Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 3
1.1 Космические струны 3
1.2 Космические суперструны б
1.3 Излучение 8
1.4 Постановка задачи 10
2 Классическая теория возмущений для взаимодействующих струн 12
2.1 Действие и уравнение движения 14
2.2 Разложение по степеням взаимодействия 17
2.3 Самодействие и перенормировка 25
3 Черепковское излучение струн 30
3.1 Возмущения мировых листов 30
3.2 Эффективные источники излучения 32
3.2.1 Дилатон 33
3.2.2 Два-форма 39
3.2.3 Гравитон 41
3.3 Эффект Черепкова для струн 42
3.4 Излучение дилатона 45
3.5 Ультрарелятивистский предел 49
3.6 Излучение два-формы 54
3.7 Космологические оценки 58
4 Излучение при столкновении мембран 63
4.1 Действие и уравнения движения 63
4.2 Эффективный источник излучения 67
4.3 Излучение поля 3-формы 68
5 Излучение в 2 + 1 теории 74
5.1 Размерная редукция 74
5.2 Тормозное излучение 75
5.3 Преобразование к параллельной конфигурации 78
6 Основные выводы
- Космические суперструны
- Разложение по степеням взаимодействия
- Эффективные источники излучения
- Излучение поля 3-формы
Введение к работе
Гипотеза космических струн была предложена для объяснения наблюдаемой иерархии космических структур (галактик, скоплений галактик, крупномасштабной ячеистой структуры) как альтернатива стандартной модели, основанной на росте возмущений плотности. Эта гипотеза способна объяснить наблюдения с рамках теории, содержащей единственный параметр — плотность массы (натяжение) струны. В основе этих представлений лежало предсказание возможности образования дефектов при фазовых переходах в ранней вселенной в рамках полевых моделей великого объединения. В этих моделях характерная плотность массы имеет (в энергетических единицах) масштаб 1015 — 1016 Гэв. Однако, новые данные по анизотропии микроволнового излучения несовместны со столь большим значением характерной массы, поэтому гипотеза космических струн полевого происхождения вероятно должна быть отвергнута. Тем не менее, в последнее время активно изучается возможность космических струн в рамках суперструнной модели объединения фундаментальных взаимодействий. Предсказываемые свойства космических суперструн, в отличие от струн, ранее изучавшихся в полевых моделях объединения, не противоречат данным по микроволновому фону.
Диссертационная работа посвящена исследованию динамики космических суперструн с учетом излучения безмассовых полей. Характерным для суперструнной модели космических струн является их взаимодействие с дилатоном и полем два-формы, а также иной характер процессов перезамыкания. Космологическая эволюция сети струн существенно зависит от процессов излучения ими безмассовых полей. Ранее в литературе обсуждалось излучение от осциллирующих струнных петель. В данной работе исследуется другой механизм излучения: черенковское излучение, которое должно возникать когда прямолинейные невозбужденные струны движутся под углом друг к другу так, что точка пересечения имеет сверхсветовую скорость. Ранее подобный механизм обсуждался для глобальных струн, взаимодействующих с полем аксиона, и было показано, что он играет важную роль в их динамике в ходе космологической эволюции. В данной рабо-
те черенковский механизм изучается применительно к космическим суперструнам, взаимодействующим с дилатоном, полем два-формы и гравитационным полем. Развита пертурбативная техника вычислений, позволяющая рассчитывать излучение для ультрарелятивистских струн, а также других протяженных объектов (мембран) рассматриваемых в теории суперструн. Актуальность проблемы обусловлена существенным развитием современной космологии в последние годы, в частности, появлению гипотезы космических суперструн. Их эволюция в ходе космологического расширения должна сопровождаться излучением, которое играет важную роль для последующего сравнения с экспериментом. Основным механизмом излучения, который рассматривался ранее, является излучение безмассовых полей (часть из которых в ходе последующей эволюции становятся массв-ными) осциллирующим петлями замкнутых струн. Однако, для космических суперструн должна быть велика доля прямолинейных невозбужденных струн, движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью. Исследование возможности черенковского излучения в такой системе необходимо для построения более полной картины эволюции сети космических струн.
