Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Постановка задачи 12
1.1. Исходные соотношения для трехмерного тела.. 12
1.2. Плоская деформация 15
1.3. Обобщенная плоская деформация. Два варианта 16
1.4. Плоское напряженное состояние 20
1.5. Внешняя задача 23
Глава 2. Сочетание метода упругих решений плоской упруго-пластической задачи с методом потенциала 25
2.1. Интегральные представления перемещений и деформаций 26
2.2. Граничные значения деформаций и интегральное уравнение 28
2.3. Вывод формул для неинтегральных слагаемых.. 32
2.4. Вывод формулы для торцевых моментов при обобщенном плоском состоянии 38
Глава 3. Решение интегрального уравнения. численные 40
3.1. Алгоритм вычисления двумерных интегралов. Сведение к одномерным интегралам 40
3.2. Вычисление одномерных интегралов 48
3.3. Алгоритм сведения интегрального уравнения к системе алгебраических уравнений 56
3.4. Решение системы уравнений 58
3.5. Алгоритм вычисления деформаций 61
3.6. Учет собственного вектора при решении системы 63
Глава 4. Расчет плоских концентраторов 72
4.1. Решение тестовой задачи и анализ погрешности 72
4.2. Влияние двухосности нагружения на концентрацию деформаций в сварных швах 78
Заключение 90
Литература
- Обобщенная плоская деформация. Два варианта
- Граничные значения деформаций и интегральное уравнение
- Алгоритм сведения интегрального уравнения к системе алгебраических уравнений
- Влияние двухосности нагружения на концентрацию деформаций в сварных швах
Введение к работе
Настоящая работа посвящена разработке методов решения плоских упругопластических задач в различной постановке с силовыми граничными условиями.
Актуальность проблемы обусловлена широким распространением элементов строительных конструкций, в которых удовлетворяются условия плосконапряженного или плоскодеформированного состояния. Общая тенденция в практике строительства - наиболее полно использовать прочность материалов в конструкциях. Это приводит к допущению пластических деформаций в зонах концентрации напряжений. Весьма актуальна, в частности, задача определения коэффициента концентрации деформаций в зоне сварных швов при их различной геометрии, в случае расчета на малоцикловую усталость.
Среди универсальных методов решения задач упругости и пластичности в основном выделяются метод конечных разностей и метод конечных элементов. Большей универсальностью при решении упруго-пластических задач для тел сложной формы обладает метод конечных элементов.
Первые сообщения о решении плоских упругопластических задач методом сеток появились в 60-х годах /^9,15^7 с примерами о наг-ружении прямоугольной пластинки и пластинки с круглым отверстием. В дальнейшем метод конечных разностей получил определенное развитие как вариационно-разностный метод в криволинейной системе координат ^~33,52_7.
Метод конечных элементов получил значительно болыше распространение. Среди первых работ можно отметить работы зарубежных авторов /"66,53,63^7. Расчет в них производился методом пошагового нагружения. В развитие b3J? в г.Горьком был создан комплекс программ по решению двумерных нелинейных задач /~45,16_7. Среди последующих работ можно отметить /""32JT п0 расчету пластин
с использованием метода переменных жесткостей, /~62_7 с применением метода секущих модулей. О создании универсальной программы решения плоской задачи термопластичности сообщается в ~I4j» В іЛ34-7 решается задача для прямоугольной пластинки с использованием прямоугольного конечного элемента и метода переменных параметров упругости. В lj описан набор программ, решающих упруго-пластическую задачу методом начальных напряжений. Метод начальных деформаций на основе деформационной теории изложен в /~47_7. В C^nj описана программа решения плоской задачи теории малых упругопластических деформаций с применением метода Ньютона-Раф-сона. Основные методы решения упругопластических задач на основе метода конечных элементов можно найти в монографиях Зенкевича /TZ0 J и Одена Z"39_7.
