Введение к работе
Актуальность темы. Вопрос об интегрируемости динамических систем изучался приблизительно с середипы XIX века. В то время под интегрируемостью понимали интегрируемость в квадратурах, то есть для системы дифференциальных уравнений
dx . .
возможность найти решение х({) с помощью операций обращения функций и взятия первообразных.
В настоящее время понятие несколько расширилось: рассматривается более сильная характеристика системы, а именно, существование достаточного количества сохраняющихся величин (первых интегралов), обладающих определенными свойствами.
Теорема Лиувилля-Арнольда1: Пусть гладкие функции на 2п-мерном многообразии М Fj, F^,..., Fn : М -> R находятся в инволюции ({Ft,Fj} = 0). Рассмотрим множество уровня функций Fi
Mf = {(q,р) : F4(q, р) = /«,» = 1,..., n}.
Пусть на Mf функции Fi независимы (т.е. в каждой точке Mf линейно независимы 1-формы dFi). Тогда: l)Mj - гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока с гамильтонианом Н = F\. 2) Если многообразие Mf компактно, то каждая его компонента связности диффеоморфна п-мерному тору
T" = {(tph...,tpn) mod 2я].
3) Фазовый поток с гамильтонианом Н определяет на Mf условно периодическое движение:
Ф = ^(/)-
'Арнольд В.И., Козлов D.B., Нейштадт А.И., Математические аспекты классической и небесной механики, Москва, ВИНИТИ, 1985.
4) Канонические уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах.
В таком случае система называется вполне интегрируемой или интегрируемой по Лиувиллю-Арнольду. Именно в этом смысле интегрируемость изучается в данной диссертации. Ясно, что начинать изучение интегрируемости системы разумно с анализа условий существования независимых первых интегралов.
Для произвольной динамической системы не существует конструктивного алгоритма для проверки существования достаточного количества независимых первых интегралов, однако во второй половине XX века получен ряд результатов, выявляющих препятствия к интегрируемости. На практике отсугствие дополнительных первых интегралов обычно приводит к стохастизацип - важному качественному явленню, наблюдаемому во многих задачах механики, физики, химии, биологии и особенно интенсивно изучаемому в последние годы.
Для вещественных систем пас будут интересовать в первую очередь препятствия, основанные на свойствах топологии конфигурационного и фазового пространства систем малой размерности. В.В. Козловым2 было доказано, что гастемы с двумерным конфигурационным пространством рода больше чем 1 не имеют дополнительного аналитического первого интеграла. В диссертации рассмотрено поведение систем с произвольным конфигурационным пространством размерности 2, изучены препятствия к существованию дополнительного первого интеграла, независимого с интегралом энергии.
Для кошілексифіщнроваїшьіх систем в конце XX века был разработан ряд алгебраических методов анализа продолжаемости первых интегралов в комплексную область: X. Йошида3 обнаружил связь между существованием рациональных первых интегралов и показателями Ковалевской; С.Л. Зиглин4 стал по
2Козлов В.В., Симметрии, топология и резонапсы в гамильтоповой механике, Ижевск: юд-во Удмуртского гос. университета, 1995.
3Н. Yoshida, Necessary condition for the existence of algebraic first integrals. I, II, Celestial Mechanics, Vol. 31, p.303 00/1983.
4S.L. Ziglin, Branching of Solutions and Non-Existence of First Integrals in Hamiltonian Mechanics, 1,11,1982, Fun. Anal. Appl, 16.
сути основателем "группового" подхода к анализу интегрируемости в современном понимании, рассмотрев ограничения на группу монодромии системы уравнений в вариациях в зависимости от существования независимых мероморфных первых интегралов; X. Моралес-Руис и Ж.-П. Рамис5 сформулировали аналогичный результат для дифференциальной группы Галуа.
Общим недостатком этих методов является необходимость знать явное комплексифицируемое частное решение системы, а также уметь вычислять достаточно нетривиальные алгебраические группы, что существенно ограничивает область применения методов. В диссертации мы пользуемся наглядностью построения группы монодромии, которая позволяет предложить эффективный алгоритм применения метода Зиглина.
Цель работы. Предложить эффективные методы анализа интегрируемости динамических систем и реализовать соответствующие алгоритмы. Применить полученные алгоритмы к системам, имеющим механическое происхождение.
