Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблема граничных условий для электромагнитного поля в теории электронных приборов с нефиксированной структурой поля 19
1.1. Введение 19
1.2. Обзор существовавших ранее типов граничных условий 20
1.3. Нестационарные граничные условия для рупора с малым углом раскрыва 38
1.4. Нестационарные граничные условия для широкополосного сигнала 49
1.5. Трехмерное численное моделирование отражения собственных волн круглого волновода от рупора с малым углом раскрыва 55
1.6. Основные выводы 1-й главы 65
Глава 2. Влияние отражений от выходного рупора на стационарные режимы генерации в гиротроне с нефиксированной структурой поля 67
2.1. Нестационарные нелинейные уравнения гиротрона 67
2.2. Уравнения линейной теории 70
2.3. Стартовые условия генерации 71
2.4. Результаты численного анализа стартовых условий 73
2.5. Анализ частот собственных линейных мод 83
2.6. Исследование режимов стационарной генерации 92
2.7. Основные выводы 2-й главы 102
Глава 3. Режимы сложной динамики в гиротроне 104
3.1. Введение 104
3.2. Картина областей режимов сложной динамики на плоскости параметров ( граничные условия "окна прозрачности") 105
3.3. Особенности перехода к хаотической динамике (граничные условия "окна прозрачности") 118
3.4. Картина областей режимов сложной динамики на плоскости параметров ( граничные условия "расширяющегося рупора") 127
3.5. Исследования характеристических ляпуновских показателей динамических режимов в гиротроне 132
3.6. Основные выводы 3-ей главы 149
Глава 4. Самовозбуждение колебаний в распределенной системе типа электронный поток — связанные прямая и встречная электромагнитная волна 151
4.1. Введение 151
4.2. Уравнения линейной теории самовозбуждения паразитных колебаний в ЛБВ с учетом разрыва дисперсионной характеристики вблизи частоты 7г-вида 155
4.3. Условия самовозбуждения ЛБВ с учетом разрыва дисперсионной характеристики 161
4.4. Основные выводы 4-ой главы 168
Заключение 174
Приложение 178
Литература 186
- Трехмерное численное моделирование отражения собственных волн круглого волновода от рупора с малым углом раскрыва
- Результаты численного анализа стартовых условий
- Особенности перехода к хаотической динамике (граничные условия "окна прозрачности")
- Уравнения линейной теории самовозбуждения паразитных колебаний в ЛБВ с учетом разрыва дисперсионной характеристики вблизи частоты 7г-вида
Введение к работе
Главной тенденцией развития современной СВЧ-электроники остается повышение мощности генерации и продвижение в область более коротких волн. Это связано с использованием мощного коротковолнового излучения для нагрева плазмы в установках термоядерного синтеза, термической обработки материалов, передачи энергии на большие расстояния, радиоспектроскопии, радиолокации и связи, а также в других приложениях. Основные достижения в этом направлении связаны с созданием и совершенствованием релятивистских электронных генераторов, особенно в миллиметровом и субмиллиметровом диапазоне длин волн [1]. К ним относятся релятивистские ЛОВ, релятивистские оротроны, лазеры на свободных электронах, гиротроны и другие типы мазеров на циклотронном резонансе. Часть перечисленных устройств (релятивистские оротроны, гиротроны, релятивистские ЛОВ в определенных режимах работы) относятся к классу приборов с нефиксированной структурой поля. Это означает, что пространственное распределение поля в них не определяется жестко свойствами электродинамической системы, а устанавливается в результате взаимодействия поля с электронным пучком, и при изменении параметров пучка распределение поля также изменяется. Более того, принципиальной особенностью этих приборов является то, что они работают на частотах, лежащих вблизи критической частоты (частоты отсечки) рабочей моды электродинамической структуры. Из-за этого групповая скорость электромагнитных волн в системе мала, и перенос энергии вдоль нее осуществляется главным образом за счет дифракционного расплывания волновых пакетов. Малая отстройка частоты генерируемого
сигнала от критической приводит к еще одной важной особенности рассматриваемых систем. В них существуют не просто сильные отражения от устройств ввода-вывода энергии на концах пространства взаимодействия, но, более того, величина этих отражений сильно меняется при относительно небольшом изменении частоты сигнала. Это обстоятельство необходимо учитывать при формулировке самосогласованных уравнений, описывающих нестационарные процессы в приборах, работающих вблизи критической частоты.
Нестационарная теория генераторов и усилителей с нефиксированной структурой поля была построена в 80-х годах прошлого века [2-9]. Процессы излучения и рассеяния электромагнитных волн при вводе и выводе энергии в этих работах описывались с помощью граничных условии на концах пространства взаимодействия, однако предложенные типы граничных условий не учитывали специфики обычно применяемых для вывода излучения в оротроне и гироприборах устройств — рупоров с малым углом раскрыва. Исключение составила работа [4], в которой, однако, для учета отражений предлагалось решать уравнения для электромагнитного поля не только в пространстве взаимодействия, но и в области рупора, где взаимодействия практически нет. Кроме того, результаты, получаемые в рамках этого подхода, в значительной степени привязаны к конкретной геометрии рупора, что ограничивает их общность. При других подходах отражения непосредственно от рупора либо не учитывались [3,9], либо использовались граничные условия, хорошо описывающие соответствующие процессы в приборах типа ЛЕВ с цепочкой связанных резонаторов [2,6-8], но мало пригодные для описания генераторов с дифракционным выводом энергии.
Таким образом, важной представляется проблема постановки граничных условий для электромагнитного поля при формулировке нестационарной теории электронных приборов с нефиксированной структурой поля и дифракционным выводом энергии, позволяющих адекватно опи-
сать частотную зависимость коэффициента отражения рабочей моды от рупора с малым углом раскрыва.
