Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Учет шероховатости поверхности, взаимодей ствующей с разреженным газом, с помощью модели гаус-совского случайного поля 11
1. Постановка задачи, основаная на модели гауссовского одно родного изотропного случайного поля 12
2. Метод учета шероховатости в аэродинамическом расчете с помощью разложения континуальных интегралов в ряд Раиса . 17
3. Численные методы учета шероховатости для марковских процессов первого порядка и соответствующих им случайных полей 20
4. Тестовой расчет факториальных моментов числа нулей для процесса Уонга 23
5. Модель рассеяния на шероховатой поверхности для расчета невыпуклых тел и течений в сосудах и каналах 35
6. Влияние шероховатости стенок на проводимость канала 39
Глава 2. Фрактальная модель шероховатости 47
1. Построение пространственной фрактальной модели шеро ховатой поверхности, достаточно просто реализуемой в численных аэродинамических расчетах 49
2. Установление связи параметров модели с характеристиками шероховатости 51
3. Вычисление вероятностных характеристик числа превышений уровня фрактальной кривой 52
4. Аэродинамический расчет коэффициентов режима и коэффициентов обмена импульсом и энергией на фрактальной шероховатой поверхности 58
Глава 3. Исследование течений разреженного газа в переходном режиме на базе теории локального взаимодействия 61
1. Постановка задачи обтекания тел потоком разреженного газа в теории локального взаимодействия 62
2. Зависимость коэффициентов режима от шероховатости поверхности 67
3. Зависимость коэффициентов режима от числа Маха 71
4. Зависимость коэффициентов режима от параметров режима- числа Рейгюльдса и температурного фактора 76
5. Точные решения дифференциальных уравнений смешанного
6. Повышение точности аэродинамического расчета путем оптимального выбора коэффициентов режима и метода их нахождения по экспериментальным измерениям аэродинамических характеристик 88
7. Обратные задачи восстановления формы для тел вращения с простым аналитическим выражением образующей 96
8. Экспериментальная проверка применимости теории локального взаимодействия в дозвуковом режиме 109
Глава 4. Применение теории локального взаимодействия к внутренним течениям разреженного газа с использованием методов нелинейной динамики 116
1. Определение границ областей устойчивости в пространстве параметров для течений в плоской щели и цилиндре на базе трехпараметрической аппроксимации коэффициентов обмена импульсом и энергией 116
2. Нахождение аттракторов и бифуркаций для течений в полости клина и в областях более сложной формы 125
Заключение 128
Список литературы по теме диссертации 129
Приложение
- Метод учета шероховатости в аэродинамическом расчете с помощью разложения континуальных интегралов в ряд Раиса
- Модель рассеяния на шероховатой поверхности для расчета невыпуклых тел и течений в сосудах и каналах
- Установление связи параметров модели с характеристиками шероховатости
- Зависимость коэффициентов режима от шероховатости поверхности
Введение к работе
Настоящая работа направлена иа решение важной проблемы построения адекватных физической реальности моделей взаимодействия атомов разреженного газа с поверхностями с помощью фракталов.
Актуальность темы определяется все возрастающими требованиями к точности и быстроте аэродинамического расчета, к учету многообразных физических и геометрических факторов таких, как: эффекты затенения, вариации режима обтекания, вращение объекта, изменение положения отдельных элементов конструкции в процессе полета, свойства поверхности и физические процессы на ней и др. Полученные результаты открывают возможность создания пакета прикладных программ для персональных компьютеров по решению задач, связанных с аэродинамическим расчетом в разреженном газе.
Изучаемые в диссертации проблемы взаимодействия разреженных газов с шероховатыми поверхностями актуальны также для вакуумной техники. Особенно перспективным является направление, связанное с течениями в узких каналах и щелях, возникающими в микроэлектроме-хаиических системах, например, в зазоре между магнитной головкой и поверхностью жесткого магнитного диска.
Постановка граничных условий для течений разреженного газа в каналах, сосудах, при взаимодействии газовых струй с поверхностями, а также при обтекании движущихся в газе тел, требует учета влияния многих факторов, среди которых один из наиболее существенных — шероховатость поверхности.
Цель настоящей работы состоит в решении комплекса взаимосвязанных задач аэродинамики разреженных газов:
1. Учет шероховатости поверхности при взаимодействии с разрежен
ным газом путем моделирования шероховатости как статистическими ме
тодами, так и с помощью фракталов.
Аэродинамический расчет в задачах внешнего обтекания с учетом шероховатости на основе модели теории локального взаимодействия, обеспечивающей наибольшую простоту аэродинамического расчёта.
Учет шероховатости для внутренних течений газа с помощью поправочных множителей в коэффициентах разложения в виде континуальных интегралов по реализациям случайного поля, моделирующего шероховатость.
Решение ряда прямых и обратных задач, связанных с разработкой простых эффективных методов аэродинамического расчета обтекания
тел разреженным газом в переходном режиме (между режимом сплошной среды и свободномолекулярным потоком) на основе развития математического аппарата теории локального взаимодействия.
