Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Электродинамический анализ планарных свч устройств 12
1.1. Методы расчета многосвязных линий передачи 14
1.1.1. Квазистатические методы 14
1.2.1. Методы электродинамического анализа 16
1.2. Модель многосвязной микрополосковои линии передачи (МГШ) 24
1.2.1. Постановка метода интегральных
уравнений для электрического поля 25
1.2.2. Решение системы алгебраических уравнений
методом моментов в спектральной области 29
1.2.3. Расчет матриц модальной мощности
и модальной проводимости 34
1.3. Модель многосвязной щелевой линии передачи (ЩП) 35
1.4. Выводы 3 9
ГЛАВА 2. Электродинамический анализ регулярных многосвязных микрополосковои и щелевой линий передачи 42
2.1. Определение функции Грина в спектральной области 42
2.2. Учет потерь в диэлектрических слоях и стенках экрана 48
2.3. Концепция эквивалентного поверхностного импеданса 49
2.4. Моделирование плотности поверхностного тока 54
2.4.1. Моделирование плотности продольного тока с наличием сингулярности на ребре 57
2.4.2. Моделирование конечной плотности продольного тока на ребре полоскового проводника 58
2.5. Модификация основной системы уравнений 59
2.6. Улучшение сходимости рядов в матрице Галеркина 61
2.7. Определение постоянных распространения основных мод 63
2.7.1. Определение постоянной затухания 63
2.8. Определение матрицы собственных токов 64
2.9. Расчет матрицы модальной мощности 65
2.10. Вычисление матрицы характеристических проводимостей 70
2.11. Расчет Y матрицы устройства с 2N входами 71
2.12. Моделирование многосвязной щелевой линии 73
2.12.1. Вычисление матрицы модальной проводимости связанных ШЛ 76
2.13. Обоснование применения концепции дуальности при анализе линий передачи 77
2.13.1. Применение принципа дуальности для представления эквивалентных цепей 88
2.14. Выводы 95
ГЛАВА 3. Результаты моделирования структур на базе микрополосковых и щелевых линий 96
3.1. Моделирование микрополосковых линий 96
3.1.1. Сходимость решения для двух наборов базисных функций 96
3.1.2. Проверка модели эквивалентного поверхностного импеданса и учет потерь 100
3.1.3. Моделирование поверхностного тока 111
3.1.4. Расчет характеристического импеданса МПЛ на двухслойной подложке с сегнетоэлектриком 117
3.1.5. Расчет СВЧ устройств на МПЛ 122
3.2. Моделирование щелевых линий 126
3.2.1. Моделирование многосвязной ЩП на двухслойной подложке со слоем сегнетоэлектрика 126
3.2.2. Расчет ППФ на встречных копланарных резонаторах 131
3.2.3. Расчетная модель воздушного мостика 134
3.2.4. Анализ результатов расчета и экспериментальных исследований 141
3.3. Выводы 14 8
ГЛАВА 4. Электюдинамический анализ структуры с произвольной геометрией электродов в анизотропной многослойной среде 150
4.1. Постановка задачи 150
4.2. Определение спектральной функции Грина для структуры, содержащей анизотропные слои, с электродами в разных поверхностях раздела 153
4.3. Моделирование плотности поверхностного тока 163
4.4. Метод решения интегрального уравнения в пространственной области 166
4.5. Определение элементов матрицы рассеяния S 170
4.6. Выводы 178
Заключение 179
Приложение 182
Используемая литература 185
- Модель многосвязной микрополосковои линии передачи (МГШ)
- Концепция эквивалентного поверхностного импеданса
- Вычисление матрицы характеристических проводимостей
- Моделирование щелевых линий
Введение к работе
Современный уровень развития систем космической и мобильной связи требует создания миниатюрных СВЧ устройств с улучшенными техническими характеристиками и низкой себестоимостью. Для создания пассивных компонентов таких систем, выполняемых в интегральном исполнении, например, СВЧ фильтров, линий задержки, направленных ответвителей, фазовращателей и подобных устройств с улучшенными массогабаритными показателями, используются планарные линии передачи.
Наиболее используемыми в интегральных СВЧ схемах стали микрополосковые линии (МПЛ) и элементы на их основе, изготовляемые по планарной технологии. Однако применение копланарных волноводов (КПВ), не столь популярных, как МПЛ, может быть предпочтительным в силу следующих причин:
более простая реализация соединений активных и пассивных компонентов, закороченной цепи по сравнению с микрополосковыми линиями;
отсутствие дисперсионной зависимости характеристик вплоть до 60-80 ГГц;
лучшая изоляция линий по сравнению с МПЛ;
реализация всего диапазона волновых сопротивлений на высоких частотах без привязки к толщине подложки.
