Содержание к диссертации
Введение
1 Робастное D-разбиение для полиномов 11
1.1. Введение 11
1.2. Классическое D-разбиение 13
1.3. Непрерывная и дискретная устойчивость 16
1.4. Робастное D-разбиение 18
1.4.1. Принцип исключения нуля 19
1.4.2. Разделяющее множество 21
1.5. Заключение 22
2 Робастное Р-разбиение для аффинных полиномов 24
2.1. Введение 24
2.2. Аффинное семейство неопределенных полиномов . 26
2.2.1. /^-ограниченные неопределенности 29
2.2.2. Особые случаи 32
2.3. Робастное D-разбиение для комплексного параметра . 36
2.4. Примеры 40
2.5. Заключение 42
3 Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Н ^ 45
3.1. Введение 45
3.2. Постановка задачи 47
3.3. Синтез iJoo-регуляторов низкого порядка 50
3.3.1. Допустимые множества 51
3.3.2. Аналог D-разбиения 54
3.4. Примеры 58
3.5. Заключение 65
Выводы 67
Литература 68
- Классическое D-разбиение
- Непрерывная и дискретная устойчивость
- Аффинное семейство неопределенных полиномов
- Синтез iJoo-регуляторов низкого порядка
Введение к работе
Диссертация посвящена развитию графических методов анализа устойчивости линейных систем с аффинной неопределенностью и методов синтеза параметрических регуляторов, удовлетворяющих критерию i/oo т.е. ограничивающих значение Яоо-нормы передаточной функции.
Устойчивость системы является базовым, фундаментальным свойством для ее успешного и стабильного функционирования. Для линейной стационарной системы устойчивость определяется корнями ее характеристического полинома.
Поэтому изучение и синтез стабилизирующих регуляторов для линейных динамических систем, заданных передаточной функцией, можно проводить в терминах устойчивости полинома (характеристическо-го).
Если все параметры системы, а значит, и коэффициенты характеристического полинома, известны точно, то, найдя корни полинома и проверив их расположение на комплексной плоскости, можно судить об устойчивости. Полином будем называть устойчивым, если все его корни лежат в левой полуплоскости для систем непрерывного времени и внутри единичного круга для дискретной системы. Можно проверить устойчивость, не прибегая к вычислению корней полинома, с помощью табличных (А. Гурвиц, Э. Раус, И. Шур, А. Кон) или графических (Ш. Эрмит, Ш. Билер, А.В. Михайлов и Г. Найквист) критериев.
Дальнейшее исследование устойчивости велось в двух направлениях: в первом ставилась задача описания всех регуляторов, стабилизирующих систему, причем эти регуляторы могут быть как произвольные (параметризация Юлы-Кучеры, работы Л.Н. Волгина), так и ограниченные параметрическим семейством.
Для параметрического случая оказалась удачной идея разбиения всего пространства параметров на области, внутри которых число устойчивых корней полинома фиксировано. Подобный подход встречался в работах И.А. Вышнеградского, Р. Фрэйзера и В. Дункана, А.А. Соко-
лова, А.А. Андронова и А.Г. Майера, а в 1948-49 гг. Ю.И. Неймарком этот метод был сформулирован в законченном виде и под названием «D-разбиение» вошел в учебники по автоматическому управлению.
Основное применение этот метод нашел для синтеза регуляторов, зависящих от двух параметров, в этом случае ^-разбиение обладает наглядным геометрическим представлением: некоторыми кривыми плоскость параметров разделяется на области. Одна из этих областей соответствует всем стабилизирующим регуляторам.
В западной литературе этот метод применялся в работах Д. Мит-ровича, Д. Шильяка, 3. Лехника, Ш. Бхаттачарии, Ю. Аккермана, Я. Фуджисаки, входя в группу под общим названием parameter space methods.
Недавно многие исследователи вновь обратились к тематике jD-разбиє-ния, так, были получены новые результаты о его структуре, выделены семейства полиномов (и регуляторов), для которых .D-разбиение удается осуществить для большего числа параметров а также изучалось D-разбиение в пространстве матриц (Р. Темпо, Я. Оиши, Б.Т. Поляк, Ю.П. Николаев, П.С. Щербаков, Е.Н. Грязина).
