Содержание к диссертации
Введение
1 Динамика модели ФитцХью-Нагумо с нелинейным восста новлением 14
1.1 Бифуркационный анализ модели 16
1.1.1 Поглощающая область 16
1.1.2 Состояния равновесия 19
1.1.3 Функция Ляпунова 25
1.1.4 Гомоклинические орбиты 25
1.2 Бифуркационные диаграммы и основные динамические режимы 35
1.3 Динамические режимы с мультипороговыми свойствами . 47
1.4 Выводы 53
2 Динамика одномерной двухкомпонентной реакционно диффузионной системы со сложно-пороговыми свойствами 55
2.1 Система для бегущих волн 56
2.1.1 Состояния равновесия системы для бегущих волн и их локальные бифуркации 58
2.1.2 Поверхности без контакта 60
2.1.3 Динамика системы для бегущих волн при с 63
2.2 Гетероклинические траектории 64
2.2.1 Системы сравнения 65
2.2.2 Функция расщепления 69
2.3 Гетероклинический контур и нетривиальное пространственно-временное поведение системы 71
2.3.1 Механизм отражения волновых фронтов 80
2.4 Мультипороговое возбуждение и нетривиальное пространственно-временное поведение системы 83
2.4.1 Механизм отражения бегущих импульсов возбуждения 85
2.5 Выводы 86
3 Динамика двумерной двухкомпонентной реакционнодиффузионной системы со сложно-пороговыми свойствами 88
3.1 Базовые динамические свойства реакционно-диффузионной системы 90
3.1.1 Динамика локального элемента 90
3.1.2 Устойчивость пространственно-однородных состояний равновесия 93
3.2 Регулярные (стационарные) локализованные структуры 94
3.2.1 Области существования и мультистабилыюсть регулярных структур / 97
3.2.2 Робастность регулярных структур 100
3.2.3 Динамические механизмы формирования и устойчивости регулярных структур 101
3.2.4 Взаимодействие регулярные структур 105
3.3 Полиморфные (нестационарные) локализованные структуры 111
3.3.1 Типы полиморфных структур и их основные свойства 113
3.3.2 "Диссипативный" перезапуск полиморфных структур 119
3.3.3 Бифуркации полиморфных структур 121
3.4 Выводы 126
Заключение 129
Литература 131
- Гомоклинические орбиты
- Состояния равновесия системы для бегущих волн и их локальные бифуркации
- Гетероклинический контур и нетривиальное пространственно-временное поведение системы
- Регулярные (стационарные) локализованные структуры
Введение к работе
Интерес к исследованию процессов в неравновесных пространственно-распределенных системах, наблюдающийся уже в течение достаточно длительного времени, не только не ослабевает, но и в последние годы усиливается, что свидетельствует о фундаментальном характере и актуальности этой проблемы. Одним из наиболее ярких и удивительных явлений, наблюдаемых в широком классе неравновесных систем, является формирование разнообразных пространственно-временных структур и, в частности, нелинейных волн и локализованных структур. Различные типы таких состояний экспериментально обнаружены, например, в гидродинамических системах [1-3], в газоразрядных [4-6], полупроводниковых [7-9] и оптических системах [10-12], в гранулированных материалах [2,13], в астрофизических [14] и квантовых системах [15], в некоторых химических системах [16-24], в нейронных системах [25-30], в сердечной ткани [31], в колониях микроорганизмов [32] и др. На рис. 1 приведено несколько примеров локализованных структур экспериментально обнаруженных в очень разнообразных по своей природе системах в физике, химии и биологии. Выявление закономерностей формирования и эволюции локализованных структур и нелинейных волн, таким образом, составляет одну из фундаментальных проблем радиофизики.
Важный класс неравновесных систем, обладающих разнообразием формируемых пространственно-локализованных и волновых структур, образуют так называемые реакционно-диффузионные системы. Общепринятое название систем "реакция-диффузия" пришло из химии и является отражением двух основных процессов, происходящих в таких системах, фактически определяющих их пространственно-временное поведение, - взаимодействия между локальными компонентами систем (реакций) и про- t = 0
0.125 0.250 0.375 0.500 0.750 c
(6)
80 mc
Рис. 1: Примеры экспериментально обнаруженных локализованных структур: (а) - в газоразрядной системе (токовые филаменты, рисунок взят из работы [6]), (б) - при гетерогенном окислении моноокиси углерода СО на поверхности платины (градацией серого цвета показана поверхностная плотность поглощенных атомов кислорода, рисунок взят из работы [23]), (в) - в срезах соматосенсорных областей неокоры крысы (структуры спайковой активности, рисунок взят из работы [28]) странственной диффузии компонент. Реакционно-диффузионные системы описывают процессы различной природы в физике, химии, биологии и др. В частности, такие системы естественным образом возникают при исследовании процессов в сетях нейронов (нервных клеток), связанных посредством так называемых электрических синапсов.
