Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации Савин, Дмитрий Владимирович

Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации
<
Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации
>

Диссертация, - 480 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Савин, Дмитрий Владимирович. Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.04.03 / Савин Дмитрий Владимирович; [Место защиты: Сарат. гос. ун-т им. Н.Г. Чернышевского].- Саратов, 2011.- 139 с.: ил. РГБ ОД, 61 11-1/978

Введение к работе

Актуальность работы

Как известно, в нелинейной динамике выделяют два класса динамических систем: консервативные и диссипативные. Для первых характерным является сохранение фазового объема в процессе временной эволюции, а для вторых -наличие притягивающих объектов (аттракторов), отвечающих за возможность существования различных установившихся колебательных режимов. Если система характеризуется некоторым параметром, ответственным за величину диссипации, то при его изменении происходит превращение диссипативной системы в консервативную. В таком контексте консервативные системы являются в определенной мере «негрубыми», так как малейшее отклонение параметра разрушает свойство сохранения фазового объёма и переводит систему в класс дис-сипативных. В силу этого, такой переход оказывается очень сложным и требует специального изучения. В определенной мере можно говорить о «почти» консервативных системах, выделяя их, в своего рода, особый, «промежуточный» класс, требующий самостоятельного изучения. В настоящее время проблема поведения таких систем изучена все еще мало, хотя важность её отмечена многими исследователями. В частности, имеется подход к их изучению, основывающийся на теории консервативных систем и рассматривающий диссипатив-ность, как некоторое возмущение, выводящее систему из класса гамильтоновых (см., например, монографию А.Д. Морозова и цитированную там литературу). Возможен альтернативный подход, основанный на методах теории диссипатив-ных систем с исследованием изменения их свойств при уменьшении уровня диссипации. При этом с точки зрения физики целесообразно исследовать примеры диссипативных систем, имеющих физическую мотивацию и, соответственно, ясный консервативный предел.

К настоящему моменту существует ряд работ, в которых обсуждается динамика систем с постоянным уровнем диссипации при его малых значениях на примере различных модельных отображений. Одним из важнейших специфических свойств почти консервативных систем является сосуществование при одних и тех же значениях параметров очень большого (сотни и тысячи) числа аттракторов. Так, одна из первых работ на эту тему носит характерное название: «Map with more than 100 coexisting low-period periodic attractors» - отображение с более чем 100 сосуществующими низко-периодическими аттракторами. Помимо этой, существует ряд других работ, посвященных изучению слабодисси-пативной версии ротатора, находящегося под воздействием периодической последовательности импульсов , а также отображения для двойного ротатора с акцентом на изучении свойств сосуществующих режимов. Также можно указать аналогичную работу, посвященную исследованию модели ускорения Фер-

1 Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах. Серия современная математика. М.
Ижевск: РХД, 2005, 424 с.

2 Feudel U. et al. //Phys. Rev. E, 1996, 54, № 1, pp. 71-81.

3 Колесов А.Ю., Розов H.X. //Теор. и мат. физика, 2006,146, № 3, ее. 447^166.; Martins L.C., Gallas J.A.C. /Дій. J.
Bif. and Chaos, 2008,18, № 6, pp. 1705-1717.

4 Feudel U. et al. //Chaos, Solit. & Fract, 1998, 9, pp. 171-180.

ми . В работе в контексте слабо диссипативных систем исследуется так называемое отображение Богданова, демонстрирующее дискретную версию известной бифуркации Богданова-Такенса. В контексте изучения мультистабильности в слабо диссипативных системах укажем на обзор U. Feudel и цитированную там в разделе, посвященном системам с малым уровнем диссипации, литературу, в частности, работы, посвященные изучению мультистабильности в системах механических осцилляторов и колебаниям в моделях висячих мостов . Различными авторами обсуждалась проблема существования хаотических аттракторов в слабодиссипативных системах и закономерности эволюции бассейнов притяжения аттракторов при изменении уровня диссипации и приближении системы к консервативному пределу . Кроме того, следует отметить ряд работ, в которых авторы для систем различной природы, от моделей ускорения Ферми до оптических, описывают поведение, сочетающее в себе черты как консервативной, так и диссипативной динамики .