Вторым направлением было изучение параметрической робастности системы, т.е. анализ, останется ли система (или полином) устойчивой, если некоторые ее параметры неизвестны и принадлежат некоторому множеству. Эти параметры не изменяются во времени и на них часто ссылаются как на «неопределенности». Бурный всплеск работ по робастности вызвала теорема В.Л. Харитонова, в которой показано, что для проверки на устойчивость всего семейства полиномов, коэффициенты которых лежат в некоторых интервалах, достаточно проверить устойчивость всего четырех специальных (впоследствии названных «ха-ритоновскими») полиномов.
Робастные постановки задач систематизированы Я.З. Цыпкиным, Б. Бармишем, Ю.И. Неймарком, Б.Т. Поляком, П.С. Щербаковым, Ш. Бхаттачария, Ю. Аккерманом. Следует отметить отличие такой постановки от задач оценивания и управления в условиях неопределенности (работы Н.Н. Красовского, А.Б. Куржанского, А.И. Овсеевича, Ф.Л. Черноусько).
Однако в более сложных случаях, таких, как задача об устойчивости аффинного семейства полиномов, аналитическое решение усложняется и важную практическую роль стали играть графические методы, та-
кие, как построение и анализ специальных кривых (напр. годографа Цыпкина-Поляка) или множества значений (value sets). Последней проблемой занимались Ш. Бхаттачария, Б. Бармиш, Б.Т. Поляк, А.Н. Вишняков, Р. Темпо, К. Холлот, Д. Хинриксен, Э. Чапеллат и др.
В 1991 г. эти два направления были объединены Б.Т. Поляком и Н.П. Петровым, и была сформулирована и в частных случаях решена задача о синтезе двупараметрических робастных регуляторов.
С точки зрения характеристического полинома с неопределенностями, эта задача об отыскании области на плоскости двух параметров, такой, что для любых допустимых неопределенностях этот полином является устойчивым. От классического )-разбиения задача отличается наличием ограниченных в некотором множестве дополнительных параметров, и сам метод получил название робастного D-разбиения.
В настоящее время параметрический подход к синтезу регуляторов в условиях неопределенности —- активно развивающаяся область в управлении. Повышенный интерес к ней обуславливается большим количеством прикладных задач, требующих простых регуляторов, удовлетворяющих заданным спецификациям и сохраняющих эффективность при неточно известных параметрах, что объясняет актуальность темы диссертации.
Другая задача синтеза регуляторов низкого порядка заключается в нахождении не просто стабилизирующего регулятора, а такого, что замкнутая система удовлетворяет некоторым дополнительным критериям качества. Одним из важным критериев качества является Н^-критерий, возникающий, помимо прочего, в задаче синтеза робастно стабилизирующих регуляторов для систем с частотной (непараметрической) неопределенностью.
Причина интереса к регуляторам низкого порядка в том, что несмотря на глубокое развитие аналитических теорий синтеза регуляторов, таких как і^оо-теория, /і-подход, фі^Т-подход, ^-синтез и др. (Дж. Зеймс, М. Далех, Дж. Пирсон, М. Сафонов, Ш. Бхаттачария, К. Зу, Дж. Доил, К. Гловер, И. Горовиц) в промышленных приложениях зачастую по-прежнему используются простейшие регуляторы, пропорционально-интегрирующие, пропорционально-интегрирующие-дифференцирующие (ПИД), регуляторы первого порядка и пр. Эти регуляторы просты по своей структуре, их работа основана на понятных физических принципах, что, возможно, и обусловило их популярность и широкую применимость в задачах управления (К. Острем, А. Датта, М. Хо, И.Б. Ядыкин,
В.Я. Ротач).
Цель работы. Главная цель данной работы заключается в построении и обосновании эффективных графических алгоритмов синтеза стабилизирующих регуляторов для линейных динамических систем с неопределенными параметрами (как непрерывного времени, так и дискретных), на основе анализа характеристического полинома системы. С этой целью требуется распространить метод робастного .D-разбиения на класс аффинных по параметрам полиномов.