Началом исследований систем "реакция-диффузия" принято считать пионерские работы Колмогорова - Петровского - Пискунова [33], Фишера [34] и Зельдовича - Франк-Каменецкого [35], выполненные в 30* годах прошлого века. В этих работах на примере однокомпонентных одномерных систем "реакция-диффузия" была показана возможность формирования самоподдерживающихся бегущих волн переключения между различными пространственно-однородными состояниями (волновых фронтов), не меняющих ни своей скорости, ни своего профиля. Пространственно-локализованные структуры в системах "реакция-диффузия" были обнаружены значительно позже в серии знаменитых работ Ходжкина и Хаксли [36], посвященных исследованию механизмов распространения нервных импульсов вдоль гигантского аксона кальмара. Модель, предложенная этими авторами, имеет вид четырехкомпонентной одномерной системы "реакция-диффузия", одним из решений которой является структура в виде локализованной (уединенной) стационарной волны - бегущего импульса. Это была первая модель реакционно-диффузионного типа примененная для описания процессов в нейронных системах. Дальнейшее развитие теория реакционно-диффузионных систем получила в работах Алана Тьюринга [37], Белоусова- Жаботинского [38-42], ФитцХью - Нагу-мо [43-45] и др. В этих работах была показана возможность формирования стационарных пространственно-неоднородных структур, появляющихся в результате усиления неустойчивостей, вызванных действием диффузии (структуры Тьюринга), спиральных волн и концентрических колебательных структур, возникновения пространственно-однородных колебаний, а также формирования и распространения импульсов возбуждения в сравнительно простых (двухкомпонентных) моделях.
К настоящему времени опубликовано значительное число работ по ис- следованию процессов структурообразованию в различных реакционно-диффузионных системах, изучены основные механизмы формирования структур активности в таких системах. Однако, несмотря на достигнутый прогресс, здесь еще остается целый ряд нерешенных проблем.
Одной из таких проблем является выявление механизмов формирования сложных пространственно-временных, в том числе фрактальных, структур активности.
Другая важная проблема - исследование механизмов формирования движущихся (волновых) неодномерных локализованных структур в многомерных (две и более пространственных координаты) реакционно-диффузионных системах. Известно, что в одномерных двухкомпонентных системах "реакция-диффузия" существует большое разнообразие как неподвижных, так и движущихся устойчивых локализованных структур - одиночных импульсов (или автосолитонов), связанных состояний из некоторого числа импульсов, стационарных локализованных структур (пятен), осциллонов, бризеров и др. [46-48]. Различные типы устойчивых неподвижных локализованных структур могут формироваться и в двумерных двухкомпонентных системах "реакция-диффузия" [49]. С другой стороны, устойчивые движущиеся (волновые) неодномерные локализованные структуры обнаружены лишь в многокомпонентных (три и более компоненты) реакционно-диффузионных системах [50-56]. Наряду с основным ингибитором, который ограничивает распространение активатора (возбуждения) в направлении распространения структур, такие системы содержат дополнительный ингибитор со специально подобранными свойствами, который эффективно подавляет распространение возбуждения во всех остальных направлениях и, таким образом, обеспечивает локализацию. В двумерных двухкомпонентных моделях были обнаружены лишь "долгоживущие" движущиеся локализованные возбуждения, время жизни которых резонансным образом зависит от параметров системы [21, 57]. Сравнительно недавно было установлено, что такие "долгоживущие" локализованные структуры могут !быть стабилизированы для получения устойчивых движущихся локализованных решений. В частности, в рабо- тах [20-22,58-60] показано, что придать устойчивость подвижным локализованным структурам в двумерных двухкомпонентных моделях можно путем введения в систему отрицательной обратной связи, поддерживающей, фактически, некоторый постоянный уровень общей концентрации либо одной, либо нескольких компонент. Аналогичную стабилизирующую роль играет также введение прямоугольной периодической неоднородности по одной из пространственных координат [61] или сильной анизотропии диффузии, например, путем установления вдоль разных пространственных координат существенно отличных коэффициентов диффузии [62].
Следует отметить, что обнаруженные прежде неодномерные движущиеся локализованные структуры являются стационарными, т.е. они не меняют ни профиля ни скорости при распространении. С другой стороны, сравнительно недавно [63] в одномерных реакционно-диффузионных системах были обнаружены более сложные (нестационарные) волновые локализованные структуры. Примером здесь может служить структура в виде осциллирующего бегущего импульса. Однако, неодномерные нестационарные волновые структуры в многомерных реакционно-диффузионных системах не были обнаружены.