Большие потери в полосе пропускания планарных фильтров по сравнению с диэлектрическими и волноводными фильтрами требуют разработки способов уменьшения потерь. Одним из способов является использование технологий микрообработки (micromachining technique) и многослойных электродов для создания высокодобротных резонаторов. Другим, очевидным, путем уменьшения потерь является использование высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) и диэлектриков с малым тангенсом потерь.
Проектирование современных СВЧ устройств на распределенных элементах происходит, как правило, в два этапа. Первый этап включает в себя определение эквивалентной схемы на сосредоточенных элементах и расчет характеристик прототипа. На втором этапе, после приближенного определения геометрии, выполняется компьютерное моделирование полученной структуры на основе
квазистатического или строгого электродинамического подхода. Сочетание методов синтеза цепей и электродинамического анализа приводит к решению задачи проектирования. Необходимо отметить, что в задачи электродинамического анализа входит также определение параметров неоднородностей и базовых элементов, которые могут использоваться на первом этапе расчета прототипной схемы.
Усложнение СВЧ устройств диктует жесткие требования к расчетным программам. Высокая частотная избирательность фильтров может быть реализована при использовании массивов многосвязных линий передачи. Их использование в плотных соединениях микросхем требует учета или устранения паразитных связей. При этом, усложнение интегральных схем затрудняет, а иногда делает практически невыполнимой задачу подстройки и регулировки ее элементов. Кроме того, совершенствование тонкопленочных технологий приводит к созданию многослойных структур с различием в толщине составляющих слоев на порядки, наличием анизотропных слоев и, при этом, характеризующихся различными физическими свойствами. Например, пленки ВТСП выращиваются на сапфире (г-срез), который характеризуется анизотропией диэлектрической проницаемости. Используемые для создания перестраиваемых по частоте устройств сегнетоэлектрические пленки характеризуются гораздо большим значением диэлектрической проницаемости (є = 300-г2000 в зависимости от величины приложенного напряжения) по сравнению подложкой. При этом толщина пленок, напыленных на подложку, может составлять сотые доли микрона. Часто для согласования кристаллических решеток используются буферные слои.
Все перечисленное вместе определяет важность создания точных электродинамических моделей, а программы, реализованные на их основе, должны предоставлять разработчику следующие возможности:
- моделирования многослойных структур с различием в толщине слоев на
порядки;
учета физических параметров материалов, в том числе анизотропии диэлектриков, конечной проводимости металлов;
- моделирования больших массивов связанных линий, в частности
многоэлектродных щелевых линий (ЩП);
наличия базы неоднородностей.
Два последних требования обусловлены тем, что, несмотря на большое
число существующих в настоящее время коммерческих программных пакетов, до сих пор нет удовлетворительных средств расчета КПВ и щелевых линий (ЩЛ). Электродинамическое трехмерное моделирование таких структур в целом на этапе оптимизации характеристик устройства неоправдано в силу больших вычислительных затрат - расчет может составлять несколько суток. В квазистатических же программах и программах синтеза, использующих параметры неоднородностеи, отсутствует необходимая элементная база в виде моделей неоднородностеи, переходов, перемычек. Отсутствие эффективных программ расчета приводит к недостаточно широкому применению линий передач такого типа в фильтрующих устройствах.
Целью диссертационной работы является электродинамическое моделирование планарных многослойных структур, с учетом физических свойств используемых материалов, создание алгоритмов расчета устройств на его основе, анализ и сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными и данными расчета в коммерческих программах.
В соответствии с указанной целью решаются следующие задачи:
Разработка расчетной модели многосвязной микрополосковой линии передачи в многослойной среде на основе метода интегральных уравнений, с учетом потерь как в материале проводника, так и в слое диэлектрика.
Построение расчетной модели многосвязной щелевой и копланарной линий передачи с использованием теоретического аппарата моделирования МПЛ.
Разработка процедуры определения эквивалентных схем неоднородностеи и их расчета в щелевой и копланарной линиях.
Анализ влияния тонких слоев сегнетоэлектрика и ВТСП на характеристики различных линий передачи.
Моделирование планарной многослойной структуры с электродами произвольной геометрии на основе проекционно-сеточного метода решения интегральных уравнений, с учетом анизотропии материала диэлектрика, а также омических и диэлектрических потерь.
Анализ точности и эффективности предлагаемых моделей.