Помимо этого, в задачи диссертационной работы входит описание регуляторов низкого порядка, таких, что замкнутая система удовлетворяет критерию вида Н^ (іїоо-норма передаточной функции не превосходит заданного уровня). Графическое представление таких регуляторов в пространстве параметров позволяет эффективно осуществлять их синтез.
Методы исследования. В работе использовались методы линейной алгебры, математического анализа, дифференциальной геометрии, теории управления и вычислительной математики.
Научная новизна. В диссертации получен ряд новых научных результатов, касающихся анализа линейных динамических систем с неопределенностью. В частности, рассмотрен класс моделей линейных динамических систем с параметрами, входящими аффинным образом в характеристический полином системы. Использованный для решения задачи метод робастного D-разбиения расширен со случая неопределенных коэффициентов на случай аффинной параметрической неопределенности с вектором параметров, ограниченным в /р-норме. Продемонстрировано применение предложенного метода в синтезе регуляторов низкого порядка для систем с неопределенностью.
Также рассмотрен класс моделей линейных динамических систем, заданных передаточной функцией, с аддитивной, либо мультипликативной неопределенностью, ограниченной в 7/оо-норме. Предложены численно эффективные алгоритмы построения множеств робастно стабилизирующих регуляторов в двумерном пространстве параметров.
Сформулированы и доказаны теоремы о границах (в пространстве регулируемых параметров) полинома, являющегося робастно устойчивым, и о границах множества параметров регулятора стабилизирующих систему с гарантированным показателем качества. Доказано, что в обоих случаях эти границы параметризуются в явном виде как решение системы алгебраических уравнений (в некоторых случаях это решение
найдено в явном виде).
Личный вклад. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Личным вкладом соискателя в совместно опубликованных работах является доказательства утверждений, разработка алгоритмов и проведение численных экспериментов.
Практическая значимость. Предложенные методы позволяют решать две важные задачи: первая задача — синтез ПИ-, ПИД-регулято-ров, регуляторов первого порядка и других регуляторов низкого порядка, робастно стабилизирующих линейную динамическую систему. Вторая задача — описание всего множества регуляторов заданного вида (например, ПИД-регуляторов), удовлетворяющих критерию Hqq.
Такие методы важны, поскольку даже если удается найти аналитическое описание множества регуляторов, решающих ту или иную задачу (например, параметризация Юлы-Куперы всех оптимальных регуляторов в Яоо-теории), то ее практическое применение сопряжено с трудностями из-за сложности описания и побочных эффектов. Так, было показано, что полученные в рамках Яоо-теории оптимальные регуляторы часто крайне чувствительны к изменениям параметров системы.
Использование же графических методов в пространстве параметров не только позволяет формально описывают все множество требуемых регуляторов, но и дает наглядное представление о них, позволяя, например, легко осуществлять синтез регуляторов, отвечающих сразу нескольким критериям.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: XLVIII научная конференция Московского физико-технического института «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Долгопрудный, 2005), 37 региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», (Екатеринбург, 2006), 11 международная студенческая олимпиада по автоматическому управлению (Санкт-Петербург, 2006), IX международный семинар им. Е.С. Пятницкого (Москва, 2006), XIV международный семинар по динамике и управлению (Звенигород, 2007), II научной школе-семинаре по проблемам управления большими системами (Воронеж, 2007), а также на научных семинарах под руководством проф. Б.Т. Поляка (ИПУ РАН), А.П. Курдюкова (ИПУ РАН), Р. Темпо (IEIIT, Турин).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы (128 источника), а также содержит 11 рисунков. Общий объем диссертации составляет 67 страниц.
Работа над диссертацией входила также в состав гранта РФФИ 05-01-00114 и Программ президиума РАН № 19 и № 22.
Публикации. По теме диссертации опубликовано две статьи [28, 6] в журнале Автоматика и Телемеханика и пять работ в сборниках трудов конференций [29, 30, 81, 31, 5].
Классическое D-разбиение
Рассмотрим полином G степени п, зависящий от двух вещественных параметров (T,V) Є Ш2 (или одного комплексного).
