Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ норм расчета конструкций 8
1.1. Принятая система нормирования 8
1.2. Анализ областей в пространстве элементарных событий 16
1.3. Сравнение методик расчета толщины стенки магистральных трубопроводов по нормам разных стран 25
2. Проектирование на заданную вероятность 42
2.1. Вычисление меры надежности в зависимости от уровня
обеспеченности 42
2.2. Надежность с учетом фактора времени и нормирование гарантийного срока 48
2.3. Нормирование времени до отказа дефектного участка трубопровода ". 53
3. Нормирование безопасных расстояний 58
3.1. Мера социального риска 58
3.2. Статистический анализ распределения вероятностей разрывов по длине магистральных трубопроводов 65
3.3. Исследование соответствия нормирования минимальных безопасных расстояний риску эксплуатации магистрального трубопровода 69
4. Нормирование устойчивости против всплытия 75
4.1. Принятый метод нормирования 75
4.2. Диаграмма работы анкера 80
4.3. Уравнения равновесия для участка трубопровода, закрепленного анкерами 85
5. Исследование вероятностной модели устойчивости равновесия участка трубопровода в обводненной среде 89
5.1. Метод продолжения по параметру 89
5.2. Детерминированный алгоритм расчета 97
5.3. Изменение принципа нормирования 105
Основные выводы 111
Литература 112
- Анализ областей в пространстве элементарных событий
- Надежность с учетом фактора времени и нормирование гарантийного срока
- Исследование соответствия нормирования минимальных безопасных расстояний риску эксплуатации магистрального трубопровода
- Уравнения равновесия для участка трубопровода, закрепленного анкерами
Анализ областей в пространстве элементарных событий
Второй вопрос, имеющий важное значение, является ли область Ф выпуклой или нет. Пусть S - некоторое подмножество линейного п - мерного пространства. Множество S называют выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком принадлежит этому множеству. Другими словами S -выпуклое множество, если для любых Xi, х2, принадлежащих S и любого к, такого, что 0 к 1, справедливо, что элемент пространства k Xi + (1 - к)-х2 также принадлежит множеству S.
Примерами выпуклых множеств в многомерном пространстве являются все линейное п - мерное пространство, любое его линейное подпространство (прямая, гиперплоскость), полупространство, выпуклые многогранники, которыми являются выпуклые множества, все границы которых линейны (прямые, гиперплоскости). Гиперсфера не является выпуклым множеством. Однако открытый шар и замкнутый шар являются выпуклыми множествами.
Как известно [20,21], имеют место следующие утверждения. 1. Пересечение выпуклых множеств есть выпуклое множество. 2. Выпуклая оболочка конечного множества А есть множество средневзвешенных по элементам множества А. Выпуклую оболочку конечного множества можно определить как пересечение всех выпуклых множеств, подмножеством которых является это множество. Для описания некоторых видов выпуклых множеств используют понятие крайних точек. Точку у называют крайней точкой выпуклого множества S, если ни для каких хь х2, принадлежащих S она не может быть представлена в виде y=k-X! + (1 - к)-х2, 0 к 1. (1.61) В этом определении к не может принимать значений 0 и 1, т.е. крайняя точка не может лежать внутри отрезка, соединяющего любые две точки выпуклого множества, а может быть лишь концевой точкой отрезка. На понятии крайних точек основано определение выпуклого многогранника. Выпуклым многогранником называют выпуклое множество, имеющее конечное число крайних точек, являющихся вершинами многогранника.