Расчет и экспериментальное исследование полоснопропускающих фильтров на многосвязных линиях.
Объектами исследования являются многосвязные микрополосковые, щелевые и
копланарные линии передачи, полосно-пропускающие фильтры на их основе с использованием ВТСП.
Основные методы исследования:
Теоретические: метод интегральных уравнений для электрического поля, метод моментов, методы теории линии передач, методы теории цепей.
Экспериментальные.
Защищаемые научные положения:
Базис из ортогональных полиномов Лежандра для разложения плотности поверхностного тока обеспечивает более высокую скорость сходимости метода моментов по сравнению с традиционно используемыми сингулярными функциями и позволяет моделировать конечный краевой ток в микрополосковых линиях с учетом конечной проводимости;
Модель эквивалентного поверхностного импеданса, основанная на описании проводника конечной толщины Z-матрицей отрезка нагруженной линии, обеспечивает адекватный расчет потерь проводимости в многопроводных линиях передачи. Модель применима для проводников, толщина которых соизмерима с глубиной проникновения поля в проводник.
Использование принципа дуальности приводит к единым расчетным соотношениям для дуальных (связанных операцией инверсии) структур при моделировании микрополосковых и щелевых линий передачи, а Y-матрица устройства на отрезках ЩП и КПВ в терминах магнитных параметров конструируется в соответствии с правилами построения матриц электрических проводимостей устройства на МПЛ.
Матрица характеристических проводимостей многосвязной ЩЛ, определенная в терминах амплитуд собственных магнитных токов и магнитных напряжений является обратной к матрице характеристических проводимостей в терминах электрических токов и напряжений.
Новые научные результаты работы
Предложена модель эквивалентного поверхностного импеданса ВТСП электрода конечной толщины.
Для моделирования краевого тока в ВТСП структурах с учетом конечной проводимости предложен базис из ортогональных полиномов Лежандра и выполнена оценка сходимости метода моментов и эффективности моделирования структуры с его использованием.
Показано, что использование полиномов Чебышева в случае неидеального
проводника приводит к расходимости метода и предложена модификация уравнений связи спектральных образов электрического поля и поверхностного тока для обеспечения сходимости.
Предложен усовершенствованный метод расчета матрицы модальных мощностей в многосвязных микрополосковой и щелевой линиях.
Предложена процедура определения эквивалентных схем неоднородностей в ЩЛ и КПВ, основанная на соображениях дуальности линий этого типа и МПЛ.
Предложен метод определения матрицы характеристических магнитных проводимостей многосвязной ЩП и способ расчета конечной Y-матрицы устройства на ее основе.
Предложена расчетная модель шунтирующей перемычки - воздушного мостика -в КПВ, используемой для согласования подводящей копланарной линии в одномодовом режиме с массивом связанных щелевых линий.
Выполнен учет анизотропии диэлектрических слоев при определении функции Грина в двумерной постановке интегральных уравнений для электрического поля.
Выполнено проектирование, расчет и экспериментальное исследование фильтра 5-го на копланарных резонаторах.
Объем и структура работы.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав с выводами и заключением, изложенных на 120 страницах машинописного текста, списка литературы, включающего 144 наименования и приложения. Работа содержит 64 рисунка и 9 таблиц.
Первая глава диссертационной работы носит обзорный характер. В ней приводится краткое описание современных методов электродинамического моделирования и обсуждаются их достоинства и недостатки в применении к моделированию планарных структур. Приведена формулировка метода интегральных уравнений для регулярных линий передачи и основные соотношения, используемые при решении задачи методом моментов. Освещены проблемы, возникающие при расчете методом моментов в стандартной постановке и намечены способы их преодоления. Приведены сведения об использовании многосвязных ЩЛ, КПВ и МПЛ в реализациях полосно-пропускающих фильтров.
Во второй главе представлен электродинамический анализ многосвязных МПЛ и ШД в многослойной среде методом интегральных уравнений. Описан метод получения спектрального образа функции Грина. Предложена модель
эквивалентного поверхностного импеданса для неидеальных проводников конечной толщины. Обсуждаются вопросы моделирования плотности поверхностного тока с учетом краевой сингулярности на ребре проводника и конечности тока в случае неидеальности проводника. Анализируются преимущества и недостатки двух базисных наборов для разложения плотности тока с точки зрения удовлетворения условию на ребре электрода и сходимости проекционной процедуры. Обсуждается метод определения модальных мощностей многосвязной ЛП и предлагается способ расчета касательных полей в слоях структуры. Представлена формулировка принципа дуальности для получения матрицы характеристических проводимостей ЩП в терминах магнитных интегральных величин. Обсужцаются проблемы определения эквивалентных схем неоднородностей в ЩП и КПВ и предложена процедура их получения на основе концепции дуальности цепей.