При фиксированных значениях параметров этот полином считается устойчивым, если его корни лежат в некоторой связной области j stab - (Q_ Дополнение к замыканию этого множества обозначим J])urist C\clWtab. Корни полинома, находящийся в Wtab, будем называть устойчивыми, а в 3unst — неустойчивыми. Напомним, что множество называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой, лежащей в этом множестве.
В общем виде, отталкиваясь от расположения корней полинома на комплексной плоскости, пространство параметров разбивается на мно жества с различным числом устойчивых корней. Это влечет за собой следующее определение D-разбиения [14]:
Определение 1.1. D-разбиением по параметрам (T,IS) для полинома G(s, т, v) степени п относительно области устойчивости J$stab называется разделение пространства параметров (г. и) на мноаісества D(k,)(0 к,і п), определяемые числом устойчивых корней: D(k, ) = {(г, v) : G{s, г, v) имеет к корней в Wtab и корней в Bunst} . Для параметров из области D{n, 0) все корни являются устойчивыми, и эта область является областью устойчивости полинома G по параметрам (т, и).
Основная идея построения областей D(k, ) заключается в отображении границы множества устойчивых корней в пространство параметров, в рассматриваемом случае двух параметров — на плоскость. Тогда D-разбиение наглядно осуществляется с помощью графических методов, что удобно для практического применения. В случае большего числа параметров описать область устойчивости можно только для специальных семейств полиномов, например, для одного из широких классов, рассмотренных в [7], область устойчивости — объединение многогранников. В результате основное применение D-разбиения ограничено двумя параметрами.
Если коэффициенты полинома зависят от параметров (г, v) непрерывно, то границы областей D-разбиения определяются множеством (1.3) {{г, у) : G{s,r,v) = 0, 3s Є dWtab} , и набором множеств (1.4) {(г, v) : д{т, v) = 0, Уг = k,..., n, 3s Є dBstab\ ,k= 1,...,n, где g обозначает коэффициент полинома G при sl. Уравнение G(s, т, v) — 0, участвующее в определении (1.3), будем называть основным уравнением D-разбиения или просто основным уравнением.
Поскольку полином G комплекснозначный, то основное уравнение распадается на два: , , Г ReG(s,r,u) -0, При фиксированном значении s в невырожденных случаях система (1.5) имеет одно решение. В особых случаях решением системы может быть кривая или некоторое множество (например, когда оба уравнения совпадают или одно из них обращается в тождество).
Уравнение (1.3) возникает, когда мы рассматриваем переход точки (г, у) из одной области D-разбиения в другую без изменения степени. При этом коэффициенты, а значит и корни полинома изменяются непрерывно, и какой-либо корень переходит из Wtah в Dunsi (или обратно, из Bunst в Wtab). Тогда если точка (г, у) находится на границе области D-разбиения, ей соответствует корень на границе устойчивости dWtab и наоборот, корню на dWtab соответствуют (г, у), находящиеся на границе какой-либо области D(k,).
Множества (1.4) характеризуют понижение степени полинома (а значит, и число его корней) с п до к. Как правило, эти множества пусты при к п.
Построение D-разбиения осуществляется следующим образом: граница множества устойчивых корней dWtab параметризуется вещественным параметром о;, так что mstab = s( :wGnCl}, тогда основное уравнение D-разбиения принимает вид (1.6) G(s(cj),r,i/) = 0,w ЄП, и его решение для всех о; Є П относительно (г, у) определяет параметрическое уравнение границы D-разбиения.
Таким образом в методе D-разбиения строятся все множества D(k, ). Выделение среди них компонент области устойчивости является отдельной задачей. Неймарком [14] был предложен алгоритм нахождения области D-разбиения с помощью штриховки, однако с развитием вычислительной техники эффективнее взять по одной точке из каждой компоненте и определить соответствующее ей число устойчивых корней. Число компонент D-разбиения конечно, и, в частности, для аффинных полиномов оно количество порядка п2 [4].
