Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава I. МЕТОД СИМВОЛИЧЕСКОЙ ДЩАМИКИ 10
§1.1. Леммы о расщеплении сепаратрис 10
§ 1.2. Символическое описание траекторий 17
§ 1.3. Пример. Движение маятника с периодически колеблющейся точкой подвеса. Расщепление сепаратрис 33
§ 1.4. Пример продолжение Символическое описание решений в окрестности гомоклинического контура. Их механическая интерпретация 35
§ 1.5. Исторический комментарий 40
Глава 2. ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ СПУТНИКА В ПЛОСКОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ 46
§ 2.1. Постановка задачи 46
§ 2.2. Теорема о расщеплении сепаратрис 50
§ 2.3. Символическое описание решений в окрестности грубого гомоклинического контура, их
механическая интерпретация 55
Глава 3. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МАЛОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВРАЩАЮЩЕГО МОМЕНТА 65
§ 3.1. Постановка задачи 65
§ 3.2. Теорема о расщеплении сепаратрис 66
§ 3.3. Символическое описание решений в окрестности грубого однообходного гомоклинического контура, их физическая интерпретация
Глава 4. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ДВУЗВЕННОГО ПЛОСКОГО МАЯТНИКА В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ 77
§ 4.1. Постановка задачи 77
§ 4.2. Возмущение стационарных решений 79
§ 4.3. Понижение порядка системы уравнений движения по Уиттекеру. Теорема о расщеплении сепаратрис. Несуществование дополнительного интеграла 83
§ 4.4. Символическое описание решений в окрестности однообходного гомоклинического контура.
Их механическая интерпретация 88
§ 4.5. Переменные "действие - угол". Рождение периодических решений из резонансных торов
невозмущенной задачи 93
Приложение А. К ЗАДАЧЕ ЛАГРАНЖА О СРЕДНЕМ ДВИЖЕНИИ ПЕРИГЕЛИЕВ 102
§ А. I. Постановка задачи 102
§ А.2. Теорема об уточнении значения среднего движения 106
Приложение В. О СУЩЕСТВОВАНИИ ДВОЯКОАСИМПТОТИЧЕС-КИХ ТРАЕКТОРИЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ ПЛОСКОСТИ НА СЕБЯ, БЛИЗКИХ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ 115
Заключение 122
Литература 1
Введение к работе
Задачи динамики маятниковых систем являются традиционным объектом исследования теоретической механики. Их изучение восходит еще к Галилею, подметившему изохронность малых колебаний тела с неподвижной горизонтальной осью и предложившему абстрактную схему исследования этого явления - модель математического маятника \_2б]. Изучением движения маятников занимались Декарт, Роберваль, Гюйгенс, Ньютон, Гук. Обобщив задачу о физическом маятнике, Леонард Эйлер положил начало исследованию движения твердого тела вокруг неподвижной точки.
Маятниковые механические системы очень разнообразны. К ним относятся маятник с периодически меняющейся длиной, маятник с вибрирующей точкой подвеса, составные маятники, маятники, содержащие упругие элементы. С точки зрения теории маятниковых систем естественно рассматривать, например, и задачу о плоских колебаниях спутника на эллиптической орбите. Большой вклад в исследование динамики маятников внесли отечественные ученые Н.Е.Жуковский, А.А.Андронов, П.Л.Капица, Н.Н.Боголюбов, А.Ю.Ишлинский, В.В.Румянцев и др.
Особенностью многих конкретных задач динамики маятников является сочетание простоты их физической постановки и сложности их решений. Описание этих сложных решений, а "также их механическая интерпретация являются актуальными задачами современной механики.
История изучения маятниковых систем дает характерный пример гармоничного сочетания теоретических и практических разработок. Так в работах Гюйгенса наряду с задачей создания часов была решена теоретическая задача о приведенной длине физического маятника, а также было открыто явление синхронизации. В наше время теоретическое изучение маятниковых систем тесно связано с их разнообразным применением во многих отраслях техники, с решением практических задач о движении космических объектов вокруг центра масс.
Как известно,сложное поведение решений гамильтоновых систем связано с отсутствием у них достаточного числа первых интегралов. Изучение вопроса о несуществовании дополнительных интегралов методом расщепления сепаратрис [5і] , [3IJ ,[37] позволяет прояснить природу сложной динамики системы, причем в случае пересечения сепаратрис удается провести качественное исследование некоторых классов траекторий методами символической динамики. В диссертации метод расщепления сепаратрис применяется для исследования трех задач динамики маятников: задачи о колебаниях спутника в плоскости эллиптической орбиты, задачи о движении математического маятника под действием слабого периодического вращающего момента, задачи о двузвенном плоском маятнике в однородном поле силы тяжести.