Методы исследования. В диссертации используются методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений и численные методы.
Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми и состоят в следующем:
1. Описаны топологические препятствия к существованию независимых пер-
5J.J. Morales-Ruiz, Differential Galois theory and non-intcgrability of hamiltonian systems, Birkhausen, Basel, 1999;
J.J. Morales-Ruiz, J.P. Ramis, Galoisian obstructions to integrability of hamiltonian systems, I, II, Melh. Appl. Anal. 8(1), 33-95,97-111, 2001;
M. Audin, "Les systemes hamiitoniens et leiir integrability", Cours Specilises. SMF et EDP Sciences, 2001
вых интегралов для систем малой размерности. На основании этих результатов предложен конструктивный численный метод доказательства несуществования дополнительных первых интегралов. С помощью результатов теории Колмогорова-Арнольда-Мозера и аппарата метода Монте-Карло подход обобщен па случай систем с параметрами для поиска возможных областей интегрируемости.
-
На основе метода Зиглина предложен эффективный алгоритм проверки существования достаточного для полной интегрируемости количества независимых мероморфных первых интегралов комплсксифицированных систем. Вывод делается с использованием частного решения и группы моно-дромии, полученных численно.
-
Оба метода применены для доказательства неинтегрируемости маятнико-подобных систем, а также некоторых систем, имеющих физическое происхождение. Доказано, что среди маятнико-подобных систем нет интегрируемых случаев, отличных от тривиальных, когда система распадается на независимые подсистемы.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер; результаты диссертации могут быть испачьзованы специалисташї по динамическим системам, теоретической механике, а также по численному моделированию в научных исследованиях и при чтении специальных курсов. В силу универсальности предложенных методов, они могут быть применены для качественного анализа систем дифференциальных уравнений, естественно возникающих в прикладных задачах механики, физики, химии, биологии.
На защиту выносятся:
1. Конструктивный метод визуализации топологических свойств динамических систем (метод сечений), предназначенный для изучения иптегрируе-
мости систем малой размерности;
-
Обобщение метода сечений с помощью теории Колмогорова-Арнольда-Мозера с целью его применения к системам с параметрами;
-
Эффективный алгоритм применения метода Зиглина анализа мероморф-ной интегрируемости комплексифицироваиной системы, основанный на определении группы моподромии вдоль частного решения, полученного численно;
-
Анализ интегрируемости конкретных механических систем с помощью упомянутых выше методов: задача о свободном движении маятнико-подобных систем, задача о движении осесимметричного спутника по круговой орбите, задача Хскона-Хейлеса о движении звезды вблизи галактического центра.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах:
семинары в ВЦ РАН под руководством Абрамова А.А., Пачьцева Б.В., Власова В.И. и под руководством Степанова С.Я.;
семинар в Ecole Normalo Supcrieure de Lyon, Лион, Франция;
семинар в МАИ под руководством Красильыикова П.С., Бардина Б.С.;
семинар в НИИ механики МГУ;
и на конференциях:
CEEPUS Computer Algebra Summer University, Miskolc, Hungary;
XXXIII International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", С.-Петербург;
The Fifth EuTomech Nonlinear Dynamics Conference, Eindhoven, The Netherlands;
Conference "Dynamical Integrability", CIRM, Luminy, France;
Conference "Symmetry and Perturbation Theory", Otranto, Italy;
Конференция-Конкурс молодых ученых НИИ Механики МГУ им. М.В.Лоыопосова, Москва;
5-th European Congress of Mathematics, Amsterdam, The Netherlands;
III International Summer School on Geometry, Mechanics, and Control, L'Ametlla de Mar, Spain;
Research Workshop "Modern Approaches to Dynamical Integrability", Portsmouth, England;
"Dynamical systems and classical mechanics: a conference in celebration of Vladimir Arnold", Edinburgh, Scotland.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список кагорых приведен в конце автореферата [1]-[6]. Среди них одна опубликована в журнале из перечня ведущих периодических изданий ВАК, четыре опубликованы в рецензируемых трудах конференций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения, разбитых на разделы, а также списка литературы, насчитывающего 35 наименования, и приложения, содержащего тексты программ. Общий объем текста - 98 страниц.
