Содержание к диссертации
Введение
1 Сложные системы 10
1.1 Нелинейные, хаотические и стохастические системы . 11
1.2 Представления, модели и методы исследования сложных систем 13
1.2.1 Временные серии 13
1.2.2 Методы нелинейной динамики 13
1.2.3 Показатель Ляпунова 15
1.2.4 Нестационарность 17
1.2.5 Дискретность в сложных системах 18
1.3 Эффекты памяти в сложных системах 18
1.3.1 Долговременные корреляции 19
1.3.2 Самоорганизация, спектр 1/ша и самоорганизованная критичность 20
1.4 Немарковские процессы в статистической физике конденсированных сред 21
1.4.1 Метод ВКФ в физике конденсированных сред . 22
1.4.2 Динамические переменные 24
1.4.3 Кинетические уравнения Цванцига-Мори в физике конденсированных сред и проекционные операторы 26
1.4.4 Обобщенное уравнение Ланжевена 28
1.4.5 Шум в обобщенном уравнении Ланжевена 29
1.4.6 Вывод цепочки кинетических уравнений 33
1.4.7 Параметр немарковости и его статистический спектр 37
Кинетическое описание дискретных стационарных случайных процессов в сложных системах негамильтоновой природы 39
2.1 Теория дискретных немарковских процессов 39
2.2 Временная корреляционная функция 40
2.3 Геометрическое описание динамики векторов состояния . 44
2.4 Вывод кинетического уравнения для временных корреляционных функций 46
2.5 Динамические ортогональные переменные и вывод цепочки конечно-разностных кинетических уравнений с памятью для временных корреляционных функций 50
2.6 Псевдогидродинамическое описание случайных процессов в сложных системах 55
2.7 Параметр немарковости 58
Выводы ко второй главе 60
Кинетическая теория для нестационарных дискретных процессов 61
3.1 Метод оценки нестационарности процесса 61
3.2 Вывод цепочки кинетических уравнений для нестационарных процессов 63
Выводы к третьей главе 77
Приложения теории дискретных немарковских процессов к анализу динамики сложных систем 78
4.1 Исследование эффектов памяти в динамике сердечного ритма 78
4.1.1 История вопроса 78
4.1.2 Анализ динамики долговременных записей RR- интервалов 80
4.1.3 Анализ динамики кратковременных записей RR -интервалов 87
4.2 Исследование колебаний земной коры 95
4.2.1 Данные 95
4.2.2 Исследование 95
4.3 Стохастические процессы марковизации и демарковизации
в хаотических электрических потенциалах мозга человека
во время эпилепсии 112
Выводы к четвертой главе 122
Заключение 124
Благодарности 125
Литература
- Представления, модели и методы исследования сложных систем
- Геометрическое описание динамики векторов состояния .
- Вывод цепочки кинетических уравнений для нестационарных процессов
- Анализ динамики кратковременных записей RR -интервалов
Введение к работе
Актуальность исследования. В последнее десятилетие в развитии статистической физики наблюдается бурный рост прикладных исследований в междисциплинарных областях. Особенно сильно вырос интерес к изучению статистических свойств реальных сложных природных систем. С одной стороны это обусловлено интенсивными приложениями методов статистической физики в химии, биологии, физиологии, медицине и других естественно-научных исследованиях. С другой стороны это вызвано потребностями различных областей современного естествознания, технологии и производства.
Систематические исследования свойств сложных систем были начаты сравнительно недавно, в 1990-е годы. В основном они опираются па методы и подходы статистической физики равновесных и неравновесных систем, нелинейной динамики, теории непрерывных и дискретных отображений, теории классического и квантового хаоса и др. Однако, в теоретических моделях, разработанных к настоящему времени в физике сложных систем, недостаточно были учтены некоторые фундаментальные особенности систем: дискретность, дальне-действующие корреляции, статистические эффекты памяти и немарковские свойства, быстрая и неожиданная смена режимов поведения системы (перемежаемость) и нестационарность. Широкое применение методов теоретической физики было сильно затруднено тем, что в приложении к реальным сложным системам недостаточно эффективно развиты методы теоретического анализа негамильтоновых систем.