В целом по указанным работам можно сказать, что хотя в теории метода конечных элементов разработано большое количество элементов с высокой степенью точности, при практической реализации на ЭВМ в основном используется простейшие треугольный и прямоугольный элементы. Как известно /"*48_7, в этих элементах точность представления напряжений и деформаций порядка п - характерного размера элемента. О проблемах повышения точности весьма интересный вывод содержится в работе ^~54J7, в которой сравнивались два алгоритма. Один построен на треугольном конечном элементе с тремя узловыми точками и постоянной деформацией. Во втором алгоритме используется шестиузловой треугольник с линейной аппроксимацией деформаций. На примере задачи о растяжении полосы с выточкой показано, что в новом алгоритме за некоторое уточнение решения приходится платить большим перерасходом машинного времени, в связи с чем предпочтение отдается старому методу.
Перейдем к обзору работ, связанных с методом потенциала. Наиболее полно теоретические вопросы этого метода в теории упру-
гости нашли отражение в монографии /~49J7\ Метод потенциала сводит упругю задачу к решению сингулярного интегрального уравнения, при этом размерность области определения неизвестных понижается на единицу по сравнению с размерностью задачи. Важным преимуществом метода потенциала является возможность повышения точности решения путем повышения точности аппроксимации исходных соотношений без увеличения размерности матрицы алгебраических уравнений. Развитие численных алгоритмов на основе метода потенциала отражено в обзорах C^1%1^J и монографиях /~42,П,43_7. Особо следует отметить работы /^23,6^7, в которых разработан алгоритм высокой точности и погрешность в определении напряжений в плоской задаче имеет порядок n .
Применение сингулярных интегральных уравнений в плоских уп-ругопластических задачах в основном получило развитие за рубежом. Вообще, метод потенциала в зарубежных работах (называемый методом граничных элементов) основывается на интегральном тождестве Сомилиана, которое связывает поверхностные усилия и перемещения тела. Первые результаты для трехмерной упругости были получены в 1969 г.Крузе Z"6I-7* в 1971 г* Сведлов и Крузе ~46J сформулировали теоретические положения о применении метода граничных элементов в решении задач пластичности. Все последующие работы основывались на положениях этой статьи. Все соотношения между функциями записывались в приращениях, применялся пошаговый метод нагружения. В статье не были представлены соотношения для начальных напряжений и деформаций, необходимые при пошаговом методе. Эти выражения были опубликованы Мендельсоном Z"64JT в 1973 г. для двух- и трехмерных тел, но с ошибкой в случае плоской деформации, которую исправил Мукержье CoJ только в 1977. Ни один из указанных авторов не дал правильное выражение для деформаций во внутренних точках, которое связано с дифференцированием объ-
ємного интеграла с особенным ядром. В 1978 г. Бгои /~60_7 опубликовал правильные выражения для таких интегралов в трехмерном случае. Наконец, в 1979 г. Теллес и Бреббиа ^~67_7 представили полное правильное изложение применения метода граничных элементов в двух- и трехмерных упругопластических задачах. В нескольких работах Банержье bb-bQj приводятся численные примеры решения плоских задач и сравнение с методом конечных элементов. В C^bJ отмечаются следующие преимущества метода граничных элементов: I) дискретизация границы и области независимы; 2) порядок матрицы системы уравнений зависит только от числа граничных элементов; 3) в процессе расчета матрица остается неизменной; 4) объемные интегралы распространяются только на зоны пластичности. На задачах о растяжении полосы с выточками и с отверстием авторы провели сравнение с методом конечных элементов и отдали предпочтение методу граничных элементов. В работе ^&J в рамках теории течения с трансляционным упрочнением приведен расчет с циклическим нагружением полосы с круглым отверстием. Сравнение с методом конечных элементов показало большее быстродействие программы. Авторы отмечают меньшую трудоемкость метода в задачах со сравнительно небольшой зоной пластичности.
