Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сложная динамика связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга в случае неидентичности по частотной расстройке (краткий обзор и новые результаты) 17
1.1. Осциллятор Ван дер Поля: общие свойства, укороченные уравнения, нормировка, учет неизохронности 18
1.2. Связанные осцилляторы Ван дер Поля с диссипативной связью. Полные и укороченные уравнения 22
1.3. Режимы захвата фазы и фазового дрейфа на плоскости параметров частотная расстройка - параметр связи. Представление об «активной» связи 24
1.4. Режим гибели колебаний 28
1.5. Общее устройство плоскости управляющих параметров, обсуждение стационарных состояний и фазовых портретов 31
1.6. Компьютерные эксперименты с системой связанных осцилляторов. Метод карт динамических режимов 34
1.7. Устройство плоскости параметров полной дифференциальной системы 36
1.8. Область противофазной синхронизации на картах динамических режимов полной системы 40
1.9. Влияние фазовой нелинейности и управляющих параметров осцилляторов на динамику системы. Появление режимов хаотической динамики 42
1.10. Несимметричная фазовая нелинейность осцилляторов 46
1.11.Активная связь. Карта динамических режимов 52
1.12. Допороговые осцилляторы. Возбуждение допороговых осцилляторов активной связью 57
Выводы 59
Глава 2. Сложная динамика связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля-Дуффинга в случае неидентичности по управляющим параметрам 61
2.1. Плоскость параметров, управляющих бифуркацией Андронова-Хопфа. Укороченные уравнения и уравнение Адлера 61
2.2. Плоскость параметров, управляющих бифуркацией Андронова-Хопфа. Компьютерное моделирование 69
2.3. Влияние фазовой нелинейности на динамику дифференциальной системы 74
2.4. Устройство плоскости параметров частотная расстройка - величина связи для неидентичных подсистем. Возможность широкополосной синхронизации 76
2.5. Широкополосная синхронизация в системе с фазовой нелинейностью... 86
Выводы 90
Глава 3. Сложная динамика и критические явления в неидентичных по управляющим параметрам связанных системах с удвоениями периода (система Рёсслера) 92
3.1. Система связанных осцилляторов Рёсслера с двунаправленной связью.. 93
3.1.1. Устройство плоскости управляющих параметров 93
3.1.2. Устройство границ области синхронизации. Критические явления ... 101
3.1.3. Мультистабильность на плоскости управляющих параметров осцилляторов 106
3.2. Критические явления в системе однонаправлено связанных осцилляторов Рёсслера 110
3.2.1. Система однонаправлено связанных осцилляторов Рёсслера 110
3.2.2. Критические точки 113
3.2.3. Бикритическая точка 117
3.2.4. Перемещение критических точек на плоскости управляющих параметров при вариации параметра связи 121
3.3. Система связанных осцилляторов Рёсслера и Ван дер Поля 125
Выводы 129
Глава 4. Сложная динамика систем связанных осцилляторов с бифуркациями удвоения периода 131
4.1. Системы связанных осцилляторов Спротта 131
4.2. Система связанных генераторов Кислова-Дмитриева 150
4.3. Система связанных осцилляторов Анищенко-Астахова 157
Выводы 163
Заключение 164
Список использованной литературы
- Связанные осцилляторы Ван дер Поля с диссипативной связью. Полные и укороченные уравнения
- Плоскость параметров, управляющих бифуркацией Андронова-Хопфа. Компьютерное моделирование
- Устройство границ области синхронизации. Критические явления
- Система связанных генераторов Кислова-Дмитриева
Введение к работе
Как известно, бифуркация Андронова-Хопфа состоит в возникновении автоколебаний в результате рождения в фазовом пространстве предельного цикла при превышении некоторым, управляющим параметром соответствующего бифуркационного значения [1]. Простейшим примером системы, демонстрирующим такую бифуркацию, является система Ван дер Поля [2,3], которая в настоящее время приобрела «статус» эталонной модели теории колебаний и нелинейной динамики. Эта система описывает также и многие конкретные радиофизические системы, начиная с классического лампового генератора [1,4]. Важным развитием системы Ван дер Поля является система Ван дер Поля - Дуффинга, которая характеризуется дополнительной нелинейностью, введенной по типу осциллятора Дуффинга [5]. Эта модель учитывает возможность неизохронности малых колебаний и приводит к нормальной форме бифуркации Андронова-Хопфа [4].
Бифуркация удвоения периода возможна в автоколебательных системах с большей размерностью фазового пространства. Она состоит в том, что предельный цикл теряет устойчивость, и от него отделяется устойчивый цикл удвоенного периода [6-9]. Известно множество систем и моделей, демонстрирующих такую бифуркацию, как искусственно сконструированных (система Ресслера [10]), так и радиофизических (генераторы Пиковского-Кияшко-Рабиновича [11], Анищенко-Астахова [12], Кислова-Дмитриева [13-16] и др.), а также оптических, гидродинамических, химических и др. систем. Существенное значение бифуркации удвоения периода состоит также в том, что каскад таких бифуркаций приводит к известному сценарию Фейгенбаума перехода к хаосу, который оказывается универсальным и справедливым для систем различной физической природы. Универсальность сценария и характерные для него свойства самоподобия (скейлинга) были объяснены с помощью метода ренормализационной группы в известных работах Фейгенбаума [8,17,18].