В третьей главе приведены результаты моделирования МПЛ и ЩП на основе ВТСП и нормальных металлов.
Выполнено сравнение результатов расчета при использовании различных базисных наборов - полиномов Чебышева и полиномов Лежандра. Представлены результаты моделирования краевого тока. Выполнен расчет дисперсионнных характеристик и анализ СВЧ-потерь в МПЛ и ЩП. Представлен расчет линий передачи на подложке, содержащей тонкий слой сегнтоэлектрика, и выполнен анализ его влияния на характеристики линии. Предложена расчетная модель перемычки - «воздушного мостика» - для согласования копланарной линии в одномодовом режиме с блоком связанных линий. Представлены результаты теоретического моделирования фильтра 12 порядка на микрополосковых S-образных резонаторах и выполнено сравнение с расчетом в других программах и с экспериментальными данными. Представлены результаты теоретического моделирования и экспериментальных измерений фильтра 5-го порядка на копланарных резонаторах типа «шпилька». Выполнено сравнение результатов с расчетами в программном пакете "HP Momentum" и в программе, использующей квазистатическое приближение. Представлены результаты расчета спроектированного фильтра 7-го порядка на копланарных меандровых резонаторах по предложенной модели и в ADS "Momentum" с целью выяснения влияния неоднородностей на точность характеристик.
В четвертой главе представлен электродинамический анализ планарных структур с произвольной геометрией электродов на основе метода интегральных уравнений для электрического поля. Приведен способ определения тензорной
функции Грина для структуры, содержащей анизотропные диэлектрические слои. Показано, что расчет S-параметров устройства с N входами выполняется с использованием результатов моделирования регулярных линий передачи. Области входов устройства представляются отрезками одномодовой линии передачи, для каждой из которых по разработанной одномерной программе определяется коэффициент распространения волны. Каждое из N линейно независимых состояний возбуждения определяются как состояние с заданным возбуждающим током в одном из запитывающих плечей. Расчет амплитудных коэффициентов падаюших и отраженных волн тока выполняется для каждого из состояний возбуждения с использованием проекционной процедуры. Приведены результаты моделирования резонаторов и сравнение с доступными теоретическими расчетами другими методами.
В приложении представлен способ вычисления асимптотического ряда в матрице Галеркина.
Модель многосвязной микрополосковои линии передачи (МГШ)
Поперечное сечение многосвязной микрополосковой экранированной линии представлено на рис. 1.1. Связанные МПЛ определяются как ЛП, между которыми существует непрерывно распределенная по длине электромагнитная связь. При несимметричности обкладывающих электроды диэлектрических слоев, основными типами волн или фундаментальными волнами в подобных линиях передачи являются гибридные волны так называемого квази-Т-типа. Такие квази-поперечные волны имеют продольные составляющие электромагнитного поля много меньшие поперечных, не имеют отсечки, но, в отличие от волн Т-типа, обладают дисперсией [70]. Отметим, что в полосковой линии, являющейся с точки зрения постановки задачи частным случаем обобщенной задачи для МПЛ, основным типом волны является бездесперсионная, чисто поперечная волна. Волны высших порядков, (Н- и Е-типа) не рассматриваются при анализе, так как перенос энергии осуществляется в основном фундаментальными волнами. Излучение в виде поверхностных и пространственных волн (в англоязычной литературе - leaky waves) также не является задачей исследования, поскольку целью является моделирование экранированных структур для проектирования полосно-пропускающих фильтров. Однако расчет таких волн (например, при анализе антенн) может быть выполнен на втором шаге расчетного алгоритма, после определения постоянной распространения, как результат вычисления сингулярных интегралов и определения полюсов и точек ветвления функции Грина. Представленный в данной главе анализ применяется к следующим структурам. выше и ниже поверхности электродов располагается произвольное число изотропных диэлектрических слоев. Каждый из них характеризуется толщиной и диэлектрической проницаемостью; проводник предполагается бесконечно тонким; геометрия поверхности с полосковыми электродами характеризуется шириной полосковых электродов, зазоров между ними и, в случае экранированной структуры, расстоянием до боковых стенок; вся структура находится в прямоугольной области, ограниченной плоскостями x=-L, x=L, у=0,у=Н; плоскости у = 0,у = Н могут быть определены каждая как электрическая стенка (ЭС), магнитная стенка (МС), или открытая граница для полубесконечной среды (ОГ). плоскости x = 0,x = L могут быть заданы ЭС, МС, или периодическими граничными условиями (ПТУ). При моделировании осуществляется учет потерь как в заземляющих экранах, так и в диэлектриках. Для учета потерь в электродах используется концепция эквивалентного поверхностного импеданса проводника конечной толщины.
