Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Влияние нестационарности на методы анализа случайных процессов .
1.1. Постановка задачи II
1.2. Систематизация погрешностей при планировании статистической обработки НСП. Показатель степени нестационарности 15
1.3. Обоснование модели исследуемого процесса 20
1.4. Влияние неетационарности на классические методы корреляционного анализа 24
1.5. Влияние нестационарности на классические методы спектрального анализа 33
1.6. Методы обработки нестационарных случайных процессов 44
Выводы 49
Глава 2. Стационаризация аддитивно-мультипликативных нестационарных случайных процессов .
2.1. Постановка задачи Л>1
2.2. Выбор квазиоптимального оператора сглаживания 54
2.3. Погрешность оценивания аддитивного тренда AM НСП. Определение интервальной оценки 61
2.4. Потенциальная точность измерений аддитивного тренда AM НСП с помощью оператора скользящего сглаживания 68
2.5. Определение величины интервала сглаживания в условии отсутствия априорной информации о законе изменения аддитивного тренда AM НСП 78
2.6. Влияние аддитивного тренда на погрешность оценивания мультипликативного тренда. Определение интервальной оценки мультипликативного тренда 86
Выводы 97
Глава 3. Идентификация класса нестационарных случайных процессов .
3.1. Постановка задачи 100
3.2. Анализ робастности и мощности критериев проверки статистических гипотез. Непараметрические методы 104
3.3. Параметрические методы проверки гипотезы стационарности случайного процесса 123
3.4. Методика идентификации рассматриваемых классов нестационарных случайных процессов, представленных одной выборочной реализацией 131
Выводы 139
Глава 4. Идентификация параметров при исследовании нестационарных случайных процессов .
4.1. Постановка задачи 141
4.2. Определение параметров аддитивного тренда с помощью адаптивной процедуры кусочно-линейной аппроксимации 144
4.3. Способ уменьшения погрешности неадекватности степени полинома, аппроксимирующего аддитивный тренд 149
4.4. Адаптивная процедура выбора параметров оператора сглаживания ЗШ
4.5. Способ уменьшения погрешности неадекватности параметров авторегрессионной модели случайного процесса 154
4.6. Обобщенная методика анализа аддитивно-мультипликативных нестационарных случайных процессов. Пример обработки AM НСП в ЭМП 157
Заключение 167
Литература 171
Приложение 188
- Влияние нестационарности на классические методы спектрального анализа
- Определение величины интервала сглаживания в условии отсутствия априорной информации о законе изменения аддитивного тренда AM НСП
- Анализ робастности и мощности критериев проверки статистических гипотез. Непараметрические методы
- Определение параметров аддитивного тренда с помощью адаптивной процедуры кусочно-линейной аппроксимации
Введение к работе
В практике анализа различных физических явлений на современном этапе научно-технического прогресса получили широкое распространение методы теории вероятности и математической статистики. При решении ряда народнохозяйственных задач, выполняемых в рамках целевой комплексной научно- технической программы 0.Ц.027 "Создание и развитие автоматизированных систем научных исследований и систем автоматического проектирования (САПР) с применением стандартной аппаратуры КАМАК и измерительно-вычислительных комплексов на период I98I-I985 гг.", утвержденной Постановлением Государственного комитета Совета Министров СССР по науке и технике и Госплана СССР от 12.12.80 г. Р 474/250/132, одной из важнейших можно отметить задачу повышения качества, надежности, производительности и гибкости подсистем сбора и обработки информации, позволяющих проводить комплексный статистический анализ случайных процессов (СП).
Весьма важной является задача статистического анализа при автоматизации исследований и испытании сложных систем автоматического управления ССАУ) подвижных объектов, в частности, электромеханических приборов (ЭМП), поскольку их сложность и требования, предъявляемые к ним ( по точности, надежности и долговечности ), непрерывно возрастают. Под ЭМП понимается широкий класс приборов, включая роботы-манипуляторы электромеханические приводы, акселерометры, гироскопические устройства. Оказывается уже недостаточным оценивать поведение ЭМП при системе действующих сил, моментов и возмущений, пользуясь детерминированными и вероятностными математическими моделями, основанными только на теории стационарных случайных процессов (ССП) Гі,2,4-12]. Неучет нестационарности СП при оценивании его значений вероятностных характеристик (ЗВХ) за - 5 частую приводит к возникновению сколь угодно больших погрешностей измерения и неправильной интерпретации полученных результатов.