В настоящее время весьма популярны исследования динамики связанных автоколебательных систем. Данный класс задач является сложным для изучения по целому ряду причин, таких как наличие большого числа факторов, влияющих на динамику связанных осцилляторов, проблематичность и зачастую невозможность проведения аналитического исследования, сложность и длительность необходимого численного анализа, проводимого при помощи компьютера.
В данной работе акцент сделан на изучении неидентичных связанных систем с бифуркациями Андронова-Хопфа и удвоения периода. Будут рассмотрены в этом контексте связанные системы Ван дер Поля, Ван дер Поля - Дуффинга, Ресслера, так называемые системы Спротта [6,19,20] и некоторые другие.
Неидентичность взаимодействующих систем может быть введена по-разному. Этому отвечает и разная методология исследования. Так для связанных систем Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга можно выбрать равными друг другу параметры, ответственные за бифуркацию Андронова-Хопфа. Неидентичность будет состоять в наличии частотной расстройки автономных систем. В этом случае основные «атрибуты» явления синхронизации - языки Арнольда, встроенные в области квазипериодической динамики - выявляются на плоскости параметров (частотная расстройка -величина связи). Такая плоскость параметров аналогична плоскости (частота - амплитуда воздействия) для осциллятора, возбуждаемого гармоническим сигналом. Существенное отличие от этого случая для связанных осцилляторов - возможность эффекта «гибели колебаний», который состоит в исчезновении автоколебаний при достаточно большом диссипативном воздействии связи.
Система двух связанных осцилляторов Ван дер Поля в рамках такого подхода изучалась, например, Д.Г. Аронсоном с соавторами [21], А. Пиковским [22], Д.С. Коэном и Дж. С. Нэу [23,24] для случая диссипативной связи между осцилляторами, а также Н. Минорски [25], Р. X. Рандом,
совместно с П. Дж. Холмсом и Т. Чакраборти [26-28] для случая слабой инерционной и Р.Х. Рандом и Д.В. Сторти [29] - для сильной инерционной связи. Подобный подход использован также в работах Т. Павлидиса [30], М. Полиященко [31,32] и Д.С. Коена, Дж. С. Неу [23,24] при моделировании биологических и химических процессов с использованием системы связанных осцилляторов Ван дер Поля и др. Интерес к такой задаче не ослабевает, поскольку обнаруживаются все новые ее аспекты и новые колебательные эффекты. В этом плане можно указать, например, недавнюю обобщающую работу [33], в которой выполнено объемное исследование в рамках квазигармонического приближения, включая возможность комбинированной связи. В этой работе также обращено внимание на важность ситуации, когда взаимодействующие осцилляторы характеризуются разными по величине параметрами, управляющими бифуркациями Андронова-Хопфа в подсистемах.
В тоже время ряд вопросов до настоящего времени не нашел достаточно полного освещения. Некоторые из них требуют дополнительных, более детальных исследований. Среди них можно указать следующие. Как устроено пространство параметров дифференциальной системы связанных осцилляторов Ван дер Поля, когда квазигармоническое приближение не справедливо? Как влияет на динамику системы в этом случае нелинейность, введенная по типу осциллятора Дуффинга? Какие режимы может инициировать в допороговых осцилляторах Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга «активная» связь» (связь через отрицательное сопротивление)?
Кроме того, можно взглянуть на задачу о динамке неидентичных связанных систем Ван дер Поля с другой точки зрения. Действительно, в каждой из подсистем имеется параметр, управляющий бифуркацией Андронова-Хопфа. Если независимо регулировать два этих параметра, то мы приходим к задаче об устройстве соответствующей плоскости параметров связанной системы. При этом величина связи и расстройка собственных частот осцилляторов будут фиксированы. Являются интересными вопросы:
как выглядят языки синхронизации и области квазипериодических режимов на этой плоскости параметров, и как они могут изменять свою форму при вариации величины связи и частотной расстройки? Такой подход к анализу динамики систем связанных осцилляторов также будет использован в настоящей работе.
В третьей и четвертой главах работы исследуется ряд различных связанных систем с удвоениями периода. Существует множество публикаций, посвященных различным аспектам динамики подобных систем. Так изучаются вопросы влияния величины связи на динамику в связанных симметричных системах с удвоениями периода [34-36], обсуждается наличие мультистабильности [36-41], картина бифуркаций [43-47], возможность регулярной и хаотической синхронизации [48-62], критического поведения (сценариев перехода к хаосу) [63-69] и др. При рассмотрении связанных потоковых систем с удвоениями периода необходимо учитывать также результаты работ, посвященных связанным отображениям, например, [34,35, 37,38, 43,45,51,60, 67,68,70,71 и др.].
