Введение к работе
Актуальность темы. Рассмотренные в данной диссертации задачи посвящены изучению нестандартных явлений переноса и динамики магнитного поля в комплексных средах: в многокомпонентной плазме, слоистых и гетерогенных средах, имеющих сложные по геометрии включения. Транспортные процессы, а также динамика нелинейных (в том числе, вихревых) структур в указанного рода средах не описывается з рамках привычной классической теории, а потому их теоретическое описание является важной на сегодняшний день задачей, в том числе для адекватного описания лабораторной и космической плазмы.
Наличие нескольких сортов заряженных частиц в плазме может нетривиальным образом изменить характер ее поведения. Присутствие третьего, пусть даже не заряженного, типа частиц означает появление сильной зависимости проводимости от магнитного поля [1] (эффект, известный в теории полупроводниковой плазмы под названием магнетосопротивление). Наличие заряда приводит к необходимости дополнительного учета взаимного сноса компонентов, при этом взаимная динамика поля и вещества определяется законом вмороженности поля в один из компонентов. В результате процесс проникновения магнитного поля в глубь плазмы описывается системой нелинейных диффузионных уравнений, и это приводит к его существенному изменению и усложнению динамики по сравнению с классическими задачами о скин- или пинч-эффекте.
Рассмотрение процессов стохастического переноса в нестандартных условиях, как, например, перенос частиц в турбулентных потоках, перколяционных системах и других средах с фрактальной геометрией [2, 3, 4, 5], в стохастическом магнитном поле [6] или перенос излучения в линиях в корональной плазме, приводит к законам, отличным от классических диффузионных (скейлинг для среднего смещения частиц есть {х2} ос ta, где а ф 1), что вызвано наличием в рассматриваемых системах пространственных или временных нелокальностей в микроскопическом поведении частиц: например, медленно спадающих по координате или времени корреляций в их движении. Если частицы могут подолгу задерживаться в каких-либо «ловушках» (среднее время ожидания бесконечно), то это порождает временную нелокальность и замедляет макроскопическое движение {субдиффузия, а < 1). В качестве примера такого рода замедленного переноса можно привести задачу о диффузии частиц в конвективных вихревых ячейках, для описания которой была впервые предложена модель, соответсвующая простейшей из рассматриваемых в данной диссертации гре-бешковых структур. С точки зрения практического приложения именно для физики плазмы, отметим, что одной главных проблем в реализации УТС часто называют аномальные потери энергии ввиду переноса частиц и энергии поперек удерживающего магнитного поля, в связи с чем крайне важна разработка теории диффузии
в неравновесных условиях в плазме с развитой сильной турбулентностью с учетом эффектов памяти и нелокальной природы транспортных процессов, и, в частности, корректное описание участков с субдиффузионым режимом переноса типа «барьеров» (см. обзор [7]).
Что касается математического аппарата, одним из возможных способов описания такой эволюции оказываются линейные интегро-дифференциальные уравнения, представляющие из себя модификации классического уравнения диффузии, записанные терминах производных дробных порядков [8, 9]. Рассматриваемые нами гре-бешковые структуры различных конфигураций представляют собой пример систем, для которых соответствующие макроскопические уравнения могут быть получены строго, а также являются удобным «полигоном» для анализа закономерностей и особенностей (в частности, в постановке начальных и граничных условий) для субдиффузионного транспорта, при том что предлагаемый в нашей работе подход и набор структур позволяют моделировать широкий класс такого рода явлений с показателем 0 ^ а < 1, а также рассчитывать взаимодействие находящихся в контакте между собой участков с различными а.
И наконец, в динамике замагниченной плазмы важную роль играют нелинейные вихревые структуры с сильно локализованной завихренностью, которые также могут наблюдаться в самых разных физических системах и представляют значительный интерес с точки зрения физики плазмы, теории сверхпроводимости и гидродинамики. Особое внимание в вихревой динамике привлекает, в частности, возможность получения универсальных ответов независимо от природы и внутренней структуры вихрей, и одно из важнейших мест здесь занимает модель вихревых нитей. Динамика таких объектов хорошо изучена в обычной несжимаемой жидкости [10, 11], а также в ЭМГ плазме и сверхпроводниках И-го рода [12J, где существуют уравнения движения нити в терминах ее кривизны и кручения (справедливые в приближении локальной индукции), которые сводятся к нелинейным уравнениям типа НУШ. Использование универсального уравнения вмороженности ротора обобщенного импульса в течение среды позволяет распространить задачу о динамике вихревой нити на анизотропный случай, в результате чего изменяется тип уравнений, и появляются такие эффекты, как неустойчивость вихревой нити при сильном наклоне и при конечной толщине керна. Такой подход, по-видимому, имеет непосредственное отношение к физике ВТСП-керамик, которые как известно имеют слоистую структуру, и для их описания широко применяется модель двумерных точечных вихрей («pancake vortices»), движущихся в слоях образца (см. обзор [13]).