Решение выполняется на основе метода моментов в спектральной Фурье-области . Касательное поле в поверхности у = yi расположения электродов может быть представлено в виде: электрического поля и плотности поверхностного тока, а Ъ(х,х у тензорная функция Грина. Для решения задачи анализа структуры, представленной на рис.1.1, необходимо удовлетворить общему граничному условию (1.1) для касательных компонент электрического поля в плоскости расположения проводника: где символом Е " 5 обозначено так называемое прошедшее поле, связанное с неидеальностью проводника. Поле рассеяния выражается с помощью интегрального представления (1.2) . Касательная составляющая прошедшего поля может быть выражена с помощью импедансного граничного условия: Здесь необходимо остановиться на обсуждении двух вариантов решения поставленной задачи: 1) в предположении идеальности проводника. 2) с учетом его конечной проводимости и вызванных этим омических потерь. Очевидно, в первом случае, когда касательная составляющая электрического поля в проводнике равна нулю, мы получаем существенное упрощение анализа, но теряем в точности описания реальной структуры, с вполне представимыми последствиями при дальнейшем проектировании конкретного устройства. Однако постоянная затухания, связанная с потерями в проводнике, может быть тем не менее вычислена с достаточно высокой степенью точности. Для этого применяются метод возмущения и метод, основанный на вычислении отношения мощности, рассеянной в объеме проводника, к общей мощности, протекающей через объем идеального проводника [71].
Во втором случае электродинамический анализ выполняется с учетом ненулевой правой части соотношения (1.3). Результатом расчета является комплексная постоянная распространения, мнимая часть которой, - постоянная затухания, - дает информацию об омических потерях, причем с учетом частотной дисперсии. Однако два недостатка требуют оценки целесообразности второго подхода. Первым и очевидным является увеличение времени расчета, что становится критичньм при проектировании устройств с большим массивом связанных линий. Вторым недостатком является обсуждаемая ниже расходимость метода при применении процедуры Галеркина в стандартной постановке и, тем самым, необходимость изменений в формулировке метода. Таким образом, приводя формулировку метода в наиболее общем виде, в следующей главе мы остановимся на способе определения постоянной затухания в случае первоначального расчета для идеального проводника. Итак, перепишем соотношение (1.3) в виде: Здесь символом к обозначен номер полоскового электрода. Выполняя операцию Фурье-преобразования по переменной х, определенную как: и перенося соответствующие члены в левую часть, преобразуем систему (1.5) в систему алгебраических уравнений которая кратко может быть записана в матричном виде В записи (1.8) отражена зависимость функции Грина от искомой постоянной распространения /?. В дальнейшем, спектральные образы функций будут обозначаться тильдой, при этом, например, спектральный образ напряженности электрического поля будет называться кратко «спектральным» электрическим полем. Поскольку в данной формулировке представлены потери в электродах, учет которых производится на основе использования поверхностного импеданса проводника нулевой толщины, то важной задачей является разработка модели эквивалентного поверхностного импеданса для реального, имеющего конечную толщину электрода.
Концепция эквивалентного поверхностного импеданса
Современные диэлектрические материалы имеют, как правило, весьма низкий тангенс потерь. Например, у сапфира он составляет 10"7-10"8, у МдО - 10 б. Вследствие этого, именно потери в проводнике становятся доминирующим фактором, определяющим добротность линии передачи. При создании фильтров с малыми потерями наиболее перспективным является использование высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП), что позволяет получать величину вносимых потерь в полосе пропускания фильтров 0.1-1.0 дБ [82-85]. Эта величина примерно на порядок меньше, чем в случае использования нормальных металлов для аналогичных устройств [85-86]. Характерная для ВТСП проводимость является комплексной величиной. Ее реальная часть соответствует проводимости нормальных электронов (в двухжидкостной модели) и представляет собой потери энергии в сверхпроводящей пленке. Мнимая часть проводимости относится напрямую к переносу энергии куперовскими парами и определяет индуктивную энергию, запасенную в пленке. Таким образом, если обычный проводник характеризуется весьма малой величиной запасенной энергии, то в сверхпроводнике значительная часть энергии может сохраняться без потерь. Рассмотрение конечного объема ВТСП проводников, обеспечивающее корректный учет вклада кинетической индуктивности в потери в полосках был сделан в работах [87-88]. Однако использование в качестве аппарата исследования метода объемных интегральных уравнений в спектральной области (Spectral Domain Volume Integral Equation - SDVIE) требует большого объема вычислений. В работе [89] для решения задачи методом моментов в спектральной области используются все три компоненты искомого вектора тока.