В настоящей работе основной акцент ставится на особенностях динамики при существенно различных параметрах подсистем, отвечающих за бифуркации удвоения периода в подсистемах. При такой интерпретации в центре внимания оказывается устройство плоскости параметров, управляющих удвоениями в подсистемах. Такой подход1, фактически, продолжает методологию исследования неидентичных по значениям управляющих параметров систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга. В третьей главе устройство плоскости управляющих параметров для связанных неидентичных систем Ресслера будет исследовано с помощью метода карт динамических режимов, метода карт ляпуновских показателей, будет дан бифуркационный анализ и
1 Для связанных отображений с удвоениями периода такой подход применялся также в работе [43], в [72] - для анализа связанных, возбуждаемых гармоническим сигналом осцилляторов Дуффинга, в [44] были получены некоторые предварительные результаты для связанных систем Ресслера.
представлены также некоторые примеры критических точек коразмерности два, являющиеся концевыми для фейгенбаумовских линий. Наличие таких точек позволит продемонстрировать самоподобное устройство плоскости управляющих параметров в их окрестности (свойство скейлинга). Будут изучены как взаимно, так и односторонне связанные системы.
Несмотря на «эталонный» характер системы Рёсслера и большое количество работ, посвященных динамике связанных систем этого типа (например, [36,39,44,48,50,73-81]) невозможно однозначно утверждать, что результаты, полученные для двух таких неидентичных связанных систем, будут справедливы и для других систем с бифуркациями удвоения периода. Для выявления возможных общих (а также отличающихся) черт, проявляющихся в устройстве плоскости управляющих параметров, в четвертой главе настоящей работы рассмотрены пары множества (более десяти) различных связанных осцилляторов Спротта, автогенераторов Кислова-Дмитриева и Анищенко-Астахова.
Цель работы состоит в исследовании картины динамических режимов и критической динамики неидентичных по управляющим параметрам связанных автоколебательных систем (осцилляторов), демонстрирующих в автономном состоянии бифуркации Андронова-Хопфа и удвоения периода.
Научная новизна работы
1. Проведено подробное численное исследование методом карт динамических режимов устройства пространства параметров систем диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга, включающее анализ устройства областей кратной синхронизации, квазипериодического поведения и сложной хаотической динамики, в том числе при неидентичных управляющих параметрах осцилляторов.
Аналитически получены соотношения, описывающие устройство плоскости параметров, отвечающих за бифуркации Андронова-Хопфа, диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга. Выявлены характерные типы устройства этой плоскости в зависимости от величины расстройки собственных частот осцилляторов и константы связи. Для исходной дифференциальной системы выявлено аналогичное устройство плоскости параметров, которое, однако, дополняется своеобразной системой языков синхронизации более высокого порядка.
Обнаружена возможность возникновения синхронных и квазипериодических режимов динамики системы двух осцилляторов Ван дер Поля, находящихся до порога бифуркации Андронова-Хопфа, в случае «активной» связи через отрицательное сопротивление.
В системах связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля -Дуффинга с неидентичными управляющими параметрами обнаружена возможность «широкополосной» синхронизации, состоящей в наличии бесконечно длинной полосы синхронизации на плоскости амплитуды связи и расстройки собственных частот, с шириной, равной разнице в значениях управляющих параметров. В рамках квазигармонического приближения дана оценка границ области широкополосной синхронизации. Для исходной дифференциальной системы при движении внутри полосы и при увеличении частотной расстройки проекция фазового портрета на плоскость переменных одного из осцилляторов мало меняет свой вид, а второго - демонстрирует последовательное увеличение числа петель у аттрактора.
Проведено подробное численное исследование устройства плоскости параметров, изменение которых приводит к каскаду бифуркаций удвоения периода в несвязанных подсистемах, для связанных осцилляторов Ресслера. Определено и подробно описано устройство областей синхронных и квазипериодических режимов динамики и
границ этих областей, месторасположение областей хаотической динамики и мультистабильности. Обнаружено сложное устройство окрестностей точек пересечения линий бифуркаций удвоения периода и касательных бифуркаций. Отмечено, что в устройстве плоскости параметров проявляются черты, характерные как для связанных осцилляторов Ван дер Поля, так и связанных логистических отображений
Для связанных осцилляторов Ресслера найдены концевые точки фейгенаумовских критических линий, которые в известном «перечне» критических точек известны как точки типа С. Продемонстрировано свойство самоподобного устройства плоскости параметров в окрестности этих точек.
Показано, что пространство управляющих параметров связанных осцилляторов Ресслера с однонаправленной связью характеризуется наличием своего рода «двойной фейгенбаумовской», а также бикритических точек, которые также представляют собой концевые точки фейгенбаумовских линий.