Функцию f(x), осуществляющую отображение линейного пространства X в множество действительных чисел R и определенную на выпуклом множестве М, принадлежащего X, называют выпуклой на М, если для произвольных х, у из М и к, принадлежащего отрезку [0,1], выполняется неравенство f[k-x+(l-k)-y] k-f(x)+(l-k)-f(y). (1.62)
Если в условии (1.62) знак изменить на , то получится определение вогнутой функции. Если в условии (1.62) неравенство выполняется как строгое, то функция называется строго выпуклой. 1. Если функция f(x) выпукла, то для любого числа с область решений неравенства f(x) с является выпуклым множеством. 2. Если функции fj(x), где j = 1,2,..„п, выпуклы, то функция Ц-іА-Цх) С1-63) выпукла на М при любых kj 0. 3. Из выпуклости функции f(x) на М следует f kj-Xj) Ej- k xj) (1.64) для Xj из М и для kj=0, j=i,n kj=l. 4. Функция f(x) выпукла тогда и только тогда, когда g(t) = f(x + t-s) (1.65) выпукла на R при любых х, s из X. 5. Дважды дифференцируемая функция р(юі, ш2 «« юп) является выпуклой в том и только в том случае, когда Еі=і)П Ej=1,„ Acoj Ащ д1(p( o)/djd »j (1.66) для любых со є М и AcOj, AGJJ не обращающихся в нуль одновременно. Чтобы использовать это условие для определения выпуклости конкретной функции, часто бывает полезен критерий Сильвестра: условие (1.66) выполняется тогда и только тогда, когда неотрицательны все главные миноры Ак матрицы вторых частных производных, т.е. определители Если все Ак 0 неравенство (1.66) выполняется как строгое, и тогда функция Ф является строго выпуклой. Рассмотрим функции распределения F(x) для унимодальных абсолютно непрывных случайных величин
. Всякая такая функция вогнута на множестве х М, где М - мода распределения. Это утвеждение следует из свойства 4. Для обратной функции распределения х(со) справедливо утверждение: функция х(со) выпукла в области со со , (1.68) где со = Г(М). Далее сформулируем следующее утверждение: допустим функция f(xbx2,...,xn) выпуклая в положительном ортанте п - мерного векторного пространства. Допустим далее, что все переменные
Для доказательства используется критерий Сильвестра (свойство 5). Не производя простых, но громоздких выкладок, изложим план доказательства. Расписываем вторые производные функции (p(co1,co2v?o)n) в виде вторых производных сложной функции f[xi(a 1),x2(o 2)v xn(a)n)] Далее можно доказать. что квадратичная форма относительно приращений положительна (неотрицательна) в силу строгой выпуклости (выпуклости) функции f и положительности всех первых частных производных ПО Xi ,х2 —»х„.
. Сопоставление методик расчета магистральных трубопроводов по нормам России, США, Канады и европейских стран Сравнению методических подходов к проектированию магистральных трубопроводов посвящено достаточно много работ [21,60]. Однако, указанные исследования были основаны на сравнении расчетных формул как детерминированных зависимостей. Необходимо принять во внимание тот факт, что любые исходные формулы содержат в неявном виде анализ неопределенных величин, трактуемых как правило как случайные величины.
Поэтому детерминированный подход должен быть дополнен некоторым критерием, в котором отражается вероятностная природа входящих в расчетные формулы случайных величин.
Ответить на вопрос об обеспеченности этих величин весьма трудно, но для сравнительного анализа их можно варьировать. Расчет надежности состоит из следующих этапов.
Нормативные характеристики материала труб и сварных соединений Rm и R2H равны соответственно минимальным значениям временного сопротивления и условного предела текучести, принимаемым по техническим условиям на трубы.
Коэффициент надежности по материалу К} устанавливается нормами проектирования магистральных трубопроводов [43] и отражает изменчивость прочностных характеристик труб, т.е. обеспеченность нормативных сопротивлений, а также качество труб, способ их изготовления, допуск по толщине стенки, конструкцию труб, степень контроля сварных соединений и основного металла, пластические свойства трубных сталей.
Коэффициент надежности по назначению трубопровода Кн задается нормами проектирования [43] и зависит от степени ответственности и мощности транспортной системы и значимости последствий от возможного наступления предельных состояний (отказов).
Коэффициент условий работы m также устанавливается нормами проектирования [43] и отражает особенности эксплуатации отдельных участков трубопровода, последствий возможных отказов, трудности ремонта и восстановления, требования безопасности и защиты окружающей среды, возможное несоответствие принятой расчетной схемы реальной конструкции трубопровода и т.д. Коэффициент надежности по нагрузке (внутреннему давлению) пр задается нормами [43] и характеризует возможность увеличения давления по сравнению с его нормативным уровнем.
Надежность с учетом фактора времени и нормирование гарантийного срока
Основным вопросом, который здесь ставится, является выяснение соответствия между нормативами риска и нормативами безопасных расстояний. Если такого соответствия нет, то необходимо предложить способы для исправления этой ситуации. Таким образом соответствие Р(р), о котором речь шла выше, в данном случае принимает форму R(p).