Цель диссертационной работы
Целью диссертационной работы является исследование пространственно-временного поведения одномерных и двумерных двухкомпонентных систем "реакция-диффузия", локальная динамика которых характеризуется наличием нетривиальных сложно-пороговых режимов, изучение процессов формирования устойчивых волновых и пространственно-локализованных структур, в том числе и нестационарных, исследование их свойств и бифуркаций при изменении параметров систем.
Научная новизна работы
1. Показано, что модель ФитцХью-Нагумо с нелинейным поведением восстанавливающей переменной обладает нетривиальными сложно- пороговыми, в том числе мультипороговыми, свойствами.
Предложен подход к исследованию сложной пространственно-временной динамики одномерной двухкомпонентной системы "реакция-диффузия" со сложно-пороговыми свойствами, состоящий в изучении ге-тероклинических контуров в соответствующей системе для бегущих волн.
Предложен новый механизм "отражения" волновых фронтов и локализованных волн в одномерной системе "реакция-диффузия" при их взаимодействии друг с другом и границами системы, в основе которого лежит мультипороговость ее элементов.
Показано, что двумерная двухкомпонентная система "реакция-диффузия" со сложно-пороговыми свойствами поддерживает формирование устойчивых волновых стационарных локализованных структур (регулярных структур) и обладает по отношению ним высокой муль-тистабильностыо.
Показано, что в двумерной двухкомпонентной системе "реакция-диффузия" со сложно-пороговыми свойствами возможно формирование и распространение трех типов устойчивых нестационарных локализованных структур (полиморфных структур), характеристики которых изменяются во времени периодически, квазипериодически и хаотически.
Методы исследований и достоверность результатов
Исследование динамики рассмотренных в диссертации систем проводилось с использованием методов современной нелинейной динамики (изучение структуры фазового пространства, построение пространственно-временных и бифуркационных диаграмм, исследование спектров Ляпунов-ских показателей и сечений Пуанкаре) и численного моделирования. Достоверность полученных результатов подтверждается согласованностью результатов аналитического исследования и численного моделирования, экспериментальными данными исследований реакционно-диффузионных систем, а также согласованностью с результатами других авторов.
Основные положения, выносимые на защиту
Модель ФитцХыо-Нагумо с нелинейным восстановлением обладает мультипороговыми свойствами.
В одномерной двухкомпопентной системе "реакция-диффузия" со сложно-пороговыми свойствами (далее для краткости РДСП система) возможно формирование различных стационарных бегущих волн - импульсов возбуждения и волновых фронтов, неподвижных осцилля-торных и движущихся локализованных структур, представляющих собой связанные состояния волновых фронтов, а также сложных нестационарных колебательно-волновых структур.
Нетривиальное пространственно-временное поведение одномерной РДСП системы ассоциируется с наличием у соответствующей системы для бегущих волн сложной структуры - гетероклинического контура, образованного многообразиями двух седло-фокусов, имеющих превалирующее неустойчивое направление, существующего в пространстве параметров системы на сложных бифуркационных множествах коразмерности два.
В одномерной РДСП системе стационарные бегущие волны при взаимодействиях друг с другом и границами системы могут как аннигилировать, так и демонстрировать солитоноподобное поведение, т.е. отражаться друг от друга, от границ системы и "переключаться" в новое состояние. Наличие солитоноподобных свойств волн в данной системе определяется нетривиальными мультипороговыми свойствами ее локальной динамики.
В двумерной РДСП системе возможно формирование и распространение большого числа устойчивых стационарных (регулярных) и трех типов устойчивых нестационарных (полиморфных: периодических, квазипериодических и хаотических) неодномерных пространственно-локализованных структур активности.
Практическая и теоретическая значимость результатов
Полученные результаты позволяют продвинуться в понимании процессов и механизмов формирования сложного пространственно-временного поведения реакционно-диффузионных систем, в том числе образования нетривиальных колебательно-волновых и неодномерных локализованных структур активности.
Развитые методики исследования представленных в работе нелинейных динамических систем могут быть использованы для изучения разнообразных радиофизических систем обладающих сложной пространственной и временной динамикой.
Результаты диссертации могут найти применение при разработке нетрадиционных систем обработки, хранения и передачи информации, основанных на нейродинамических принципах.
Результаты, изложенные в диссертационной работе, могут быть использованы в организациях, занимающихся нелинейной динамикой и моделированием различных неравновесных пространственно-распределенных, в частности нейронных, систем (Физический институт имени П.Н. Лебедева РАН, Институт Радиотехники и Электроники РАН и др.), а также в учебном процессе ВУЗов (ННГУ, СГУ, МГУ и др.), при обучении студентов по специальностям радиофизического профиля.