Проведен численный анализ устройства плоскости параметров, управляющих появлением бифуркаций удвоения периода в подсистемах, для большого количества систем связанных осцилляторов, в том числе множества пар связанных осцилляторов с квадратичной нелинейностью, предложенных Дж. Спроттом, связанных автогенераторов Анищенко-Астахова и связанных осцилляторов Кислова-Дмитриева. Выделен достаточно емкий класс, к которому относится и система связанных осцилляторов Ресслера, характеризующийся общими чертами устройства плоскости управляющих параметров и модификации этой плоскости при вариации константы связи. На примере ряда связанных осцилляторов Спротта показано существование систем связанных осцилляторов не входящих в упомянутый класс.
Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию
Проведенное численное исследование систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга выявило картину областей кратной синхронизации в пространстве параметров, что может быть полезно при практическом применении этих систем. «Эталонный» характер осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга позволяет ожидать аналогичного поведения в других системах связанных осцилляторов с бифуркацией Андронова-Хопфа. Можно рекомендовать поиск в радиофизическом эксперименте обнаруженных особенностей поведения (широкополосная синхронизация, синхронные и квазипериодические режимы в допороговых осцилляторах с активной связью).
Использованная в настоящей работе «методология» исследования, при которой динамика двух связанных подсистем изучается на плоскости их управляющих параметров, может быть достаточно продуктивной для понимания особенностей поведения различных типов связанных осцилляторов.
Особенности картины динамики системы связанных осцилляторов Ресслера на плоскости их управляющих параметров с большой вероятностью будут характерны для других систем связанных осцилляторов с бифуркациями удвоения периода. К таким особенностям относятся, в том числе, устройство границ области синхронизации и наличие критичности С-типа.
Возникновение в системе однонаправлено связанных осцилляторов Ресслера «двойной фейгенбаумовской» критической точки и бикритической точки, к которым сходятся терминальные точки, открывает перспективы поиска таких точек в других примерах однонаправлено связанных колебательных систем с удвоениями периода.
Результаты работы использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов Саратовского госуниверситета в рамках курса
«Системы со сложной динамикой» и при выполнении курсовых и дипломных работ.
Достоверность полученных результатов подтверждается
воспроизводимостью всех численных расчетов, соответствием результатов, полученных методом карт динамических режимов, карт ляпуновских показателей, построением фазовых портретов и бифуркационных деревьев, а также хорошим совпадением результатов, полученных численными и аналитическими методами, а также приведенными иллюстрациями скейлинга на картах динамических режимов в окрестностях найденных критических точек.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Методом карт динамических режимов выявлено устройство плоскости параметров (частотная расстройка - величина связи) диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга, включая ситуации, когда не выполняются условия квазигармонического приближения. Рост параметра нелинейности, введенной по типу осциллятора Дуффинга, приводит к появлению характерных бифуркационных структур «crossroad-area». С ростом управляющего параметра возможно исчезновение одной из областей «гибели» колебаний. Активная связь (связь через отрицательное сопротивление) может инициировать в допороговых осцилляторах квазипериодические и синхронные режимы разной кратности. При наличии неидентичности по управляющему параметру наряду с традиционными языками Арнольда, синхронизация возможна также внутри очень широкой по частотной расстройке полосы, разделяющей области гибели колебаний и квазипериодических режимов.
2. Аналитически в рамках уравнения фазовой динамики выявлено устройство областей синхронизации 1:1 на плоскости управляющих параметров неидентичных подсистем в зависимости от величины
расстройки и параметра фазовой нелинейности. Компьютерное исследование подтверждает эти выводы, выявляя также очень тонкие языки синхронизации более высокого порядка. 3. Для неидентичных по управляющему параметру симметрично связанных систем Рёсслера на границах области синхронизации и хаоса характерен тип критического поведения, известный как С тип критичности. Во многом аналогичное устройство демонстрируют связанные генераторы Дмитриева-Кислова и разнообразные версии систем Спротта. В случае односторонне связанных подсистем Рёсслера сосуществуют также «двойная фейгенбаумовская» точка и бикритический тип поведения. В окрестности этих критических точек плоскость параметров связанных систем Рёсслера характеризуется самоподобным устройством.
Структура и объем работы
Работа содержит 177 страниц, из них 113 страниц основного текста, 53 страницы иллюстраций и список литературы из 109 наименований на 11 страницах.
Краткое содержание работы
Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе рассмотрена динамика систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга с бифуркацией Андронова-Хопфа в зависимости от величин параметров расстройки собственных частот, нелинейности и диссипативной связи. Приведен обзор ранее известных результатов, касающийся анализа динамики указанных систем при помощи системы укороченных уравнений, полученной в квазигармоническом приближении. Оригинальные результаты получены в ходе исследования режимов динамики систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга численными методами, в том числе методом карт
динамических режимов и старшего ненулевого ляпуновского показателя в зависимости от величин различных параметров систем. В первой главе приводится понятие «активной» связи и изучаются аналитически и численными методами особенности динамики систем с такой связью.