Целью диссертационного исследования было исследование излучения сопровождающего движение прямолинейных космических суперструн, взаимодействующих посредством скалярного поля (дилатона), поля антисимметричной формы второго ранга и гравитации. Ранее было показано, что в случае чисто гравитационного взаимодействия излучение не возникает, однако в случае взаимодействия струн посредством поля формы в плоском пространстве-времени излучение имеет место. В данной работе рассматривался общий случай взаимодействия с тремя указанными полями, который является типичным для теории суперструн, с целью выснить существование эффекта черенковского излучения при движении струн под углом со сверхсветовой скоростью точки пересечения. Кроме того проводилось исследование излучения двух движущихся по углом р-бран в размерности D + 3 с целью изучения возможности обощения черенковского механизма на другие протяженные объекты, присутствующие в теории су-
перетрун.
Научная новизна. В работе впервые исследовано черенковское излучение безмассовых полей дилатона и два-формы прямолинейными струнами движущимися с постоянной скоростью под углом друг к другу. Этот механизм должен вносить существенный вклад в динамику космических сперструн в ранней Вселенной. Новым является также указание на возможность черенковского излучения движущихся р-бран в пространствах различной размерности , существование которых предсказывается суперструнными моделями объединения фундаментальных взаимодействий.
Научная и практическая ценность работы. Полученные в работе результаты имеют важное значение для дальнейшего развития теории космических суперструн в современной космологии, а также для более полного понимания динамики суперструн в объединенных моделях фундаментальных взаимодействий.
Результаты диссертации могут быть использованы в НИИЯФ МГУ, ИЯИ, ЛТФ ОИЯИ, ФИАН, ИТЭФ, МИАН, ТГУ и других научных центрах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференции Ломоносов-2006 (Москва, 2006г.), International Europhysics Conferencee on High Energy Physics HEP-EPS2005 (Lisbon, 2005r.), 2nd International Conference on Quantum Theories and Renormalization Group in Gravity and Cosmology IRGAC2006 (Barcelona, July 11-15 2006), 11-th Marcel Grossmann meeting (Berlin, July 2006), a также на семинарах кафедры теоретической физики МГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав
основного текста, заключения и списка цитируемой литературы.
Космические суперструны
Впервые возможность существования космических суперструн была рассмотрена в работе Виттена [13]. Это первоначальное предложение, однако, основывалось на представлении традиционной теории струн, в которой характерный параметр энергии М3 близок к планковской массе Ms Мр, в этом случае мы бы имели G\i (Ms/Mp)2 1, что неприемлемо (подробное обсуждение можно найти в работах [30, 33]). В последнее время, однако, появились модели, основанные на предположении о больших дополнительных измерениях [34, 35] в которых струнный масштаб энергии может быть значительно ниже [36, 37], что приводит к параметру Gfi С 1. В некоторых из этих моделей вселенная существует на гиперповерхности (гипербране) вложенной в пространство большего числа измерений, причем изначально таких поверхностей было несколько. Согласно одной из них, [23], сталкивающиеся гипербраны высшей размерности аннигилируют, в результате чего происходит образование гипербран меньшей размерности, которые могут играть роль наблюдаемых топологических деффектов. Как предложено в работе [24], космическими суперструнами могут быть Dp-браны с (р-І)-мерной компактификацией. Работы [38]-[45] посвящены изучению возможности рождения космических струн в моделях бранной инфляции. Основными кандидатами суперструн в космические суперструны являются фундаментальные F- и D- струны [41]-[45], и те и другие формируются в рамках гипербрашюй космологической модели инфляции. Данная модель управляется потенциалом взаимного притяжения между параллельными D-бранами и анти- D-бранами, которые первоначально пространственно разделены. Затем браны сближаются, сталкиваются и аннигилируют [23]. Процесс аннигиляции описывается с помощью тахионов с потенциалом, который допускает образование вихревых нитей типа Нильсена-Олесена