В указанных работах область триангулировалась, граница заменялась ломаной линией. Начальные напряжения в пластических зонах считались кусочно-постоянными. Функции на границе принимались кусочно-постоянными или кусочно-линеиными. Следует отметить, что анализ, проведенный в ~>J для упругой задачи, показал, что замена гладкой границы ломаной не позволяет получить решение с точностью, превышающей по порядку п -характерного размера отрезка границы. Как отмечалось еще в докладе ^~22_7, при использовании тождества Сомилиана нельзя вычислять прямое значение деформаций, исходя из их интегрального представления. В указанных выше рабо-
тах иностранных авторов некоторые компоненты деформаций на границе определялись численным дифференцированием, что, конечно, ограничивает возможности метода.
Подводя итог, можно сказать, что метод интегральных уравнений успешно конкурирует с методом конечных элементов при решении упругопластических задач и в некоторых аспектах имеет перед ним преимущество. Вместе с тем реализация этого метода как метода граничных элементов обладает рядом недостатков, которые можно преодолеть, исходя не из тождества Сомилиана, а из потенциала простого слоя, ^ндаментом для применения этого метода в задачах пластичности является отмеченный выше /""23,6__7 алгоритм решения плоской упругой задачи, превосходящий по точности все известные алгоритмы. Следует отметить, что такой подход был разработан в работах [T^y^J применительно к упругопластической осесимметрич-ной задаче и был реализован в работе *2BJ» Однако в этом алгоритме двумерные интегралы учитывающие нелинейные члены, вычислялись по простейшим кубатурам, не учитывающим особенности в поведении ядер, и алгоритм в целом не был достаточно эффективным.
Потенциал простого слоя применяется во второй основной задаче, когда на границе тела задаются усилия. Если задача не обладает двумя осями симметрии, запрещающими жесткое смещение тела, в решении интегрального уравнения будет присутствовать собственный вектор. Это приводит к почти вырожденной матрице системы уравнений. При однократном решении системы прямым методом Гаусса никакой потери точности не происходит /*Б_7, однако в итерационных процессах при решении упругопластических задач плохая обусловленность матрицы может повлиять на сходимость. Поэтому необходима разработка специальных мер, не допускающих потери точности в решении.
Выполняя работу автор преследовал следующие цели:
разработать алгоритм решения плоских упругопластических задач на основе метода потенциала простого слоя с сохранением такой отличительной особенности этого метода, как простота и малая трудоемкость в подготовке исходных данных при ориентации алгоритма на расчет геометрических концентраторов;
расширить класс решаемых двухмерных задач, включив в рассмотрение обобщенное плоскодеформированное состояние;
исследовать с помощью разработанной программы коэффициенты концентрации деформаций в реальных сварных соединениях металлоконструкций.
Новизна работы заключается в решении указанных задач. На защиту выносятся следующие основные положения:
Алгоритм учета влияния объемных сил при решении плоской упругой задачи методом потенциала, позволяющий использовать в пластических задачах метод упругих решений.
Алгоритм сведения пластической задачи в условиях обобщенной плоской деформации к решению задачи в условиях плоской деформации.
Алгоритм нейтрализации влияния собственного решения интегрального уравнения второй основной задачи теории упругости.
Расчет по созданной программе напряженно-деформированного состояния в зоне сварного шва и исследование влияния на концентрацию деформаций двухосности прикладываемой нагрузки.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе формулируется математическая постановка задачи в рамках теории малых упругопластических деформаций и рассматриваются три варианта плоской задачи: плоская деформация, обобщенная плоская деформация, отличающаяся наличием продольной деформации, удовлетворяющей гипотезе плоских сечений, и плосконапряженное состояние. Для каждого варианта получены все соотноше-
ния, применяемые в методе упругих решений. Отдельно рассмотрена внешняя задача с ненулевыми напряжениями на бесконечности.
Вторая глава посвящена выводу всех зависимостей, необходимых при решении упругой задачи при наличии объемных сил. Получены формулы для ядер, интегральные выражения для перемещений и деформаций, неинтегральные слагаемые для граничных значений тех же величин. Получено основное интегральное уравнение с нелинейной правой частью.