Как уже сказано, в приборах, работающих вблизи критической частоты электродинамической структуры, отражения от выходного устройства оказывают существенное влияние на поведение системы в режимам генерации как одночастотных, так и многочастотных сигналов, включая хаотические колебания со сплошным спектром. В связи с этим представляется важным исследование вопроса, за какие именно особенности работы этих устройств ответственны отражения. В диссертации последовательное рассмотрение этой проблемы проводится на примере гиротрона с нефиксированной структурой поля.
Если некоторое время назад генерация многочастотного сигнала в электронных СВЧ-генераторах рассматривалась как паразитное явление [10-14], то в настоящее время ведутся целенаправленные исследования, как экспериментальные, так и теоретические, с целью получения многочастотных и хаотических сигналов с высоким средним КПД и необходимыми спектральными свойствами [9,15,16]. Аналогичные исследования проводятся и для приборов нерелятивистской электроники, таких, как классическая ЛОВ, генераторы с запаздывающей обратной связью на основе ЛБВ и клистронного усилителя, а также для ряда других систем [17-20].
Впервые автомодуляция в электронном СВЧ-генераторе была теоретически предсказана [21], а затем экспериментально и теоретически исследована в конце 70-х годов 20-го века [22]. С тех пор режимы сложной динамики были обнаружены практически во всех перечисленных выше СВЧ-генераторах. Сейчас надежно установлено, что при определенном выборе параметров и постепенном увеличении тока пучка в этих устройствах могут реализовываться одночастотные, многочастотные и хаотические колебания. Чрезвычайно продуктивным для теоретического исследования этих явлений оказалось использование понятий, методов и аппарата нелинейной динамики [23-25] — науки, являющейся одной из наиболее интенсивно развивающихся разделов радиофизики. Речь идет как
об использовании общих концепций теории динамического хаоса применительно к распределенным автоколебательным системам (исследование сценариев возникновения хаотических колебаний, структуры аттракторов, универсальности и скейлинга, синхронизации и других явлений), так и о применении математического и численного аппарата, развитого при исследовании динамических систем (одновременное построение и анализ временных реализаций, спектров, бифуркационных диаграмм, ав-токорелляционных функций, спектров показателей Ляпунова и т.д.). Использование всего этого инструментария позволило не только доказать динамическую природу генерируемого в электронных СВЧ-генераторах хаотического сигнала, но и исследовать возможные сценарии возникновения хаотических колебаний. Для ЛОВ тщательные изучение этих явлений было проведено в [17] и ряде других работ. Данные о существовании хаотических колебаний в ЛЕВ с запаздывающей обратной связью были впервые опубликованы в [26-29], затем этот тип СВЧ-генератора был подробно исследован в [30-33]. Нестационарная динамика электронных генераторов со встречной (обратной) электромагнитной волной рассматривалась многими авторами, обзор этих работ можно найти в [34]. Проводилось экспериментальное и теоретическое исследование генерации сложных сигналов в клистронных генераторах с запаздывающей обратной связью [20]. Были изучены также некоторые "тонкие" эффекты, такие, как режимы гиперхаоса в ЛОВ [35], различные типы синхронизации в виркаторах и гирогенераторах на встречной волне (см. гл. 7 в книге [36]).
В то же время необходимо отметить, что хотя существование хаотических режимов в гиротроне с нефиксированной структурой поля было обнаружено уже в первых теоретических работах по нестационарной теории этих приборов [3,5], и затем неоднократно отмечалось во многих исследованиях, детальное изучение механизмов возникновения и эволюции режимов сложной динамики в гиротронах до настоящего времени не проводилось. Поэтому можно считать, что исследование режимов сложной
динамики, в частности изучение сценариев возникновения хаотических колебаний в гиротроне с нефиксированной структурой поля методами теории динамического хаоса является актуальной задачей радиофизики.
Теория взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем вблизи критической частоты (или, как еще говорят, вблизи границы полосы пропускания) имеет важное практическое приложение к другому типу приборов СВЧ-электроники, а именно, к проблеме разработки широкополосных спиральных ЛБВ-усилителей. Известно, что нарушение симметрии в конструкции таких ламп может приводить к связи нулевой пространственной гармоники прямой волны и (-1)-й пространственной гармоники встречной волны, что проявляется в образовании узкой полосы непропускания в дисперсионной характеристике системы. Сильная связь между прямой и встречной волнами за счет распределенного взаимодействия, а также за счет сильных отражений от концов пространства взаимодействия, которые возникают из-за близости рабочей частоты к граничным частотам полосы непропускания, приводит к угрозе возникновения паразитных колебаний в ЛБВ-усилителе. Построение теории, которая могла бы описать данный механизм паразитной генерации, является важной задачей, позволяющей, в перспективе, предложить методы борьбы с этим явлением. Отметим, что указанная задача имеет много общего с вопросами, обсуждаемыми выше, так как и в данном случае речь идет о системе с нефиксированной структурой поля, и взаимодействие осуществляется вблизи границы полосы пропускания.
Указанные причины позволяют считать тему диссертационной работы актуальной задачей радиофизики и физической электроники.
Целью диссертационной работы является построение нестационарной теории электронных СВЧ-генераторов с нефиксированной структурой поля (на примере гиротрона), в которой будут адекватно учтены отражения от выходного рупора, а также исследование механизма паразитного самовозбуждения колебаний в широкополосных спиральных ЛЕВ
вблизи частоты разрыва дисперсионной характеристики. Для достижения поставленной цели в работе решены следующие основные задачи:
Исследована проблема постановки граничных условий в нестационарной теории электронных СВЧ-приборов с дифракционным выводом энергии.
Изучено влияние отражений от выходного рупора гиротрона с нефиксированной структурой поля на режимы стационарных линейных и нелинейных колебаний: выяснены механизмы самовозбуждения колебаний в гиротроне, исследовано влияние отражений от выходного рупора на эффективность генерации в нелинейном режиме, а также на возможность существования жесткого возбуждения колебаний.