Так же, как и в случае SDVIE, метод неэффективен с точки зрения высоких требований к компьютерным ресурсам. Этот недостаток, впрочем, можно отнести ко всем трехмерным методам при анализе планарных структур. В двумерной постановке поверхность электродов представляется проводящим токовым слоем в приближении его нулевой толщины. Поэтому возникает необходимость создания корректной модели плоского электрода конечной толщины путем введения эквивалентного поверхностного импеданса (ЭПИ) проводящего слоя. В ряде работ предлагались различные концепции использования эквивалентных импедансных граничных условий. В работе [90] где crsc - комплексная проводимость в сверхпроводящем состоянии, а / - толщина пленки. Формула (2.23) является приемлемой аппроксимацией только в случае малых вариаций поля внутри полоска при условии очень малой толщины пленки по сравнению с Лондоновской глубиной проникновения Ль. В работе [75] предложена формулировка эквивалентного поверхностного импеданса для очень тонких и очень толстых (толщиной много большей Л) пленок. В первом случае используется выражение (2.23). Во втором - касательное поле E = ZWJ в проводнике определяется на верхней и нижней поверхностях толстого микрополоскового проводника через поверхностные токи на каждой из них. Выражения плотностей токов записываются в одинаковой функциональной форме для получения единого «эквивалентного тока», определяемого с помощью метода моментов. Значение основной модельной величины, характеризующей отношение верхнего и нижнего токов, предлагается определять с помощью квазистатического метода, из-за чего применимость модели снижается.
Концепция ЭПИ в работе [91] основана на расчете объемного тока внутри полоска при рассмотрении запасенной и рассеянной в нем энергии в соответствии с некоторой аппроксимационной формулой. Та же формула для объемного тока используется в случае двух связанных полосковых линий. Очевидно, что предложенный подход не вполне корректен в случае малого расстояния между электродной поверхностью и заземляющим экраном и в случае большого числа связанных линий, поскольку ток изолированного полоска не может быть приемлемой аппроксимацией для полосковых линий с сильной связью. В данной работе предложена концепция ЭПИ как выражения, связывающего спектральные электрическое поле и плотность тока в случае конечной толщины пленки, сравнимой с Лондоновской глубиной проникновения [92]. Рассмотрим две структуры рис. 2.4, на котором представлены реальный ВТСП микрополосковый электрод с толщиной / и эквивалентный бесконечно тонкий. В первом, если t=ЛІ , касательные компоненты электрического и магнитного полей на верхней и нижней поверхностях связаны импедансной матрицей (Z-матрицей), определенной для участка линии длины / в Поскольку основным типом волн являются волны квази-Т типа, мы можем пренебречь вкладом в потери поперечного тока и будем рассматривать только х-компоненты магнитного поля: Чтобы перейти к эквивалентному поверхностному импедансу, введем средневзвешенную величину напряженности электрического поля [93]: (2.31) Подставляя в нее значения из (2.31), получим связь между спектральной компонентой поля и плотностью поверхностного тока: Применение проекционных методов требует разложения неизвестной функции решения по базису { } линейно независимых функций [94]. Поскольку существует неединственный набор, удовлетворяющий условиям использования его в проекционном методе для конкретного уравнения, то определяющим критерием выбора является достижение заданной погрешности получаемого решения с максимальной скоростью. Для этого выбирается базисный набор, наилучшим образом удовлетворяющий физическим условиям задачи. На предварительном этапе теоретического анализа следует выявить аналитический вид особенностей решения, на основе, например, известного характера поведения плотности тока на полосковых электродах (рис. 1.2). Основные требования к множеству базисных функций - линейная независимость и полнота. Очевидным преимуществом обладают ортогональные базисы.