В третьей главе последовательно описываются все основные численные алгоритмы, примененные при разработке программы. Программа написана на языке ФОРТРАН, применительно к системе ОС/ЕС. Излагается алгоритм получения частного решения упругой задачи при наличии объемных сил, основные особенности которого состоят в следующем. Частное решение есть двумерный интеграл от объемных сил с известным особенным ядром. Область интегрирования разбивается на четырехугольные элементы. Используя допущение о постоянстве объемных сил в пределах элемента интегрирования и свойство однородности ядра, интеграл по площадке сводится к интегралу по контуру, для которого построена точная квадратурная формула. В кратком изложении представлены алгоритмы численного решения интегрального уравнения и вычисления деформаций после определения плотности потенциала. В конце главы обсуждаются проблемы, возникающие в связи с неединственностью решения второй основной задачи теории упругости, и на основе матричного представления интегрального уравнения предлагается алгоритм, исключающий влияние собственного вектора на решение системы.
В четвертой, последней, главе представлены результаты расчетов по созданной программе. Вначале описывается тестовая задача, для которой получено теоретическое решение. Показывается, что точность определения частного решения пропорциональна квадрату
характерного размера сетки разбиения области интегрирования. В последнем параграфе приводится решение задачи об определении коэффициента концентрации деформации в стыковом сварном шве и обсуждается возможность применения полученных результатов при расчете сварного шва на малоцикловую усталость при сложном напряженном состоянии вне шва.
Основное содержание работы опубликовано в работах /"29,30, 357.
Обобщенная плоская деформация. Два варианта
Естественным обобщением случая плоской деформации призматических тел является отказ от запрещения продольных перемещений торцов стержня. В литературе /""40JT такое состояние, характеризуемое условиями для перемещений ЦЦ щ(хиХг)ч Uz = uJ[xitXi), =и,(х3), (1.20) называется обобщенной плоской деформацией.
Дальнейшим шагом в этом направлении является допущение возможности для поперечного сечения бруса поворачиваться во время деформирования. В этом случае ограничения удобнее формулировать в терминах деформаций, а не перемещений. Будем считать состояние обобщенным плоскодеформированным, если 1) деформации в теле не зависят от координаты Хъ ; 2) продольные деформации следуют закону плоских сечений 6 =80 + 9Є,Х, +дЄгХг , « = 6і, =0, (I.2I) гДе So дв{ 96г. не зависят от координат. Такое состояние возникает в длинных призматических телах с такими же условиями для сил на боковой поверхности, как и при плоской деформации, и с некоторыми продольными усилиями на торцах.
При постановке задачи возможны два подхода. Наряду с усилиями на боковой поверхности можно считать заданными продольное усилие Л/ и моменты М1 , АІ2. . Тогда деформация to и кривизны Ж\ , 962. в (I.2I) находятся в процессе решения задачи в целом. Другой подход основывается на предположении, что пластические деформации развиваются в небольшой зоне около концентратора и что в поперечном сечении на некотором удалении от концентратора су-ществует область номинальных напряжений Оц , Оп , 0 , которые линейно зависят от координат и однозначно определяются внешними нагрузками (или сами их определяют). В этом случае можно считать, что заданы величины to » 96 , дг которые однозначно выражаются через номинальные напряжения по закону іука. Продольные усилия Л/ , ГЦ , Лz находятся из решения задачи.
Рассмотрим процедуру сведения задачи определения обобщенного шгаскодеформированного состояния к задаче о плоской деформации. Более сложным является случай задания продольных усилий. Представим решение в виде суммы двух состояний
Здесь Ьц - решение задачи с заданными усилиями на боковой поверхности при условии плоской деформации ( 3з = которое находится методом потенциала. На основании этого решения находится осевая сила Л/ , которая обеспечивает неподвижность торцов,
Переход от интеграла по площади поперечного сечения У к контурному интегралу по границе S осуществляется на основании интегральной теоремы Гаусса.