В этом же контексте существенным является вопрос о сценариях перехода к хаосу, среди которых наиболее распространенным является переход через каскад бифуркаций удвоения периода. Такие переходы могут наблюдаться как в диссипативных системах (сценарий Фейгенбаума), так и в консервативных, однако их свойства во многом различны. В первом случае при увеличении управляющего параметра происходят последовательные удвоения периода аттрактора системы, накапливающиеся при изменении параметра к критической точке F. В консервативных системах наблюдаются удвоения эллиптических орбит, накапливающиеся к критической точке Н. При этом закон накопления бифуркационных точек к критической характеризуется своими константами скей-

19 1 ~\

линга (самоподобия), соответственно 8р=4.6692016... и 8н=8.7210972... . Известны примеры сосуществования этих двух типов поведения в пространстве параметров, относящиеся к случаю отображений с фиксированным якобианом, отвечающим за уровень диссипации . Картина перехода от консервативного критического поведения к диссипативному оказывается сложной (проблема, известная в литературе, как conservative-dissipative crossover). С общей точки зрения введение любой, сколь угодно малой диссипации неизбежно приводит к появлению фейгенбаумовской критичности, начиная с определённого уровня удвоений . Поэтому важным является вопрос о возможности существования критических точек Н-типа в реалистичных моделях диссипативных систем.

5 Tavares D.F., Leonel E.D. //Braz. J. Phys., 2008, 38, № 1, pp. 58-61.

6 Сухаревский В.В. //Вестник МГУ. Сер. 3. Физика. Астрономия, 2006, № 2, ее. 7-9.

7 Feudel U. //Int. J. Bif. and Chaos, 2008,18, № 6, pp. 1607-1626.

8 Blazejczyk-OkolewskaB., Kapitaniak T. //Chaos, Solit. & Fract, 1998, 9, pp. 1439-1443.

9 de Freitas A.S.T., Viana R.L., Grebogi С //Int. J. Bif. and Chaos, 2004,14, № 3, pp. 927-950.

10 Feudel U., Grebogi С //Chaos, 1997, 7, № 4, pp. 597-604.; Feudel U., Grebogi С //Phys. Rev. Lett., 2003, 91,
№ 13, 134102; RechP., Beims M, Gallas J. //Phys. Rev. E, 2005, 71, № 1, 017202.

11 Leonel E.D., McClintock P.V.E. //Phys. Rev. E, 2006, 73, № 6, 066223; Lai Y.-C, Grebogi С //Phys. Rev. E, 1996,
54, № 5, pp. 4667-4675; Polity A., Oppo G.L., Badii R. //Phys. Rev. A, 1986, 33, № 6, pp. 4055-4060.

12 Feigenbaum M.J. //J. Stat. Phys., 1978,19, № 1, pp. 25-52; 1979, 21, № 6, pp. 669-706.

13 MacKay R.S. In book: Long time prediction in dynamics. NY: J. Wiley&Sons, 1983, pp. 127-134.

14 Reinout G., Quispel W. //Phys. Rev. A, 1985, 31, № 6, pp. 3924-3928; Chen C, Gyorgyi G., Schmidt G. //Phys. Rev.
A, 1986, 34, № 3, pp. 2568-2570; Chen C, Gyorgyi G., Schmidt G.//Phys. Rev. A, 1987, 35, № 6, pp. 2660-2668 и др.