Разработаны алгоритмы и программы для численного моделирования нестационарного взаимодействия винтового электронного потока с электромагнитным полем вблизи критической частоты и нестационарными нелокальными во времени граничными условиями.
Детально изучена картина сложной динамики в гиротроне с учетом отражений, исследованы сценарии перехода к хаотической динамике.
Получена система уравнений, описывающая в линейном приближении взаимодействие электронного потока с полями синхронных пучку пространственных гармоник прямой и встречной волн в условиях разрыва дисперсионной характеристики спиральной замедляющей системы вблизи частоты 7г-вида и с учетом различной поперечной структуры полей этих волн.
Научная новизна результатов работы состоит в следующем: 1. Предложено два новых типа нелокальных во времени нестационарных граничных условий (для узкополосного сигнала, спектр которого лежит вблизи критической частоты, и для широкополосного сигнала), применимых для описания процессов отражения электромагнитных волн в устройствах ввода-вывода энергии в виде рупора с малым углом раскрыва.
2. Установлено, что в гиротроне с нефиксированной структурой поля самовозбуждение колебаний может происходить в соответствии с двумя механизмами: резонансным, когда частота собственной моды близка к критической и существуют сильные отражения от выходного рупора, и самовозбуждение за счет взаимодействия электронного потока со встречной волной. Эти механизмы возбуждения колебаний являются общими для всех СВЧ-устройств, в которых взаимодействие пучка с полем происходит на частотах, близких к критической частоте электродинамической структуры.
3.Найдены области реализации различных режимов (стационарных колебаний, автомодуляции, хаотических колебаний) на плоскости параметров рассинхронизм - ток пучка для гиротрона. Показано, что в гиротроне с нефиксированной структурой поля существуют два механизма возникновения автомодуляции — амплитудный и частотный.
Обнаружено, что в гиротроне переход к хаосу происходит в соответствии с двумя сценариями — через последовательность бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического движения. Установлено, что появление хаотических режимов при больших параметрах рассинхронизма связано с влиянием отражений от выходного рупора гиротрона,
Проведено исследование показателей Ляпунова динамических режимов в гиротроне. Показано, что при различных значениях параметров могут наблюдаться хаотические режимы как с одним, так и с двумя и более положительными показателями Ляпунова; установлено, что хаотическим колебаниям в гиротроне с нефиксированной структурой поля соответствуют в фазовом пространстве аттракторы с аномально высокой размерностью Ляпунова.
Проведено исследование влияния разрыва дисперсионной характеристики вблизи частоты 7г-вида в спиральной ЛБВ. Показано, что учет разрыва приводит к качественным различиям в стартовых условиях паразитных колебаний в отличии от аналогичных зависимостей, полученных
при учете механизма самовозбуждения на обратной пространственной гармонике.
Положения и результаты, выносимые на защиту.
Предложенные в диссертации нестационарные нелокальные во времени граничные условия позволяют корректно описывать процессы излучения и рассеяния электромагнитных волн в электронных СВЧ приборах с дифракционным выводом энергии в виде рупора с малым углом раскрыва. В случае генерации или усиления сигнала с узким спектром, лежащим вблизи критической частоты рабочей моды, коэффициент отражения от рупора является универсальной функцией частоты, которая зависит от единственного безразмерного параметра, содержащего данные о геометрии системы и значение критической частоты.
Отражения электромагнитных волн от выходного рупора в гиротроне с нефиксированной структурой поля приводят к существенному изменению динамики системы в режиме генерации одночастотного сигнала. Влияние отражений проявляется: в появлении зонной структуры на зависимостях стартового тока от параметра рассинхронизма; в существенном (до двух раз) уменьшении стартового тока генерации в центрах зон; в появлении широкого диапазона значений параметра рассинхронизма, при которых наблюдаются режимы жесткого самовозбуждения колебаний; в уменьшении максимального достижимого значения поперечного электронного КПД взаимодействия.
З.В гиротроне с нефиксированной структурой поля реализуются два механизма возникновения и эволюции сложных режимов. При малых по абсолютной величине значениях параметра рассинхронизма наблюдается амплитудный механизм возникновения автомодуляции и, при дальнейшем увеличении тока пучка, каскад бифуркаций удвоения на базе основной моды распределенного резонатора, завершающийся возникновением хаотических колебаний. При больших положительных значениях параметра рассинхронизма реализуется частотный механизм, когда автомоду-
ляция обусловлена нелинейным взаимодействием двух мод резонатора. Хаотическая динамика возникает в этом случае по сценарию разрушения квазипериодического движения.
4. Аномально высокое значение размерности Ляпунова хаотических аттракторов, наблюдаемых в распределенных резонансных электронных СВЧ генераторах, обусловлено существованием в системе большого числа высокодобротных собственных мод, слабо взаимодействующих с электронным потоком.
Научная и практическая значимость работы. Результаты исследования нестационарных процессов и сценариев перехода к хаосу в гиро-троне с учетом отражений от выходного рупора способствуют пониманию основных закономерностей возникновения и эволюции нестационарных режимов в распределенных автоколебательных системах электронно-волновой природы. Предложенные в работе методы, разработанные алгоритмы и программы для расчета стартовых условий, стационарных нелинейных колебаний и режимов хаотической динамики могут, при незначительной модификации, использоваться для моделирования нестационарных процессов в различных типах электронных СВЧ-генераторов с нефиксированной структурой поля и дифракционным выводом энергии. Понимание новых механизмов возникновения паразитной генерации в ЛБВ-усилителях способствует созданию приборов этого класса с улучшенными характеристиками. Программа расчета паразитного самовозбуждения ЛБВ вблизи частоты тг — вида в условиях разрыва дисперсионной характеристики может быть использована при конструировании широкополосных спиральных ЛБВ.