Будем считать, что координатные оси С/Х и UXt направлены по главным центральным осям инерции поперечного сечения. Тогда главные моменты от напряжения (J,, выражаются интегралом V V
Последний интеграл в (1,23) также: можно преобразовать в контурный, для этого необходимо использовать представление перемещений Ul через вспомогательные функции т . Подробно об этом преобразовании говорится в следующей главе, 2.4.
Для определения деформаций tj- при заданных на торцах уси лиях N » М Мг имеем простейшую задачу теории упругости. А именно: призматический брус со свободной от усилий боковой по верхностью и с заданными на торцах осевой силой W - Л/ и момен тами Ее решение CbJ имеет вид Л Л А г\ Л Л Л ii = U\ = гз = U « = и = зз , (1.24) « = р1Г" " " Fj - с т ЭСг. » (1.25) 3« = Э1г — y(l + v) „. (1.26) Здесь I ,Іі - моменты инерции площади сечения относительно осей UXi и L/Xi соответственно. При их вычислении будем пользоваться формулой -ч J и У =JT Х П ир (суммирования нет). При решении упругой задачи в методе упругих решений необходимо учитывать фиктивные поверхностные и объемные силы. После определения деформаций (1.22) фиктивные силы на боковой поверхности определяются по формулам плоской деформации, "Объемные" силы, как и при плоской деформации, параллельны плоскости и Хл Хг .
Граничные значения деформаций и интегральное уравнение
При стремлении точки р к точке границы Ц0 деформации у(р) стремятся к предельному значению д(р). При этом одномерные интегралы становятся сингулярными, и переставлять знак предела со знаком интеграла нельзя. Имеет место соотношение (2.21) где n(fy) вычисляются по формулам (2.19), в которых одномерные интегралы понимаются в смысле главного значения; (ЦуД есть некоторое неинтегральное слагаемое, при получении которого будем исходить из двух соотношений: где Ф(рл) " произвольное сингулярное ядро, и (\фчА His = П П і (2-23) где fy , Пг. - компоненты нормали к границе Л в точке а0 , причем нормали - внешней по отношению к рассматриваемой области V . Вывод формулы (2.23) приведен в следующем параграфе, Следствием (2.23) является формула
Появление [En)s удобно трактовать на языке обобщенных функций CMJ Наряду с обычными функциями f(t) длины дуги t границы S » можно ввести в рассмотрение обобщенную функцию О (с) - функцию Дирака, характеризуемую соотношением \}U)S(i0)dt=flQ. (2.26) Пусть р-»0о Єр и точка О0 имеет ординату Со . Тогда, например, формулу (2.24) можно трактовать следующим образом. Функция (РцР ?) "Р1 Р Чо стремится к обобщенной функции где (,) = Фі(ч)Л J есть классическая функция от с с бесконечным разрывом при с = to . При интегрировании (р второе слагаемое в (2.27) дает, согласно (2.26), неинтегральнуго добавку (2.24). Наглядной иллюстрацией такого подхода является следующий пример.
Пусть V есть полуплоскость U 0 в системе координат хОU, граница S - ось Ох , и точка р стремится к точке Q0 (0,0) , имея координаты p(l/, ). Тогда функция (р2 согласно (2.16),запишется в виде
Эта функция - один из классических примеров в литературе по обобщенным функциям, которая стремится к д(х) при - + 0 .
Остановимся теперь на выводе выражений для j)k . С этой целью надо продифференцировать интегралы (2.19). дифференцируя ядра QijK (2.20) этих интегралов, получаем новые ядра, имеющие особенность порядка 1" при Q- p . Это означает, что одномерные интегралы имеют смысл только для параметрических точек р , не лежащих на границе S Двумерные интегралы становятся сингулярными. При этом имеет место соотношение
Двумерный интеграл в этой формуле понимается в смысле главного значения. Неинтегральные слагаемые (м к), вычисляются по определенным формулам, которые обосновываются в теории потенциала. При их выводе будем пользоваться соотношениями Именно это интегральное уравнение и решается при каждой итерации метода упругих решений. Значения бц и Kt берутся из предыдущего приближения.