5. Решение задачи об определении аттракторов и бифуркаций во внутренних течениях разреженного газа с помощью нелинейной динамики.
Для изучения возникающих проблем используются как аналитические методы — разложения в ряды, теория аппроксимации, асимптотические разложения, — так и численные методы (вычисление многократных интегралов). В задаче об учете влияния шероховатости поверхности на аэродинамические характеристики применяются также методы теории гауссовских случайных процессов.
Раскроем подробнее содержание диссертации. Работа состоит из четырех глав.
Первая глава посвящена проблеме учета шероховатости поверхности в аэродинамических характеристиках, в том числе в коэффициентах режима. Решение этой задачи представляет интерес как с точки зрения повышения точности аэродинамического расчета за счет более полного учета поправок на шероховатость, так и для развития общей теории взаимодействия разреженного газа с поверхностями. Шероховатая поверхность моделируется гауссовским однородным изотропным дифференцируемым случайным полем, что позволяет свести дело к одному основному параметру [54], [145]. Использование концепции разложения по номерам соударений [52], [168], дает возможность замкнуть постановку задачи на уровне коэффициентов обмена, не детализируя вид функции рассеяния. Появляющиеся континуальные интегралы вычисляются для марковских процессов первого порядка методом разложения в ряды Раиса [145], что значительно сокращает время счета по сравнению с методом аппроксимации континуальных интегралов конечнократными [52].
Одновременно, как показывает тестовой расчет, повышается точность вычислений в области скользящих углов падения, представляющей наибольшую сложность вследствие повышения вероятности выброса случайного поля за уровень траектории молекулы газа и увеличения разброса значений в методе Монте-Карло. Предлагаемая методика позволяет найти поправки на шероховатость в коэффициенты режима для произвольной линейной модели теории локального взаимодействия.
При изучении шероховатых поверхностей возникает проблема нахождения параметра шероховатости, который в аэродинамике разреженного газа определяется как корень квадратный из дисперсии тангенса угла наклона шероховатой поверхности к ее среднему уровню. Этот па-
раметр, не поддается прямому измерению методом профилограмм ввиду большого вклада микрошероховатости, которая, хотя и является мелкомасштабной компонентой шероховатости [145], [201], но иногда тем не менее вносит определяющий вклад в аэродинамические характеристики. Восстановление указанного параметра по данным аэродинамических экспериментов более целесообразно производить, исходя из измерений проводимости каналов для потока разреженного газа, поскольку эта величина сильнее зависит от шероховатости, чем аэродинамические характеристики обтекаемых тел. В связи с этим в первой главе диссертации исследуется также вопрос о влиянии шероховатости на проводимость каналов. Результаты этой части работы могут иметь самостоятельное значение для вакуумной техники и могут быть использованы при расчетах трубопроводов и других элементов вакуумных приборов и оборудования. Особенно актуально для практики в настоящее время изучение течений газов в очень узких каналах и щелях в связи с широким распространением в последнее время микроэлектромеханических систем [266] и различных фильтрующих устройств. Чаще всего режим течения в этих областях — переходный по числам Кнудсена, поэтому основным средством для расчета течений газов в таких областях является метод прямого статистического моделирования.
Во второй главе проблема моделирования и анализа шероховатой поверхности применительно к задачам взаимодействия разреженного газа с поверхностями решается методами фрактальной геометрии.
Фрактальные, т. е. обладающие свойством самоподобия, модели шероховатой поверхности эффективнее статистико-вероятностных прежде всего при учете вклада микрошероховатости (неровностей меньшего масштаба, наблюдаемых экспериментально [134]). Микрошероховатость вносит существенный вклад в аэродинамические величины, так как в аэродинамике разреженных газов определяющую роль играет не абсолютная высота точек поверхности над средним уровнем, а наклон шероховатой поверхности относительно ее среднего уровня ([54], [145]). Еще одно вычислительное преимущество фрактальных моделей перед статистико-вероятностными (в частности, перед гауссовской, рассмотренной в первой главе, и перед диффузионной [222]) состоит в простоте моделирования поверхности при расчете методом Монте-Карло и в возможности аналитического определения точки пересечения траектории атома газа с поверхностью.
Одна из фрактальных моделей (предложенная в работе Блэкмора и Чжоу в 1996 г. [229]) во второй главе обобщается и уточняется приме-
иительно к аэродинамике разреженных газов. При этом предлагается распространить эту модель с плоского на пространственный случай на основе представления высоты шероховатости z(x, у) над плоскостью среднего уровня в виде конкретного аналитического выражения, представляющего собой разложение в ряд по заданной системе функций. Однако области значений параметров изменены таким образом, чтобы полученная поверхность была дифференцируемой (строго говоря, фрактальная поверхность не может быть дифференцируемой, однако в данном случае фрактальные свойства имеет уже не сама поверхность, а ее производные). Это позволило произвести расчет аэродинамических характеристик взаимодействия разреженного газа с поверхностью без использования искусственного доопределения вектора локальной нормали к поверхности.