Во второй главе рассмотрена динамика несимметричных систем связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга с различающимися значениями параметров, управляющих бифуркациями Андронова-Хопфа в подсистемах. Приводится анализ синхронизации систем на плоскости управляющих параметров при различных величинах связи и нелинейности с использованием квазигармонического приближения и укороченных уравнений, а также методом карт динамических режимов. Демонстрируется наличие и дается подробное описание явления широкополосной синхронизации, проявляющегося при различающихся значениях управляющих параметров осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дуффинга.
В третьей главе приводятся подробное описание и численный анализ устройства пространства параметров систем связанных осцилляторов Ресслера с взаимной и однонаправленной линейной связью для случая различающихся параметров, управляющих бифуркациями удвоения периода колебаний в подсистемах. Методами построения карт динамических режимов, карт старшего ненулевого ляпуновского показателя, расчета и анализа мультипликаторов системы исследуется устройство границ областей синхронизации, квазипериодического и хаотического поведения, производится поиск критической точки типа С в системе с двунаправленной связью, бикритической точки и критической точки нового типа (двойной фейгенбаумовской точки) в системе с однонаправленной связью.
В четвертой главе проводится численное исследование бифуркационного устройства плоскостей параметров, управляющих удвоениями периода во множестве пар связанных осцилляторов Спротта, связанных автогенераторах Кислова-Дмитриева и автогенераторах
Анищенко-Астахова. Демонстрируется наличие класса универсальности систем связанных осцилляторов с бифуркациями удвоениями периода, в который входят системы, обладающие общими чертами устройства плоскостей управляющих параметров. Показывается существование систем связанных осцилляторов третьего порядка с бифуркациями удвоениями периода, не входящими в данный класс универсальности.
В заключении приведены основные результаты и выводы, полученные в работе.
Апробация работы и публикации
Основные результаты диссертации представлялись на ежегодных научно-практических школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (2003-2006 гг.), XII научной школе «Нелинейные волны-2004» (Нижний Новгород, 2004 г.), VII международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур 2004» (Саратов, 2004 г.), всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2005 г.), научных конференциях для молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006-2007 гг.), XIII научной школе «Нелинейные волны-2006» (Нижний Новгород, 2006 г.), на конференциях НОЦ "Нелинейная динамика и биофизика" Саратовского госуниверситета и научных семинарах базовой кафедры динамических систем СГУ.
Частично результаты диссертации получены в процессе выполнения работ по грантам РФФИ № 03-02-16074, № 06-02-16773, Федерального агентства по науке и инновациям (государственные контракты №02.442.11.7237 и №02.442.11.7457) и Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF) REC-006, а также во время визита в группу профессора Э. Осбалдестина (университет Портсмута, Великобритания).
По результатам диссертации опубликовано 15 работ, из них статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК - 7, статей в сборниках -5, тезисов докладов - 3.
В работах, выполненных в соавторстве, постановка задачи и интерпретация результатов выполнены совместно с научным руководителем. Лично соискателем осуществлены численные эксперименты и разработаны методы исследования.
Связанные осцилляторы Ван дер Поля с диссипативной связью. Полные и укороченные уравнения
Поскольку уравнения осциллятора Ван дер Поля (1.7) или (1.9) приближенно описывают динамику физически реализуемого генератора Ван дер Поля, то можно сконструировать радиотехническую систему, состоящую из двух связанных генераторов Ван дер Поля. Диссипативная связь в этом случае будет реализовываться, если добавить в колебательные контуры генераторов Ван дер Поля общее сопротивление, как показано на рис. 1.2.
Система диссипативно связанных осцилляторов Ван дер Поля будет тогда описываться следующей системой уравнений: где \ и Л, - управляющие параметры осцилляторов, 8- расстройка собственных частот осцилляторов, /л - коэффициент диссипативной связи.
Для проведения более общего с позиций теории анализа, модель (1.19) можно дополнить слагаемыми, отвечающими за присутствие фазовой нелинейности в системе. В этом случае мы приходим к системе связанных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга: (1.20) где р - параметр фазовой нелинейности. Получим теперь укороченные уравнения системы в квазигармоническом приближении. Для этого используем метод медленно меняющихся амплитуд. С этой целью положим в уравнениях (1.20) где а и Ъ - комплексные амплитуды первого и второго осцилляторов. Традиционно для этого метода, следует наложить на новые переменные дополнительные условия:
После определенных преобразований и усреднения, приводящего к исключению быстро осциллирующих членов, получаем уравнения для комплексных амплитуд а и Ь: Представим далее комплексные амплитуды а и Ъ в виде a = R ещ, Ъ = ге1(Рг, где R,r- действительные амплитуды колебаний первого и второго осциллятора, а р 1 2 - фазы колебаний осцилляторов. Тогда получаем систему из четырех дифференциальных уравнений:
Поскольку фазы колебаний осцилляторов входят в уравнения только в виде разности ( з,-р2), то можно вычесть из третьего уравнения системы (1.24) четвертое, и получить систему уже из трех дифференциальных уравнений, в которые входит лишь разность фаз осцилляторов у=(рх- Рг . где v = 3j3 - параметр фазовой нелинейности. Хотя система (1.25) и получается методом медленно меняющихся амплитуд из конкретной дифференциальной системы (1.20), она имеет и большое самостоятельное значение, так как укороченные уравнения автономных систем представляют собой нормальную форму бифуркации Андронова-Хопфа.