Результирующая струна известна как D-струна. С другой стороны, когда браны аннигилируют, возможно образование F- струн. Исследования этого процесса проводилось в работах [38]-[45]. Космические F- и D-струны в последнее время рассматриваются в качестве жизнеспособной альтернативы обычным космическим струнам. Величина безразмерного параметра натяжения G\i для F- и D-струн имеет порядок [44]
Эволюция сети космических струн в ходе космологического расширения представляет собой отдельную сложную задачу. В теории обычных космических струн этому вопросу посвящено много работ, см., например, [46]-[54]. В последнее время он также обсуждался в рамках теории космических суперструн [55]-[59]. Эволюция исследуется с помощью численного моделирования, в котором учитывается взаимодействие струн при их соприкосновении. Важный параметр теории это вероятность перезамыкания струн Р, которая определят долю струн, которые после столкновений открытых струн становятся замкнутыми. Анализ этой величины в работах [43, 56] показывает, что для F-струн тогда как для "обычных" космических струн Р = 1. Чем меньше вероятность перезамыкания, тем большую долю в сети струн имеют прямолинейные струны. Именно такие струны будут нас интересовать в дальнейшем исследовании. Поэтому изучаемый в диссертации механизм излучения прямолинейных струн, движущихся пог углом друг к другу приобретает особое значение именно для космических суперструн.
Эволюция струной сети зависит от выбранной космологической модели. В некоторых моделях струны полностью исчезают, в других, вариантах струны существуют до сих пор. Характерная длина прямолинейных сегментов струн
Космологическая эволюция сети космических струн существенно зависит от излучения ими гравитационных волн и других безмассовых полей, с которыми они могут взаимодействовать. Излучению гравитационных волн космическими струнами, рассматриваемыми как бесконечно-тонкие струны, описываемые лагранжианом Намбу-Гото, посвящено весьма много работ, см., например, [60]-[74]. Основной механизм это переработка энергии осциллирующих струнных петель в энергию гравитационных волн. Осциллирующие петли теряют энергию и схлопываются. На струне могут также образовываться изломы (каспы), образование которых сопровождается мощными всплесками гравитационного излучения [75]-[81].
Разложение по степеням взаимодействия
Уравнения (2.4) (имеющие место для каждой из струн) вместе с полевыми уравнениями (2.8, 2.9, 2.11) образуют самосогласованную систему, описывающую движение струн, взаимодействующих посредством полей дилатона, два-формы и гравитационного поля (далее для краткости обозначаемого гравитоном), а также генерацию этих полей струнами и их эволюцию. Мы рассматриваем данную систему в классическом приближении, имея в виду приложения к теории космических струн. Построение решений проводится методом последовательных приближений по степеням констант взаимодействия a, /, G.
Вторая струна движется в плоскости х2, хъ со скоростью v перпендикулярной самой струне: и% = 7 [1,0, —V cos a, v sin а], EJ = [0,0, sin а, cos а], (2.33) где 7 = (1—г;2)-1/2 - релятивистский фактор. Прицельный параметр d% при этом ортогонален векторам v? и Е и параллелен оси ж1 так, что расстояние между плоскостями равно разности d = d i — d\. Угол наклона а второй струны относительно первой можно представить в лоренц-инвариантной форме
Кинематика движения струн и выбор системы отсчета. Первая струна ориентирована вдоль третьей оси и покоится, вторая струна движется перпендикулярно себе в параллельной плоскости, отстоящей на расстоянии d — di — d\, и наклонена на угол а относительно первой струны. Проективная точка пересечения при этом движется вдоль третьей оси, ее скорость не ограничена сверху. а скорость струны можно выразить через направляющие векторы скорости струн
При таком выборе кинематики струн точка минимального расстояния между струнами (которое равно d) движется со скоростью вдоль оси х3, (см.рис. 2.1) Это движение, при учете взаимодействия струн между собой, будет означать распространение деформации струн, которое представляет собой эффективный источник, скорость которого может быть сверхсветовой. Для параллельных струн эта скорость бесконечна, vp = со.