Установлена связь параметров фрактальной модели с важнейшими характеристиками шероховатости: дисперсией и корреляционными функциями как высоты поверхности, так и тангенса угла наклона к среднему уровню. Найдены также вероятностные параметры площади превышения поверхностью фиксированного уровня, которые используются в задачах о трении и разрушении шероховатых поверхностей. Произведен расчет коэффициентов обмена импульсом и энергией на шероховатой поверхности, обтекаемой свободномолекулярным потоком газа, с использованием фрактальной модели и произведено сопоставление с другими подходами по точности, времени расчета и другим вычислительным параметрам. Выявлено явное преимущество фрактальных моделей по сравнению с гауссовским однородным изотропным случайным полем в скорости расчета, особенно для модели, в которой возмояшо аналитическое определение точек пересечения уровня (например, траектории атома газа) с поверхностью.
В третьей главе рассматривается вопрос об аэродинамическом расчете обтекания твердой поверхности потоком разреженного газа на основе теории локального взаимодействия. Теория локального взаимодействия эффективно используется в гиперзвуковой аэродинамике разреженных газов на ранних стадиях проектирования летательных апаратов для расчета сил и моментов, действующих на обтекаемое тело (возможно и ее применение для расчета тепловых характеристик). Аэродинамический расчет в разреженном газе по этой теории позволяет избежать решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана со сложными граничными условиями. При этом, несмотря на полуэмпирическую основу теории, точность вполне удовлетворительна, например,
при эскизном проектировании. Данная теория используется в практике аэродинамических расчетов во всем диапазоне чисел Кнудсена с середины 70-х годов, начиная с работ, выполненных в Ленинградском университете [58], [44].
Третья глава диссертации является продолжением цикла работ, выполненных в лаборатории аэродинамики ЛГУ и посвященных развитию математической стороны теории локального взаимодействия, позволяющей расширить класс решаемых задач [146]—[172], [201]. Интерес к решению таких задач вызван широким применением локальных методов в аэродинамике и космической технике (на стадии эскизного проектирования) [6], [44], [168]. Произведенное в данной главе развитие математического аппарата теории локального взаимодействия позволяет еще более расширить область приложения, включая задачи о проникновении ударника с большой скоростью в твердую среду, и об аэродинамическом расчете объектов в дозвуковом потоке [168].
Решается ряд задач данной теории: о нахождении коэффициентов режима как теоретически, так и по экспериментальным данным; о влиянии шероховатости поверхности обтекаемого тела на аэродинамические характеристики; о построении с помощью решения обратной задачи класса тел, позволяющих достичь наибольшей точности и имеющих при этом простую форму, задаваемую аналитическими выражениями.
Наибольшее внимание в диссертации уделяется проблеме определения коэффициентов режима, содержащих всю информацию о физических параметрах задачи: числах Маха, Рейнольдса, Кнудсена, температурном факторе, параметре шероховатости и др. При определении коэффициентов режима в рамках теории локального взаимодействия используется два подхода. Либо они находятся экспериментально, путем обработки данных измерений аэродинамических характеристик некоторых стандартных тел, либо получаются теоретически, путем установления зависимости от каждого из физических факторов в отдельности.
В диссертации используются оба подхода, причем в первом случае дается критерий оптимального выбора формы обтекаемых тел с помощью разложения аэродинамических коэффициентов в естественный ряд по полиномам Лежандра [158], [168].
Во втором подходе известные результаты — о характере зависимости коэффициентов режима от чисел Маха [54], Рейнольдса и температурного фактора [109], [110] — преобразуются на основе математического аппарата теории локального взаимодействия [168] для линейной модели, обеспечивающей наиболее простой аэродинамический расчет.
Рассматривается методика решения прямых и обратных задач, связанных с аэродинамическим расчетом в разреженном газе. В частности, решаются задачи об оптимальном по точности и быстроте вычислении с помощью теории локального взаимодействия и об аналитическом восстановлении формы тел с опорной функцией в виде полинома. Последний результат позволяет получить простые выражения для образующих тел вращения, аэродинамические характеристики которых дают в точности коэффициенты режима.
В четвертой главе решается задача об определении границ областей устойчивости по входящим в модель отражения от поверхности параметрам для внутренних течений сильно разреженного газа при неограниченном увеличении числа соударений атомов газа со стенками. Численное решение данной задачи требует аналитического представления результатов расчета движения атомов газа, что возможно лишь для отдельных наиболее простых моделей отражения атомов газа от стенок (даже если пренебречь столкновениями атомов между собой), поскольку при этом необходимо аналитическое решение интегральных уравнений. В настоящей работе путем применения методов нелинейной динамики все же удалось получить простые аналитические решения данной проблемы благодаря использованию тригонометрических аппроксимаций теории локального взаимодействия, рассмотренных в главе 3.