Достоинство метода D-разбиения заключается в полном описании области устойчивости, а не нахождении какой-либо устойчивой пары значений (г,у). Это важно при параметрическом синтезе регуляторов. Замечание 1.1 (D-разбиение по комплексному параметру). Интересным частным случаем D-разбиения является разбиение по од ному, но комплексному параметру к Є С В этом случае простой заменой переменных т == Re к, v = Im к можно перейти к двум вещественным параметрам, однако в некоторых случаях можно получить уравнение кривой D-разбиепия (или робастного D-разбиения) сразу в комплексной плоскости.
Непрерывная и дискретная устойчивость
Пусть полином G зависит, помимо параметров (г, z/), и от векторного параметра a = (ai, 0,2,..., ag). Значения параметра а не определены, известно лишь, что он принадлежит связному ограниченному множеству Л. Пусть также коэффициенты полинома зависят от а непрерывно.
Полиномы такого вида естественным образом возникают в задаче синтеза регуляторов низкого порядка в условиях параметрической неопределенности, где параметры (т, и) отвечают параметрам регулятора, а векторный параметр а и множество Охарактеризуют неопределенность. Будем также называть исследуемые параметры т, v регулируемыми чтобы отличать их от неопределенных параметров о.
Ставится вопрос, при каких (т,и) полином G(s,T,v,a) будет устойчивым для всех возможных а Є Л, т.е. будет робастно устойчивым?
Аналогично случаю без неопределенных параметров, на плоскости (г, v) можно выделить множества D с постоянным числом устойчивых корней, осуществив робастный вариант )-разбиения. Dn будет соответствовать области робастной устойчивости.
Введем следующие определения робастного D-разбиения (ср. с определениями 1.2 и 1.3): В отличие от классического D-разбиения напрямую нельзя получить уравнения границ областей D , однако их можно описать с помощью принципа исключения нуля. Рассмотрим устойчивость неопределенного полинома G(s:a) где параметр а принимает произвольные значения из множества Л (пока без параметров (г, ь )). Обозначим через GA{s) семейство всех возможных полиномов (1.11) GA{s) = {G(s, а), а Є Л}. При фиксированном аргументе s Є С множество значений полиномов GA(s ) = {G(s ,a),aeA} представляет собой множество на комплексной плоскости.
Основным результатом для проверки робастной устойчивости параметрических полиномов является следующая теорема: Теорема 1.1. (Принцип исключения нуля) [38J Если семейство полиномов GA одинаковой степени содержит хотя бы один устойчивый полипом, непрерывно зависит от параметра а и множество Л связно, то все семейство (1-11) устойчиво тогда и только тогда, когда 0GU(s ),s G 9Dsta6.
Доказательство теоремы известно и приведено в работе [38]. Оно основывается на том, что когда один полином G(s:a ) устойчив, все его корни устойчивы (например, в непрерывном случае они лежат в левой полуплоскости), и тогда при непрерывном изменении параметра а в пределах множества Л ни один из них не покинет левую полуплоскость. Применительно к робастному D-разбиению можно сформулировать следующие теоремы, характеризующие области Dk в непрерывном и дискретном случаях (коэффициенты полинома G зависят от а непрерывно, множество Л связно):
Необходимость. Пусть параметры (г, v) принадлежат области Dk- Тогда, согласно определению 1.5, при любых значениях параметров а Є Л полином G(s, г, г/, а) будет иметь к корней строго в левой полуплоскости и п — к корней строго в правой, то есть не будет иметь ни одного корня на мнимой оси, а значит, условие (1.12) выполняется. При этом его степень будет равна п и условие (1.13) также выполнено.
