных напряжений су( ,і).
Выведем разрешающие уравнения поставленных задач.Сначала обратимся к первой задаче. Оболочку будем трактовать в рамках теории тонких оболочек, основанной на известных гипотезах Кирх-гофа-Лява [72 ]. В разбираемом случае уравнения равновесия оболочки сводятся к следующему: T( ,)s-f [ (хд)+ (хд)] и (1Лз) с о Здесь TU ц - тангенциальные усилия, отнесенные к единице длины дуги, М ч -крутящий момент.
В дальнейшем условимся индексом I обозначать величины, относящиеся к оболочке, а индексом 2 величины, относящиеся к цилиндру.
Теперь, на оснований формул (1.5) и (1.6), соотношения, связывающие компоненты деформаций Y С- Л с соответствующими компонентами напряжений Т у С ,}1)и П ц 0?,fc) применительно к разбираемому случаю будут иметь следующий вид
Контактная задача кручения бесконечного цилиндра или пространства с цилиндрической полостью при помощи двух одинаковых конечных цилиндрических оболочек с учетом их вязкоупругих свойств
Исследуем бесконечную систему линейных интегральных уравнений (1.56) на регулярность основываясь на принцип неподвижной точки Банаха [55] .
С этой целью введем в рассмотрение вещественное множество w\c всех ограниченных последовательностей непрерывных функций, определенных на отрезке [% ,Т]
Оператор А является сжимающим оператором. Если выполнено условие (1.60) то, согласно принципу сжимающих отображений Банаха, можно утверждать, что оператор А .заданный равенством (1.58), имеет в пространстве w\c единственную неподвижную точку Vo , такую, что )j0 A Vo , и которую можно найти методом последовательных приближений, исходя из любого начального элемента w\с.
Отметим, что при помощи (1.49) для коэффициентов интенсивности крутящих контактных напряжений на концах оболочки получим выражения Численные результаты получены на ЭВМ EC-I022 при различных режимах загружения оболочек и в довольно широком диапазоне изменения характерных физических и геометрических параметров. В качестве материала оболочки и цилиндра взят бетон. Рассмотрены
Матрица коэффициентов бесконечной системы (1.56) является блочно-треугольной и каждый блок, в свою очередь, есть бесконечная матрица, дающая решение системы $1.56) для каждого момента времени. Каждый блок заменялся укороченной материцей (12 12). В общей сложности для всех рассматриваемых моментов времени была решена система из 144 уравнений. Для проверки сходимости система (1.56) решалась также для случая, когда каждый блок заменялся матрицей (24 24), но это привело лишь к изменению четвертой значащей цифры после запятой. Затем по формуле (1.49) были вычислнены значения контактных напряжений, а по формулам (I.6I) - значения их коэффициентов интенсивности. Результаты вычислений представлены в виде графиков и таблиц.
При этом на рис. 4 представлены графики изменения контактных напряжений Q, ( Д)/Ц в первом варианте загружение оболочек. Кривая I (пунктирная линия) соответствует чисто упругому контакту оболочек с цилиндром. Кривая 2 соответствует случаю, когда xi ( ) = tc = 0 v\s } Т2 й » следовательно, \ ) . Кривая 3 соответствует случаю, когда оболочки упругие, а цилиндр обладает свойствами ползучести. На рис.5 представлен график изменения \ "С) / И для различных моментов времени \ при т ( )« Хо - 0 v\s t , Хг 4 \ в третьем варианте загружения оболочек. На рис.6 представлен график изие-нения CL \0}i) 0 во времени, когда оболочки обладают свойством ползучести, причем "Ц а основание (цилиндр) является чисто упругим.