Результаты, представленные а диссертационной работе, использовались при выполнении работ, поддержанных грантами CRDF (№REC-006), РФФИ (№02-02-17317, № 03-02-16192, № 05-02-16931), ФЦП "Интеграция" (№ АО057), программой Минпромнауки РФ поддержки ведущих на-
учных школ (НШ-1250.2003.2), а также при выполнении г/б НИР "Тор" в НИИ "Естественных наук" Саратовского госуниверситета.
Достоверность результатов подтверждается использованием хорошо апробированных методов и численных схем, воспроизводимостью всех численных экспериментов, соответствием результатов, полученных аналитическими методами, с результатами прямого численного моделирования уравнений Максвелла, выполнением необходимых предельных переходов в аналитических соотношениях, хорошим совпадением между собой результатов, полученных разными численными методами, а также соответствием части полученных результатов данным, известным в литературе.
Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в работе, докладывались на научных семинарах кафедры нелинейной физики СГУ, кафедры электроники, колебаний и волн СГУ, базовой кафедры динамических систем СГУ, семинарах НОЦ "Нелинейная динамика и биофизика" СГУ, ежегодных школах-конференциях "Нелинейные дни для молодых в Саратове" (1999-2002 г.) а также на международных и всероссийских научных конференциях:
XI Зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике, Саратов, 1999 г.,
The 5-th IEEE Saratov-Penza workshop on CAD and Numerical Methods in Applied Electrodynamics and Electronics, Saratov, Russia, 2000.
З.У-я Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, Санкт-Петербург, 2001 г.
4. VIII Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах", Красновидово, Московская область, 2002 г. 5.Х International Workshop and School "Non-linear Dynamics and Complex Systems", Minsk, 2002.
XII Зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике, Саратов, 2003 г.
IX Всероссийская школа-семинар "Физика и применение микроволн", Звенигород, Московская область, 2003 г.
The Fourth IEEE International Vacuum Electronics Conference (IVEC 2003), Seoul, Korea, 2003.
Международная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (АПЭП 2004), Саратов, 2004 г.
10. Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2005),
Hangzhou, China, 2005.
По материалам диссертации опубликовано 18 работ, из которых 2 статьи в реферируемых журналах, 12 статей в сборниках трудов конференций, 4 тезиса докладов.
Личный вклад автора заключается в участии совместно с научными руководителями в постановке задач, анализе и интерпретации полученных результатов. Соискателем лично разработаны численные схемы, реализованы компьютерные программы и проведены все численные эксперименты.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Работа содержит 200 страниц текста, включая 86 рисунков и графиков, 3 таблицы и список литературы из 116 наименований.
Краткое содержание работы
Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, указаны ее цели, научная новизна, практическая значимость и сформулированы положения, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена проблеме постановки граничных условий для электромагнитного поля в теории электронных приборов с нефикси-
рованной структурой поля, таких как лампа бегущей волны на цепочке связанных резонаторов, релятивистские оротроны, гиротроны, ряд плазменных СВЧ генераторов.
Во-первых, в главе обсуждаются граничные условия, существовавшие до настоящего времени, указаны модели, используемые для их вывода, а также пояснены условия их применимости к задаче описания взаимодействия в приборах с нефиксированной структурой поля. Во-вторых, предложены новые граничные условия для моделирования приборов, у которых вывод энергии осуществляется через рупор с малым углом раскрыва, позволяющие адекватно описать процессы взаимодействия как в стационарных, так и в нестационарных режимах, и, кроме того, относительно простые для использования при численном моделировании. Первые граничные условия применимы для процессов, спектр которых сосредоточен вблизи критической частоты электродинамической структуры, вторые условия являются их обобщением на случай сигналов с произвольной шириной спектра.
Проведено численное трехмерное моделирование процессов отражения собственных волн круглого волновода от рупора с малым углом раскрыва, рассчитан коэффициент отражения такой системы. Проведено сравнение частотной зависимости коэффициента отражения, полученной при численном моделировании, с аналогичными зависимостями, следующими из предложенных в главе нестационарных нелокальных граничных условий.
Во второй главе рассмотрено влияние отражений от выходного рупора на режимы генерации одночастотного сигнала в гиротроне с нефиксированной структурой поля. Сформулированы нестационарные уравнения теории гиротрона, в которых отражения от устройства вывода энергии в виде рупора учитываются с помощью граничных условий, предложенных в первой главе.
Рассматривается линейная теория самовозбуждения колебаний в гиротроне, получено соотношение, определяющее стартовые значения то-
ка и частоты колебаний от основных параметров системы. Проведено сопоставление результатов исследования стартовых параметров в зависимости от различных типов граничных условий. В главе показано, что существуют два механизма самовозбуждения колебаний — резонансный механизм, когда частота собственной моды близка к критической и существуют сильные отражения от выходного рупора, формирующие фиксированную структуру поля, и самовозбуждение за счет взаимодействия электронного потока со встречной волной. Эти механизмы возбуждения колебаний являются общими для всех электронных устройств, в которых взаимодействие пучка с полем происходит на частотах, близких к критической частоте электродинамической структуры. Проведено исследование поведения комплексных частот собственных линейных мод системы в зависимости от тока пучка для различных типов граничных условий.
Проведено исследование стационарных режимов генерации в гиротроне, на плоскости параметров построены линии равного КПД для различных типов граничных условий. Показано, что учет отражений от рупора приводит к появлению большой области параметра рассинхронизма, в которой колебания возбуждаются жестким образом.
Третья глава посвящена исследованию нестационарных режимов в гиротроне. Найдены области параметров, в которых наблюдаются различные динамические режимы — периодическая и квазипериодическая автомодуляция, хаотические колебания. Проведено исследование установления стационарных колебаний, жесткого возбуждения колебаний, перехода от стационарных колебаний к автомодуляции. В данной главе показано, что в гиротроне с нефиксированной структурой поля существуют два механизма возникновения автомодуляции: амплитудный и частотный. Амплитудный механизм наблюдается при тех параметрах, при которых взаимодействие происходит преимущественно со встречной волной в распределенном резонаторе, частотный механизм наблюдается при значениях параметров, при которых возможно возбуждение нескольких линейных мод системы, и обусловлен конкуренцией и кооперацией этих мод.