Задачи о движении маятников встречаются в самых различных разделах механики, в частности, в небесной механике. Одной из таких задач является задача Лагранжа о среднем движении перигелиев планет. В первом приближении теории возмущений, когда можно пренебречь квадратами эксцентриситетов орбит планет по сравнению с самими эксцентриситетами, эволюция положения перигелия орбиты описывается формулой.
Если1\4... А рационально зависимы, то среднее движение существует [8б], но является, вообще говоря, разрывной функцией начальных фаз. На практике известны лишь рациональные приближения частот л , и возникает естественны!! вопрос, приводит ли уточнение приближений рационально-независимых частот к уточнению значения среднего движения. Следуя методу работы І38І в диссертации на этот вопрос дан положительный ответ.
Одной из причин сложного поведения траекторий динамических систем, порожденных дифференцируемыми отображениями, является расщепление и пересечение сепаратрис - инвариантных асимптотических поверхностей гиперболических неподвижных точек. В диссертации доказан аналог теоремы Пуанкаре о расщеплении сепаратрис 145J,137J для аналитических диффеоморфизмов плоскости на себя, близких к интегрируемым.
О структуре диссертации, диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка литературы.
В первой главе, носящей вводный характер, излагается вариант методов символической динамики, применяемый в последую - 7 цих главах для исследования конкретных задач. Предлагаемый метод иллюстрируется на примере математического маятника с периодически колеблющейся точкой подвеса. В конце главы помещен краткий исторический обзор по методам символической динамики.
Во второй главе рассматривается задача о плоских колебаниях спутника на эллиптической орбите. При малых значениях эксцентриситета Є изучается вопрос о расщеплении сепаратрис неустойчивого периодического решения. В случае трансверсально-го пересечения сепаратрис методом символической динамики исследуется поведение решений в окрестности однообходного-гомоклинического контура, дается их механическая интерпретация. Делается вывод о несуществовании интеграла уравнений движения. В конце главы помещен краткий обзор литературы по колебаниям спутника на эллиптической орбите.
В третьей главе рассматривается задача о движении математического маятника под действием малого возмущающего момента сил вида (t) } $[t) J [t +и) t Изучается вопрос о расщеплении сепаратрис неустойчивого периодического решения при достаточно малых значениях параметра , делается вывод о несуществовании интеграла уравнений движения. В случае трансверсального пересечения сепаратрис методом символической динамики изучается поведение решений в окрестности однообходного гомоклинического контура, дается физическая интерпретация этих решений. Дается краткий обзор литературы по рассматриваемой проблеме.
В четвертой главе рассматривается задача о двузвенном плоском маятнике в однородном поле силы тяжести. Предполагается, что звено ОА массы т± и длины ь± вращается вокруг неподвижной точки О , а звено А массы т и длины \ вра - 8 щается вокруг точки А . Пусть масса и длина звена А 6 зависят от безразмерного параметра так, что т - mQ 7 I = ь0 / , где по0 , С0 - положительные константы, имеющие размерность массы и длины соответственно. В пределе, при О , система уравнений движения маятника интегрируема (невозмущенная задача). При этом звено движется как математический маятник, а звено .A D совершает равномерные вращения вокруг точки А .
Доказывается, что при малых значениях, параметра существует однопараметрическое семейство неустойчивых-периодических решений, аналитически зависящих от параметра и пере-ходких при I -О в нег—ое сценарное режение навоз-мущенной задачи. Также изучается вопрос о существовании при достаточно малых значениях параметра однопараметрическсь-го семейства периодических решений, переходящих при .-& в устойчивое стационарное решение, невозмущенной задачи. В окрестности сдвоенных сепаратрис невозмущенной задачи производится понижение порядка системы уравнений движения по Уиттекеру. Для системы, возникающей в результате понижения порядка, исследуется расщепление сепаратрис при малых 0 , изучается поведение решений в окрестности грубого однообходного гомоклиническо-го контура методом символической динамики, дается механическая интерпретация этих решений. Делается вывод о несуществовании дополнительного аналитического интеграла, независимого с интегралом энергии, у исходной системы уравнений движения. Изучается рождение изолированных периодических решений возмущенной задачи при распаде резонансных инвариантных торов. В конце главы приводится краткий обзор литературы по динамике составных маятников.
В приложении А рассматривается задача Лагранжа о среднем движении перигелиев, дается положительный ответ на вопрос, приводит ли уточнение значений приближений ралионально-тнезави-симых частот к уточнению величины среднего движения.
В приложении В доказывается аналог теоремы Пуанкаре о расщеплении сепаратрис для. аналитических диффеоморфизмов плоскости на себя, близких к интегрируемым.
Результаты автора опубликованы в работах I19 - 23
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.В.Козлову за постоянное внимание и поддержку в работе.