В качестве модели отражения атомов газа от поверхности выбрана лучевая модель [44], обобщающая зеркальную схему. Преимущество рассматриваемой модели состоит в том, что подбор параметров модели позволяет получить любые значения коэффициентов обмена нормальным и касательным импульсом на поверхности. При этом следует ожидать, что практическая значимость результатов тем выше, чем ближе реальная функция рассеяния к вытянутому в одном направлении лепестку с малой дисперсией, а следовательно, тем точнее получаемые приближения.
Основными положениями, выносимыми на защиту, являются:
Модель пространственной фрактальной шероховатой поверхности и связь ее параметров с характеристиками шероховатости.
Метод вычисления континуальных интегралов, возникающих в задаче учета шероховатости в коэффициентах режима, путем разложения в ряды Раиса для марковских процессов первого порядка.
Модель рассеяния атомов разреженного газа на шероховатой поверхности, предназначенная для использования при расчете обтекания
невыпуклых тел и течений в каналах. Аналитическое решение задачи о зависимости от параметра шероховатости вклада первых соударений молекул газа с поверхностью в проводимость плоского канала.
Изучение аттракторов и бифуркаций скорости в задаче о внутренних течениях разреженного газа.
Связь аэродинамических величин с параметрами режима течения — с числами Рейнольдса, Маха, с температурным фактором, параметром шероховатости в самых эффективных для расчета моделях теории ЛВ.
Метод нахождения коэффициентов режима по экспериментальным измерениям аэродинамических характеристик, обеспечивающий наибольшую точность расчета.
7. Решение обратной задачи восстановления формы определенного
класса тел с простым аналитическим выражением для образующей по
аэродинамическим характеристикам при заданном режиме обтекания.
Отдельные части работы докладывались на X и XI Всесоюзных конференциях по динамике разреженных газов (Москва, 1989 г., Ленинград, 1991 г.), на Всесоюзной конференции по механике неоднородных сред и кинетической теории газов (Ленинград, 1986 г.), на Всесоюзных совещаниях-семинарах по механике реагирующих сред (Красноярск, 1988 г.) и по гауссовским случайным процессам и полям (Пущино, 1982 г., Ленинград, 1985 г.), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), на Всероссийской школе-семинаре по проблемам механики сплошной среды (Снежинск, 2002 г.), а также на международных симпозиумах и конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра-Москва, 2000 г. и С.-Петербург, 2002 г.), по вакуумной технике и приложениям (Репино, 2000 г.), по математическому моделированию (Самара, 2001 г.), по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Истра-Москва, 2001 г., Владимир, 2003 г.), по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Самара, 2002 г.), по аэродинамике разреженных газов в Оксфорде (1994 г.), в Вене (1995 г.), Пекине (1996 г.), Вистлере (Канада, 2002 г.) и в Бари (Италия, 2004 г.).
Работа в целом обсуждалась на заседании кафедры гидроаэромеханики в Санкт-Петербургском государственном университете и на семинарах в Балтийском государственном техническом университете и в институте прикладной математики им. В. М. Келдыша РАН. Основные результаты работы опубликованы в статьях [7]—[41], [216]—[225] и в 2 и 8 главы 7 монографии [170].
Метод учета шероховатости в аэродинамическом расчете с помощью разложения континуальных интегралов в ряд Раиса
Если случайное поле, используемое в качестве модели шероховатой поверхности, имеет достаточно общий вид, то вероятность свободного пролёта Шг\ входящая в выражения (3)-(4) и, следовательно, в (7)-(8), pie может быть представлена интегралом конечной кратности. Такого рода интегралы, требующие в общем случае аппроксимации iV-кратными интегралами при N — оо, называют континуальными [52], [145]. Аналитическое вычисление континуальных интегралов и их представление через интегралы невысокой кратности возможно лишь для нескольких видов случайных полей или процессов (они перечислены в [145]). Для более подробного рассмотрения методики вычисления континуальных интегралов (4) необходимо конкретизировать модель случайного поля z(x,y). До сих пор не было необходимости останавливаться па выборе модели шероховатости, поскольку все полученные в 1 результаты справедливы для любой стохастической модели в рамках изложенного описания механизма взаимодействия частицы газа с поверхностью. Единственное предположение, существенно необходимое при выводе (3)-(4) и (7)-(8) -— это дифференцируемость случайного поля в среднем квадратичном, обеспечивающая существование локальной нормали у его реализаций. Более того, все формулы 1 верны и для неслучайных полей, если считать, что плотность распределения g(z, zx, zy) содержит соответствующее произведение -функций. В частности, модель неслучайного пилообразного поля мы рассмотрим ниже в 6. При вычислении континуальных интегралов в 2-5 дайной главы используем, следуя [54], модель гауссовского однородного изотропного дифференцируемого случайного поля с нулевым средним значением. Важнейшее её достоинство заключается в том, что она содержит единственный основной параметр шероховатости где М есть символ математического ожидания. Обычно применяемый в технике (см., например, [206]) параметр a = vMz2 тут не играет роли, так как, выбрав соответствующий масштаб длины, всегда можно добиться, чтобы имело место равенство (масштаб длины, как видно из постановки задачи в 1, в её решении не участвует). Поскольку ввиду изотропности поля Mzzx = Mzzy = 0, равенства (11) и (12) задают первые члены асимптотического разложения корреляционной функции поля р(г) в нуле где г = остальном корреляционная функция р(г), 0 г оо, остаётся произвольной, однако список параметров шероховатости на этом не исчерпывается.