Апробация работы и публикации
Основные результаты работы докладывались на всероссийских и зарубежных конференциях и симпозиумах, в том числе:
7-я и 12-я научная конференция ННГУ по радиофизике (2003, 2008, Нижний Новгород, Россия).
10-я Нижегородская сессия молодых ученых (2005, Нижний Новгород, Россия).
7-я и 8-я Международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур" (2004, 2007, Саратов, Россия).
12-я, 13-я, 14-я Научная школа "Нелинейные волны" (2004, 2006, 2008, Нижний Новгород, Россия).
Международная конференция "Dynamic Days" (2002, Heidelberg, Germany) .
Международный симпозиум "Topical problem of Nonlinear Wave Physics" (2003, Нижний Новгород, Россия).
14-ый и 16-ый Международный симпозиум "Nonlinear Dynamics of electronic systems" (2006, Dijon, France; 2008, Nizhny-Novgorod, Russia).
17-ая научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике (2008, Москва, Россия). ,
По теме диссертации было опубликовано 17 научных работ, в том числе 4 статьи в отечественных и зарубежных рецензируемых журналах, 1 глава в книге, 6 статей в сборниках трудов конференций и 6 в тезисах докладов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [108-124].
Результаты работы получены в рамках грантов РФФИ (03-02-17135, 06-02-16137, 08-02-97035, 09-02-91061-НЦНИ), гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (НШ-7309.2006.2), ФЦНТП "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники" (госконтракт №40.020.1.1.1168), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (госконтракт №П942), программ президиума РАН ("Фундаментальные проблемы нелинейной динамики") и ОФН РАН ("Проблемы радиофизики") и др.
Личный вклад автора
Основные результаты диссертационной работы получены лично автором. В совместных работах автором выполнены все компьютерные расчеты, включая программирование задач и проведение численных экспериментов. В частности, здесь следует отметить обнаружение и исследование мультипороговых свойств системы ФитцХью-Нагумо с нелинейным восстановлением, а также исследование процессов формирования, распространения и взаимодействия сложных волновых, в том числе неодномерных пространственно-локализованных, структур. Формулировка и постановка основных задач, определение методов и подходов к их решению, теоретический анализ и интерпретация полученных результатов были выполнены совместно с научным руководителем и другими соавторами работ.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 144 страницы текста, включая 52 рисунка и список литературы из 125 наименований на 13 страницах.
Гомоклинические орбиты
Пусть для определенности а 1 и (5 а (1.3). Покажем, что в системе (1.4) существует, по-крайней мере, три вида гомоклинических орбит, образованных различными сепаратрисами седла (. Гомоклиническая орбита Г і ("малая" гомоклиническая орбита). Рассмотрим взаимное расположение на фазовой плоскости {и, у) сепаратрис седла 02- Обозначим через и{ - абсциссу точки пересечения сепаратрисы Wf с прямой у = 0 (см. рис. 1.5 (а)), в которой Wf первый раз пересекает эту прямую со стороны у 0 при уменьшении t. Обозначим через и\ - абсциссу точки пересечения сепаратрисы Wf с прямой у = 0, ко- торая образована её первым пересечением (при увеличении t) со стороны Заметим, что функция рі(є, /) является непрерывной функцией парамет ров системы и однозначно характеризует взаимное расположение сепаратрис W{ и Wi. Очевидно, что нули функции рі(є,І) соответствуют гомо-клиническим орбитам седла О2, образованным сепаратрисами W{ и W". Выделим на плоскости параметров (є, I) области, соответствующие различным знакам функции р\. Для этого при и 0 введем в рассмотрение следующую функцию: Из (1.23) получаем, что при є а выполняется условие V2 О и 1 ( , у) -функция Ляпунова. Нетрудно показать, что линии уровня функции V w, у) имеют вид, качественно совпадающий с видом линий уровня функции Vi(u, у) (см. рис. 1.4 (а)). Отсюда следует, что при є а сепаратриса W асимптотически стремится при t — +оо к состоянию равновесия Oi, оставаясь внутри области, ограниченной линией уровня V ii, у) = 0. При этом сепаратриса W{, наоборот, не имеет общих точек с линией V2(u, у) = 0 и располагается на фазовой плоскости с внешней стороны этой области. Очевидно, что в этом случае выполняется неравенство и\ и\ и, следовательно, функция расщепления удовлетворяет неравенству ГДЄ Лі = {є а, Ітіп І Ітах} Рассмотрим линии уровня функции V\(и, у). Из (1.22) следует, что при є 1 производная не является знакопостоянной. Найдем параметры, при которых на линиях уровня {V\{u, у) = /i, h 0} при и и\ было выполнено неравенство V\ 0. Из анализа расположения линий уровня функции V\{u, у) при различных значениях параметра І" (см. рис. 1.4 (а)) и (1.22) следует, что эти условия будут выполнены, если во первых, будет выполнено неравенство и, кроме того, при / 0 будет выполнено неравенство где wo - абсцисса точки пересечения линии уровня V\_(u,у) = О с прямой у = 0.