Весьма конструктивными в контексте исследования соотношения свойств консервативных и диссипативных систем представляются радиофизические задачи и подходы, использующие различные типы колебательных и автоколебательных систем в форме разнообразных осцилляторов. В этом плане можно сформулировать задачу построения системы радиофизических моделей, находящихся под внешним воздействием и имеющих соответствующий консервативный предел. В качестве простейшей исходной системы можно выбрать дис-сипативный осциллятор Дуффинга с кубической нелинейностью, находящийся под импульсным воздействием постоянной амплитуды. Для такой системы с помощью метода медленно меняющихся амплитуд можно получить приближённое дискретное отображение, представляющее собой известное и популярное в нелинейной динамике отображение Икеды . Следующим шагом может служить переход к автоколебательным системам типа осциллятора Ван-дер-Поля, включая введение в уравнения системы нелинейности диссипации, а также зависимости амплитуды внешнего воздействия от значения динамической переменной. Такой путь может привести к новому отображению в виде автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией, которая, как мы покажем, может служить удобным объектом для сопоставления диссипативно-го и консервативного типов перехода к хаосу через удвоения периода. Наконец, дальнейшим развитием может являться переход к исследованию связанных эталонных моделей нелинейной динамики при малых значениях диссипации.

Цели и задачи исследования

Целью настоящей работы является выявление особенностей перехода от диссипативной к консервативной динамике в радиофизических системах ос-цилляторного типа.

В ходе выполнения работы решались следующие задачи:

исследование изменений устройства пространства параметров и фазового пространства при приближении к консервативному пределу на примере отображения для осциллятора Дуффинга под импульсным воздействием (отображение Икеды);

построение и исследование модели по типу осциллятора Ван-дер-Поля под импульсным воздействием с амплитудой, зависящей от значений динамической переменной, пригодной для изучения взаимосвязи диссипативной и консервативной картины критических явлений, связанных с переходом к хаосу через удвоения периода;

исследование изменения устройства плоскостей управляющих параметров для систем связанных отображений Эно и стандартных отображений Тейлора-Чирикова при изменении диссипации и изучение возникающих при этом особенностей.

Методы исследования

В ходе выполнения работы был использован спектр различных аналитических и численных методов. Так, для построения дискретных отображений,

15 Ikeda К., Daido Н., Akimoto О. //Phys. Rev. Lett., 1980, 45, № 9, pp. 709-712; Kuznetsov A.P., Turakina L.V., Mosekilde E. /Дій. J. Bif. and Chaos, 2001,11, № 4, pp. 1065-1077.

применялось аналитическое решение дифференциальных уравнений методом медленно меняющихся амплитуд и метод «дискретизации». При численном исследовании для получения информации об устройстве пространства параметров использовался метод построения карт динамических режимов и карт ляпунов-ских показателей, для анализа устройства плоскости параметров консервативных систем в работе предложен оригинальный метод построения «карт разбе-гания». Для анализа динамики системы в фазовом пространстве использовался метод построения фазовых портретов и портретов аттракторов. Для анализа изменений структуры фазового пространства при изменении одного из управляющих параметров использовались метод построения бифуркационных деревьев и множества бифуркационных деревьев на одной диаграмме, а также предложенный в работе метод построения модифицированных карт динамических режимов. Для численного анализа бифуркаций отображений использовалась программа Content . Интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений проводилось с помощью метода Рунге-Кутта 4 порядка. Программирование осуществлялось на языках Delphi и Fortran, некоторые алгебраические преобразования выполнялись с помощью программы Mathematica. Положения и результаты, выносимые на защиту

  1. В отображении Икеды (двумерное отображение, являющееся моделью осциллятора Дуффинга под импульсным воздействием) при малом уровне диссипации наряду с «основным» аттрактором, существующим при всех значениях управляющего параметра, наблюдается сосуществование большого числа низкопериодических аттракторов с различными временами переходного процесса. В определённых интервалах значений управляющего параметра бассейн притяжения одного из «побочных» аттракторов может занимать большую часть фазового пространства, однако при увеличении параметра, отвечающего за удвоения периода, побочные аттракторы исчезают, и всё фазовое пространство занимает бассейн притяжения хаотического аттрактора, возникшего на базе «основного».