Все асимптотические свойства вероятностей и интегралов типа определяются параметром Оу [145]. Правда, даль- нейшие члены асимптотического разложения (13) сказываются на возможности аппроксимации рядами Раиса [145]. Разложение (13) можно упростить еще сильнее, если выбрать различные масштабы по осям: выбор масштаба по оси z позволяет добиться выполнения (12), а выбор масштаба по осям х и у всегда можно осуществить так, чтобы имело место соотношение Указанная нормировка позволяет максимально уменьшить число параметров задачи, однако она нарушает и физическую картину рассеяния "в малом" (т. е. на гладкой поверхности), поскольку функцию рассеяния VQ необходимо также рассматривать в различых масштабах по разным осям, а при этом изменяются, в частности, углы падения и отражения. Поэтому полную нормировку, при которой достигается (14), мы будем рассматривать только в двух следующих параграфах ( 3 и 4), посвя-щенных вычислению условной вероятности отсутствия выбросов процесса за уровень (4) и связанных с пей континуальных интегралов (7)-(8). В рамках обсуждаемой модели вычисление величин, аналогичных (4) и (7)-(8), производилось в [52] путём непосредственной аппроксимации их конечнократными. Конечнократные интегралы находились методом Монте-Карло. При этом выявился ряд недостатков данной методики.
Прежде всего, для достижения приемлемой точности требуется огромный объём вычислений. В самом деле, необходимо проследить реализацию случайного поля вдоль всего луча падения молекулы газа, то есть устремить длину интервала к бесконечности, и в то же время уменьшить шаг между точками аппроксимации. В результате, уже при шаге 0,1 и длине интервала 10 кратность интеграла вырастает до 100, и его расчёт на ЭВМ занимает достаточно много времени. Кроме того, при таком способе расчётов невозможно вообще повысить точность далее некоторого предела. Причиной тому служит ухудшение обусловленности корреляционной матрицы с уменьшением шага, что неизбежно приводит к нарастанию ошибок округления при работе с этой матрицей и, как следствие, к потере точности. В настоящей работе вычисление величин П производится с помощью разложения в ряды Раиса [147], [260]. Известно, что континуальные интегралы типа вероятности отсутствия выбросов случайного процесса за уровень раскладываются в знакочередующиеся ряды по факториальным моментам числа г} пересечений траекторий процесса с уровнем на рассматриваемом интервале [244] (удобство использования факториальных моментов при анализе числа пересечений с уровнем отмечено также в монографии [206]). В частности, разложение интересующей нас вероятности отсутствия выбросов в так называемый ряд Раиса [145] имеет вид Поскольку вероятность П определена формулой (4) как условная вероятность, факториальные моменты также будут условными, то есть математическое ожидание в (15) следует брать при заданных значениях 2, zy. Величина zx в условие не входит, так как ввиду изотропности поля его значения на прямой независимы от производной zx в перпендикулярном направлении. В таком случае выражение для моментов 7V"m запишется в виде 2го-кратиых интегралов [136] где gyi!... ym(z + уг ctg в, ,... ,z -\- ym ctg в m\z, zy) — плотность распределения значений случайного процесса Z{ (то есть случайного поля на луче х 0} 0 у со и его производных ,; (г = 1,2,..., т) в точках у = г/1,..., ут при заданных значениях 20 — z и о — 2У в точке у = 0). Вычисление факториальных моментов (17) при т 2 в работах других авторов пока не производилось, за исключением [200], где вычислены iVi, N2 и N3. Возникающие здесь трудности вызваны тем, что за исключением аналитических процессов, подынтегральная функция имеет при сближении временных аргументов особенности, не обязательно интегрируемые [145]. Однако имеется класс случайных процессов, для которых плотность 9yi,...,ym раскладывается на множители, и все особенности удаётся устранить. Это класс гауссовских стационарных марковских процессов первого порядка, которые рассмотрим в следующем параграфе
Модель рассеяния на шероховатой поверхности для расчета невыпуклых тел и течений в сосудах и каналах
Для расчета течений газов в очень узких каналах и щелях наиболее широко используется метод прямого статистического моделирования, поскольку чаще всего режим течения в этих областях — переходный по числам Кнудсена. Практическая важность подобных расчетов связана с широким распространением в последнее время микроэлектромеханических систем [266] и различных фильтрующих устройств. Основные сложности, возникающие при решении таких задач, связаны с необходимостью учета столкновений атомов газа друг с другом (число Кнудсена недостаточно велико) и учета вклада шероховатости поверхности, большое влияние которой демонстрируют и расчеты в сво-бодномолекулярном режиме [192]. Следовательно, возникает необходимость усовершенствования изложенной в предыдущих параграфах методики учета шероховатости поверхности с целью приспособления к решению внутренних задач динамики разреженного газа, а также ускорения расчета и уменьшения разброса при проведении статистических испытаний методом Монте-Карло. Кроме того, аэродинамические характеристики внутренних течений разреженного газа часто сильнее зависят от шероховатости стенок, чем для внешнего обтекания, что приводит к мысли об использовании течений данного типа для решения обратной задачи — восстановления значений параметра шероховатости по экспериментальным измерениям параметров течений.