Для определения функции распределения координаты места отказа с катастрофическими последствиями необходимо выполнить вероятностно-статистический анализ соответствующей информации. Для анализа статистической информации на линейной части магистрального трубопровода выделяется участок 0 х L, где L - протяженность участка, который рассматривается на отрезке времени 0 t Т. В случае аварии происходит разрыв магистрального трубопровода в сечении х є [0,L] в момент времени t є [0,Т]. Величины х и t являются случайными величинами, причем t отсчитывается или от начала эксплуатации трубопровода или с момента устранения предыдущей аварии. Статистический анализ будет выполняться при следующих ниже допущениях. Предположим, что величины х и t являются независимыми случайными величинами. Случайные величины независимы [13], если для любых 1 и т имеет место равенство
Для различных участков магистральных трубопроводов, находящихся в сходных природно-климатических условиях, случайные величины относительной координаты разрыва являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами - длины участков трубопроводов (j = 1,2,.. .,n); п - общее количество участков на всех рассматриваемых магистральных трубопроводах. В этих предположениях статистические данные об отказах магистрального трубопровода (координаты сечений в которых фиксируются аварии) и совокупность величин относительных координат j образуют первичную статистическую совокупность. ,В дальнейшем будем рассматривать совокупность данных j, построенную на статистике отказов на магистральных трубопроводах, которые сопровождались выбросами транспортируемого продукта в окружающую среду. По результатам наблюдений находились оценки математического ожидания m и дисперсии D случайной величины , M] = m,D]=D . (3.9)
Вычисления, выполненные по результатам наблюдений, приводят к следующим значениям для выборочных величин т и D : т = 0,19849 и D = 0,04621. В качестве теоретического распределения выберем так называемое бета-распределение [28]. При этом функция плотности распределения вероятностей содержит два параметра и представляется в виде f(x) = Xу"1 -(1 - хГ1 [Bfrw)]-1, x є [0,1] ; (3.10)
Так как для гамма-функции выполняется функциональное соотношение Г(х) = (х - 1)- Г(х - 1), то вычисление гамма-функции от любого положительного аргумента можно свести к вычислению гамма-функции от аргумента, заключенного в интервале (0,1). Если х є [0,1] алгоритм вычисления гамма-функции следующий
По результатам наблюдений т = 0,19849 и D = 0,04621, что приводит к следующим параметрам распределения v = 0,4849 и w = 1,95815 и соответствующему значению функции B(v,w) = 1,405. Разумеется можно принять параметры бета-распределения равными v = 0,5 и w = 2,0. Таким образом имеем f(x) = х1/2-(1 - x)-[B(v,w)]_1 и B(v,w) = Г(0,5)-Г(2)/Г(2,5) = 4/3.
Окончательно получим аналитический вид функции плотности распределения с учетом статистических данных f(x) = 0,75-(хш - х1/2) . (3.21) Для проверки согласия эмпирического и теоретического распределений использовались критерии согласия Пирсона (хи-квадрат) и Колмогорова [9]. 3.3. Исследование соответствия нормирования минимальных безопасных расстояний риску эксплуатации магистрального трубопровода Предположим, что объект-имеет форму прямоугольника (U), т.е. множество точек плоскости (х,у), удовлетворяющих условию U={(x,y)(A х А + а)-(1 у 1 + 5)} . (3.22)
В любой момент времени количество людей, находящихся на элементарной площадке dxdy, равно с(х,у) dxdy, где Константы Co и сь имеющие смысл плотности населения определим следующим образом. Пусть в качестве исходной информации заданы величины N и q. Величина N - количество жителей объекта; величину q, заключенную между нулем и единицей, будем трактовать как вероятность для любого индивидуума оказаться в момент аварии внутри границ объекта. Тогда количество людей q N в момент аварии находится внутри объекта U и количество людей (1 - q) N - вне области U. Плотность с0 внутри области U определим как отношение числа людей q N к площади объекта So = а-8 c0 = q-N/So . (3.33)
Индивидуальный риск в одной аварии Ro будет равен R0=n/N = C1-q + C2-(I-q) . (3.38) Неравенства, определяющие функцию р, делят плоскость на 9 областей и в каждой области интегрирование дает простой результат в виде алгебраической формулы. В качестве социального риска имеет смысл учитывать только величину С2 (1 - я),так как область объекта обладает защищенностью для людей в виде стен домов и т.п., и разумеется индивидуальный риск защищенного человека может быть значительно меньше, чем незащищенного или даже может быть равен нулю. Риск на временном интервале равен произведению риска от единичной аварии на среднее число аварий на данном временном интервале. На магистральном трубопроводе для большей части времени эксплуатации поток отказов можно считать простейшим, т.е. вероятность того, что за время т произойдет ровно m отказов подчиняется закону Пуассона
Исследование соответствия нормирования минимальных безопасных расстояний риску эксплуатации магистрального трубопровода
Энергетический метод исследования устойчивости равновесия основан на теореме Лагранжа-Дирихле для консервативных систем, согласно которой в положении равновесия потенциальная энергия U имеет либо минимум, либо максимум. При минимальном значении энергии U равновесие устойчиво, при максимальном - неустойчиво. Теорема Лагранжа-Дирихле дает прием для разрешения задач устойчивости системы. Сначала ищут потенциальную энергию системы, а затем минимальные и максимальные значения энергии. Положения равновесия, соответствующие минимуму потенциальной энергии, являются устойчивыми, максимуму - неустойчивыми. С математической точки зрения вопрос сводится к известным задачам дифференциального исчисления о нахождении минимума или максимума функций.