Докажем формулу (2.23): Предварительно выведем соответствующее соотношение в локальной системе координат.
Зададимся некоторой точкой границы о0 и поместим в нее начало локальной системы координат. Ось 5с4 направим по внешней нормали, ось Хг - по касательной (рис.2.1). Связь компонентов тензора (pL k в глобальной системе координат с компонентами фтп в локальной системе координат записывается в виде Фик =ФтпЄ акС , (2.42) где Пг. ПІ есть матрица поворота координатных осей. Связь между ц)ць и 1L , ввиду их тензорной природы, имеет тот же вид (2.13), что и в глобальной системе координат.
Как известно, неинтегральное слагаемое предельного значения интеграла при р — а0 может быть непосредственно вычислено, если интегрирование ограничить - окрестностью точки Q0 . При этом точку р можно расположить на нормали. Значение предела не изменится, если - окрестность QQ криволинейной границы заменить прямолинейным отрезком с той же нормалью П . Именно это интегральное уравнение и решается при каждой итерации метода упругих решений. Значения бц и Kt берутся из предыдущего приближения.
Докажем формулу (2.23): Предварительно выведем соответствующее соотношение в локальной системе координат.
Зададимся некоторой точкой границы о0 и поместим в нее начало локальной системы координат. Ось 5с4 направим по внешней нормали, ось Хг - по касательной (рис.2.1). Связь компонентов тензора (pL k в глобальной системе координат с компонентами фтп в локальной системе координат записывается в виде Фик =ФтпЄ акС , (2.42) где Пг. ПІ есть матрица поворота координатных осей.
Связь между ц)ць и 1L , ввиду их тензорной природы, имеет тот же вид (2.13), что и в глобальной системе координат.
Как известно, неинтегральное слагаемое предельного значения интеграла при р — а0 может быть непосредственно вычислено, если интегрирование ограничить - окрестностью точки Q0 . При этом точку р можно расположить на нормали. Значение предела не изменится, если - окрестность QQ криволинейной границы заменить прямолинейным отрезком с той же нормалью П . Пусть К(рА) - функция, зависящая от разности координат точек р и а , которая в нуле имеет особенность порядка X и при р+0, имеет непрерывные частные производные по всем координатам. Тогда существуют все частные производные первого порядка по декартовым координатам точки р в области у интеграла
Алгоритм сведения интегрального уравнения к системе алгебраических уравнений
Остановимся на критерии перехода от простейших формул интегрирования, описанных в начале предыдущего параграфа, к точному алгоритму интегрирования ядер. В программе используется следующая процедура.
Пусть 01 - расстояние от центра и площадки Д V до ее первой вершины (рис.3.4). Опишем вокруг и окружность радиуса К0 СХ , где к0 1 некоторая константа. Если параметрическая точка О попадает в очерченный круг, то интегралы вычисляются по точным формулам. Вне этого круга используются простейшие кубатур-ные формулы. Для определения Ко проводились численные эксперименты на модельных задачах. В следующей главе, 4.1,приведен график зависимости погрешности вычисления интеграла от л0 для одной тестовой задачи. Окончательно принято
Алгоритм сведения интегрального уравнения к системе алгебраических уравнений Уточненный алгоритм численного решения интегрального урав нения (3.40) в упругой постановке задачи был развит в работах Ю.Л.Бормота / 23,6_7. В таком же виде этот алгоритм используется в программе решения упругопластической задачи. Для полноты изложения ниже приводятся основные положения этого алгоритма.
В целях удобства, изложение ведется применительно к одному интегральному уравнению со скалярными ядром и плотностью. Переход к векторному уравнению ничего принципиально нового в алгоритм не вносит.