В соответствии двум механизмам перехода к автомодуляции, обнаружены два сценария перехода к хаотическим колебаниям — через последовательность бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического движения. Установлено, что появление хаотических режимов при больших положительных значениях параметра рассинхронизма связано с влиянием отражений от выходного рупора гиротрона, если их не учитывать, то в этой области параметров автомодуляционные и хаотические режимы не наблюдаются.
Далее в третьей главе приведены исследования характеристических показателей Ляпунова для динамических режимов, реализующихся в тиратроне. Вычисление спектра показателей проведено на основе обобщенного алгоритма Бенеттина, адаптированного для распределенных систем. По известным значениям показателей Ляпунова по формуле Каплана-Йорке рассчитаны размерности аттракторов, характеризующихся как одним, так и несколькими положительными показателями Ляпунова. Расчеты показывают, что размерности реализующихся в гиротроне хаотических аттракторов принимают аномально большие значения. В главе дано объяснение этому эффекту.
В четвертой главе исследуется вопрос самовозбуждения побочных колебаний в широкополосных спиральных ЛБВ. Рассматривается механизм возбуждения колебаний, связанный с возможностью одновременного эффективного взаимодействия электронного потока как с основной пространственной гармоникой прямой волны, так и с (-1)-й обратной пространственной гармоникой встречной волны спиральной замедляющей системы вблизи частоты их синхронизма (частоты 7Г-вида). При этом учтено появление разрыва дисперсионной характеристики замедляющей системы вблизи синхронизма прямой и встречной волн, обусловленного возникновением распределенной связи между ними за счет нарушения симметрии системы.
В главе сформулированы уравнения, описывающие самовозбуждение колебаний в спиральной ЛБВ в случае разрыва дисперсионной характери-
стики. При выводе уравнений была учтена различная поперечная структура полей прямой и обратной пространственных гармоник — для нулевой гармоники поперечная структура поля описывается функцией Бесселя нулевого порядка, а для (-1)-ой — функцией Бесселя первого порядка. Это значит, что ток, наводимый в электронном пучке одной из этих волн, может, в свою очередь, в линейном режиме возбудить только "породившую" его волну, поскольку для второй волны распределение продольной компоненты поля по поперечному сечению ортогонально распределению тока. Таким образом, система содержит два уравнения для комплексных амплитуд прямой и встречной волны и два уравнения для соответствующих амплитуд сгруппированного тока. Проведено исследование стартовых условий паразитной генерации, получены зависимости стартового тока и частоты побочных колебаний от ускоряющего напряжения. Показано, что стартовый ток генерации для данного механизма может быть существенно меньшим (до двух раз), по сравнению со стартовым током паразитных колебаний найденным при учете взаимодействия только с обратной гармоникой.
В приложении приведена численная схема решения уравнений нестационарной теории гиротрона с нефиксированной структурой поля и нелокальными нестационарными граничными условиями, полученными первой главе диссертации. Приведены примеры тестов, демонстрирующих достоверность результатов расчетов по нестационарной программе.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.
Трехмерное численное моделирование отражения собственных волн круглого волновода от рупора с малым углом раскрыва
Проведено численное трехмерное моделирование процессов отражения собственных волн круглого волновода от рупора с малым углом раскрыва, рассчитан коэффициент отражения такой системы. Проведено сравнение частотной зависимости коэффициента отражения, полученной при численном моделировании, с аналогичными зависимостями, следующими из предложенных в главе нестационарных нелокальных граничных условий.
Во второй главе рассмотрено влияние отражений от выходного рупора на режимы генерации одночастотного сигнала в гиротроне с нефиксированной структурой поля. Сформулированы нестационарные уравнения теории гиротрона, в которых отражения от устройства вывода энергии в виде рупора учитываются с помощью граничных условий, предложенных в первой главе.
Рассматривается линейная теория самовозбуждения колебаний в гиротроне, получено соотношение, определяющее стартовые значения тока и частоты колебаний от основных параметров системы. Проведено сопоставление результатов исследования стартовых параметров в зависимости от различных типов граничных условий. В главе показано, что существуют два механизма самовозбуждения колебаний — резонансный механизм, когда частота собственной моды близка к критической и существуют сильные отражения от выходного рупора, формирующие фиксированную структуру поля, и самовозбуждение за счет взаимодействия электронного потока со встречной волной. Эти механизмы возбуждения колебаний являются общими для всех электронных устройств, в которых взаимодействие пучка с полем происходит на частотах, близких к критической частоте электродинамической структуры. Проведено исследование поведения комплексных частот собственных линейных мод системы в зависимости от тока пучка для различных типов граничных условий.
Проведено исследование стационарных режимов генерации в гиротроне, на плоскости параметров построены линии равного КПД для различных типов граничных условий. Показано, что учет отражений от рупора приводит к появлению большой области параметра рассинхронизма, в которой колебания возбуждаются жестким образом.
Третья глава посвящена исследованию нестационарных режимов в гиротроне. Найдены области параметров, в которых наблюдаются различные динамические режимы — периодическая и квазипериодическая автомодуляция, хаотические колебания. Проведено исследование установления стационарных колебаний, жесткого возбуждения колебаний, перехода от стационарных колебаний к автомодуляции. В данной главе показано, что в гиротроне с нефиксированной структурой поля существуют два механизма возникновения автомодуляции: амплитудный и частотный. Амплитудный механизм наблюдается при тех параметрах, при которых взаимодействие происходит преимущественно со встречной волной в распределенном резонаторе, частотный механизм наблюдается при значениях параметров, при которых возможно возбуждение нескольких линейных мод системы, и обусловлен конкуренцией и кооперацией этих мод. В соответствии двум механизмам перехода к автомодуляции, обнаружены два сценария перехода к хаотическим колебаниям — через последовательность бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического движения. Установлено, что появление хаотических режимов при больших положительных значениях параметра рассинхронизма связано с влиянием отражений от выходного рупора гиротрона, если их не учитывать, то в этой области параметров автомодуляционные и хаотические режимы не наблюдаются.