  2. В приближенном дискретном отображении, описывающем автоколебательный осциллятор Ван-дер-Поля под импульсным воздействием с амплитудой, нелинейным образом зависящей от значения динамической переменной, критическое поведение гамильтоновского (характерного для перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в консервативных системах) типа наблюдается как феномен коразмерности два.

  3. В системе связанных обратимых двумерных отображений при уменьшении диссипации происходят существенные изменения устройства плоскости параметров, управляющих удвоениями периода в подсистемах. В частности, возникают разрывы линии перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода (фейгенбаумовской линии) с возникновением на концах разрывов критических точек различных типов (точек гамильтоновского типа и точек, ассоциирующихся с появлением решения уравнения ренормгруппы в виде цикла периода 2), что позволяет разделить возникающие разрывы на два типа.

16 Kuznetsov Yu.A., Levitin V.V. CONTENT: A multiplatform environment for analyzing dynamical systems, Dynamical Systems Laboratory, Amsterdam, 1997,

Аргументированность, обоснованность и достоверность результатов диссертации

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием при расчётах апробированного в нелинейной динамике и широко используемого математического инструментария, включая численные методы, а также предусмотренной возможностью сравнения и совпадением результатов с известными для предельных случаев. При нахождении критических точек и констант скейлинга точность полученных результатов обеспечивается совпадением решений уравнений с несколькими различными начальными приближениями. Карты динамических режимов, построенные путем прямого численного моделирования, находятся в соответствии с результатами бифуркационного анализа и картами ляпуновского показателя.

Научная новизна работы

В диссертационной работе впервые:

  1. Изучено устройство плоскости параметров отображения Икеды при приближении к консервативному пределу. Для слабо диссипативного случая показано существование большого числа низкопериодических аттракторов, которые можно разделить на два типа по характеру их зависимости от управляющего параметра. Обнаружено резкое увеличение длительности переходного процесса, в начале которого слабо диссипативная система ведёт себя почти как консервативная. Показано, что при уменьшении уровня диссипации число побочных аттракторов, способных демонстрировать хаотическую динамику, стремится к нулю, однако в целом система способна демонстрировать хаотическое поведение при переходе к хаосу на основном аттракторе.

  2. На примере системы Икеды предложен и реализован метод анализа устройства плоскости параметров в консервативном случае - «карта разбега-ния», который в определенной мере является аналогом метода карт динамических режимов в диссипативных системах. Этот метод оказывается пригодным и для систем с шумовым воздействием.

  3. Введена в рассмотрение модель автоколебательной системы с компенсируемой диссипацией, представляющая собой осциллятор Ван-дер-Поля под периодическим импульсным воздействием с амплитудой, управляемой текущей координатой осциллятора по квадратичному закону. В квазигармоническом приближении получено соответствующее дискретное отображение. В зависимости от внутренних и внешних параметров такая система может приводиться как к классическому отображению Эно, так и к традиционным автоколебательным моделям с импульсным возбуждением.

  4. В предложенном отображении обнаружена критическая точка, характерная для перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в консервативных системах (точка гамильтоновского типа). Эта точка выступает как феномен коразмерности два и является концевой для фейгенбаумовской линии перехода к хаосу через удвоения периода.

  5. При значениях параметров, соответствующих существованию в такой системе в автономном режиме неустойчивого предельного цикла, обнаружена возможность инициированных внешним воздействием устойчивых квазиперио-

дических движений и системы языков Арнольда устойчивых синхронных режимов разного порядка.

  1. Проведено исследование структуры пространства параметров исходной системы дифференциальных уравнений в различных режимах функционирования автономной системы, которое показало хорошую степень соответствия построенному отображению.

  2. Установлено, что для связанных отображений Эно при уменьшении уровня диссипации происходят существенные изменения в картине бифуркаций и критических явлений. На плоскости параметров, отвечающих за удвоения периода в подсистемах, при уменьшении диссипации возникают разрывы линии перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Выделены различные сценарии возникновения указанных разрывов. Они разделены на два типа по типу критических точек, которыми заканчивается фейгенбаумовская линия на краях разрывов. Обнаружена ситуация, когда отрезок линии Фейген-баума может заканчиваться критическими точками разных типов - точек га-мильтоновского типа Н и точек С, ассоциирующихся с появлением решения уравнения ренормгруппы в виде цикла периода два.