Рассмотрим теперь возмущение метрики мирового листа 1 Здесь второй член, содержащий возмущение функции погружения X v приводит к существенному усложнению уравнения струны во втором приближении. Однако, используя симметрии действия, можно наложить в первом порядке теории возмущений калибровочное условие
В этом случае выражение для возмущенной индуцированной метрики упрощается: но при построении решения нам будет необходимо проверить, что это условие действительно выполняется. Уравнение для возмущения 1 координаты Х получается из уравнения (2.4) в первом приближении: Следующий шаг состоит в том, чтобы выполнить итерационные разложения в уравнениях поля (2.8)-(2.11). Уравнения поля дилатона при учете соотношения (2.40), записанные во втором приближении уравнений (2.8): содержат возмущения координат первого порядка Xі1, которые пропорциональны полю первого порядка. Исходя из уравнения (2.48) і легко видеть, что возмущение Xм содержит вклад от трех полей: дилатона, два-формы и линеаризованного гравитационного поля. Кроме того в уравнение входят квадратичные вклады полей первого порядка. Все эти вклады мы будем в дальнейшем изображать диаграммами, которые будут строиться с помощью элементарных вершин взаимодействия, показанных на рисунке 2.2, где невозмущенная струна обозначена жирной
Диаграммы, иллюстрирующие взаимодействие струны с полями дилатона, два-формы и гравитона. Струна обозначена жирной сплошной линией, дилатон -тонкой, поле два-формы - пунктирной линией и гравитон - волнистой линией. Имеются диаграммы с тремя концами, а также мультидилатопиые и мультигравитонные вершины, появляющиеся благодаря существенной нелинейности взаимодействия струны с полем дилатона и гравитацией. сплошной линией, дилатон - тонкой, аксион - пунктирной линией, а гравитон - волнистой линией.
Чтобы получить уравнение второго порядка для гравитационного возмущения необходимо учесть нелинейные члены второго порядка в уравнении Эйнштейна. Накладывая условие лоренцевой калибровки во всех порядках теории возмущений, в тензоре Эйнштейна можно выделить вклад линейный по ф (который в свою очередь разбивается на бесконечную сумму членов теории возмущений) и оставшиеся нелинейные члены. Имея в виду, что мы в дальнейшем ограничимся вторым порядком теории возмущений, нам будет достаточно учесть нелинейные члены второго порядка по ф :
Подстановка в уравнения струны второго порядка полей, создаваемых струнами в первом порядке, приводит, в частности, к вкладам типа самодействия. Они аналогичны самодействию, которое необходимо рассматривать при выводе уравнения Лоренца-Дирака для точечного заряда в электродинамике при учете излучения. В электродинамике бесконечные члены устраняются перенормировкой массы в действии. В теории струн и мембран этот вопрос обсуждался в ряде работ [121]-[129]. В нашей задаче перенормировка в низшем порядке теории возмущений проводится следующим образом.
Подстановка собстенных полей дилатона, два-формы и гравитона в уравнения движения струны иллюстрируется диаграммами, показанными на рис. 2.3). Для дилатона и два-формы имеются расходимости. Можно показать, что эти расходимости могут быть скомпенсированы перенормировкой параметра натяжения струны /І. В то же время, гравитационное самодействие струны не имеет расходимости. Рассмотрим перенормировку в первом порядке по взаимодействию.