Несмотря на то, что на сегодняшний день имеются работы по обработке нестационарных случайных процессов (НСП), в этой области существует еще целый ряд проблем. Они евязаны с выявлением характера нестационарности, алгоритмизацией обработки НСП и, что особенно важно, доведением до пакета прикладных программ (ППШ,практически внедряемых в промышленности. Поэтому актуальной становится проблема создания и развития инженерных методов и алгоритмов статистической обработки класса случайных процессов характерного при исследовании и испытании ЭШ. Отметим основные свойства этого класса НСП.
1. Нестационарность, которая проявляется, как правило, в зависимости математического ожидания и дисперсии от времени. Такие процессы хорошо описываются аддитивно-мультипликативной САМ) вероятностной моделью НСП. В постановку и решение основных задач, связанных е обработкой НСП, большой вклад внесли советские и зарубежные ученые: В.С.Пугачев, Э.й.Цветков, В.В.Ольшевский, А.Ф.Ро-маненко, Г.А.Сергеев, Н.Ф. Воллернер, А.Ф.Котюк, А.И.Галушкин, Ю.А.Зотов, Ю.А.Шикунов, Дж.Бендат, А.Пирсол [4,12,13-1?] и другие. Однако проблема оценивания ЗВХ AM НСП не нашла еще удовлетворительного как теоретического, так и практического решения. Поскольку в настоящее время хорошо развиты и широко распространены методы корреляционного и спектрального анализа ССП, возникает необходимость в решении задачи оценки допустимой степени нестационарности исследуемого СП, при которой эти методы справедливы.
2. Анализ вероятностных характеристик (ВХ) НСП по одной выборочной реализации. Так ЭМП, в которых применена настройка М. Шулера, обладают, как известно, большим периодом собственных колеба - б ний (Т=84.4 мин), что сказывается на продолжительности проведения испытаний. Исследование ухода базовых осей в навигационных системах подвижных объектов может длиться несколько суток или недель. В некоторых случаях повторение эксперимента просто невозможно.
В настоящее время достаточно хорошо разработаны методы анализа как ССП и НСП по ансамблю реализаций, так и эргодических ССП и некоторых типов НСП по одной реализации, например [3,4,8І. Однако на сегодняшний день нет ни единого подхода, ни единого математического аппарата, с помощью которого можно было бы решить задачу оценивания значений ВХ НСП любого вида по одной выборочной реализации. Следовательно, актуальным является дальнейшее развитие методов, позволяющих производить обработку НСП рассматриваемого класса по одной реализации. Поскольку в ряде случаев повторение эксперимента невозможно или связано с большими затратами средств, при исследовании и разработке методов анализа СП важным требованием является получение ВХ объекта в возможно короткие сроки при приемлемой точности вычисляемых оценок, т.е. обработка в реальном масштабе времени одновременно с формированием исследуемого процесса. В связи с этим особо важное значение приобретают вопросы разработки и исследования методов и алгоритмов, достаточно просто используемых на всех этапах статистического анализа.
3. Отсутствие полной априорной информации об объекте исследования. Анализ основных современных методов статистической обработки СП показал, что необходимым условием их применения является большой объем априорной информации об объекте ГіI,12,17-19J. Всякое нарушение этого условия отрицательно влияет на эффективность применения методов статистической обработки, снижает достоверность получаемых результатов. Поэтому разработка и исследование новых методов получения оценок ВХ СП, обладающих повышенной эффективностью в условиях отсутствия априорной информации относи - 7 тельно класса исследуемого СП и его конкретных характеристик, является актуальной задачей. Одним из путей решения этой задачи является применение принципа адаптации [20-24І и построение адаптивных процедур.
Из вышеизложенного вытекает актуальность темы диссертационной работы, цель которой можно кратко сформулировать следующим образом: разработка и исследование методов, алгоритмов и программной реализации обработки аддитивно-мультипликативных нестационарных случайных процессов, представленных одной выборочной реализацией в условиях возможного отсутствия априорной информации о классе процесса и законах изменения конкретных ВХ.