Далее, анализируя свойства функции Vi(u, у) = 0 устанавливаем, что щ U2- Отсюда вытекает, что неравенства (1.25) и (1.26) совместны, если При выполнении (1.27) на всех линиях уровня {V\{u, у) = h,h 0} векторное поле системы (1.4) ориентировано наружу. Поэтому, сепаратриса Wf при t — — оо асимптотически стремится к состоянию равновесия 0\, оставаясь внутри области, ограниченной линией уровня V\{u,y) = 0. Напротив, сепаратриса ТУ" расположена вне этой области. Следовательно, и\ и\ и функция расщепления р\ удовлетворяет неравенству: Вид областей Лі и Л2 на плоскости параметров (і, є) представлен на рис.1.6 (а). В силу непрерывности функции рі(є, /) и неравенств (1.24), (1.28) следует существование бифуркационного множества соответствующего гомоклинической орбите Гі, образованной сепаратрисами W{ и W . Заметим, что на плоскости (є, /) области Лі и Лг имеют общую точку (є = а, I = 1тах), к которой примыкает Н\. Как известно [79], характер разрушения Гі при изменении параметров определяется знаком, так называемой, седловои величины сг, равной сумме ляпуновсих показателей седла. В случае системы (1.4) имеем Поскольку г 2 Є [ U2 , и 2 ] (где U2 = —\/1 — а, а и 2 = \/1 — /3, если (3 1 и и = 0, если /3 1)) и множество Н\ полностью лежит в области є а, то в силу (1.3) всюду на множестве Н\ выполняется неравенство а 0. Отсюда вытекает, что при изменении параметров от Н\ в сторону pi 0 из Гі рождается неустойчивый предельный цикл, охватывающий состояние равновесия 0\. Изменение параметров от Н\ в сторону pi 0 к рождению цикла не приводит. Гомоклиническая орбита Гг ("малая" гомоклиническая орбита). Аналогично предыдущему для характеристики взаимного располо
Состояния равновесия системы для бегущих волн и их локальные бифуркации
Нетрудно показать, что при выполнении (1.14) система (2.5) будет также иметь три состояния равновесия Oi(ui, 0, 0), С г , 0, 0) и Оз{и& 0,0), где и определяется выражениями (1.15). Зафиксируем параметры а = 0.8,/3 = 0.9 и / = 0.024 и будем рассматривать параметрическую задачу на плоскости (є, с). На рисунке 2.1 представлены результаты анализа качественного расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости для состояний равновесия Oi, Oi и 0%. Для каждого из состояний равновесия плоскость (є, с) разбивается на три области линиями АІ и Si (г = 1, 2, 3): Из представленного на рис. 2.1 расположения корней характеристических уравнений для 0\, О и Оз следует, что 0\ и Оз являются либо неустойчивыми фокусами, либо седловыми состояниями равновесия (седло-фокусами или седлами) с одномерным устойчивым и двумерным неустойчивым многообразиями, а Ог - либо устойчивый фокус, либо сед-ловое состояние равновесия (седло-фокус или седло) с одномерным устойчивым и двумерным неустойчивым многообразиями. Отметим, не останавливаясь подробно, что при пересечении линий АІ в системе (2.5) происходит бифуркация Андронова-Хопфа [88], приводящая к рождению предельных циклов в окрестности соответствующих состояний равновесия О і. При этом около состояния равновесия 0\ и Оз появляются неустойчивые, а около Ог - устойчивый предельные циклы. Поскольку нас интересует Рис. 2.1: Разбиение плоскости параметров (є, с) на области, соответствующие различному качественному расположению корней характеристического уравнения: (а) - для состояния равновесия Oi, (б) - для Ог , (в) - для Оз. Значения параметров: а = 0.8, /? = 0.9, I = 0.024. гетероклинические траектории, образованные многообразиями состояний равновесия 0\ и Оз, далее будем рассматривать систему (2.5) в области параметров, где 0\ и Оз являются седловыми состояниями равновесия. Обозначим через Ws(0{) и Wu{Ox) (We(03) и Wu(Oz)) устойчивое и неустойчивое многообразия состояния равновесия 0\ (соответственно Оз). Многообразие Wu{0\) iyVu{0 )) состоит из точки 0\ (Оз) и двух выходящих траекторий - сепаратрис, которые обозначим через W (Oi) и W (Oi) ( "(Оз) и W O?)). Двумерное многообразие W8{0\) (Ws(Oz)) представляет собой поверхность, проходящую через точку 0\ (Оз) и состоящую из траекторий асимптотически стремящихся при t — +00 к состоянию равновесия.