Эффективные источники излучения
Рассмотрим подробнее уравнение для дилатона (2.48). Ток в правой части уравнения содержит вклады, локализованные на мировом листе, (первая строка в (2.48)) и объемные вклады, представляющие собой произведения полей дилатона, два-формы и гравитона первого порядка (вторая строка). Первые следует понимать следующих образом. Нужно взять возмущения функций погружения Х для каждой струны п = 1,2, обязанные полю первого порядка, порождаемому струной п = 2,1 соответственно. Эти вклады обозначены как ап, bn, Сп, п = 1,2 на диаграммах, показанных на рис. 3.2. Внешняя линия дилатона на этих диаграммах соответствует испусканию дилатона с импульсом № (в нашей классической трактовке — фурье-образу с этим значением волнового вектора), так что члены в (2.48)) с п = 1 определяются диаграммами a\,bi,ci а члены с п = 2 — диаграммами а2,&2»02- ДрУгие члены в верхней строке строятся аналогично: нужно взять Щ" для каждого п = 1,2 и умножить на гравитационные и дилатонные возмущения, порождаемые струной п = 2,1. ь
Диаграммы, описывающие излучение дилатонного поля во втором порядке теории возмущений: а\, Ь\, С\ соответствуют деформации мирового листа первой струны, й2, Ьг, с2 — деформации мирового листа второй струны; диаграммы d, е, f описывают вклады смешанных полевых членов первого порядка. Диаграмма d соответствует в выражении для эффективного источника произведения полей два-форм генерируемых струнами в первом порядке, диаграммы е, / — смешанным гравитон-дилатонным вкладам. Эти члены соответствуют диаграммам dn, еп, п = 1,2. Таким образом члены самодействия здесь будут исключены.
Напротив, полевые вклады изображаемые второй строкой (2.48) являются нелокальными и имеют непарный характер. В них также необходимо исключить вклады самодействия, для чего следует брать произведения полей, порождаемых различными струнами.
Рассмотрим вклады, изображаемые диаграммами ai, b{, с\ (испускание дилатона первой струной). Соответствующий ток имеет вид где возмущение функции погружения первой струны X і порождается полями первого порядка дилатона, два-формы и гравитаона, создаваемыми второй струной. Подставляя соответствующие члены в (3.15), после некоторых преобразований получим:
Источник в уравнении (2.8) для поля два-формы второго порядка изображается десятью диаграммами, показанными на рис. 3.3. В этом случае имеются струнные вклады, обусловленные обменом дилатоном, полем два-формы и гравитоном, а также объемные члены , описывающие процессы слияния виртуальных полей первого порядка в физических аксион, но нет членов контактного типа ввиду отсутствия соответствующих многочастичных вершин, ассоциируемых с полем два-формы. Струнные вклады ап,Ьп,Сп даются фурье-образами токов
Источник (2.53) в уравнении второго порядка для гравитона можно построить теми же методами. Он включает вклады диаграмм, показанных на рис.3.4. Однако в результате вычисления оказывается, что проекция фурье-образа тока на поперечные поляризационные тензоры гравитона на массовой поверхности к2 = 0 обращается в нуль. Причина лежит в размерности поперечного пространства струны, равной двум. Как было показано в [112], задача о движении наклонных струн в сверхсветовом режиме эквивалентна задаче и движении параллельных струн (в определенной системе отсчета и определенной параметризации мировых листов). Последняя задача сводится к задаче о точечных частицах в трехмерном пространстве-времени, в котором как известно дважды поперечные состояния свободного гравитационного поля отсутствуют вовсе. Таким образом, гравитационное излучение в нашей задаче отсутствует и мы не будем приводить подробных формул для соответствующих амплитуд. Заметим, что вне массовой поверхности к2 = О эти амплитуды не обращаются в нуль.