Получить соотношения, описывающие полную картину бифуркаций в пространстве параметров даже укороченной системы (1.25), в общем виде трудно. Однако если ввести определенные допущения, как, например, предположить идентичность осцилляторов по управляющим параметрам, то можно получить существенную информацию о динамике системы.
Связанные осцилляторы Ван дер Поля при Л, = Л2 с диссипативной связью в рамках укороченных уравнений одними из первых достаточно детально изучали Д. Аронсон, Г. Эрментраут и Н. Копелл в своей работе [21], которая является сейчас, пожалуй, наиболее цитируемой при обсуждении соответствующих вопросов. При этом ими были выделены и рассмотрены два случая - симметричной и несимметричной систем. Когда система симметрична, связанные осцилляторы являются абсолютно идентичными и Я,=Д2=Яиі? = г. Тогда можно уменьшить число уравнений до двух:
Можно видеть, что для разности фаз осцилляторов получилось классическое уравнение Адлера [22], не зависимое от амплитуды осцилляторов и управляющего параметра. Таким образом, характер фазовой динамики определяется лишь расстройкой собственных частот осцилляторов 8 и величиной связи /л. При этом в системе возможны: 1) режим фазовой синхронизации, при котором разность фаз устремляется к некоторому устойчивому стационарному значению, 2) режим «дрейфа фазы», при котором с течением времени разность фаз монотонно возрастает или убывает до бесконечности. Первый режим будет реализоваться на плоскости (частотной расстройка 8, величиной связи //) внутри области 2//, которая представляет собой соответствующий язык Арнольда. Вне ее будет наблюдаться фазовый дрейф, которому соответствует квазипериодический режим.
Плоскость параметров, управляющих бифуркацией Андронова-Хопфа. Компьютерное моделирование
Теперь параметры нелинейности осцилляторов Д и рг могут различаться. При выбранной нормировке уравнений представленная система не является симметричной относительно замены переменной х на у. Поэтому будет наблюдаться определенная разница в динамике системы в зависимости от того, величина параметра нелинейности какого осциллятора больше.
В рамках квазигармонического приближения влияние асимметричной фазовой нелинейности обсуждается в уже цитированной работе [21]. Поэтому мы будем рассматривать случай больших управляющих параметров, когда квазигармоническое приближение уже неэффективно, а также сильной асимметрии, когда фазовая нелинейность одного осциллятора велика, а второго - отсутствует.
Если добавить нелинейность только в один осциллятор, то первым явлением, которое можно наблюдать, будет смещение вершины основного языка синхронизации 1/1. Если нелинейность добавляется в первый осциллятор, то вершина движется в сторону увеличения величины расстройки, то есть направо. Если же нелинейность увеличивается во втором осцилляторе, то наоборот - налево. Ранее при симметричной нелинейности эти два процесса компенсировали друг друга, и положение вершины языка синхронизации оставалось постоянным, независимо от величины параметра фазовой нелинейности.
На рис. 1.12 представлены карты динамических режимов для случая присутствия нелинейности только в первом осцилляторе для значений Д = 1, 2 и 5 при Я, = Л2 = 1. Увеличение параметра фазовой нелинейности в первом осцилляторе сопровождается изменением формы и усложнением устройства языков синхронизации, так как в области верхней границы языков образуются структуры crossroad-area. Это сигнализирует о хаотической динамике осцилляторов в части пространства параметров.
На рис.1.12в,г для случая Д =5 приведены две карты, построенные при различных значениях начальных условий. Они демонстрируют наличие мультистабильности системы, проявляющейся в возможности одновременного, для одних и тех же значений параметров, сосуществования нескольких различных устойчивых динамических режимов. На рис.1.12г можно видеть систему языков синхронизации и часть области гибели колебаний, которые «уходят» под основной язык, реализующийся на рис. 1.12в карте.
Если увеличить значения управляющих параметров \ и , то языки синхронизации тоже меняют форму. Они расширяются, формируя более широкие области динамического хаоса и все более характерные структуры crossroad-area. Это проиллюстрировано на рис. 1.13. Рис. 1.14 относится к случаю уже практически релаксационных осцилляторов, причем с очень сильной асимметрией по фазовой нелинейности, Л1=Л2=4І Д =2, /?2 =0. Мы видим сильное искажение формы языков синхронизации.