Анализ собственных векторов матриц, линеаризованных в точках 0\ и Оз систем, показывает, что неустойчивые многообразия Wu(0\) и И м(Оз) касаются в точках 0\ и Оз соответственно прямых где \{ОІ) - положительный корень характеристического уравнения для состояния равновесия О;, а Из (2.6) следует, что одна из сепаратрис - W"(Oi) (соответственно И Оз)) выходит в полупространство у О, а другая - W iOi) (И (Оз)) в полупространство у 0. Проведем исследование нелокального поведения многообразий седло-вых состояний равновесия с помощью "конических" безконтактных поверхностей [89-91]. Введем в рассмотрение функцию и Производная функции V{u, у, z) в силу системы (2.5) имеет вид Нетрудно видеть, что при є (3 будет выполняться неравенство При этом V = 0 лишь в точках прямой {у = z = 0}. Следовательно, при є j3 на любой поверхности уровня V(u, y,z) = С, С = const (за исключением точек {V(u, у, z) = С} Г){у = z = 0}) векторное поле системы (2.5) ориентировано внутрь области, границей которой является эта поверхность. Из (2.7) следует, что сечения поверхностей V(x,y, z) = С плоскостями и = const представляет собой либо гиперболы, либо две пересекающиеся в точке (у — z — 0) прямые. С другой стороны, плоскости у = const в зависимости от значения этой константы, задают в сечении либо одну, либо две замкнутые линии (в частном случае замкнутые линии могут вырождаться в точку). Граничному, разделяющие эти случаи, значению у = const соответствует существование в сечении замкнутой линии с одной точкой самопересечение (типа "восьмёрки"). Таким образом, V(u, y,z) = С имеет вид замкнутых поверхностей, которые траектории системы (2.5) в силу (2.9) пересекают в одну сторону, так что вдоль траекторий поверхности уровня убывают. Поэтому после пересечения какой-либо поверхности уровня V(u, у, z) = С, траектория системы (2.5) не может покинуть область фазового пространства G, ограниченную этой замкнутой поверхностью.
Следовательно, при є /3 система не имеет замкнутых траекторий. Установим с помощью поверхностей V(и, y,z) = С поведение сепаратрис седловых состояний равновесия 0\,0 . Для этого рассмотрим поверхности уровня, проходящие через эти точки Существует два принципиально различных вида этих поверхностей. При I I (I = 0.0168 для значений параметров а = 0.8, /3 = 0.9), где / определяется условием поверхность V(0\) при у 0 1 имеет качественный вид представленный на рисунке 2.2 (а), а поверхность У(Оз) - на рисунке 2.2 (б). При I I - наоборот поверхность V{0\) имеет лишь одну точку пересечения с плоскостью {у = 0} - состояние равновесия Oi, а У(Оз) пересекает {?/ = 0} в точке Оз и по замкнутой линии, охватывающей состояние равновесия 0\. Пусть / / . В этом случае У(Оз) состоит из Оз и двух вид поверхности У+(Оз) при / I . Значения параметров: о; = 0.8, /3 = 0.9. компонент V+(Os) и У (Оз), расположенных соответственно при у 0 и т/ 0. В силу (2.9) сепаратриса И "(Оз) выходит из точки Оз внутрь области фазового пространства, ограниченной поверхностью V+(Oz) (см. рис. 2.2 (б)). Поскольку область целиком расположена при у 0, в силу первого уравнения системы (2.5) переменная u(t) вдоль сепаратрисы Wi(Oi) непрерывно возрастает. Кроме того, согласно (2.9) сепаратриса И Оз) пересекает поверхности V(u,y,z) = С, где С Со, расположенная внутри поверхности V+(Os), в одну сторону. Следовательно, сепаратриса И Оз) при t — +оо стремится в бесконечность {u(t),y(t) -» +оо}, 1В силу инвариантности функции V(u,y,z) относительно замены у - —у, качественный вид поверхностей V(Oi) и У(Оз) при у 0 будет точно такой же как при у 0.