Предположим, что наша система может быть описана как система с конечным числом степеней свободы и ее потенциальная энергия выражается в виде функции Сущность статического метода исследования устойчивости системы заключается в следующем. Учитывая тот факт, что при q = 0 система устойчива, достаточным условием устойчивости системы является постоянство знака определителя из вторых производных потенциальной энергии, а именно:
Пусть среди координат zi vA, можно выделить одно значение s = xk, которое обычно называют характерным перемещением.
Во многих случаях состояние равновесия упругой системы можно определить двумя параметрами - характерным перемещением s и параметром нагрузки q. Тогда всей совокупности состояний равновесия соответствует некоторая кривая в системе осей s и q. Она позволяет предсказать поведение системы при монотонном возрастании параметра нагрузки (или параметра перемещений), увидеть области устойчивости и отметить критические значения параметров.
Сначала происходит монотонное возрастание параметра нагрузки до некоторого значения qKp. Приведенный случай характерен отсутствием состоят.и равновесия при q qKp. Вообще говоря, при этом происходит перескок в новое положение равновесия на восходящей ветви устойчивых положений равновесия [32]. Однако подобное исследования возможно только в нелинейной постановке задачи с учетом больших перемещений системы и не входит в нашу задачу.
Однако, чтобы найти критическое значение параметра нагрузки, нельзя, монотонно увеличивая параметр нагрузки от нуля, находить равновесные состояния из системы нелинейных уравнений
Дело в том, что решая эту систему уравнений любым численным методом относительно неизвестных Zi,z2,...,zn при приближении значений параметра q к qKp мы уже будем получать вырожденную систему. Этим объясняется тот факт, что традиционно составленные программы расчета трубопроводов не в состоянии вычислить критическое значение продольной силы [1].
Эти программы имеют характер поверочных расчетов, а для значений критической нагрузки принимаются величины, полученные из совсем других расчетов, а именно из примеров, которые удалось рассчитать аналитически. Разумеется нет никакой уверенности в том, что из таких примеров можно получить надежные расчеты для нормативных документов.
Кстати, для случая закрепления трубопроводов анкерами даже такие примеры отсутствуют и условия устойчивости формулируется из общих соображений. Покажем, каким образом можно преодолеть указанные сложности. Введем некоторый параметр s, пока не конкретизируя его, а все неизвестные Zi,Z2,...,z„ и s будем считать полностью равноправными. Тогда после дифференцирования можно записать
Получаем задачу Коши для системы уравнений (5.20) с начальными условиями (5.21). Решая задачу Коши численным методом Рунге - Кутта [36,48], получаем зависимость q(s), которая является кривой состояний закрепленного анкерами участка трубопровода. Наличие максимума на кривой состояния будет свидетельствовать о потере в данной точке устойчивости рассматриваемого участка трубопровода.
Рассмотрим сжатый продольной силой Т участок трубопровода протяженностью 2-L, который жестко закреплен по концам и нагружен поперечной нагрузкой q (выталкивающей силой). Сила Р, моделирующая взаимодействие трубопровода и анкера, приложенная в середине участка трубопровода является реактивной и нелинейно зависящей от величины перемещения Z (податливость) в точке Xi при действии единичной силы, приложенной вместо силы Рь би - перемещение (податливость) в точке Xi при действии единичной силы, приложенной вместо силы Р2; bzi - перемещение (податливость) в точке хг при действии единичной силы, приложенной вместо силы Рь 522 - перемещение (податливость) в точке х2 при действии единичной силы, приложенной вместо силы Р2; 5iq - перемещение (податливость) в точке Xi при действии единичной нагрузки q = 1; 52q - перемещение (податливость) в точке х2 при действии единичной нагрузки q = 1.
Реактивные силы в узлах крепления анкеров, а именно, зависимость удерживающей способности каждого анкерного устройства от перемещения его вверх, запишем в виде трехпараметрических функций
Уравнения равновесия для участка трубопровода, закрепленного анкерами
Все расчеты подземных трубопроводов на прочность и устойчивость выполняются с использованием расчетных характеристик грунтов (X), которые определяются по формуле
Знак перед показателем точности в приведенной формуле принимается тот, который обеспечивает большую надежность рассчитываемого трубопровода, т.е. значение получаемого коэффициента надежности (безопасности) идет в запас прочности или устойчивости.