Далее в третьей главе приведены исследования характеристических показателей Ляпунова для динамических режимов, реализующихся в тиратроне. Вычисление спектра показателей проведено на основе обобщенного алгоритма Бенеттина, адаптированного для распределенных систем. По известным значениям показателей Ляпунова по формуле Каплана-Йорке рассчитаны размерности аттракторов, характеризующихся как одним, так и несколькими положительными показателями Ляпунова. Расчеты показывают, что размерности реализующихся в гиротроне хаотических аттракторов принимают аномально большие значения. В главе дано объяснение этому эффекту.
В четвертой главе исследуется вопрос самовозбуждения побочных колебаний в широкополосных спиральных ЛБВ. Рассматривается механизм возбуждения колебаний, связанный с возможностью одновременного эффективного взаимодействия электронного потока как с основной пространственной гармоникой прямой волны, так и с (-1)-й обратной пространственной гармоникой встречной волны спиральной замедляющей системы вблизи частоты их синхронизма (частоты 7Г-вида). При этом учтено появление разрыва дисперсионной характеристики замедляющей системы вблизи синхронизма прямой и встречной волн, обусловленного возникновением распределенной связи между ними за счет нарушения симметрии системы.
В главе сформулированы уравнения, описывающие самовозбуждение колебаний в спиральной ЛБВ в случае разрыва дисперсионной характеристики. При выводе уравнений была учтена различная поперечная структура полей прямой и обратной пространственных гармоник — для нулевой гармоники поперечная структура поля описывается функцией Бесселя нулевого порядка, а для (-1)-ой — функцией Бесселя первого порядка. Это значит, что ток, наводимый в электронном пучке одной из этих волн, может, в свою очередь, в линейном режиме возбудить только "породившую" его волну, поскольку для второй волны распределение продольной компоненты поля по поперечному сечению ортогонально распределению тока. Таким образом, система содержит два уравнения для комплексных амплитуд прямой и встречной волны и два уравнения для соответствующих амплитуд сгруппированного тока. Проведено исследование стартовых условий паразитной генерации, получены зависимости стартового тока и частоты побочных колебаний от ускоряющего напряжения. Показано, что стартовый ток генерации для данного механизма может быть существенно меньшим (до двух раз), по сравнению со стартовым током паразитных колебаний найденным при учете взаимодействия только с обратной гармоникой.
В приложении приведена численная схема решения уравнений нестационарной теории гиротрона с нефиксированной структурой поля и нелокальными нестационарными граничными условиями, полученными первой главе диссертации. Приведены примеры тестов, демонстрирующих достоверность результатов расчетов по нестационарной программе. В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.
Результаты численного анализа стартовых условий
Таким образом, нелокальная во времени связь различных компонент электромагнитного поля (в терминах медленной амплитуды F(x, і) — связь самой амплитуды и ее пространственной производной) в плоскости начала рупора объясняется сильной дисперсией волн в рупоре на частотах, близких к критической.
Предложенное нестационарное ГУ (1.28) адекватно учитывает отражение рабочей моды от рупора вблизи выходного сечения, которое особенно сильно в случае, если в спектре сигнала присутствуют гармоники сигнала с частотами, близкими к критической частоте волновода, как это реализуется на практике в гиротроне.
Проведенное в этом параграфе рассмотрение базируется на трех основных предположениях: а) угол раскрыва рупора мал; б) спектр частот сигнала близок к критической частоте моды; в) отсутствует взаимное преобразование различных поперечных мод волновода. При выполнении этих условий оказывается, что влияние отражений на поведение системы определяется единственным безразмерным параметром хто и введенными универсальными функциями лг(Л-о) и С(т) соответственно в стационарном и нестационарном случаях. Тип рабочей моды и даже тип системы (плоские неоднородные зеркала или круглый волновод с рупором) при соответствующем переопределении параметра щ оказываются несущественными.
Полученные ГУ для нестационарной теории позволяют реализовать эффективный численный алгоритм для исследования сложных нестационарных режимов работы рассматриваемых СВЧ приборов, который будет изложен в Приложении.
Как указывалось ранее, граничные условия, определяемые формулами (1.28) и (1.29), наиболее адекватно соответствуют электродинамическим системам, реализованным в гиротронах, однако наличие нелокальной связи между полем и его производной усложняет построение численной схемы, необходимой для решения. Но в некоторых случаях они могут быть приведены к ГУ существенно более простого вида, которые достаточно легко могут быть реализованы в численных схемах. Для этого рассмотрим произведение функций, стоящих под интегралом в (1.28). Если характерный временной масштаб изменения поля F(x, t) (а, значит, и производной dF(x, t)/dx) значительно больше, чем характерное время затухания функции G(t), то производную поля по координате dF(x1 t)/dx можно вынести за знак интеграла, переписав формулу (1.28) в виде
Это означает, что в спектре генерируемого или усиливаемого сигнала присутствует только компоненты, у которых частоты удовлетворяет соотношению Q х$. НО поскольку мы рассматриваем приближение узкополосного сигнала вблизи критической частоты, то это условие можно считать выполнимым. В главе 2 будут приведены соответствующие оценки, когда это действительно так. Как нетрудно показать,
Отметим, что по форме граничные условия (1.33) совпадают с граничными условиями, полученными в [51], только в этом случае параметр JZQ оказывается комплексным. Из этого, в частности, вновь следует вывод, что выходное устройство в виде рупора невозможно полностью согласовать на частотах, близких критической частоте (это следует из формулы (1.27)).
