Введение к работе
Актуальность работы
Неавтономные нелинейные системы представляют собой важный класс динамических систем. Так, в радиофизике и нелинейной динамике большое внимание уделяется проблеме синхронизации нелинейных систем внешним воздействием. В отличие от традиционных воззрений теории колебаний, в современной трактовке под синхронизацией понимают не только возникновение в системе режима той же периодичности, как у воздействующего на нее сигнала, но и ситуации, когда внутренняя динамика системы или внешнее воздействие может быть, например, квазипериодическим или хаотическим. В связи с этим кругом проблем возникает задача исследования, классификации и сопоставления ситуаций, отвечающих различным комбинациям типов собственной динамики и типов внешнего воздействия.
Явления, имеющие место в динамике неавтономных систем, имеют как фундаментальное, так и прикладное значение. Известны многочисленные приложения синхронизации периодических колебаний в радиотехнике (например, стабилизация частоты и фазы мощного источника излучения воздействием маломощного генератора, стабильность которого обеспечить гораздо проще), в механике (управление функционированием вибромеханизмов). В последнее время активно обсуждается использование хаотической синхронизации (или синхронного хаотического отклика) в системах скрытой коммуникации, для управления хаотической динамикой, в биомедицинском аспекте (управление ритмами организмов, динамические болезни).
Обычно неавтономную динамику исследуют применительно к моделям, для которых в автономном режиме имеет место уже изученный в деталях тип поведения, например, периодические колебания, удвоения периода, классический хаос и т.д. В то же время даже для случая квазипериодической динамики, как недавно выяснилось, задача оказывается весьма сложной, многоплановой и не исследованной до конца. В этом плане интересно и важно рассмотреть случаи, когда автономная система демонстрирует различные типы нетривиальной сложной динамики.
Цель и задачи исследования
Целью настоящей работы является анализ и сопоставление динамического поведения модельных неавтономных систем, отвечающего различным комбинациям типов собственной динамики и типов внешнего воздействия на систему.
Объект, предмет и метод исследования
В работе рассматривается несколько модельных систем с периодическим внешним воздействием, присутствие которого существенным образом влияет на динамические процессы и по существу определяет их характер.
Первым объектом служит предложенная в работе Ханта модельная система, в которой неавтономная природа обеспечивает присутствие структурно устойчивого хаотического аттрактора, представляющего собой в сечении Пуанкаре гиперболический аттрактор типа Плыкина. Система Ханта – первый конкретный пример системы с непрерывным временем, реализующий гиперболический аттрактор. Неавтономный характер динамики модели состоит в наличии трех определенных соответствующим образом стадий динамической эволюции за период изменения коэффициентов. В настоящей диссертации проводится анализ модели Ханта с привлечением обширного арсенала вычислительных методов нелинейной динамики. Хотя реализация модели Ханта проблематична из-за ее формальной сложности и искусственности, материал настоящего исследования, как предполагается, послужит основой для работы в направлении создания генераторов структурно устойчивого хаоса с перспективой их приложения в радиофизических системах.
Второй объект – модельная система, которая в автономном режиме демонстрирует два типа колебаний, быстрые и медленные. Задачи о неавтономной динамике подобных систем важны как с общеколебательной точки зрения, так и с точки зрения возможных приложений, например, в биофизике. В построенной на ее основе неавтономной модели главный интерес представляет своего рода конкуренция между типами резонансного отклика, обусловленного присутствием быстрой и медленной мод.
В качестве третьего объекта рассматривается модель Лоренца, которая при вариации параметров демонстрирует более нетривиальные бифуркационные сценарии, нежели другие известные в нелинейной динамике примеры (модель Ресслера, радиофизические генераторы Дмитриева – Кислова, Анищенко – Астахова и др.). Несмотря на обширную литературу, посвященную синхронизации в системе Лоренца, некоторые относящиеся к ней вопросы не получили достаточного освещения. В первую очередь это исследование эволюции устройства плоскости параметров частота – период воздействия в широкой области изменения внутреннего параметра системы (включая ситуации различных типов собственной динамики), а также сравнение различных типов возбуждения – гармоническим и импульсным сигналом.
Положения и результаты, выносимые на защиту
На защиту выносятся результаты численного исследования динамики модельной системы Ханта, характеризующейся присутствием гиперболического аттрактора, в том числе фазовые портреты, анализ реализаций, показателей Ляпунова и размерностей, спектра Фурье, принадлежащих аттрактору неустойчивых периодических орбит.