В таблице I представлены значения причем для удобства их сравнения в первой строке записаны значения А.і (t) , а во второй строке - значения At СО » ког да имеет место первый вариант загружения оболочек и X ( % } -- Х0 = COYXSI Х&-Х0 В таблице 2 приведены значения A-i(t) при первом варианте загружения, когда tf (Д) -% х хН ) + з( )И( )( 1), а цилиндр чисто упругий. В таблице 3 приведены значения A-i () и At СО при втором варианте загружения оболочек, когда ъл C s) - Т«гСоу\еЛ , Т2 т0. в таблице 4 приведены значения A ( ) и Af СО при первом же варианте загружения оболочек, когда оболочки чисто упругие, а цилиндр обладает свойством ползучести.
Анализ указанных графиков и таблиц показывает, что а) учет фактора неоднородности старения контактирующих тел по сравнению с упругим случаем приводит к существенному перераспре делению контактных напряжений, причем в средней части контакт ной зоны напряжения обычно уменьшаются, а в крайних частях этой зонн они увеличиваются (рис.4.); б) в первом варианте загружения оболочек, когда x,i (J)= t0 а основание чисто упругое, контактные напряжения я (0,) / Q с возрастанием Т3 (Л- Const) увеличиваются, стремясь к упругим напряжениям (рис.5); в) коэффициенты интенсивности в первом варианте загружения обо лочек, при фиксированном моменте времени t , с увеличением возраста основания Хг(лс0 Cowst) уменьшаются (табл.І), а во втором и третьем вариантах загружения оболочек коэффициенты интенсивности с возрастанием возраста основания увеличиваются (табл.3).В последнем случае коэффициенты интенсивности, при фик сированном Хг С возрастанием времени уменьшаются; г) в первом варианте загружения оболочек, когда C1(t) - te = Covv, Х2 s t0 , при фиксированном значении Хз. с возрастанием і А -« уменьшается. При этом значения коэффи циента интенсивности A. t с учетом ползучести остаются мень шими значений /л в чисто упругим случае.
Осесимметричная задача контактного взаимодействия между бесконечным цилиндром или пространством с цилиндрической полостью и тонкими цилиндрическими оболочками конечной длины с учетом факторов неоднородности и старения
В настоящем параграфе рассматриваются две контактные зада чи о передаче кольцевых осесимметричных горизонтальных нагрузок от двух одинаковых вязкоупругих цилиндрических оболочек конечной длины и малой толщины к бесконечному вязкоупругому сплошному цилиндру или к бесконечному пространству с цилиндрической полостью. При выводе основных интегро-дифференциальныхуравнений сначала обратимся к первой задаче.
Пусть бесконечный цилиндр радиуса на двух симметричных участках своей поверхности [ - К, - ] и Га,, 1 усилен тонкими цилиндрическими оболочками малой постоянной толщины V\ . Будем считать, что материалы оболочек и цилиндра обладают свойством ползучести, которое характещзуется неоднородностью процесса старения. Обозначим меру ползучести оболочек через CtCt, ) модуль упругости через EiC ) возраст, зависящий от осевой координаты, через %± (л) . Те же ха рактеристики для цилиндра соответственно через Сі( ц)? fiM? Требуется определить закон распределения контактных напряжений по поверхности соединения оболочек с цилиндром, если в момент времени Х0 к крайним торцам оболочек приложена кольцевая осесимметричная горизонтальная нагрузка интенсивности Ро (Л) (рис.12).
Как в работах [9,104] , будем предполагать, что вследствие малости толщины оболочки жесткость ее на изгиб пренебрежимо мала и поэтому радиальными напряжениями по сравнению с тангенциальными можно пренебречь, то есть на контактной поверхности возникают только тангенциальные напряжения. Иными словами будем считать, что оболочка находится в безмоментном одноосном напряженном состоянии, что имеет место, вообще говоря, при больших R- .