Граничные условия, рассмотренные в предыдущем параграфе, выполняются, если частотный спектр сигнала достаточно узок и расположен вблизи критической частоты электродинамической структуры. Между тем, как отмечалось в разделе 1.2, существуют ситуации, когда эти условия нарушаются, в частности, это относится к плазменным генераторам и усилителям. В таком случае в действительности дисперсионная характеристика системы представляет собой гиперболическую зависимость частоты от волнового числа (рис. 1.2а)» и дисперсия в системе уменьшается с увеличением отстройки частоты от критической или с увеличением волнового числа. В случае же использования параболической аппроксимации дисперсия с увеличением частоты увеличивается, поэтому те приближения, которые использовались в ГУ, описанных в разделах 1.2 и 1.3, могут привести к погрешностям при моделировании широкополосных сигналов, В настоящем пункте работы будет проведено обобщение граничных условий, полученных для расширяющегося рупора, на случай нестационарного сигнала с произвольной шириной полосы [104,107,111].
Геометрия системы совпадает с изображенной на рис. 1.8. Поскольку рассматривается широкополосный сигнал, нет необходимости выделять медленно меняющуюся во времени амплитуду, поэтому в качестве переменной поля будем рассматривать не комплексную амплитуду поля, а амплитуду собственной волны в волноводе F(x, t). Для F(x, t) справедливо нестационарное уравнение
Особенности перехода к хаотической динамике (граничные условия "окна прозрачности")
Выбор функции a(ft) в уравнении (2.17) определяется граничными условиями. Если в плоскости выходного сечения волновода х = L используется ГУ "идеального согласования", то a(Q) = уДЇ, в случае ГУ "расширяющегося рупора" a{Q) = лг0еІ7г/6АІ [е/ П/х1] /АІ [e fi/xg], и, наконец, а(П) = XQX(0) const для ГУ "окна прозрачности" (2.13).
Процедура поиска стартовых условий состоит в следующем. В уравнении (2.17) присутствуют параметры: L — безразмерная длина системы, Д — параметр рассинхронизма, Q — безразмерная частота генерации, IQ —параметр тока. Зафиксируем два из них, например L и Д. Тогда нужно подобрать Q и 10 так, чтобы действительная и мнимая части (2.17) одновременно равнялись нулю. Это осуществляется численно, с использованием стандартного метода решения системы нелинейных уравнений,
Для расчета стартовых условий была разработана программа для системы Mathematica. Расчеты проводились для заданных значений безразмерной длины системы L — 14. При этом для разных вариантов граничных условий во входном и в выходном сечении были найдены зависимости стартового тока и частоты генерации от параметра Д.
На рис, 2,1 представлены результаты расчета стартовых условий для граничных условий "идеального согласования" (2.11) в выходной плоскости волновода, а на рис. 2,2 — результаты расчета стартовых условий для граничных условий "окна прозрачности". На них показаны зависимости стартовых значений тока IQ и частоты П от параметра рассинхронизма Д.
При одном и том же значении Д существует бесконечно много значений IQ И О, ДЛЯ которых выполняется соотношение (2.17) (на рис. 2.1 и 2.2 представлены данные только для нескольких первых мод). Соответственно, изменяя Д, можно получить серию зависимостей /о(Д) и Гї(Д), каждая из которых будет соответствовать стартовым условиям одной из линейных мод системы. Нижней линии на рисунках стартовых токов и частот генерации соответствует "основная" линейная мода системы — именно она возбуждается первой при постепенном увеличении тока /0, если параметр рассинхронизма не очень велик (Д 0.6). При больших рассинхронизмах стартовый ток этой моды оказывается выше, чем стартовый ток следующей, и поэтому первой возбуждается уже другая мода. Таким образом, зависимость минимального стартового тока системы является огибающей линий стартовых токов всех мод.
Двигаясь вдоль каждой из этих линий по параметру Д, можно наблюдать изменение соответствующего ей распределения поля. При Д = 1.0 это распределение для основной моды представляет собой профиль с одним максимумом, вид распределения поля качественно сохраняется при изменении Д в области положительных значений. Если уменьшать параметр рассинхронизма в области Д 0, распределение поля начинает изменяться: количество максимумов поля вдоль длины системы постепенно увеличивается. Картина распределения полей различных мод для нескольких значений параметра рассинхронизма (Д = —1.0,0.0,1.0) показана на вставках к рис. 2.1, 2.2. Таким образом, при изменении параметров электронного потока распределение поля вдоль пространства взаимодействия может плавно перестраиваться, сохраняя, в целом, вид стоячей волны. В минимумах резонансных зон распределение поля примерно соответствует распределению собственного типа колебаний "холодной" электродинамической системы. Аналогичную картину можно наблюдать, двигаясь по любой другой линии стартового тока, отличие заключено в том, что изначально распределение поля имеет вид стоячей волны с другим числом максимумов.
Отличия в результатах расчета стартовых режимов, полученных для разных граничных условий, носят как качественный, так и количественный характер. Зависимости на рис. 2.1 (ГУ "идеального согласования") представляют собой плавные кривые, в отличие от аналогичных зависимостей на рис. 2.2 (ГУ "окна прозрачности"), на которых отчетливо выражен зонный характер. К тому же, в минимуме основной зоны (Д « 0.2) стартовые токи для этих граничных условий отличаются в несколько раз.