Практическое применение результатов настоящей главы требует, в первую очередь, падежного способа определения параметра шероховатости а- . Наиболее распространенные в технике методы измерения — профилограмметрический и стереофотограмметрический — дают очень низкие значения ст\. Несоответствие реальных величин &\ и измеренных указанными двумя способами объясняется тем, что в обоих указанных случаях измеряются характеристики шероховатости наиболее крупного масштаба, тогда как основной вклад в аэродинамические характеристики может вносить микрошероховатость более мелкого масштаба [145], [201], параметры которой уловить намного сложнее. Пренебрежение мелкомасштабной компонентой шероховатости может приводить к существенной (на порядок) ошибке при оценке параметра а\. Преодолеть эту трудность можно путем решения обратной задачи нахождения параметра а\ по экспериментальным данным об аэродинамических характеристиках поверхностей с различной степенью шероховатости. Как показывают результаты, приведенные в предыдущих параграфах, аэродинамические характеристики выпуклых тел довольно слабо зависят от (7i. При этом те величины, на которые параметр а і оказывает наибольшее влияние, например, касательная составляющая коэффициента обмена импульсом, поддаются измерению наиболее сложно. Поэтому представляет интерес проблема восстановления параметра а\ путем решения обратной задачи его нахождения по экспериментальным данным о проводимости канала. Если число Кнудсена в задаче о течении газа в канале будет достаточно велико, как мы предполагали в 1, то эффективное значение и\. очевидно, будет одинаковым для обоих типов задач. В то же время, проводимость канала, характеризующая его аэродинамическое сопротивление потоку газа, сильнее зависит от o"i, чем аэродинамические коэффициенты выпуклых тел. Задача об учете шероховатости стенок при нахождении проводимости канала, рассматривалась различными авторами, однако изучались только частные случаи: либо плоский или осесимметричмый канал, либо простейшие детерминированные формы шероховатости, диффузное отражение "в малом".
При этом все результаты получены только численно, никаких аналитических зависимостей проводимости от параметра шероховатости в сколько-нибудь нетривиальных случаях не выведено. В отличие от работ предшествующих авторов (например, [192]), построим общую модель функции рассеяния на невыпукл о и шероховатой поверхности, которая позволила бы производить численные расчеты для произвольных форм каналов и шероховатости, а затем для частного случая плоского канала с пилообразной шероховатостью вы и едем аналитическую формулу, характеризующую зависимость проводимости канала от параметра шероховатости. Расчет течений, имеющих вогнутые участки границы (включая течение в каналах), требует уже в свободиомолекулярном случае решения интегральных уравнений, поэтому изложенная в первых четырёх параграфах данной главы методика учёта шероховатости тут неприменима. В самом деле, основные упрощения для выпуклых поверхностей опирались на отказ от рассмотрения функции рассеяния, тогда как для вогнутых поверхностей без анализа функции рассеяния на шероховатой поверхности не обойтись. Воспользуемся выражением (3) для вклада первых соударений в функцию рассеяния V fv lv) на шероховатой поверхности. Переходя к системе координат, связанной не с вектором скорости падающей частицы газа v, ас осью капала (или главным выделенным направлением для канала сложной формы — вдоль него направим ось %), запишем (3) в виде где ф — сферическая координата вектора —v, то есть угол между осью х и проекцией вектора — v на плоскость среднего уровня шероховатости (х,у). Множитель іУ введён тут для нормировки, поскольку в данной задаче, в отличие от задач внешнего обтекания, существенно равенство потоков падающих и отражённых от поверхности молекул газа, то есть интеграл от функции рассеяния (51) по всем скоростям вылета vn О равен единице. Зная функцию рассеяния (51), мы сможем найти функцию f(x,v) распределения вылетающих со стенок канала частиц газа путем прямого численного моделирования течения разреженного газа в канале. Если же пренебречь столкновениями молекул газа в канале между собой, то функцию /(#,v) можно найти из интегрального уравнения В уравнении (52), описывающем баланс частиц газа на поверхности стенок, считаем известным интеграл по объединению ПА U Пр телесных углов, под которыми видны из рассматриваемой точки х входное сечение А и выходное сечение В канала, то есть функцию распределения /А(ХІ V) поступающих в канал извне молекул газа считаем заданной. Интеграл же по дополнительному телесному углу Qc содержит функцию распределения f(x,v) в точке предыдущего соударения частицы газа со стенкой, координаты которой нетрудно рассчитать, исходя из заданной геометрической формы канала. Например, в плоском случае (для щели) координата Х\ равна хг — х — dcostptgO, а для круглого канала
Установление связи параметров модели с характеристиками шероховатости
Установим связь параметров модели с важнейшими характеристиками шероховатости. Плотность распределения имеет вид [229] Среднее значение равно нулю (JI — 0) в соответствии с выбором системы координат, а параметры плотности а ж ип меняются в зависимости от параметров модели a, s и /3. Важнейшими параметрами шероховатости в аэродинамике, как известно [53], служат Т\ — среднее квадратичное отклонение производной и нормированная корреляционная функция R{r).