В этих предположнеиях рассмотрим равновесие части ( о., А) оболочки. По безмоментной теории оболочек условие равновесия осе-симметрично нагруженной цилиндрической оболочки в разбираемом: случае выражается формулой а, Здесь л/л - нормальное усилие, действующее в произвольном поперечном сечении оболочки, а Р ( S І) - неизвестные тангенциальные контактные напряжения. Таким образом, для определения контактных напряжений нужно решить интегро-дифференциальное уравнение (2.25), При этом Р ( ., "Ь) удовлетворяет условию равновесия оболочки і Г р(Ао, )Ла. = РсСО (2.26)
Совершенно аналогичным способом, можно получить определяющее уравнение для второй задачи, которое имеет точно такой же вид, что и (2.25), где вместо функции ( Ог, 2о) входит функция Qi (-2 , о) » выражающаяся формулой
В дальнейшем будем рассматривать только уравнение (2.25), так как уравнение второй задачи решается аналогичным способом. Сведение основного уравнения к эквивалентной бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра.
Перейдем к решению интегро-дифференциального уравнения (2.25) при условии (2.26). С Ьтой целью представим ядро интегро--дифференциального уравнения (2.25) в виде суммы главной и регулярной частей. При эвюм воспользуемся известными асимптотическими разложениями при больших значениях аргумента для функций Бесселя 1о(х) и ItM [18]. В результате получим следующее асимптотическое представление:
Исследование бесконечной системы интегральных уравнений Вольтерра (2.34), как в первой главе, проводится на основе принципа неподвижной точки Банаха, Пропустив промежуточные выкладки, сразу запишем условие регулярности бесконечной системы (2.34): (2.35)
При выполнении условия (2.35) система интегральных уравнений Вольтерра (2.34) имеет единственное решение, которое можно найти методом последовательных приближений. Тогда можем записать
Исследование бесконечной систеш (2.34) в случае только од нон ядра С« содер ся в padce [97] . Покажем, что до мление к « ядра {b } ке на„ ре„ос ти исходной бесконечной систеш в сшсле ее квазиполной регуляр ности. {2) Нетрудно представить & m, п в виде
С другой стороны, легко видеть, что коэффициенты А уД л являются коэффициентами фурье определенных квадратично суммируемых в квадрате -і , Ц. і функций по полной ортогональной системе функций (Un-10\) Um-iU)
Изгиб круглой пластины на полупространстве с учетом неоднородности старения материалов
Пусть круглая пластина, радиуса R- и постоянной толщины \\ {V\«. Р ) полностью сцеплена с полупространством по границе основания
Будем считать, что контактирующие материалы обладают свойством ползучести и имеют разные возрасты. Пластина нагружена симметричным образом по поверхности - = - К касательными напряжениями і? - О .
Предполагается, что изгибная жесткость пластины пренебрежимо мала. В то же время жесткость пластины на растяжение будем считать соизмеримой с жесткостью на растяжение основания. Таким образом, наличие пластины, нагруженной касательными усилиями Ро (д,0 , будет существенно влиять на продольные деформации основания и почтя- не будет искажать поперечные деформации.Последнее обстоятельство позволяет при решении задачи о совместной деформации пластины основания пренебрегать нормальными контактными напряжениями в зоне их склейки % R..
Итак требуется определить закон распределения касательных - из контактных напряжений Р ( Л) в области (.--(), R.) .когда в момент времени Ь т, к поверхности пластины приложены касательные напряжения интенсивности РоС -Д) (рисД4).
Перейдем к определению перемещения средней поверхности пластины с учетом ползучести. Воспользуемся цилиндрической системой координат и стандартными для нее обозначениями. Будем так же предполагать, что все физико-механические характеристики материала пластины постоянные. Тогда уравнения состояния для пластины примут вид
Функции Ч (Ч) - ь , Ч2( г)НД представляют собой независимые решения однородного дифференциального уравнения (2.47). Тогда общее решение неоднородного уравнения (2.47) будет
Теперь удовлетворяя граничному условию (2.48) и учитывая, что в центре пластины перемещения должны быть конечными величинами, окончательно будем иметь: 2 ЕЛ yl\HV (2.51) р Ov.,0 П _. І--І 1. i -9i J pK.typ. iOU Отметим, что перемещение средней поверхности пластины можно получить применяя принцип соответствия, поскольку материал пластины однородно-стареющий, а если материал пластины неоднородно-стареющий, то есть возраст пластины зависит от координаты t-ъ , тогда нахождение точного выражения для перемещений весьма проблематично, так как принципы соответствия, справедливые в однородном случае, здесь неприменимы, из-за некоммутативности операторов по времени и координатам. Теперь, применяя принцип соответствия, из (2.15) находим перемещение граничных точек полупространства ич 0г ) с учетом ползучести материала в следующем виде:функция старения, E2 = Cov\si и 2.= Const - модуль упруго-мгновенной деформации и коэффициент Пуассона, X - возраст материала полупространства.