Случай, когда параметр связи может быть отрицательным (ju 0), и когда параметр нелинейности в первом осцилляторе намного больше, чем во втором, иллюстрируется на рис. 1.15. В области отрицательных значений параметра связи можно видеть достаточно широкий язык синхронизации 1/1, который заметно шире языка синхронизации 1/1, имеющего место при равных параметрах нелинейности. Рядом с языком синхронизации 1/1 при отрицательной связи возникает множество широких языков кратной синхронизации. Очень характерен в этом смысле язык 3/1, который имеет существенный размер и характерную форму.
Если нелинейность присутствует теперь только во втором осцилляторе, то наблюдается расширение основного языка синхронизации 1/1 в область больших отрицательных значений частотной расстройки (рис. 1.16). На карте вершина языка вообще «размыта». Отметим, что здесь можно исследовать и случай д -\, который ранее был невозможен из-за исчезновения колебательных режимов во втором осцилляторе. Введение фазовой нелинейности в этот осциллятор «исправляет положение», просто в этом случае потенциал становится «двухямным», с максимумом в начале координат (см. (1.41)). На рис. 1.16 внизу представлены характерные фазовые портреты для сильно отрицательных значений расстройки и принадлежащих при этом языку синхронизации 1/1
Устройство границ области синхронизации. Критические явления
График функции Л = А(А), таким образом, имеет вертикальные асимптоты при Д =+—. Внутри интервала -— Д —, осцилляторы синхронизованы, причем соответствующая «полоса» синхронизации распространяется в область сколь угодно больших значений управляющих параметров. В терминах исходных параметров Л, и Я, это соответствует наличию полосы синхронизации, ограниченной линиями Л1=Л2± . Таким образом, на плоскости (Л1,Л1) вблизи диагонали появляется новая «ветвь» области синхронизации, для которой слабо неидентичные осцилляторы могут синхронизоваться (рис.2.2б). Ширина этой полосы в «поперечном» направлении определяется, как Л1-Л2= . Она тем шире, чем сильнее связь.
Происхождение этой полосы легко объяснить физически. Движущиеся по орбитам разного радиуса осцилляторы в неизохронном случае могут «сфазироваться» по угловой переменной за счет добавки к частоте. Действительно, из уравнения Адлера (2.5) видно, что расстройка с учетом неидентичности составляет 8-3/3(Л\ -Л2). Если эта «подправленная» расстройка попадает в полосу (-2//,+2//), то и наблюдается синхронизация.
Итак, в конечном итоге для неизохронной системы можно выделить три характерные «ветви» области синхронизации на плоскости управляющих параметров: две вытянуты вдоль координатных осей, а одна - вдоль диагонали (рис.2.2б).
При нулевой частотной расстройке на плоскости (Л1,Л2) картина симметрична (рис.2.2б). При введении и неизохронности, и частотной расстройки картина становится асимметричной (рис.2.2в). Эта асимметрия может быть очень сильной, как показано на рис.2.2г.
Таким образом, соотношение (2.6) выявляет нетривиальное устройство областей синхронизации и квазипериодических режимов на плоскости параметров ( ,/1,).
Обратимся теперь к изучению устройства плоскости управляющих параметров осцилляторов исходной системы методами компьютерного моделирования. На рис.2.3 представлена карта динамических режимов системы с диссипативной связью на плоскости управляющих параметров, а также фазовые портреты, построенные для некоторых точек пространства параметров для значений ju = 0.3, 8 = 1.5.
Если оба управляющих параметра отрицательны, колебания системы затухают. Такой результат очевиден, если ц 0 и связь вносит в каждую из подсистем дополнительное затухание. На карте динамических режимов заштрихована область, где единственным устойчивым положением равновесия является нулевая неподвижная точка.
Также на карте динамических режимов можно видеть область квазипериодических движений, изображенную белым цветом, и внутри нее тонкие языки кратной синхронизации, которые не могли, однако, появиться на рис. 2.2 в силу использования для его построения укороченных уравнений, полученных методом усреднения по одной частоте.
Если же один из управляющих параметров системы отрицателен, а второй положителен, то в автономном режиме колебания одного из осцилляторов должны затухать. Но в связанном состоянии имеет место конкуренция двух аттракторов: устойчивой нулевой точки первого осциллятора и предельного цикла второго осциллятора. В результате реализовывается одна из двух возможных ситуаций: колебания второго осциллятора подавляются первым осциллятором, либо второй осциллятор индуцирует колебания первого. На рис.2.3 граница этих динамических режимов проходит по линии, разделяющей черную и заштрихованную области.
На рис.2.4 и рис.2.5 изображены карты динамических режимов системы на плоскости (i,,/i2) при различных значениях параметров связи, расстройки собственных частот и нелинейности, а также соответствующие им языки синхронизации 1/1, полученные в итоге приведенного выше анализа на основе уравнения Адлера, границы которых описываются соотношением (2.7). Карты динамических режимов демонстрируют определенное соответствие с результатами аналитического исследования и пригодность уравнения Адлера (2.7), по крайней мере, для качественного определения областей синхронизации вблизи значений управляющих параметров, при которых происходят бифуркации Андронова-Хопфа в подсистемах.