Значения сг\ приведены на рис. 21 при различных значениях 8 и /3. Функцию R(r) молено найти путем суммирования ряда Фурье. Типичный ее график с учетом первых 10 членов ряда приведен также на рис. 21. Основные характеристики числа пересечений уровня, рассматриваемые в настоящей работе, — это: 1) среднее значение MS, дисперсия DS и функция распределения ме- Первая из рассматриваемых характеристик MS представляет собой где F (u) — функция распределения ввісотьі поверхности Z(x,y). Остальные две величины представляют собой интегралы по множеству реализаций случайного поля и определяются формулами где Т\ = (жі, ї/і), Г2.= (а?2, ї/г) — радиус-векторы двух точек в плоскости (х,у), v = Z(xi,yi) и w = Z(x2,y2) — аппликаты поверхности в этих точках, p(ri,t2,v,w) — плотность распределения случайного поля Z(x,y)} моделирующего поверхность, ii — орт оси х. над которой располагается исходящий из точки (жо,2Л))2б) наклонный уровень и(х), принимающий в точках Xk = %о + kh значения Uk{x) = z0 + к(х — хо) ctg8. Подынтегральная функция — совместная плотность распределения высот поверхности ZQ, V-L, г 2, ..., vn в точках над осью.ж с координатами XQ} XQ + Я, ... , XQ + nh и частных производных по координатам zx = dZjdx и zy dZjdy в точке (х0, у0). Рассмотрим подробнее методику расчета данных характеристик для трех моделей шероховатости. Наряду с изучавшейся в первой главе моделью однородного изотропного гауссовского случайного поля, применявшейся в работах Р. Г. Ба-ранцева и Р. Н. Мирошина [54], [145], и служившей основой при расчете взаимодействия разреженных газов с поверхносты-о, рассмотрим также фрактальную модель, введенную в первом параграфе данной главы и, кроме того, модель фрактального броуновского движения над плоскостью, впервые исследованную Б. Мандельбротом и Дж. Ван Нессом в 1968 г. [254], [247].
Для сопоставимости результатов необходимо следить за тем, чтобы сохраняли значения основные параметры случайного поля Z(x, у): среднее значение MZ, среднее квадратичное отклонение поля его и его производных (Ті. Как известно [254], гауссовское случайное поле Z(x,y) представляет собой фрактальное броуновское движение над плоскостью с параметром Херста Н (0 Н 1), если оно обладает следующими свойствами. 1. Функция Z(x,y) почти всегда непрерывна. 2. Случайная велина Z(x-\-Ax, y-\-Ay) — Z(x, у) имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией т\ (Ах2-\-Ау2)н, где І2 ti, а ст — положительная константа. График Z(x,y) имеет размерность d = З — Н. Основные параметры поверхности равны MZ = 0, т0 = а (Ах2 + Ау2)н12 (параметр сг\ не определен). Вид одной из возможных реализаций фрактального броуновского движения приведен на рис. 24. Наиболее точное моделирование Z(x,y) достигается с помощью преобразования Фурье от спектральной плотности, которая для фрактального броуновского движения имеет вид 5(A) = \ (2Н+1 . Однако на практике в программах компьютерного моделирования (например, при моделировании природных ландшафтов, как в популярной программе Вгусе) широко применяются алгоритмы случайного средин- ного смещения, обеспечивающие лишь приближенное имитирование броуновского движения над плоскостью [254]. Хотя получаемые модели поверхности не обладают многими важными статистическими свойствами, но даже эти упрощенные алгоритмы недостаточно быстры для включения их в задачи механики. Величины (80)—81), связанные с пересечениями уровня, могут быть найдены только численно, так как реализации фрактального броуновского движения не имеют достаточно простого аналитического представления, а лишь формально могут быть записаны как стохастические интегралы. Расчет указанных выше характеристик (DS и Р(в, ZQ, zX}zy)) для фрактального броуновского движения, моделируемого с помощью случайного срединного смещения, выполнен методом прямого статистического моделирования Монте-Карло. Реализация Z(x,y) моделируется N раз, а интересующие нас характеристики аппроксимируются статистическими оценками по данным наблюдений. Отсутствие дифференцируемости реализаций компенсируется тем, что при моделировании поверхность воспроизводится только до определенного масштаба, т. е. детали размера менее шага Ах игнорируются. Более удобна для численной реализации рассмотренная в предыдущих параграфах данной главы модель шероховатости в виде 74). Функцию ф(и), входящую в 74), при расчете выбираем в виде периодического продолжения полинома второй степени 77), так как при этом точки пересечения поверхности с уровнем находятся аналитически. Поверхность Z(r, (р) моделируется с наименьшими затратами времени по сравнению с другими подходами благодаря простоте аналитического представления 74). В то же время особенность данной модели состоит в том, что распределение высоты Z(r, p) не гауссовское, а задается плотностью распределения вида (78).