Теперь, подставляя значение ич О1-) )) и (г,іг) из (2.51) и (2.52) в условие контакта получим относительно неизвестных контактных напряжений интегральное уравнение Вольтерра второго рода функции Лежандра первого рода, &П)к - символ Кронекера. Теперь подставим выражения Р (ЛЛ),Х(лО из (2.54) и (2.55) в (2,53), воспользуемся соотношением (1.80) и условием ортогональности присоединенных функций Лежандра (1.83) гл.1. После элементарных выкладок по известной процедуре относительно коэффициентов X rw [і) (wv = О, і, 2...) получим следующую бесконечную систему интегральных уравнений Вольтерра:
Теперь представим (2.56) в канонической форме.С этой целью рассмотрим (2.56) как интегральное уравнение Вольтерра для функции Xm(t) с ядром Кг (i -v Эег , X + эеаУ і: Xm() -ІХт(гЖ: (ЬэегЛ х2)сДг r cm( ) to 0 (t)»Mt)- (I-L,) ; R- пХДО. Разрешая это уравнение относительно Xw (4) окончательно получим следующую бесконечную систему интегральных уравнений Вольтерра: QQ (О (2.57) Wit . J г Ьу (4)- H ,o(XoW f F(t ,u) Хо(ч) A u Кроме того, для определения коэффициента X0(t) получим соот ношение
Это и означает, что бесконечная система (2.57) при любом значении физического параметра Д квазивполне регулярна. Легко показать, что свободные члены бесконечной системы (2.57) стремятся к нулю при vv\ — схо .
Для получения числовых результатов, решение бесконечной системы интегральных уравнений Вольтерра (2.57) при правой части В m (Д) обозначим через д vn ("Ь ) , а при правой части- J yr o -через )Ст 00 щ Тогда коэффициенты Am {ї) мозшо представить в виде X«(t)-X, tt) + X« ( [X.W fF(t,u)X.W u] (2.60)
После того, как из бесконечной системы (2.57) при правых частях, равных B wv(.U и - R-w, о; определены Xwv W И Xw»00» коэффициент:: Х00 определится из интегрального уравнения Воль-терра (2.61). Причем для определения XoCl) можно применить метод Крылова-Боголюбова. Сущность этого метода заключается в том, что в интегральных уравнениях типа Вольтерра верхнему пределу нужно дать последовательно возрастающие контактные значения tjj ta, . . . . t Затем следует использовать теорему о среднем.
Относительный возраст пластины зе полагался равным нулю, т.е. T-j = to. При этом на пластину действует равномерно распределенная радиальная сила (которая затем остается постоянной во времени), приложенная в моменты времени т0 = ik , 0 28,т0 = 2 суткам. Решение бесконечной системы интегральных уравнений Вольтер-ра (2.57) проводилось на ЭШ EC-I022, а затем, по формуле (2.54), вычислены контактные напряжения.
Результаты вычислений приведены в виде графиков(рис.15-17). Анализ численных результатов позволяет сделать следующие выводы, связанные с разновозрастностыо контактирующих тел. а) Контактные напряжения при фиксированных значениях воз растов пластины и основания по времени увеличиваются по сравне нию с упругой задачей. Причем, когда значение возрастов контак тирующих тел близко друг к другу, контактные напряжения увели чиваются медленнее и наоборот. б) При фиксированном моменте времени контактные напряжения в зависимости от возрастов увеличиваются и, чем больше разница между возрастами, тем больше значение контактного напряжения.