Система связанных генераторов Кислова-Дмитриева
Характерной особенностью устройства плоскости управляющих параметров связанных осцилляторов этого типа является также наличие концевых точек у фейгенбаумовских критических линий, которые лежат на границе области квазипериодической динамики. Эти точки на рис.4.1 показаны стрелками и обозначены буквой «С».
Как мы уже отмечали, метод карт динамических режимов не позволяет различать режимы квазипериодических и хаотических колебаний, которые на рис.4.1 обозначены белым цветом. Поэтому для проведения более подробного анализа были построены карты старшего ненулевого ляпуновского показателя. На рис.4.2 приведена такая карта для системы связанных осцилляторов Спротта типа Н. Рядом, на вставках показаны изображения многообразий точек пересечения фазовой траектории с сечением Пуанкаре, построенные для нескольких точек плоскости параметров. Оттенками серого цвета на карте старшего ненулевого ляпуновского показателя отображается его величина, в случае, если он меньше нуля. Соответственно, серый цвет обозначает периодическую или квазипериодическую динамику. Черный цвет соответствует ситуации, когда, по крайней мере, хотя бы один из ляпуновских показателей системы становится больше нуля, что говорит о хаотическом режиме динамики. Таким образом, представленная на рис.4.2 карта свидетельствует о наличии островов квазипериодического поведения между «ветвями» области синхронизации связанных осцилляторов Спротта типа Н. Границы этих островов показаны пунктиром. Области существования квазипериодических режимов ограничены со стороны больших значений параметров переходом к хаосу через разрушение квазипериодического режима. Соответствующий процесс разрушения инвариантных кривых проиллюстрирован на рис.4.2. Аналогичные результаты были получены для всех систем первой группы, представленных в таблице 4.2.
Обратимся теперь к вопросу влияния величины параметра связи осцилляторов на устройство плоскости управляющих параметров систем, отнесенных к первой группе. Для систем связанных осцилляторов Спротта типов F, Н, I, К, R и S, а также связанных осцилляторов Рёсслера, изменение величины параметра связи приводит к качественно одинаковому изменению устройства бифуркационной картины на плоскости управляющих параметров. Если параметр связи увеличивается, то «ветви» области синхронизации постепенно расширяются (рис.4.3). При этом острова квазипериодического движения (обозначены пунктиром) постепенно уменьшаются и полностью исчезают. В результате, при превышении параметром связи некоторой критической величины (рисАЗв), бифуркационная картина становится идентичной картине, имеющей место для связанных логистических отображений (3.3) [43] и приведенной на рис.3.4.
Системы связанных осцилляторов Спротта, отнесенные ко второй группе, имеют особое, «нетипичное» устройство плоскости управляющих параметров. Уравнения этих систем и характерные карты динамических режимов представлены в Таблице 4.3. Связь во всех этих системах осуществляется по всем трем переменным.
Основные отличия устройства плоскостей управляющих параметров систем, приведенных на рис.4.1 и в таблице 4.3, состоят в наличии при малых значениях управляющих параметров областей неустойчивого поведения системы (осцилляторы типов D, Е, Р), в которых фазовые траектории уходят на бесконечность, и областей квазипериодического поведения (D, Е, J, О). В результате либо область синхронизации имеет сложную форму и внутреннее устройство, и выделить ее отдельные «ветви» невозможно (D, Е, Р), либо «ветви» области синхронизации, расположенные вдоль координатных осей, ограничены со всех сторон областями квазипериодического поведения (J). В случае системы связанных осцилляторов Спротта типа О, область синхронизации имеет форму полосы, идущей вдоль диагонали, ограниченной с двух сторон областями квазипериодического поведения.
С этой целью исследован случай, когда связь осуществляется только по второй переменной у (по аналогии с ранее рассмотренной системой Рёсслера (3.2)). Построение карт режимов показывает, что для систем, отнесенных нами условно к первой группе, выбор типа связи (по одной или по трем переменным) не влияет на принципиальное устройство плоскости управляющих параметров. На рис.4.5 приводится пример карты динамических режимов системы двух осцилляторов Спротта типа Н, связанных по переменной у, заданных следующей системой уравнений:
Несмотря на то, что качественно вид карт динамических режимов систем первой группы не меняется в зависимости от типа связи, выбор переменной, по которой системы связаны, может иметь некоторое влияние на форму языков синхронизации. Также могут возникать и дополнительные особенности. На рис.4.6 представлена карта динамических режимов системы связанных по переменной у осцилляторов Спротта типа F. На этой карте имеют место области с периодом колебаний 8 внутри областей периода 4, которые примыкают одной своей границей к области хаоса. При увеличении параметра связи внутри области периода 8 появляются «острова» периода 16, затем внутри них - периода 32 и т.д. В результате образуется полный каскад бифуркаций удвоения периода и линия Фейгенбаума.