По характеру используемых функций базис может состоять из непрерывных на области задания искомого решения функций, и финитных на ней. В нашей задаче первые имеют носитель по всей области проводника, вторые - на подобластях, определяемых некоторым конечным разбиением (рис. 2.5). Преимущества базисных функций с носителем на всей области решения заключаются в более быстрой сходимости метода Галеркина при большей простоте его реализации. Недостатком является требование максимальной простоты геометрии и необходимость увеличивать число базисных функций при моделировании токов вне области резонанса. В втором случае вводится пространственная сетка и базис является конечномерным. Измельчение сетки, требуемое для получения заданной точности решения, существенно увеличивает время расчета за счет увеличения количества элементов матрицы Галеркина. Недостатком также является необходимость сгущать сетку в местах неоднородностей, что, например, имеет
Вычисление матрицы характеристических проводимостей
Для определения амплитуд собственных напряжений, соответствующих каждой основной моде, мы воспользуемся формулой их расчета по известным мощности и току [95]. Далее матрицу, столбцы которой являются векторами собственных напряжений, называем матрицей модальных напряжений. Матрицы модальных мощностей, токов и напряжений связаны следующим соотношением: где к-ътй столбец матрицы V (I ) является вектором собственных напряжений (токов), соответствующим к-ой моде. Необходимо заметить, что в общем случае - при наличии потерь и в отсутствие симметрии расположения полосковых электродов - матрица Р не является диагональной. Однако использование условия ортогональности позволяет избежать необходимости вычисления взаимных мощностей Р " , которые должны определяться для электрического поля /-ой моды и магнитного т — ой моды в (2.68). Условие ортогональности между собственными токами и собственными напряжениями представим в виде системы уравнений где m,l,k=l,...,N - номера соответствующих мод. Таким образом, если сформирована диагональная матрица модальных мощностей Pd/ , то И, наконец, элементы матрицы модальной проводимости Ykm, представляющие собой характеристическую проводимость к-ой линии при распространении т-ой моды, определяются как отношения соответствующих элементов матриц модальных токов и напряжений Итак, представленная методика расчета многосвязной линии передачи предполагает последовательное выполнение шагов: 1. Определение выражений функции
Грина для анализируемой структуры. 2. Определение асимптотического выражения элементов тензора Грина. 3. Вычисление элементов матрицы Галеркина с использованием метода Куммера. 4. Решение основного дисперсионного уравнения и определение постоянных распространения фундаментальных волн. 5. Определение матрицы значений собственных токов. 6. Вычисление матрицы модальных мощностей. 7. Вычисление матрицы модальных проводимостеи. 8. Расчет Y-матрицы устройства, реализованного на отрезках ЛП. Секция N-связной МПЛ представляет собой устройство с 2N входами (рис. 2.8), внешней характеристикой которого могут быть: матрица проводимостеи (Y-матрица), матрица сопротивлений (Z-матрица) или матрица рассеяния (S-матрица). Обозначим Y-матрицу устройства с 2N входами Y2N . Ее построение осуществляется на основе найденной матрицы модальных проводимостей Y и имеет блочный вид:
Согласно [95], блоки Y-матрицы определяются следующим образом: Здесь обозначает поэлементное перемножение матриц, (/V) -произведение коэффициента распространения к-ой моды на длину отрезка многосвязной МГШ, диагональные матрицы [coth(/y)J и [cosech(/y)] имеют вид S-матрица устройства определяется через его Y-матрицу Y2N в соответствии с матричным преобразованием [97]: где Y0=[Kl "J - диагональная матрица входных проводимостей 2N входов. В случае, например, двух запитывающих входов с индексами 2N -1 и 2N, имеющих входные проводимости Y2N_i и Y2N она принимает вид: Расчетная модель структуры многосвязной щелевой линии передачи представлена на рис.1.3. - искомый вектор касательного электрического поля. Его компоненты в пространственной области должны быть определены только в зазорах между электродами и обращаться в ноль за их пределами. Запишем в матричном виде соотношение между полями и индуцированным током J = Y-[-E "e+E ram ] . (2.96) Элементы матрицы Y = Z_1 имеют вид: Y„(a,fi) =—J—(1L-+P-) СС + р Lm ZTE а +р L,ni z,re (2.97) ( пі 2 \ YB(a,P) = 7 7 a2+j32 Выразим искомое тангенциальное поле в области щели относительно плотностей распределения токов: J = Y [-Ё" с + Ё1гат ] = J = -Y Ё" с + ZsurY J о \Zmr Y -1J J = Y E "c о J = \Zsur Y -1J Y E",c где I - единичный тензор. Обозначая Y = I ZmrY -1 Y , получим основное соотношение между плотностью индуцированного поверхностного тока на электродах и касательньм полем в щели: J = Y -E "C (2.99) Будучи по существу обращенным уравнением (1.7), оно является выражением принципа двойственности для полей и токов в полосковой и щелевой конфигурациях. Соотношение (2.99) в соответствии с рассуждениями, приведенными к системе (2.44), может быть переписано относительно поперечной компоненты электрического поля и производной ее продольной компоненты:
Моделирование щелевых линий
В качестве первого примера рассмотрим копланарную линию на двухслойной подложке. Графики зависимости волнового сопротивления линии и эффективной диэлектрической проницаемости копланарнои моды от характеристической ширины КПВ a=w+2s приведены на рис. 3. 21. В отличие от МПЛ (рис. 3.17), в данном случае влияние сегнетоэлектрической пленки на волновое сопротивление линии гораздо сильнее. Такое отличие связано со структурой элетромагнитного поля четной моды - оно концентрируется в основном в области щелей и сильнее возмущается верхним слоем сегнетоэлектрика. Поведение диэлектрической константы аналогично случаю МПЛ. С целью проверки расчетной модели для многосвязных щелевых линий рассмотрим 4-щелевую линию на двухслойной подложке с верхним слоем сегнетоэлектрика (рис. 3.22, а)). Распределение электрического поля для каждой из четырех фундаментальных мод представлено на рис. 3.22,б),в). Номер моды пропорционален коэффициенту замедления волны. В отличие от МПЛ (см. рис. 3.10) наибольшей добротностью обладает нечетная первая мода, характер распределения поля в которой соответствует распределению поля в одиночной щелевой линии. Напряженность поля этой моды в области всех щелей не меняет своего направления. На рис. 3.23 приведены графики распределения плотности поверхностного тока на электродах щелевой линии. Интересно отметить, что полный ток на внутренних электродах щелевой линии для первой моды равен нулю, что и обеспечивает наименьший вклад в общие потери именно этой моды. Использование сегнетоэлектрика в перестраиваемых устройствах на копланарных линиях требует анализа влияния диэлектрической постоянной на фазовую скорость волны и вклада омических потерь в общие потери. Например, в работе [120] приводятся экспериментальные данные для фазовращателя на КПВ, в котором обнаруживаются столь высокие потери, что возникает вопрос о целесообразности реализации подобного устройства на распределенных элементах. Анализ результатов моделирования щелевой линии позволяет, в частности, выяснить, какая из фундаментальных мод характеризуется наибольшей величиной параметра качества - отношения фазового сдвига к величине потерь.
Сдвиг фазы вдоль линии длины / на двуслойной подложке с сегнетоэлектриком, находящемся двух дискретных состояниях, характеризующихся двумя диэлектрическими постоянными є\ и sj равен Усредненные потери могут быть выражены в дБ по формуле: ,=8.68-3 ./, а параметр качества фазовращателя Здесь для удобства символом /? обозначена фазовая постоянная волны, а символом а - постоянная затухания. Индексы 1,2 относятся к одному из двух состояний сегнетоэлектрика. Вычислив постоянные распространения каждой моды с учетом: только диэлектрических потерь в сегнетоэлектрике, только омических потерь в металле электродов, общих потерь, можно выяснить влияние потерь каждого типа на параметр качества отдельной моды. Сравнивая полученные результаты приходим к следующим выводам: 1. Вклад омических потерь в общие потери гораздо значительнее по сравнению с вкладом диэлектрических потерь для мод с номерами 2,3,4. Для первой моды величины потерь каждого типа сравнимы и она обладает наибольшей добротностью. 2. Наибольшим параметром качества обладает первая мода. Таким образом, возбуждение первой моды при одновременном подавлении всех остальных позволит проектировщику получить более высокий параметр качества фазовращателя, чем приведен в [121-123]. Использование такой многосвязной щелевой линии как базового элемента фазовращателя позволяет получить существенное уменьшение вносимых потерь по сравнению с обычно используемым копланарным волноводом [120,124]. В качестве первого примера рассмотрим фильтр пятого порядка на копланарных встречно-штыревых резонаторах типа «шпилька», топология которого представлена на рис. 3.24. Для проектирования такого фильтра используется методика расчета фильтров на встречных стержнях с узкой и средней полосой пропускания, предложенная в [125]. На рис. 3.25,а) приведена эквивалентная схема фильтра на встречных стержнях.
Полосковые резонаторы расположены между параллельными заземленными пластинами. Длина каждого резонатора равна Я/4 на средней частоте полосы пропускания. Один конец резонатора разомкнут, другой короткозамкнут. Линии с номерами 1,...,п являются резонаторами, а нулевая и п+1 - ая линии служат трансформаторами сопротивлений.