В процессе выполнения работы в соответствии с поставленной целью необходимо решить следующие научно-технические задачи:
- разработка обобщенной методики анализа AM НСП;
- разработка методики и алгоритмов идентификации класса ШП, представленного одной выборочной реализацией;
- разработка адаптивных процедур статистических измерений для идентификации параметров процессов;
- развитие методов стационаризации AM НСП;
- применимость методов корреляционного и спектрального анализа ССП для AM ШП на основе показателя степени нестационарности;
- систематизация погрешностей при планировании статистической обработки ШП по одной реализации;
- разработка пакета прикладных программ, реализующих предложенные алгоритмы и методики.
Математический аппарат, использованный при исследовании, включал методы теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов и проверки гипотез. При сравнении ме-тодов-оценивания и машинного моделирования.
Практическая ценность: применение разработанных методик,
- 8 адаптианых процедур и алгоритмов при оценивании ЗВХ AM ШП повышает точность и достоверность статистической обработки при исследовании и испытании ЭМП САУ. Это происходит в основном за счет снижения погрешности, обусловленной неадекватностью физического процесса и приписываемой ему модели при отсутствии априорной информации о классе анализируемого СП, а также рационального выбора параметров оператора, лежащего в основе процедуры измерения ЗВХ. Разработанный пакет прикладных программ на языке ФОРТРАН для анализа AM ШП, представленных одной реализацией с адаптацией по точности, внедрен в научно-исследовательские работы:
- "Разработка системы автоматизации проектирования ЭМП специальных систем управления";
- "Исследование и анализ мореходных качеств и управляемости подводных технических средств океана с целью повышения безопасности их эксплуатации";
- по теме "Переключение";
- по исследованию и испытанию прецизионных приборов. Экономическая эффективность внедрения подтверждена соответствующими актами (приведены в конце Приложения) и составляет 62 тыс. рублей в год.
Основные результаты работы докладывались на:
- семинаре "Опыт использования ЕС ЭВМ в управлении производством и технологическими процессами", Л., Лен.ДНЩ, 1980;
- семинаре по стохастическим методам спектрального анализа, Рига, 1981;
- Всесоюзном симпозиуме "Статистические измерения и применение микромашинных средств в измерениях", Вильнюс, 1982;
- УІ Всесоюзной научно-технической конференции по информационно-измерительным системам "ЙИС-83", Куйбышев, 1983;
- деловой встрече специалистов исследовательских лабораторий
- ВУЗов, НИИ и КБ проектных институтов, объединений и предприятий "Автоматизация технических испытаний", Л., 1983;
- профессорско-преподавательских конференциях ЛЗТЙ им. В.й.
Ульянова (Ленина), Л., 1982-1984 гг.
По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ, из них б - в соавторстве.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы С159 наименований) и приложения. Содержит 139 страниц машинописного текста, 26 рисунков и 15 таблиц. Приложения выполнены на 56 страницах.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- введен показатель степени нестационарности СП при измерении ЗВХ, который, в отличие от предлагавшихся подобных оценок, носит более общий характер, не требует ансамбля реализаций, а анализ его величины позволяет судить о целесообразности применения используемого метода измерения;
- для аддитивно-мультипликативного НСП получены и исследованы аналитические выражения для смещения и дисперсии оценки аддитивного тренда с помощью оператора скользящего сглаживания (ОСС), которые позволили оценить величины погрешностей неадекватности классификации, метода измерения и параметров оператора, исследовать потенциальную точность оператора и влияние корреляции значений СП;
- предложена инженерная методика расчета параметров ОСС, которая позволяет получать оценку аддитивного тренда AM ШП при отсутствии априорной информации о законе его изменения;
- исследованы законы распределения оценок аддитивного и мультипликативного трендов AM НСП, получаемые с помощью ОСС при различных типах нестационарности, на основании которых определены выражения для их интервальных оценок;
- проведен сравнительный анализ характеристик достоверности и
-робастности одновыборочных и двухвыборочных непараметрических и параметрических критериев для проверки гипотез стационарности СП относительно математического ожидания и дисперсии, а также независимости значений СП, на основании которого разработаны рекомендации по их применению. В результате анализа предложена инженерная методика идентификации класса AM НСП по одной выборочной реализации, которая в отличие от предлагавшихся ранее использует направленное действие критериев стационарности и позволяет повысить вероятность правильного решения;
- предложены и исследованы ряд адаптивных процедур: кусочно--линейной аппроксимации аддитивного тренда; расчета степени полинома, аппроксимирующего аддитивный тренд по методу наименьших квадратов; выбора параметров оператора сглаживания, которые в качестве решающего правила используют критерии проверки стационарности, что позволяет снизить величину погрешности неадекватности параметров операторов при оценивании ЗВХ в условиях отсутствия априорной информации об их значениях;
- предложена обобщенная методика анализа нестационарных случайных процессов, относящихся к классу аддитивно-мультипликативных вероятностных моделей.