Граница л) области разбивается на/V отрезков , центры которых обозначаются pL . Если потребовать, чтобы интегральное уравнение удовлетворялось только в этих точках pi , то получается система равенств /%) +J %.#($) /(Рк). k=t..Д (3.28) или М+ Г[%4)Н =/Ы- (3-29) си J Mi Чтобы получить систему линейных уравнений относительно JU; = Я-(рс) необходимо интеграл представить в виде ції где коэффициенты Л І определяются на основании некоторых квадратурных формул для интеграла по отдельному отрезку границы/! . Для получения формулы с точностью порядка (Д) необходимо функ-цию ]А в пределах аппроксимировать квадратной параболой с использованием значений Яч-ь мЦы После вынесения этих значений из под знака интеграла, оставшееся выражение можно проинтегрировать численно. В случае l k это не вызывает затруднений, посійіьку подынтегральное выражение ограничено. Когда же і - К полученный интеграл является сингулярным. В работе C SJf доказывается, что для таких интегралов с расположением особой точки в центре отрезка применимы квадратурные формулы Гаусса с четным числом узлов. В частности при аппроксимации JJL параболой достаточно использовать двухточечную формулу Гаусса.
Специфические трудности встречаются при численном решении сингулярных уравнений для областей с выступающими углами. При этом предполагается, что приложенные нагрузки таковы, что напряжения остаются ограниченными в районе угла. Такие задачи получаются при вьщелении рассчитываемого узла из конструкции с помощью прямолинейных разрезов. В "&J показано, что задаваясь ограниченными плотностями в районе угла невозможно получить ограниченные напряжения, что равносильно появлению в углах неучтенных сил, а это может привести к искажению напряженного состояния во всей области. Порядок погрешности решения вместо U(h j становится 0(h) , где h - характерный шаг разбиения границы. При этом сгущение узловых точек в районе угла не является достаточно эффективным средством. Значительно больший эффект дает прием, заключающийся во введении так называемых "свесов" - гладких продолжений каждого из двух участков границы за угловую точку, и распространении интегрирования на эти свесы. Значения плотностей экстраполируются по трем ближайшим узлам. Длина свеса пропорциональна длине отрезка, примыкающего к углу. Таким образом особенности в поведении напряжений как бы выносятся за пределы области в район концов свесов.
Решение системы уравнений
Применив алгоритм построения матрицы, описанный в предыдущем параграфе, и алгоритм вычисления двумерных интегралов, вме 59 сто уравнения (2.40) получаем систему линейных уравнений, которую можно записать в виде /)X=F, (3.30) где А - матрица, Л - столбец неизвестных плотностей и г - столбец правых частей. Матрица А полностью заполнена и имеет размерность где П - число отрезков, на которые разбивается граница области занятой телом. С каждой узловой точкой связаны два уравнения в (3.30). Присутствие неинтегральных слагаемых в левой части уравнения (2.40) проявляется в добавлении единицы к элементам главной диагонали А . Все остальные элементы матрицы стремятся к нулю при уменьшении размеров элементарных отрезков границы. Такая структура матрицы позволяет с успехом применять для решения системы методы типа метода Гаусса. Проблемы, возникающие в связи с плохой обусловленностью матрицы, обсуждаются в З.б.
Влияние двухосности нагружения на концентрацию деформаций в сварных швах
В этом параграфе приведено решение задачи о двухосном растяжении симметричного стыкового сварного шва. Итоговые результаты представлены в виде, удобном для использования в расчетах на малоцикловую усталость металлических конструкций.