Для модели в виде связанных осцилляторов ван дер Поля и Уеды в пространстве параметров существуют области, в которых система демонстрирует наличие быстрой и медленной компонент динамики, которые могут быть синхронизованы внешним сигналом. При этом внешнее воздействие способно разрушать резонанс между медленными и быстрыми колебаниями системы, и быстрая переменная является более чувствительной к внешнему воздействию.
Для системы Лоренца с гармоническим и импульсным возбуждением существуют области нетривиальной динамики, даже для тех значений внутренних параметров, когда в автономной системе реализуются регулярные режимы, что обосновано как с помощью численных экспериментов, так и аналитически, путем применения критерия Мельникова.
Аргументированность, достоверность и обоснованность результатов диссертации подтверждается соответствием численных результатов, полученных при различном выборе параметров разностных схем, согласованностью заключений о природе фиксируемых динамических режимов на основе разных методов анализа (показатели Ляпунова, портреты аттракторов, спектры Фурье, карты динамических режимов), а также адекватностью с аналитическими результатами в тех случаях, когда таковые имеются.
Научная новизна работы
Проведено численное исследование динамики модельной потоковой системы, введенной Хантом и характеризующейся присутствием гиперболического аттрактора, включая построение фазовых портретов, анализ реализаций, вычисление показателей Ляпунова и размерностей, спектра Фурье. Найдены и проанализированы представители множества неустойчивых периодических орбит, принадлежащих хаотическому аттрактору. Устранена неточность в представленной Хантом вычислительной процедуре, в силу которой в его численных расчетах было нарушено свойство гиперболичности аттрактора.
В модельной системе, характеризующейся присутствием быстрых и медленных колебаний, исследованы синхронные и несинхронные хаотические режимы. Показано, что переход между ними связан с потерей хаотическим аттрактором своей многоленточной структуры и с возникновением дополнительных петель вокруг и внутри основного тела аттрактора, а также появлением мелкомасштабной структуры. Показано, что, независимо от того, к быстрой или к медленной компоненте добавляется внешнее воздействие, область внутренней синхронизации становится меньше, и в системе почти не наблюдаются синхронных хаотических режимов.
Для системы Лоренца с гармоническим и импульсным возбуждением построены карты динамических режимов на плоскости частота – амплитуда воздействия и изучена их трансформация при вариации внутреннего параметра системы Лоренца.
Проведено сравнение ситуаций динамики системы Лоренца при воздействии гармонического и импульсного сигнала. В последнем случае установлена иерархическая организация областей периодических режимов с ростом амплитуды воздействия.
Для неавтономной системы Лоренца с гармоническим воздействием применен критерий Мельникова и показано, что полученные в соответствии с этим критерием области сложной динамики находятся в хорошем соответствии с результатами компьютерного моделирования.
Научно-практическая значимость работы
Выполнение исследования модельной системы Ханта способствовало накоплению опыта работы с гиперболическими аттракторами, что становится актуальным по мере появления примеров физически реализуемых систем, имеющих аттракторы подобного типа, и оценке перспектив их практического применения. Результаты второй главы представляют интерес в контексте более широкого исследования вынужденной синхронизации колебательных движений с разными масштабами времени в системах различной физической природы. Результаты третьей главы дополняют известные результаты по синхронизации системы Лоренца и позволяют более широкого взглянуть на проблему неавтономной динамики такой системы, включая ситуации существенной перестройки внутренней динамики.
Личный вклад
Программирование задач и компьютерные расчеты выполнены лично автором. Автору принадлежит также идея и реализация применения метода Мельникова к оценке области хаотической динамики модели Лоренца. В работах, выполненных в соавторстве, постановка задач и интерпретация результатов осуществлялась совместно с соавторами.
Апробация работы и публикации
Результаты работы были представлены на конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2004, 2005, 2006), XIII зимней школе-семинаре по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2006), 1-ой, 2-ой и 3-ей Всероссийских конференциях «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов 2006, 2007, 2008).
По теме диссертации имеется 4 публикации в научных журналах из перечня ВАК [1-4], 8 публикаций в трудах научных конференций [5-12] и электронный препринт [13].
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Диссертация содержит 105 страниц текста, включая список литературы из 91 наименований.