Влияние нестационарности на классические методы спектрального анализа
Не менее распространенной чем корреляционная функция при описании свойств стационарного случайного процесса (ССП) является функция спектральной плотности мощности (СПМ). В настоящее время спектральный анализ (СА) становится все более эффиктивным средством при статистической обработке результатов эксперимента по сравнению с временным анализом. Это связано с появлением и развитием алгоритмов быстрого преобразования Фурье (ЕШ ). Вопросам СА ССП уделено большое внимание в работах советских и зарубежных авто - 34 ров: Ю.И.Грибанова, В.Л.Малькова, В.А.Геранина, П.М.Чеголина, Г.Дженкинеа, Д.Ваттеа, Д.Бриллинджера, Дж.Бендата, А.Пирсола и других ГіІ,12,19,53-59 J . Большой интерес к СШ делает актуальной проблему анализа точности ее получения классическими методами при отсутствии свойств стационарности у исследуемого процесса. Также, как при определении корреляционной функции (п.1.4), решение этой проблемы сведем к анализу показателя степени нестационарности случайного процесса y(t) (п. 1.2) при оценке СШ ССП.
Среди известных на сегодняшний день методов определения спектральной плотности мощности основными являются ГбО-65J :
- прямой или периодограммный метод, основанный на урье-пре-образовании реализации случайного процесса (СП). С развитием ЕП прямой метод оценки СПМ по праву можно считать доминирующим в СА. В зависимости от частотного состава исследуемого ССП и требования по оперативности анализа при измерении значений СПМ используют один из алгоритмов НІФ, реализованный либо программным способом Гбб] , либо аппаратным Г67J ;
- косвенный метод, основанный на определении СШ нокорреляци-онной функции исследуемого ССП;
- фильтровый, который осуществляется с помощью совокупности идентичных узкополосных фильтров, каждый из которых настроен на определенную частоту.
Оценку СШ ССП JC(і) с использованием прямого и косвенного методов (выборочный спектр) можно представить в следующем виде корреляционной функции ССП х( ) t определяемая, например, выра- -жением (1.32); т о " минимальное и максимальное значение анализируемого интервала частот. Оценка &х(т)является асимптотически несмещенной оценкой истинного спектра & () ССП ОС("t , т.е. G)= 2- Е G"X(T)L ЧТО касается дисперсии выборочного спектра, то она при Т- 00 не стремится к нулю, т.е. Сх(-$-)не яв ляется состоятельной оценкой Ь\Х\т) . Так, например, согласно ГіІ, стр.288] дисперсия Gx( j) для "белого шума" равна . Несостоятельность выборочного спектра обуславливает не нулевое зна-чение показателя степени нестационарности w(Gy) при оценке СШ по реализации ССП x("t) . Это затрудняет использование Ц?((г.х)для принятия решения о классе исследуемого СП (стационарный, нестационарный) , а, следовательно, и о методе расчета требуемой ВХ.
Оценку СШ, полученную с помощью выражения (1.47), можно улучшить (уменьшить o [Gx(т)]), применяя сглаживание последнего с помощью введенного Блэкманом и Тьюки так называемого спектрального окна [П,19,57,63]. Сглаженную оценку выборочного спектра ССП#(") можно записать в виде
Определение величины интервала сглаживания в условии отсутствия априорной информации о законе изменения аддитивного тренда AM НСП
Исследования, проводимые в пп. 2.3 и 2.4 по оценке значений аддитивного тренда (AT) аддитивно-мультипликативного (AM) нестационарного случайного процесса (НШ) вида (1.25) с помощью оператора скользящего сглаживания (ОСС) показали, что для выбора величины оптимального интервала сглаживания Тс.опт ОСС и количествен - 79 ной оценки погрешности измерения необходимо располагать достаточно полной априорной информацией об исследуемом процессе. Но на практике, как правило, априорная информация либо известна не точно, либо частично отсутствует вообще. Поэтому целесообразность разработки оценок и методик, позволяющих определять оптимальные параметры операторов сглаживания при оценивании значений AT AM НСП в условиях отсутствия априорной информации относительно закона его изменения, не вызывает сомнений.