Достаточность. Рассмотрим точку (r ,z/ ), для которой выполнены (1.12) и (1.13). В силу (1.13) полином G имеет степень п при всех а Є Л. Выберем некоторую точку ао Є Л. Пусть у полинома G(s, г , v : CLQ) будет к корней в левой полуплоскости и п — к корней в правой. Рассмотрим любую другую точку а\ Є Л. Поскольку множество Л связно, существует непрерывное преобразование a(t),t Є [0,1], такое, что а(0) = ао, а(1) = а\ и a[t) Є Л, \/t Є [0,1]. Рассмотрим однопараметри-ческое семейство полиномов G(s, т , и , a(t)), t Є [0,1]. При изменении t от 0 до 1 коэффициенты полинома будут изменяться непрерывно, и степень не понижается, следовательно, корни полинома будут изменяться также непрерывно. При этом в силу (1.12) ни один из корней не попадет на мнимую ось, а значит, их число в левой полуплоскости не изменится и будет равно & (а в правой останется п — к корней) для всех t Є [0,1], в том числе для полинома G(s, т , v , а{). Поскольку в качестве а\ может быть выбрана любая точка из Л, то полином G(s, T ,V , а) будет иметь к корней в левой полуплоскости ип — к корней в правой для всех а Є Л. Тогда, по определению 1.5, точка (т ,и ) принадлежат Dk- Ш
Теорема 1.3 (дискретный случай). Параметры (г, и) принадле oicam какой-либо области D}z робастного D-разбиения для дискретного полинома G(s, т, is, а) тогда и только тогда, когда где g (г, v ) — множество значений коэффициента полинома G при sn. Доказательство теоремы 1.3. Доказательство аналогично доказательству в непрерывном случае, с заменой левой полуплоскости на внутреннюю часть круга и правой полуплоскости на внешнюю часть круга. Ш Можно построить разделяющее множество, играющее ту же роль, что и кривые D-разбиения в классическом случае.
Аффинное семейство неопределенных полиномов
Итак, полином G(s, г, is, а) степени п зависит от двух вещественных параметров т, v и векторного параметра а Є Ше (или а Є С), причем регулируемые параметры входят линейно: G{s, г, is, a) = TP(S, а) + isQ(s, a) + R(s, а).
Изучается робастная устойчивость множества полиномов {G(s, г, is, а): За Є Л}, где Л — связное замкнутое подмножество пространства неопределенных параметров. Устойчивость определяется построением робаст-ного .D-разбиения и выделением области устойчивости Dn.
В основном случае полагаем, что неопределенные параметры а входят только в один полином, например, в R: (2.5) G(s, т, is, a) = TP(S) + isQ(s) + R(s, а).
Сделаем пояснение касательно неоднозначности обозначений: с одной стороны, G(s, г, is, а) можно рассматривать как {GTjl/(s, а): За Є Л} — множество параметрических по (г, is) полиномов; с другой стороны, в контексте задачи робастного синтеза и ограниченности а можно говорить о параметрическом семействе (по т, is) неопределенных полиномов G_A(S, Т, IS). Напомним, что неопределенным полиномом называется множество полиномов, в данном случае Gj_(s) = {G(s,a) : а Є Л}. В контексте применения робастного .D-разбиения к задаче синтеза регуляторов будем использовать последний вариант.
Основное уравнение робастного D-разбиения (1.14) для аффинного полинома принимает вид (2.6) тР{ш) + vQ(w) + R{w, а) = 0, За Є Л, которое представляет собой семейство уравнений по параметру ш. Запишем его на языке множеств на комплексной плоскости: тР{ш) + i/Q(w) Є -Кл(и), Кл(ы) = [R{u, а) : а Є Л}, За; Є [0, со), и обозначим его решение относительно (т,і ) как if ( )- Тогда множество К-, которое участвует в формировании разделяющего множество К (напомним, что разделяющее множество осуществляет робастное D-разбиение, и требуется найти его границу), образовано совокупностью решений уравнения (2.7) по всем и: К- = LLefOoo) К{ш)- Геометрически К(ш) — фигура на плоскости, а множество К- — заметаемая ею область.
Классическое D-разбиения является частным случаем робастного, когда множество 7д(и;) — точка. И обратно: нестрого говоря, множество К_ получается «размытием» кривой классического .D-разбиения в полосу.появляется в уравнении (2.6) при ш — О, индекс (0) соответствует свободным членам полиномов.
Другие особые решения основного уравнения робастного .D-разбиения приведены далее в разделе 2.2.2.