Для граничных условий (2.13), как говорилось выше, стартовые зависимости для тока имеют выраженный зонный характер как для основной моды, так и для высших мод, причем появление зон для высших мод является нефизическим эффектом. Связано это с тем, что использование соответствующих граничных условий (с постоянным комплексным параметром) адекватно лишь для частот, расположенных вблизи критической. Тогда будут выполняться предположения, которые использовались при получении этих ГУ, основным из которых является условие узкого спектра сигнала, сосредоточенного вблизи границы полосы пропускания. На рис. 2.4 показана частотная зависимость коэффициента отражения от рупора для волны, падающей со стороны пространства взаимодействия, посчитанная с использованием ГУ "окна прозрачности". Для реальной системы при увеличении отстройки частоты сигнала от частоты отсечки коэффициент отражения должен плавно стремиться к нулю, а для граничных условий "окна прозрачности", начиная с некоторого значения частоты, отражения снова начинают возрастать (см. рис. 2.4). Из-за этого поля высших мод, частоты которых далеко отстроены от критической, начинают испытывать сильные отражения, и на зависимостях стартового тока от рассинхронизма для этих мод появляются резонансные зоны (см. рис, 2.2). Таким образом, ГУ "окна прозрачности" адекватно описывают поведение системы только для процессов, частоты которых сосредоточены вблизи критической частоты.
Уравнения линейной теории самовозбуждения паразитных колебаний в ЛБВ с учетом разрыва дисперсионной характеристики вблизи частоты 7г-вида
Интересно отметить, что значения КПД, с которых начинается генерация при токе / (, достаточно высокие (rj и 0.50). Максимальный КПД в системе (/maa: 0.60) достигается при значениях тока, при котором по линейной теории колебаний еще нет [115]. Аналогичная плоскость параметров для случая ГУ "окна прозрачности" показана на рис. 2.17. Расчет линий равного КПД был проделан и для высших мод, для них также наблюдалась возможность жесткого установления колебаний.
Сравнивая различные варианты граничных условий, можно отметить, что учет отражений в гиротроне приводит к существенному снижению максимально достижимого КПД генерации: в случае "идеального согласования" при выбранных значениях параметров максимальный КПД Wmax 80% , а при учете отражений от рупора (как с помощью граничных условий "окна прозрачности", так и с помощью граничных условий "расширяющегося рупора") максимальный КПД существенно снижается до значений rjwax « 60%.
Наличие режимов жесткого возбуждения колебаний характерно для резонансных электронных автогенераторов [40,72]. Для гиротронов с резонансной электродинамической системой существование этих режимов отмечалось в [40,42,73,74], где этот результат получен с использованием "резонаторных" уравнений возбуждения, т.е. фактически в приближении заданного поля. В работе [72] была показана возможность существования режимов жесткого самовозбуждения в оротроне, и была построена приближенная нелинейная теория этого эффекта. Для гиротрона с нефиксированной структурой поля существование режимов жесткого возбуждения было отмечено также в работах [67,69]. 1. Проведен численный анализ стартовых условий в гиротроне для различных типов граничных условий. Показано, что при изменении параметра электронного потока распределение поля вдоль системы в стартовом режиме может плавно перестраиваться между распределениями, соответствующими различным модам "холодной" электродинамической структуры, демонстрируя нефиксированную структуру поля. 2. Установлено, что в гиротроне с нефиксированной структурой поля самовозбуждение колебаний может происходить в соответствии с двумя механизмами: резонансным механизмом, когда частота собственной моды близка к критической и существуют сильные отражения от выходного рупора, формирующие фиксированную структуру поля, и механизмом самовозбуждения за счет взаимодействия электронного потока со встречной волной. Эти механизмы являются общими для всех электронных устройств, в которых взаимодействие пучка с полем происходит на частотах, близких к критической частоте электродинамической структуры. 3. Установлено, что использование граничных условий "идеального согласования" может приводить к существенным ошибкам в определении стартовых значений тока. 4. Показано, что в системе существуют два вида собственных линейных мод. Моды одной группы эффективно взаимодействует с электронным потоком, с увеличением параметра тока IQ мнимая часть собственной частоты Q" у этих мод существенно меняется, они могут либо возбуждаться (если Q" становится меньше нуля), либо быстро затухать за счет эффективной перекачки энергии от поля к пучку. Для мод второй группы величина Q" слабо меняется при изменении тока пучка. Эти моды демонстрируют отсутствие взаимодействия между пучком и полем, они не оказывают влияния на формирование структуры поля в системе в нелинейных и нестационарных режимах, однако, как показано в главе 3, их наличие вносит вклад в определение некоторых "тонких" характеристик хаотических режимов колебаний. Установлено, что в зависимости от типа граничных условий на выходе пространства взаимодействия, эта группа мод может быть относительно "высокодобротной" (для ГУ "окна прозрачности" ) или "низкодобротной" (для ГУ рупора). 5. Развита теория стационарных нелинейных режимов колебаний в ги-ротроне с учетом отражений от выходного рупоря. На плоскости параметров ток пучка — параметр рассинхронизма рассчитаны линии равного КПД. Установлено, что при учете отражений на плоскости параметров появляется обширная область, в которой возбуждения колебаний происходят жестким образом. 6. Показано, что последовательный учет отражений электромагнитных волн от выводящего рупора приводит к существенному снижению уровней максимальных КПД, достижимых в системе в режиме стационарной генерации.
К настоящему моменту времени существует достаточно большое количество работ, посвященных нестационарной динамике гиротрона, ряд из которых перечислен в главе 1. В первых работах на эту тему [3,5] используется модель, в которой отражения электромагнитного поля от выходного рупора в "холодной" электродинамической системе без пучка не учитываются, при этом переизлучение прямой волны во встречную происходит только за счет механизма рассеяния на скачке электронной проводимости. Появившиеся в последнее время работы посвящены исследованию режимов сложной динамики в гироприборах, в частности, в гиротроне [46-48,75-77] и в гиро-лампе на встречной волне (гиро-ЛВВ) [34,78-83]. При этом в [46-48] использованы те же ГУ, что и в [3,5], т.е. отражения от выходного рупора не учитываются, а в [83] исследования проведены при помощи 2.5 -мерной модели прибора (аксиально симметричная электродинамическая структура и трехмерные уравнения движения электронов) применительно к конкретной геометрии резонатора гиротрона. Такой подход требует существенных затрат машинных ресурсов, при этом явно выделить влияние отражений на динамику систему оказывается затруднительным.