Анализ зависимости средней среднеквадратичной погрешности измерения аддитивного тренда от интервала сглаживания, проводимый в п.2.4, показал, что она является критерием для выбора значения 1с.опт ОСС. Это вызвано тем, что минимизация характеристики 6 фоОс) связана с принятием компромиссного решения между величинами смещения б ф (Тс) и дисперсии Лфа(Тс) оценки аддитивного тренда . ("t) " составляющих средней среднеквадратичной погрешности. Определим оценку Гі26,І27 средней среднеквадратичной погрешности измерения AT AM НШ y(t) при "Ье[Ь,Т}вида (1.25) следующим образом лі (2.34) следует, что оценка с ф« является смещенной оценкой сред йей среднеквадратичной погрешности ф измерения AT AM НСП У() . Для процесса x(t)типа "белый шум", т.е. Roc(t) = 2)oc S(t) , смещение будет определяться равенством
Из выражений (2.34) и (2.35) видно, что смещение оценки (2.33) средней среднеквадратичной погрешности измерения значений AT представляет положительную елабоизменяюжуюея функцию в случае быстрозатухающей корреляционной функции Йу(Т)и ограниченной монотонной функции (ty
Дисперсия оценки 8 фа будет определяться следующим выражени Тс/г тс/ г
В приложении П 2.3 приведены выкладки по расчету дисперсии. Из конечного выражения (П.2.1) видно, что она зависит от всех характеристик исследуемого НСП. Анализ этого выражения позволяет сделать вывод о том, что при условии ограниченности функций &() и Уг() и абсолютной сходимости интегралов J R (tYoLl и Ї R C будет справедливо равенство &угъ Їс&"\=0. Выполнение последнего характеризует соетоятельность оценки (2.33),
Для сравнительного анализа характеров изменения зависимостей средней среднеквадратичной погрешности 4 0 » Ценки средней среднеквадратичной погрешности 8 ф ( «о; » а также математического ожидания этой оценки Е В Тсн при различных типах не - 81 стационарности были проведены исследования с помощью статистичее- кого моделирования на ЦШ СМ-4 (программа моделирования GRIT представлена в прил. її 2.4). При моделировании выбирались длина исследуемой реализации y(t) равной Т = 400 сек, интервал дискретизации по времени bX- I сек, параметры же законов изменения трендов выбирались таким образом, чтобы они обеспечивали изменение последних по всей длине выборочной реализации. Так, на рис.2.12-2.13 представлены зависимости 6 фо(Тс) , о[бфа(Тсм и вфг(1с) для периодического закона изменения AT AM НСП. По результатам моделирования можно сделать вывод о том, что характер изменения за-виеимости 6 ф«(іс) полностью соответствует характеру изменения зависимости Е\6 (Тс,У1. Разница лишь в том, что зависимость ЕІ6 ф ТсИ регулярна, а в зависимости 8 ( Тс) присутствует доля случайности, определяемая величиной 3$[& я(Тс). Причем:
- чем меньше значение отношения Am/AcL параметров трендов исследуемого НСП, тем больше доля случайности в зависимости 6 Фа(ТсУ ;
- с увеличением интервала сглаживания доля случайности в зависимости 8 ( «с) уменьшается тем резче, чем больше величина отношения Am,/Ad. Так, при Ат/АсЬ/2наблюдается четкий переход зависимости из случайной в регулярную;
- место перехода зависимости 6 $g,(" ) от случайной к регулярной соответствует оптимальному интервалу сглаживания Тс.опт, что в подобных случаях может служить дополнительным критерием его выбора (даже при отсутствии сведений о законе изменения мультипликативного тренда и корреляции значений ССП).
Анализ робастности и мощности критериев проверки статистических гипотез. Непараметрические методы
Как было отмечено в п.3.1, для идентификации класса случайного процесса (СП) в случае, когда распределение исследуемой выборочной реализации отлично от гауссовского или о нем априори ничего не известно, не оспоримы преимущества непараметрических методов проверки статистических гипотез. Это обусловлено тем, что они не предназначены для какого-либо параметрического семейства распределений. Методы непараметрической статистики уже доказали свою широкую применимость, важность и актуальность, что характеризуется большим числом публикаций [12,43,139-145].