Покажем, что поля второго приближения содержат радиационные части при условии сверхсветового движения проективногой точки пересечения струн. Выражения для фурье-образов токов, представляющих собой источники в уравнениях дилатона и два-формы второго порядка, содержит интеграл
Излучение поля 3-формы
Рассмотрим две классические мембраны, движущиеся в плоском пространстве размерности 4 + 1 с сигнатурой (—Ь + + +). Функции погружения Х%(аа) зависят от координат мирового объема аа = (т,а,р) с сигнатурой (Н ), индекс п = 1,2 означает номер мембраны. Полное действие S = S\ + S2 + SH СОСТОИТ ИЗ действия двух мембран, имеющих натяжение Мп и взаимодействующих с антисимметричным полем формы Ащ,\, и полевого слагаемого:
Здесь є012 = —\,Tn- константа взаимодействия, по индексам в квадратных скобках подразумевается антисимметризация с коэффициентом 1/2, да det7a6 и 7ab = г)11идаХ хдъХ1/- метрика, индуцированная на мембране. Заметим, что в случае мембран метрика в мировом объеме имеет шесть независимых компонент, а число произвольных функций преобразования координат равно трем. Кроме того отсутствует конформная симметрия, поэтому метрику нельзя выбрать плоской как в
Варьируя действие (4.1) по Х получим уравнение движения каждой мембраны: в этом уравнении а - индекс суммирования по кординатам мембраны на мировом объеме, п, m = 1,2 - номера бран. В выражении для силы в правой части уравнения движения вообще говоря присутствует как собственное поле (сила самодействия), так и сила, действующая со стороны струны-партнера. Перенормировка бесконечного вклада самодействия в низшем порядке теории возмущений вполне аналогична рассмотренной выше для случая струн, она сводится к перенормировке натяжений мембран, и здесь мы не будем приводить явные выкладки. Таким образом, понимая под натяжением конечную перенормированную величину, будем отставлять в правой части уравнений для мирового объема только вклад мембраны-партнера. Заметим, что в более высоких размерностях проблема классической перенормировки становится более сложной ввиду наличия нескольких расходящихся членов с различной степенью расходимости (рассматриваемый здесь случай коразмерности 2 отвечает единственной логарифмической расходимости как и в случае струн в четырехмерии). Вариация действия (4.1) по полю А иХ приводит к уравнению поля с источником в правой части 3 х. Уравнение поля, создаваемого каждой браной имеет следующий вид: ПА Х = 4тг JuX, (4.7) ГЛ = у / УГЩх -0 xn(a)) d o. (4.8) Далее использована теория возмущения, аналогичная описанной для струн в предыдущих главах. Решение уравнения движения (4.4) и поля (4.7) может быть представлено в виде разложения в ряд по параметру взаимодействия поля формы Тп.
В нулевом приближении при отсутствии силового члена в правой части уравнения движения (4.4) выбирается решение для свободно движущихся бран: оХ = d?n + т" + Щап + Е У, (4.9) с при этом разность постоянных векторов dM = d% — d± является прицельным параметром, величина ufr— вектор 5-мерной скорости, , Е— направляющие векторы ориентации мембран. Первая мембрана предполагается покоящейся, так что координаты вектора скорости равны
Как показывает данная формула, поле первого порядка не дает вклада излучение, т.к. полюс q2, смещен по отношению к тем значениям q, которые вырезаны дельта-функциями в выражении (4.22). Физически этот результат представляется естественным, т.к. в нулевом приближении мембраны движутся свободно и не излучают. Поэтому излучение следует искать в следующем приближении, учитывающем деформации мировых объемов мембран.
Для того чтобы получить возмущение первого порядка мирового объема, необходимо построить выражение для силы первого порядка в уравнении движения (4.4):
Чтобы получить фурье-образ тока, ассоциируемый со второй мембраной \J2V нужно поменять индексы 1 и 2 местами и заменить вектор q на вектор (/ — qv). Интегрирование подынтегрального выражения для тока по q происходит по схеме, описанной в предыдущем разделе для струн. Далее излучение может быть рассчитано как работа источника через полуразность опережающего и запаздывающего поля стандартным способом, как это делалось в предыдущих главах