Гетероклинический контур и нетривиальное пространственно-временное поведение системы
Значения бифуркационных множеств Н+ и Н были найдены нами путем численного построения функций расщепления р+(є, с) и р (є, с) и изучение их нулей. Для этого функции расщепления были определены и для значений параметров є (5 (напомним, что в разделе 3 выполняется условие є Р). Например, функция р+(є, с) вводилась следующим образом. В фазовом пространстве G системы (2.5) строилась вспомогательная сфера Е достаточно малого радиуса с центром в состоянии равновесия 0з, на которой численно находился "след" сепаратрисы W"(Oi), то есть точка Т" = W"(Oi) П Е. В качестве функции р+(є,с) выбиралось минимальное расстояние между точкой Ти и плоскостью W[oc(Oz) - касательной плоскостью к многообразию Ws(0%). Аналогично, при є Р была введена функция расщепления р {е) с). Результаты численного исследования множеств Н+ и Н представлены на рис. 2.6 (а). На плоскости (є, с) множества Н+ и Н представляют собой бифуркационные кривые, имеющие общую точку Н(є,с). Точке Н отвечает в фазовом пространстве G гетеро клинический контур, образованный сепаратрисами W"(Oi) и И Оз) и многообразиями Ws(0$) и Ws{0\) соответственно (рис. 2.6 (б)). Бифуркационное множество системы (2.5) в окрестности Н не исчерпывается элементами Н+ и Н . Покажем, что существуют бифуркационные значения параметров, соответствующие гомоклиническим траекториям (петлям сепаратрис), образованным многообразиями состояний равновесия 0\ и Оз-Будем варьировать параметры є и с в окрестности Н, например, вдоль кривой Н , так чтобы выполнялось неравенство р+(е, с) 0. Такое изменение параметров приведет к тому, что сепаратриса Wi{0\) "покинет" многообразие Ws(0 ) и начнет двигаться в G в окрестности сепаратрисы И (Оз). С другой стороны, в пространстве параметров существуют области, для которых взаимное расположение сепаратрисы И (Оз) и Ws{0\) характеризуется тем, что р (є, с) 0 и р (е, с) 0. Отсюда, поскольку сепаратриса Wf(Oi) локализована в окрестности сепаратрисы И (Оз), вытекает существование областей параметров, для которых сепаратриса W"(Oi) расположена по разные стороны от многообразия Ws(Oi). Очевидно, что между этими областями существует бифуркационное множество Г+, отвечающее гомоклиническим траекториям системы (2.5), образованным сепаратрисой ІУ" (Oi), возвращающейся в 0\ по многообразию Ws{Oi). Совершенно аналогично, устанавливается существование в окрестности Н множества Г-, соответствующего гомоклиническим траекториям, образованными сепаратрисой И (Оз). Результаты численного построения Г+ и Г- представлены на рис. 2.6 (а). При рассматриваемых значениях параметров в точке Н и её окрестности состояния равновесия 0\ и Оз являются седло-фокусами (см. раздел 2.1), для которых так называемые седловые величины где Аз (Of) и Aij2(Oj) - корни характеристического уравнения для
О;, являются положительными. В соответствии с теоремой Шильникова [95] такие гомоклинические орбиты ассоциируются с хаотической динамикой, так как в окрестности каждой из петель Г+ и Г- (как в момент существования, так и при разрушении в обе стороны) существует нетривиальное гиперболическое множество, включающее бесконечное множество седло-вых периодических траекторий и др. Таким образом, для значений параметров из окрестности система (2.5) для бегущих волн демонстрируют чрезвычайно сложную динамику. Поэтому можно ожидать, что и пространственно-временное поведение всего ансамбля (2.1) в этом случае будет нетривиальным. Проведенное численное моделирование динамики ансамбля (2.1) подтвердило справедливость этого утверждения. Действительно, выберем для начала параметр є "вдали" от точки Н. Исследование показало, что в этом случае в ансамбле (2.1) возможно распространение лишь простых (классических) волновых фронтов, которые при столкновении друг с другом аннигилируют и переводят ансамбль в одно из двух пространственно-однородных состояний, соответствующих либо состоянию равновесия Оз либо состоянию равновесия 0\. Данные процессы иллюстрируют рисунки 2.7(6),(в) на которых представлена пространственно-временная динамика ансамбля (2.1) из шестисот элементов для двух различных значений параметра е. Во всех случаях начальные условия были одни и теже и имели для Uj(0) и Vj(0) вид представленный на рис. 2.7 (а). Далее, по аналогии с нейроноподобными моделями, будем называть волновые фронты, переводящие элементы цепочки из состояния 01 в состояние Оз, фронтами "возбуждающего" типа, а волновые фронты, переводящие элементы цепочки из состояния Оз в состояние 01, фронтами "тормозящего" типа. Совершенно другое поведение демонстрирует ансамбль (2.1), когда значение є выбирается в окрестности точки є = є0. В этом случае наличие нетривиального гиперболического множества и, следовательно, бесконечного множества неустойчивых периодических волн и других нетривиальных волновых движений в ансамбле (2.1) приводит к тому, что волновые фронты принципиально изменяют свою динамику. Они начинают отражаться друг от друга и от границ подобно классическим солитонам. Отметим, что изменение свойств фронтов происходит не одновременно. В частности, если параметр є Є (0.595,0.63), то солитоноподобные свойства показывают лишь волновые фронты "возбуждающего" типа. Такое