В настоящее время наибольшее распространение для проверки стационарности СП относительно математического ожидания (МО) получили такие непараметрические критерии (НЮ как критерий тренда, критерий серий, критерий знаков. В ряде работ Гі4б,І47J еделана попытка с помощью критерия тренда произвести идентификацию аддитивного тренда с последующим отнесением его к одному из следующих типов: монотонно-возрастающий или убывающий, периодический выпуклый или вогнутый. Для этой цели создается выборка из оценок среднего, рассчитываемых на интервалах выборочной реализации, значительно больших интервала корреляции. По ней рассчитывается ста - 106 тистика критерия тренда Ти, и определяется принадлежность ее к одной из непересекающихся областей, каждой из которых соответствует принятие гипотезы о соответствующем типе СП. Границы областей определяются: верхней и нижней границей статистики Тя,, внутри которой исследуемый процесс считается- стационарным для принятого значения уровня значимости cL и числа отсчетов Yb реализации, а также асимптотическими значениями етатиетикиТіг при справедливости гипотезы о конкретном типе аддитивного тренда. Очевидно, что использование указанной процедуры предполагает знание как интервала корреляции СП, так и типа тренда, что на практике бывает зачастую невозможным. В общем случае интервал сглаживания для получения выборочной оценки среднего также зависит от типа тренда (показано в п.2.4). Этими же недостатками обладает процедура идентификации типа тренда с помощью непараметрических критериев серий, тренда и Аббе, предложенная в работе [9l"J. Таким образом, на основании проведенного анализа литературы можно сделать вывод о том, что несмотря на большую практическую ценность, проблема идентификации класса СП при наличии одной выборочной реализации с помощью непараметрических методов не имеет полного и удовлетворительного решения. Предлагаемые критерии стационарности предназначены для исследования частных видов нестационарноети, слабо изучены, достоверность получаемых с их помощью результатов в большинстве случаев не рассматривалась.
Для решения проблемы идентификаций класса СП необходимо среди рассматриваемых НК выбрать "рабочие", удерживающие заданный уровень значимости, направленного действия, имеющие большую мощность при определенной альтернативной гипотезе. Ими будут: нестационарность по МО, нестационарность по дисперсии СД), нестационарность по МО и Д, а также корреляция значений СП. Тогда, используя принцип сложного критерия, удобно представить процедуру идентификации в виде последовательной проверки отдельных альтернативных гипотез. Решение о классе СП выносится на основании результатов этой проверки.
При сравнении критериев между собой нас будет интересовать, в основном, фактический уровень значимости L и фактическая мощ-ность критерияЬ\ (естественно, что также будут учитываться и другие факторы - сложность в организации, объем занимаемой памяти, время реализации и т.д.). Фактический уровень значимости JL . это такая величина условной вероятности ошибки первого рода, которая получается при использовании критерия в конкретных условиях, включая и условия, отличные от корректного применения, т.е. зависимой выборке СП, различных законах распределения СП (для параметрических методов) и т.д. Фактическая мощность критерия представляет условную вероятность принятия альтернативной гипотезы о присутствии конкретного типа тренда при справедливости последней.
На рис.3.I представлена одна из возможных классификаций непараметрических критериев проверки статистических гипотез стационарности относительно математического ожидания (МО) и дисперсии (Д), а также гипотезы о независимости отсчетов выборочной реализации В классификацию вошли критерии, которые могут быть полезны при решении задачи идентификации класса СП. Будем делить непараметрические методы на многовыборочные, двухвыборочные и одно-выборочные. К многовыборочным непараметрическим методам можно отнести U39J: методы, связанные с ранговыми суммами Фридмана; ше тоды, связанные со знаковыми: рангами Уилкоксона; множественные сравнения, основанные на суммах рангов Кракскела-Уолша. Эти методы при наличии всего одной выборочной реализации требуют существенной априорной информации (более подробно будет рассмотрено в п.3.3), что делает их использование затруднительным.
Определение параметров аддитивного тренда с помощью адаптивной процедуры кусочно-линейной аппроксимации
Кусочно-линейная аппроксимация (КШ аддитивного тренда аддитивно-мультипликативного (AM) нестационарного случайного процесса (НШІ) VLi при: о=45 П. может быть получена в результате применения: адаптивной процедуры КШ, основанной на непараметрических критериях Тейла и Холлендера Г139]. Адаптивная процедура КВ. позволяет рассчитать длины участков аппроксимации, точечные значения оценок коэффициентов угла наклона прямой на каждом из участков и доверительные интервалы рассчитанных коэффициентов.