Цель работы состоит в развитии негамильтонового подхода и построении статистической теории динамики реальных сложных систем с учетом эффектов статистической памяти и немарковости, дискретности, перемежаемости и нестационарности стохастического процесса. Практи ческая цель работы состояла в приложении разработанной теории к анализу динамики реальных сложных систем и построении практических методов исследования свойств статистической памяти в реальных системах. В работе была поставлена задача решения двух взаимосвязанных проблем. Первая проблема связана с принципиальной возможностью построения универсального подхода, позволяющего изучать широкий круг сложных систем живой и неживой природы с единой физической точки зрения. Этот подход должен опираться на фундаментальные пространственно-временные закономерности и инвариантные свойства в поведении сложных систем. Вторая проблема относится к разработке эффективных методов анализа и диагностики динамических свойств реальных сложных систем, предсказания кризисов и катастроф в их поведении.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Развит негамильтонов подход в изучении реальных дискретных сложных систем, основанный на конечно-разностных кинетических уравнениях. Впервые получена замкнутая цепочка кинетических конечно-разностных уравнений для стационарных и нестационарных ВКФ и функций памяти немарковского типа.
2. Методами статистической физики построена кинетическая теория дискретных стохастических процессов в сложных системах. Полученные кинетические уравнения представляют собой обобщение известной кинетической теории Цванцига-Мори в неравновесной статистической физике конденсированных сред на случай дискретных негамильто-новых статистических сложных систем.
3. Разработаны вычислительные алгоритмы нахождения фазовых портретов, спектров мощности функций памяти, статистического параметра немарковости, кинетических и релаксационных параметров для реальных сложных систем непосредственно из экспериментальных временных серий.
4. На основе теоретического анализа, количественных расчетов и вычислений для конкретных систем живой и неживой природы развиты принципиально новые методы анализа, диагностики и предсказания свойств статистических сложных систем.
Научная ценность и практическая значимость состоит в разработке универсальной физической концепции дискретных стохастических сложных систем немарковского типа. Развитые в работе теоретические методы позволяют вычислять ортогональные динамические переменные, спектры мощности функций памяти, статистический спектр параметра немарковости, спектральные, кинетические и релаксационные параметры для любых реальных сложных систем непосредственно из экспериментальных временных серий. Полученные результаты позволяют исследовать свойства статистической памяти, дискретность, нестаци-опарность и перемежаемость в реальных сложных системах. Практические приложения теории связаны с созданием и разработкой новых методов анализа, диагностики и предсказания свойств реальных сложных систем.
Содержание работы. Работа состоит из четырех частей. В первой главе приведен обзор основных теорий, используемых для описания динамики сложных систем. Во второй главе приводится вывод дискретных кинетических уравнений немарковского типа для стационарных процессов. В третьей главе приводится вывод дискретных кинетических уравнений немарковского типа для нестационарных процессов. В четвертой главе представлено приложение теории к описанию динамики реальных сложных систем (исследование динамики сердечного ритма, сейсмических колебаний земной коры при землетрясениях и техноген ных взрывах, исследование электроэнцефалограммы человека при эпилепсии).
Положения выносимые на защиту.
1. На основе идей, представлений и методов негамильтоновой физики дискретных стохастических немарковских систем разработана универсальная физическая концепция динамического описания сложных систем.
2. Развита статистическая теория кинетических процессов в реальных сложных системах с учетом дискретности, дальнодействующих временных корреляций, статистических эффектов памяти и нестационарности.
3. Разработаны вычислительные алгоритмы нахождения динамических, кинетических, спектральных, релаксационных параметров и характеристик реальных сложных статистических систем.
4. Предложены принципиально новые методы анализа и диагностики динамических свойств реальных сложных систем, предсказания кризисов и катастроф в их поведении.
Апробация работы. Теоретические и практические результаты работы были доложены на следующих конференциях и семинарах: NATO Advanced Research Workshop "Applications of statistical physics" (Budapest, 1999), "Unsolved Problems in Noise"(Washington, Bethesda, USA, 2002), "Необратимые процессы в природе и технике"(Москва, МГТУ им.Н.Э. Баумана, 1998, 2001), "Nonlinear dynamics and complex systems"(Минск, БГУ и Институт Физики АН Белоруссии, 1998-2002), 3rd Int. Conference and exhibition "Digital signal processing and its applications "(Москва, 2000), "V Int. Congress on Mathematical Modelling"(Дубна, 2002), "Медленные процессы гемодинамики: Пульсация и флуктуация сердечно - сосудистой системы"(Миасс, Челябинская область, 2000), XVIII Всероссий ский Съезд физиологов России (Казань, 2001), "Современные возможности холтеровского мониторирования "(С-Петербург, 2002), "Физические проблемы экологии"(Москва, 2001), "Зондирование земных покровов и атмосферы авикосмическими средствами"(Муром, 2001).
Полученные результаты были включены в отчеты по грантам РФФИ (грант 02-02-16146), РГНФ (00-06-00005а), конкурсного центра при Санкт-Петербургском государственном университете (грант 97-014.0-12), НИОКР РТ (грант 06-6.6-98/2001(Ф)).