Регулярные (стационарные) локализованные структуры
Ранее считалось, что типичные двухкомпонентные двумерные реакционно-диффузионные системы могут поддерживать формирование структур локализованных лишь вдоль направления собственного распространения. Примерами таких структур являются концентрические, плоские и спиральные волны возбуждения. Вместе с тем, численное моделирование системы (3.1) показало, что возможно существование еще одного класса структур, которые, однако, локализованы не только вдоль направления своего распространения, но и в направлении перпендикулярном к нему. Скорость и профиль таких структур остаются неизменными при распространении. Рассмотрим систему (3.1) с граничными условиями (3.2) и покажем как можно сформировать данные структуры. Выберем в качестве начальных условий отрезок, неменяющейся вдоль координаты к, плоской волны возбуждения, который будем называть плоским волновым сегментом. Получить такой сегмент можно следующим образом. Инициируем на некотором участке системы распространение плоской волны возбуждения (пусть для определенности направление ее распространения совпадает с направлением координаты j). После этого участки волны, прилегающие к границам системы, заменим стационарным значениями переменных. В результате такой процедуры получим волновой сегмент некоторой ширины W. Обозначим его как Р\у- Отметим, что такой сегмент, также как и начальная плоская волна, будет распространятся в направлении координаты j. Исследование эволюции сегментов Р\у с различной начальной шириной W для различных значений параметров end показало, что имеется три возможных типа пространственно-временного поведения таких сегментов. В качестве примера, на рис. 3.2 представлена эволюция сегмента Рио при d = 1 и трех различных значениях параметра є. Было установлено, что для любой начальной ширины и фиксированного параметра d существует два критических значения параметра є - е\ и е\ {е\ є2). В частности, для волнового сегмента Рио при d = 1 є\ = 0.648513, а е2с = 0.648518. Если параметр є лежит ниже первого критического значения (є ), волновой сегмент при распространении нарастает по ширине, до тех пор, пока не достигнет верхней и нижней границ системы (Рис. 3.2 (а)). При дальнейшей эволюции волновой сегмент трансформируется в плоскую волну возбуждения. Если параметр є лежит выше второго критического значения є є\, волновой сегмент при распространении сокращается по ширине и в конечном итоге исчезает (Рис. 3.2 (б)).
При этом в системе устанавливается пространственно-однородное состояние равновесия S\. Более интересное поведение сегмента имеет место, когда е\ є є\. Эволюция волнового сегмента в данном случае приведена на рис. 3.2 (в). Нетрудно видеть, что после непродолжительного переходного процесса форма сегмента, его ширина и скорость стабилизируются и не меняются при дальнейшей эволюции - происходит формирование движущейся локализованной неодномерной структуры. Далее мы сконцентрируемся именно на таких не меняющих своей формы и скорости сегментах, которые будем называть регулярными локализованными структурами. Отметим, что изменяя ширину начального сегмента и выбирая соответствующим образом параметры є и d можно получить регулярные структуры любой наперед заданной шириной. Для дальнейшего изложения обозначим через CV регулярную структуру шириной W (метод ее расчета будет описан ниже). На рис. 3.3 (а) приведен мгновенный снимок типичной регулярной структуры системы (3.1). Нетрудно видеть, что структура имеет несимметричную форму в виде полумесяца, т.е. обладает кривизной существенным образом зависящей от пространственных координат. Это одно из отличительных свойств регулярных структур, наблюдаемых в системе (3.1). Л = 0.Ы Регулярные структуры, формируемые, например, в многокомпонентных реакицонно-диффузионных системах обладают радиальной или почти радиальной формой, т.е. они имеют практически постоянную кривизну. На рис. 3.3 (б) представлен амплитудный профиль А(к) структуры, изображенной на рис. 3.3 (а). Профиль рассчитан вдоль линии гребня структуры (белая линия отмеченная точечным пунктиром) - линии, отвечающей наибольшим отклонениям переменных Ujfi в каждом из сечений к = const. Заметим, что амплитуда - максимальна в центре структуры и достаточно резко убывает на ее "краях". Таким образом, для характеристики пространственных размеров структур можно ввести характерную ширину - величину W. Здесь ширина регулярных структур вычисляется на уровне 10% от максимального значения амплитуды Атах. В настоящем разделе приводятся основные результаты изучения областей существования регулярных локализованных структур. Исследование показало, что регулярные структуры существуют на сложных бифуркационных множествах в пространстве параметров системы, которые могут в том числе и пересекаться. В качестве примера на рис. 3.4 в плоскости параметров є и d представлены области существования структур С22, Cse И Сі26