В качестве точечной оценки Kg на "С -м участке аппроксимации, согласно выражения (4.1) будем использовать оценку, связанную ео статистикой Тейла. При этом для -С -го участка длины У1с рассчитывается Nc - У1& !/(&! (w.e 2)!) значений оценок углового коэффициента
Адаптивную процедуру КЛА организуем используя принцип последовательного анализа Вальда Гі50. Существенной чертой последовательной проверки является то, что количество наблюдений, необходимых для принятия решения, зависит от исхода самих наблюдений и, следовательно, является не определенной заранее, а случайной величиной. Анализ начинается с нескольких значений СП (не менее четырех отсчетов). На каждом шаге анализа применяется решающе правило, в результате чего принимается одно из решений:
- справедлива гипотеза Й0 о параллельности двух прямых и, следовательно, необходимо дальше увеличивать длину участка аппроксимации;
- гипотеза о параллельности двух прямых отвергается, а значит подбор длины VLe участка аппроксимации заканчивается.
Следует отметить, что достоверность получаемых оценок К/,Кии Ю. зависит от принятых уровней значимости L\ K}JS . Меньшему значению Л соответствует более широкий доверительный интервал при - 147 нятия нулевой гипотезы. При определении длины участка аппроксимации сильно уменьшать значение o6g не целесообразно, поскольку это может привести к ложному ее увеличению. В общем случае величина Л% определяется допустимой погрешностью при оценивании значений аддитивного тренда и зависит от скорости его изменения. Рассмотренная адаптивная процедура особенно хорошо работает при медленно изменяющихся: аддитивных трендах, так как в этом случае участки аппроксимации будут велики и дисперсии выборок из оценок угловых коэффициентов будут малы
По разработанной процедуре КЛА аддитивного тренда произвольного вида был составлен алгоритм, который реализован в виде подпрограммы КLА для случая Ь\= 0.05 v Jig 0.25 напиеанной на языке ШРТРАН-4 (распечатка программы приведена в приложении 4.1). Согласно этому алгоритму анализ начинается с 12 значений исследуемой реализации, которые разбиваются на два смежных участка по 65 значений. Если после применения критерия Холлендера установлено, что наклоны прямых двух смежных участков одинаковы, то принимается решение о продолжении анализа. Добавляются следующие 4 значения, но теперь уже анализируются два смежных участка по 8 значений и т.д. Если непараметричеекий критерий Холлендера сработал, т.е. наклон прямой на первом участке при заданном уровне значимости о( отличается от наклона прямой на втором участке, то длина первого участка аппроксимации установлена (равна последнему числу анализируемых значений минус четыре) По ней с помощью: критерия? Тейла определяются значение оценки коэффициента угла наклона прямой на этом участке и границы доверительного интервала. После этого процесс: подбора нового участка аппроксимации и расчет нового коэффициента угла наклона повторяется Достоинством рассмотрен-нсшо_алгоритм2иследу:ет отметить то, что он позволяем проводить куеочно-линейную аппроксимацию априори неизвестного аддитивного тренда с заданной точностью в темпе поступления данных измерения. Это справедливо для случая, когда выполняется неравенство время расчета по критерию Холлендера, Ди - интервал дискретизаций процесса У(х) по времени.
Как было установлено в п.3.2, непараметрические критерии становятся неробаетными при наличии даже малой корреляции. Поэтому при наличии корреляции между значениями СП, критерий Холлендера будет срабатывать уже при малом числе отсчетов процесса (в общем; случае зависит от степени коррелированноети). Это, конечно, снизит качество получаемой аппроксимации за счет существенной доли флюктуационной составляющей погрешности, но тем не менее правильно отразит характер изменения аддитивного тренда.
Присутствие мультипликативного тренда практически не оказывает влияния на определение длины интервала аппроксимации Kle (это следует из-за использования "рабочего" критерия направленного действия - знаковых рангов Уилкоксона), а влияет на величину точечной оценки коэффициента угла наклона прямой и величину доверительного интервала.
Проведенные практические исследования подтвердили правильность сделанных выводов относительно наличия корреляции значений ССП и различных типов мультипликативных трендов в исследуемой реализации AM НСП, а также целесообразность применения процедуры КЛА при исследованиях и испытаниях сложных систем управления.