Научная и практическая значимость

Полученные в диссертации результаты вносят вклад в понимание особенностей взаимосвязи динамики диссипативных и консервативных систем и особенностей перехода между ними. Обнаружение гамильтоновской точки в автоколебательной модели с компенсированной диссипацией вносит вклад в теорию критических явлений на пороге хаоса. Выявленные особенности устройства плоскости параметров связанных слабо диссипативных отображений Эно (появление разрывов фейгенбаумовской линии, наличие у них концевых точек разного типа, появление и эволюция определенных бифуркационных структур) могут прояснить и упростить анализ других связанных слабо диссипативных систем со сложной динамикой. Предложенные в работе методы построения «карт разбегания» и «модифицированных карт динамических режимов» могут быть использованы при анализе различных консервативных и слабо диссипативных систем.

Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе в рамках курсов по радиофизике и теории колебаний. В настоящее время результаты используются на факультете нелинейных процессов Саратовского госуниверситета в рамках учебных дисциплин «Консервативный хаос» и «Проблемы нелинейной динамики» для студентов 4 курса.

Личный вклад

Постановка задач и обсуждение и интерпретация результатов проводилась совместно с научным руководителем и соавторами совместных работ. Автором разработаны математические модели и выполнены все численные эксперименты; проведено программирование всех задач.

Апробация работы. Публикации

Основные результаты работы докладывались на следующих школах, семинарах и конференциях:

школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2004 -2010 гг.);

конференции молодых учёных «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» в рамках XIV и XV всероссийских школ «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2008, 2010 гг.);

VIII и IX международные школы «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2007, 2010 гг.);

российско-французский семинар «Nonlinear science and applications» (Франция, Безансон, 2010 г.);

X всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, 2006);

I - V конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006 - 2010 гг.);

школа-семинар «Динамический хаос и его приложения» (Звенигород, 2007 г.);

международная школа-семинар «Statinfo 2009» (Саратов, 2009);

XIII и XV международные конференции «Foundations and advances in nonlinear sciences» (Беларусь, Минск, 2006, 2010 гг.);

международный конгресс «Нелинейный динамический анализ 2007», посвященный 150-летию со дня рождения академика Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007 г.);

36-я конференция центральноевропейского сотрудничества в статистической физике «МЕСО 36» (Украина, Львов, 2011 г.);

а также на семинарах базовой кафедры динамических систем Саратовского государственного университета и лаборатории теоретической нелинейной динамики Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН и на семинаре группы теоретической физики и сложные систем Института химии и биологии моря Университета Ольденбурга (Ольденбург, ФРГ).

Результаты работы использовались при выполнении государственного контракта Федерального агентства по науке и инновациям №02.442.11.7237, аналитической ведомственной целевой программы Министерства образования и науки Российской Федерации «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/1738), проектов РФФИ (гранты №№03-02-16192,08-02-91963), CRDF REC-006 (персональный грант для студентов), гранта Президента РФ № МК-905.2010.2. Частично результаты работы получены в ходе визита автора в группу профессора У. Фойдель в университете Ольденбурга, поддержанного Германской службой академических обменов (DAAD). Цикл работ автора, использованных в настоящей диссертации, удостоен медали РАН за лучшую научную работу студентов ВУЗов России по направлению «Физика и астрономия» по конкурсу 2008 года.

По теме диссертации опубликовано 27 работ, из них 5 в российских и международных журналах, входящих в список журналов, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов кандидатских и докторских диссертаций,

а также 1 статья в рецензируемом журнале и 21 публикация в тезисах докладов и материалах конференций (из них 2 в электронном виде).

Структура и объем работы

Похожие диссертации на Динамика неавтономных систем осцилляторного типа в случае слабой диссипации