Итак, в отличие от случая -разбиения без неопределенностей, границами областей робастного D-разбиения является не само разделяющее множество К, а его граница дК. Таким образом, согласно теореме (1.1) построение этой границы и выделение области устойчивости среди полученных областей решает задачу. Однако технически возможно найти (и графически изобразить) только границы множеств К- и Ks по-отдельности. Хотя граница разделяющего множества дК не совпадает с объединением границ дК- и dKs, она, очевидно, входит в него. Границу множества К-, в свою очередь, помогает найти огибающая семейства К (и). Окончательное выделение самой границы дК проводится графически с помощью дополнительных соображений.
Рассмотрим элемент семейства К(ш) подробнее. Из записи основного уравнения робастного .D-разбиения (2.7) с использованием обозначений (2.4): видно, что его решения при невырожденной матрице Т являются образом линейного отображением множества 7д: К (и) = Т-1(и)Пл(и). Здесь комплексную плоскость С, которой принадлежит множество 1ZA(UJ) естественным образом отождествляем с вещественной плоскостью М2, то же с самим множеством lZ (u ): оно будет рассматриваться комплексным или вещественным, в зависимости от контекста.
В [20] приведены примеры, когда 7д(а;) — многоугольник и окружность (соответствующие интервальной норме для вещественных и комплексных неопределенностей), в следующем разделе будет разобрана ситуация, когда 7д(о;) — эллипс.
Помимо семейства вида (2.5) рассмотрен случай, когда неопределенный полином находится при одном из параметров, по которым строится .D-разбиение. Показажем, что этот случай сводится к рассмотренному выше. Без ограничения общности рассмотрим параметр г и соответственно неопределенность вида P(CJ, а), а Є Л. Решением основного уравнения (2.11) тР(ш, a) + vQ{w) + Я(ш) = 0, За Є Л, на прямой т = 0 будут являться точки у = — т4 л Є (напомним, что -R(w) и Q(tu) — комплекснозначные полиномы). Для т О произведем замену переменных т = -, v = -, и после переобозначений уравнение (2.11) приводится к рассмотренной форме (2.6): rR(jcu) + vQ(ju ) + P(jo;, a) = 0, За Є Л. Отметим, что преобразование (г, f) - (г, Р) переводит прямые (в частности, границы особых полос) в прямые.
Случаи, когда неопределенность одновременно присутствует в двух и более полиномах P(s),Q(s), R(s), заметно сложнее в техническом плане, но методически подобны; существует решение для робастного D-разбиения для комплексного параметра, и в заключение упоминается метод получения достаточных результатов.
Вернемся к неопределенностям. Для конкретизации поставленной задачи осталось задать зависимость полинома R(s, а) от неопределенных параметров и множество Л. В диссертации рассмотрена линейная зависимость от неопределенных параметров, т.е. полином G линейный по всем параметрам; а возможные значения неопределенностей лежат в шаре в /р-норме.
Синтез iJoo-регуляторов низкого порядка
Рассмотрим подробнее неравенство [H ju k)] 7ІДіС7 5 к), входящее в определение множества /С. При каждой ш оно определяет в пространстве параметров к множество КУ = {к: \Hn(juj, к) j\Hd(juj, к)}, которое назовем допустимым множеством. Согласно определению, JC является пересечением по и допустимых множеств. Перепишем рассматриваемое неравенство в виде (3.7) Яп(іа;,к)2 72Я,( ,к)2. Как уже отмечалось, рассматривается случай двух свободных параметров k = (&1, ), причем числитель и знаменатель регулятора (а значит, и функции Н) зависят от них линейно, остальные параметры зафикси рованы. Тогда (3.7) принимает вид (3.8) Я„(» + Hfa h + Н2п(Мк2\2 72ЯуШ) + Hl(ju)ki + Н1(эш)к2\\ и допустимое множество описывается уравнением типа (3.9) Кш = {(ки к2): а{ш)к\ + Ъ{и)кхк2 + с{ш)к1 + d(w)ki + е{ш)к2 + f{ui) 0} , где а(и), Ь(ш), c(tu), d(co), е(и ), f(co) — полиномы с вещественными коэффициентами (предполагается, что коэффициенты весовой функции и передаточных функций объекта и регулятора также вещественные). Границей допустимого множества при каждом ш является кривая второго порядка относительно двух выбранных параметров к\ и к2.