Коэффициент надежности (безопасности) по грунту (угр) при вычислении расчетных значений прочностных характеристик (угла внутреннего трения и удельного сцепления) устанавливается в зависимости от изменчивости этих характеристик, числа определений и значения доверительной вероятности (ад). Доверительная вероятность принимается равной ад = 0,95 для участковтрубопроводов категории В, ад = 0,9 - для категории I и И, ад = 0,85 - для категории III и IV [1]. Таким образом, коэффициент %, для определения показателя точности оценки среднего значения характеристики принимает следующие значения: (ад = 0,85) =1,12; (ад = 0,90) =1,41; %аа = 0,95) = 1,90.
С целью определения податливости винтовых анкеров, т.е. определения зависимости "сопротивление анкера - перемещение", были заимствованы эксперименты, проведенные под руководством В.П.Васильева [12]. Для экспериментов использовались серийные анкеры заводского изготовления [51] ВАУ - М с диаметром лопасти и Da = 0,4 м.
Заглубление анкеров в грунт осуществлялось гидравлическим вращателем, смонтированным на шасси гусеничного трактора. Заглубление составляло 2,4 -г-2,5 м, т.е. соответствовало принятому в строительстве заглублению порядка шести диаметров лопасти анкера. Перемещение анкеров вверх осуществлялось ручной лебедкой через систему блоков и четырехкратный полиспаст. На одной грунтовой площадке по периметру основания установки заглублялось 5 анкеров. Верхняя траверса установки позволяла поворачивать ее вокруг вертикальной оси после проведения испытаний каждого анкера и приступать к исследованию другого анкера. После проведения пяти экспериментов вся установка переставлялась на новую площадку. Перемещение анкера фиксировалось с точностью до 0,1 мм серийными прогибомерами, установленными на вынесенных реперных опорах.
Предполагая, что модель связи "трубопровод - анкер - основание" можно рассматривать как нелинейно-упругую дискретную опору [3], для определения характера нелинейности связи необходимо было провести экспериментальные испытания анкерных устройств на выдергивающую нагрузку. В процессе принудительного перемещения анкера по приборам снимались отсчеты положения анкера и действовавшей на него нагрузки. За основу методики проведения испытаний анкеров была принята методика испытания свай на выдергивание. В экспериментальных исследованиях анкера погружались в грунт (суглинок тугопластичный), имеющий следующие расчетные характеристики: удельный вес грунта 27000 Н/м ; угол внутреннего трения 22; сцепление 18000 Па; коэффициент пористости 0,55; модуль деформации грунта 13 МПа; коэффициент поперечной деформации 0,3. Нагружение в экспериментах проводилось до нагрузок, соответствующих максимальной удерживающей способности анкера.
Для достаточно хорошей аппроксимации экспериментальной кривой "нагрузка - перемещение" (F-z) для анкерного устройства заданного типа для определенной категории грунта необходимо как минимум учесть количественно следующие характеристики экспериментальной кривой (рис.4.1): угол наклона кривых в начале координат при z = О, как характеристику упругой работы грунта; предельную нагрузку Fn и соответствующее ей предельное перемещение z„
Таким образом имеем следующие эмпирические параметры: со - тангенс угла наклона касательной в начале координат к эмпирической кривой ; zn -предельное перемещение на эмпирической кривой; Fn - максимум нагрузки на эмпирической кривой. Тогда приравнивая значения этих параметров для эмпирической и теоретической кривых получим систему уравнений для определения величин параметров теоретической кривой .
Расчеты, выполненные при следующих исходных параметрах (эксперимент № 4) а = 151984 Н, b = 0,0138 м и m = 0,391, показывают практически полное совпадение предельных величин прикладываемой нагрузки при соответствующем предельном-перемещении zn = 0,152 м: эксперимент Гп = 129980 Н и расчет по формуле (4.18) F„ = 130046 Н.
Диаграммы работы анкеров, для которых предельная выдергивающая сила совпадает с расчетной несущей способностью анкера, определяемого для данного грунта нормами расчета, можно считать нормативными диаграммами. случаем общей зависимости (4.18). 4.3. Уравнения равновесия для участка трубопровода, закрепленного анкерами
В качестве модели участка трубопровода, закрепленного анкерами рассматриваем стержень трубчатого сечения жестко закрепленный по концам с нелинейно-упругими связями. Дифференциальное уравнение и соответствующие граничные условия, описывающие продольно-поперечный изгиб стержня в плоскости действующих сил, имеют следующий вид