Зависимость коэффициентов режима от шероховатости поверхности
В настоятцей. работе для коэффициента обмена энергией /о и для компоненты рхо вектора ро коэффициента обмена импульсом используется простейшая линейная модель, т. е. разложение вида (93), в котором в качестве функций чебышевской системы применяются полиномы Ле- жандра Pk (cos #): Так как направление локальной нормали фиксируется производными случайного поля zx% zy, именно через них удобнее представить здесь Формулы (104)—(106) определяют модель теории локального взаимодействия при нахождении коэффициента аэродинамического сопротивления и обмена энергией между потоком газа и шероховатой поверхностью. Как видим, коэффициенты режима от шероховатости не зависят, а изменяется система функций (обозначенных в 1 через щ(р)), по которым раскладываются соответствующий коэффициент обмена или функция реакции. Таким образом, для полного решения проблемы в рамках первых соударений здесь достаточно вычислить интегралы К%($) как функции угла в и параметров шероховатости. Эту задачу мы решили ранее в главе 1. Сложнее обстоит дело при отыскании коэффициента обмена импульсом ру, поскольку оператор S 1 задан не в скоростной системе координат, а в системе координат х, у, z, связанной со средним уровнем шероховатости поверхности (см.рис. 1 в гл. 1).
Именно, направление оси, проекция на которую даёт нам компоненту роу в (103), зависит от локальной нормали п и будет меняться с каждой новой реализацией случайного поля z(x,y). Следовательно, подставлять в формулу (7) главы 1 необходимо не величину роу в виде (103), а её проекцию роу на ось у , орт которой перпендикулярен вектору v в одной плоскости с вектором N нормали к среднему уровню шероховатости поверхности (см.рис. 30). Для нахождения данной проекции значение роу следует умножить на скалярное Итак, при нахождении аэродинамического коэффициента подъёмной силы Су коэффициенты режима, как и для Схь от шероховатости не зависят, а система функций в (109) изменяется на набор величин (ПО). Отметим, что во всех предшествующих работах других авторов [52]-—[54], [145], [52], [201] рассматривалось влияние шероховатости на коэффициенты обмена импульсом р, г, причём за исключением [168], выбиралась аппроксимация с малым числом параметров (обычно 4), и коэффициенты режима на шероховатой поверхности оказывались линейными комбинациями коэффициентов режима на гладкой поверхности. Зависимость коэффициентов режима в теории локального взаимодействия от тех или иных физических параметров выводится на основе исследования зависимости от этих параметров либо аэродинамических характеристик Сж, Су и др., либо функции реакции (или, что эквивалентно, соответствующих коэффициентов обмена). Для многих параметров, например, числа Киудсена, Рейнольдса и т.п., такая зависимость может быть получена лишь путём обработки экспериментальных данных или данных точных расчётов. Одна из подобных зависимостей рассматривается в следующем параграфе 3.
Однако для больших чисел Маха М в режимах, не слишком далёких от свободномолекулярного, влияние на коэффициенты обмена может быть учтено теоретически, путём асимптотического анализа. Основой для получения асимптотики коэффициентов обмена при М — со служит справедливое в свободномолекулярном пределе представление [54] где foo(p) - функция реакции для -потока (то есть для молекул газа, падающих с фиксированной скоростью и, что соответствует М — со), и = и, v = v, s — М- /к/2, к — отношение теплоємкостей газа при постоянном давлении и постоянном объёме. Распространение (111) на переходный режим (Кп со) соответствует общей концепции теории локального взаимодействия, поскольку именно свободиомолекулярный режим лежит в основе теории локальности [168]. Асимптотика коэффициентов обмена импульсом р и энергией q была получена из (111) в [54] для проекций р, т вектора р на нормаль и касательную к поверхности тела