Цель работы.
1. Исследование модели динамики проникновения магнитного поля в пылевую плазму и выявление эффектов, связанных с нелинейной зависимостью прово-
димости от магнитного поля и с дополнительной свободой течения компонентов по сравнению с двухкомпонентной плазмой.
Построение общего подхода и модельных структур, транспорт в которых описывается уравнениями в дробных производных, в целях изучения влияния участков с недиффузионным «дробным» переносом на характер транспорта в целом и выявления особенностей в постановке начальных и граничных условий при решении таких уравнений.
Распространение решения классической задачи о динамике вихревой нити на случай анизотропной бесконечно проводящей среды.
Научная новизна. Диссертационная работа содержит ряд новых результатов.
Получено численное и аналитическое решение задачи о проникновении магнитного поля в трехкомпонентную (пылевую) плазму для различных знаков заряда пыли. Рассмотрены эффекты, возникающие из-за возможности взаимного сноса компонентов плазмы ввиду квазинейтральности и явления вмороженно-сти магнитного поля. Найдены решения соответствующей граничной задачи для системы нелинейных диффузионных уравнений и установлено наличие быстрой трансляции поля вглубь плазмы при отрицательном заряде пыли и полная ее остановка при положительном.
Предложен строгий подход для описания стохастического переноса в сложных гребешковых структурах, в рамках которого получены уравнения в дробных производных, корректно учитывающее начальные и граничные условия. Предложены новые структуры «гирлянды» позволяющие описывать более медленный, чем субдиффузионный, перенос. Получены решения этих уравнений для находящихся в контакте структур с сильно отличающимися дробными показателями.
Получено динамическое описание поведения вихревой нити в слоистой беско-нечнопроводящей среде. Установлена неустойчивость вихревой нити при углах наклона, превышающих критический. Рассмотрены эффекты, возникающие в связи с конечностью керна вихря, и получены дисперсионные соотношения для волн на вихревом столбе в линейном приближении. Обращается внимание на особенность знака энергии взаимодействия вихрей, которая может приводить к неустойчивости нити с конечным керном.
Практическая и научная ценность. Решение задачи о динамике магнитного поля в трехкомпонентной плазме указывает на эффекты, которые могут возникать
ввиду зависимости проводимости от магнитного поля (эффект магнетосопротивле-ния), вмороженности и возможности одновременного переноса нескольких компонентов без нарушения квазинейтральности. Полученные результаты важны для описания характерных особенностей транспорта магнитного поля в многокомпонентной замагниченной плазме, в том числе в лабораторной и космической пылевой плазме, или, например, в установках инерциального УТС при наличии тяжелых сортов ионов.
Проведенное рассмотрение гребешковых структур позволяет корректно учитывать начальные и граничные условия, а также влияние конечных вставок участков с нестандартным субдиффузионным переносом на общий характер транспорта (в том числе при численном моделировании), что важно для описания транспортных процессов в неравновесных условиях в плазме с развитой сильной турбулентностью, а также в других средах где необходим учет эффектов памяти и нелокальной природы соответствующих процессов.
Результаты, полученные для динамики вихревой нити, являются распространением классической задачи на случай анизотропной бесконечнопроводящей среды, причем общность использованного подхода, основанного на гамильтоновости вихревого течения и уравнения вмороженности ротора обобщенного импульса, позволяет надеяться, что результаты могут найти применение для широкого класса сред, таких как ВТСП-керамики, гетероструктуры или стратифицированный разряд в низкотемпературной плазме.
Автор выносит на защиту:
Численное и аналитическое решение задачи о проникновении магнитного поля в пылевую плазму для различных знаков заряда пыли.
Исследование субдиффузионного стохастического переноса в сложных гребешковых структурах и «гирляндах» в терминах уравнений в дробных производных.
Описание динамики вихревой нити, в том числе конечной толщины, в слоистой бесконечно проводящей среде.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях: III, IV и V Курчатовская молодежная научная школа (Москва, 2005, 2006, 2007), XLVII и XLVIII Научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2004, 2005), XXXV Международная Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2008), 373 WE Heraeus Seminar Anomalous Transport: Experimental Results and Theoretical Challenges (Bad-Honnef, Germany,
2006), на XV и XVI научной сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 2006, 2007) и на семинарах ИЯС РНЦ «Курчатовский институт».
Публикации, По результатам диссертации опубликовано 3 научные работы в журналах, входящих в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трёх глав и заключения, изложенных на 62 страницах, включает 12 рисунков, а также список литературы из 54 наименований.