В течение последнего десятилетия в отечественных нормах по энергомашиностроению /"38J7 для оценки малоцикловой усталостной прочности применяются методы расчета, учитывающие особенности работы материала за пределом упругости и основанные на условиях местной прочности в зонах конструктивной концентрации напряжений. В последнее время такой подход получил развитие(в основном экспериментальный) применительно к сварным соединениям строительных металлоконструкций / 31,18 /. Характерной особенностью сварных соединений является неоднородность прочностных СВОЙСТВ материалов отдельных зон CttJ (металл шва, переходная зона, основной металл) и наличие остаточных напряжений. Помимо этого возможно перераспределение местных упругопластических деформаций в зависимости от числа циклов нагружения. Полный учет этих факторов значительно усложняет теоретическое определение уровня местных деформаций, однако данные известных экспериментальных исследований позволяют упростить постановку задачи.
Экспериментальное изучение зависимости коэффициента концентрации деформаций в зонах сварных швов от числа циклов нагружения "IQJ7 показало, что материалы переходных зон сварных соединений обладают слабо выраженными циклическими свойствами. Сделан вывод, что для целого ряда строительных сталей различных классов прочности кинетику местных упругопластических деформаций можно не учитывать.
В диссертационной работе В.В.Евдокимова 4$J приводилось прямое сопоставление теоретических и экспериментальных данных. Теоретический расчет выполнялся на ЭВМ по описанной в данной работе программе. Пластические характеристики считались однородными, остаточные напряжения не учитывались,рассматривался случай плосконапряженного состояния. Сделан вывод / 19_7, что теоретические и экспериментальные данные достаточно хорошо (расхождение не превышает Ь%) согласуются между собой, если в расчет закладывать прочностные характеристики переходной зоны. Эксперимент проводился методом оптически активных покрытий с замером деформаций на торце реального образца. Определялась разность главных деформаций ц - 1г График на рис.4.2, заимствованный из цитируемой диссертации / 19_7, является хорошим экспериментальным обоснованием как разработанного алгоритма, так и принятой схемы расчета. Приведенные выводы также согласуются с другими данными / 24,50__7 о малом влиянии остаточных напряжений на малоцикловую усталость.
Таким образом, коэффициенты концентрации деформаций, используемые при оценке соединения на малоцикловую усталостную прочность, можно определять из решения упругопластической задачи для сварного шва без учета неоднородности материала и остаточных напряжений.
Необходимо отметить, что большинство экспериментов проводится в условиях одноосного нагружения (растяжение-сжатие или изгиб), реализация же многокомпонентного нагружения связана с существенными трудностями. В то же время равномерные нагрузки вдоль и поперек шва вызывают обобщенное плоскодеформированное состояние, что позволяет производить расчет по разработанной программе. По-видимому, рационально теоретические расчеты сочетать с экспериментальными данными, а именно: абсолютно значение коэффициента концентрации для одноосноного нагружения определять по методикам, обоснованным испытаниями на малоцикловую усталость, а относитель-. ное влияние продольных усилий учитывать на основании теоретичес ких расчетов.
Безусловно, что и сама возможность теоретическим путем определять коэффициенты концентрации за пределом упругости имеет большое практическое значение. Номограммы по определению таких коэффициентов (см.,например, 48J) не могут охватить всего разнообразия геометрий конструктивных концентраторов, а описанную программу можно оперативно использовать в каждом конкретном случае.
Ниже приводятся результаты расчетов для симметричного стыкового сварного шва между двумя листами, подверженного двухосному растяжению. Геометрия поперечного сечения шва изображена на рис.4.3 (размеры в миллиметрах). Форма валика шва аппроксимировалась дугой окружности, которая однозначно определяется высотой и шириной валика.
Основным металлом считалась сталь І6Г2АФ (модуль Юнга Е = 2,25.КгМПа, V =0,3 бт =465 МПа). В расчет закладывались данные о диаграмме упрочнения материала переходной зоны /"18_7. В отличие от основного металла материал переходной зоны не обладает площадкой текучести и переход в пластичность происходит при более высоком уровне напряжений: 6S = 530 МПа. В работе /"18.7 приводится диаграмма одноосного растяжения б , которая в расчетах аппроксимировалась кусочно-линейной зависимостью с узловыми значениями, приведенными в таблице.