Классифицируя особенности параметризации регуляторов, получаем следующий результат.
Теорема 3.2. Множество /С является пересечением квадратичных множеств КУ, со Є [0, со). При этом:
1) если к\,к2 входят в числитель и знаменатель регулятора в виде к\ + k2s2 (случай ПИД-регулятора с фиксированным кр), то КУ — полуплоскость, внешняя или внутренняя часть полосы, если оно непусто;
2) если C(s) = - 1 (регулятор первого порядка) или C(s) = fcl+fcy+as (ПИ-регулятор), то КУ, если оно непусто, является внутренно стью или внешностью эллипса (возмоэюно вырожденного в полу плоскость или плоскость). Доказательство теоремы 3.2. Поскольку числитель и знаменатель передаточной функции регулятора входят в числитель и знаменатель функции Н линейно, доказательство сводится к уточнению вида неравенства (3.8) в обоих случаях.
1) Обозначим общий член как t{u) = k\ — k2to2. Тогда неравенство (3.7) принимает вид \А(ш) + B{u)t{to)\2 72СН + D{u)t{u)\2, где A,B,C,D — некоторые комплексные полиномы вида А(ш) = Аде(ш) + jAjm(uj). После раскрытия скобок, с учетом того, что Imt(cu) = 0, получаем следующее неравенство (зависимость от ш опущена для краткости): (ReА+ ReBt)2 + (ImA+ImBt)2 (ReC+ ReDt)2 + (ImC+ ImDt)2, или {\В\2 - \D\2)t2 + 2( Re (АВ) - Re (CD))t + \A\2 - C2 0. Последнее неравенство квадратичное относительно t, и его решением в пространстве параметров будет пустое множество, полуплоскость к\ — со2к2 ti(u) (или со знаком «больше»), внутренняя часть полосы (ti(co) к\ — ш2к,2 ( )) или внешняя ({(/ci,fc2): к\ — ш2 ti(cj) V t2(uj) hi UJ2}).
2) Неравенство (3.7) принимает вид \А(ш) + 5( )( + ju,/c2)2 72СМ + (wJCAi + jwAz)!2, где А, 5, С, D также комплексные полиномы вида А(со) == Аце(и ) + jAfm(uj), их зависимость от и далее опускается. После раскрытия квадратов получаем эквивалентное неравенство \\A\\2-\\C\\2 + 2{KQ(AB{kl+juk2)) - Re( D(fci+jwfc2))) + + (\\Bf-\\D\\2){k2 + u2k2) из которого следует, что знаки множителей при к2 и к?, совпадают при всех со, а значит, квадратичная форма задает внутреннюю или внешнюю часть эллипса. Если ?2 — 2 — 0, то неравенство линейно по &i, &2 и эллипс вырождается в полуплоскость (в плоскость или пустое множество, если пропадут даже линейные члены). Замечание 3.1. Справедливо более общее по сравнению с п. 1 теоремы 3.2 утвероісдение: допустимое мноотество будет полосой, если параметры hi, / появляются в числителе и знаменателе регулятора только в составе линейной комбинации k\p(s2) + k2q{s2), где p,q — полиномы с вещественными коэффициентами. Более того, в таком случае /С состоит из конечного числа выпуклых множеств.
Для регулятора первого порядка с другим зафиксированным коэффициентом, например C(s) = д1? , равно как ПД-регуляторов, границы допустимых множеств будут эллипсами, как в п. 2 теоремы. Для специального семейства регуляторов вида ГЛЛ I гГо Ч —I гСч Я C(s, /сі, &з) = — ——г ( ) 2 зафиксированы) подобный метод впер CLK\ -\-\- CLK S вые был предложен Бланкини и др. [40]. В таком случае множество /С может не быть односвязным, там же приводится оценка максимального количества его односвязных компонент.
Построение /С через его дополнение /С имеет много общего с робаст-ным D-разбиением для эллиптических неопределенностей [28].