По теме диссертации опубликовано 20 статей и тезисов в международных и российских журналах, сборниках статей и тезисов докладов (см. список литературы).
Представления, модели и методы исследования сложных систем
Временные серии возникают в результате регистрации эволюции динамических состояний сложной системы. На их основе анализируются свойства и характеристики сложных систем. Каждая временная серия содержит измеряемые параметры, характеризующие состояние сложной системы в определенные моменты времени. Так как обычно измерение проводится с определенным шагом по временной шкале, определяемым частотой дискретизации, то измеряемый набор величин получается дискретным. Благодаря развитию измерительной техники и методов измерения, в настоящее время можно получать временные серии с достаточно высокой точностью, проводить исследования динамических состояний системы [22] на основе разнообразных теоретических концепций [23], [24]- [28], [10] и разрабатывать методы предсказания эволюции системы [29]. Дискретность измеряемого параметра налагает ряд существенных ограничений при теоретическом описании динамики системы, что вынуждает отказаться от хорошо разработанной техники интегро-дифференциального исчисления. Поэтому возникает серьезная проблема теоретического анализа динамики дискретных стохастических систем негамильтоновой природы.
В последние десятилетия в анализе динамики сложных систем особую популярность приобрели методы детерминированного хаоса и нелинейной динамики [9]. Приведем основные положения теории детерминиро ванного хаоса.
Представим возможные состояния системы точками в конечномерном фазовом пространстве Rd, Предположим, что переход системы из точки x(ti) (в момент времени ti) в состояние х{і-2) (в момент времени І2) происходит по определенному правилу x{t2) — Tt2 tl{x{ti)). Тогда динамика сложной системы в фазовом пространстве Г Є Rd может быть представлена системой дифференциальных уравнений: случае непрерывного времени, (1.1) в случае дискретного времени. (1.2)
В зависимости от выбора вида функции F(x(t)) существуют различные решения от неподвижной точки до иррегулярности.
Детерминированный подход не достаточно эффективен при объяснении иррегулярности во временных сериях. Для этих целей традиционно используется влияние внешних флуктуации, воздействующих на динамику сложной системы. Внешняя хаотичность позволяет объяснить иррегулярность. В наиболее общем случае можно рассматривать ауторе-гресивный процесс где гауссово распределенные некоррелированные случайные приращения. В эксперименте постоянно пытаются увеличить количество переменных, измеряемых одновременно. Однако в большинстве исследований наблюдается динамика только одного параметра. Опыт показывает, что даже в случае одновременного измерения нескольких переменных, невозможно описать все степени свободы, характерные для данной системы. Недостающая информация может быть получена с помощью метода задержек (метод Такенса) [10]. Теоретическое описание этого подхода осно вывается на нескольких теоремах, определяющих условия, при которых аттрактор в пространстве запаздывающих переменных эквивалентен аттрактору реальной динамической системы в фазовом пространстве.
Пусть x(t) представляет собой траекторию динамической системы в Rd, a s[t) = s(x(t)) есть результат измерения этой скалярной переменной, тогда вектора фазового пространства формируются из скалярных
Значений дискретных Измерений размерность фазового пространства вложения. Согласно известной теореме Такенса [30] в общем случае фазовое пространство, построенное из векторов sn, при достаточно больших т полностью описывает динамику стохастической системы. Построенные таким образом фазовые портреты позволяют находить различные численные параметры, характеризующие динамику системы. Наиболее известными среди них являются разнообразные размерности (корреляционная, фрактальная и информационная), показатель Ляпунова, энтропия Кульбака [31], Фишера, Реньи, Шеннона [32], Цаллиса [33] и др.
Показатели Ляпунова определяют средний экспоненциальный рост малой начальной ошибки, поэтому их размерность равна обратному значению времени. Фазовые траектории с течением времени стягиваются к некоторой области фазового пространства и, попав в такую область, остаются там навсегда. Такая область называется аттрактором. Для любой динамической системы, имеющей аттракторы, все допустимые начальные точки в фазовом пространстве лежат в области притяжения одного из них. Аттракторы бывают статические (фиксированная точка), периодические (предельный цикл), квазипериодические (тор) и хаотические. Последний тип аттрактора называется странным аттрактором. Системы, содержащие странный аттрактор, демонстрируют поведение, похожее на случайное. Однако их динамика детерминирована и воспроизводима при условии точного повторения начальных условий. В отличие от предельных циклов или точечных аттракторов странные аттракторы являются непериодическими и имею фрактальную (дробную) размерность. Широко известен метод Хаусдорфа для вычисления клеточной размерности аттрактора и его различные обобщения [34], Также разработаны методы вычисления корреляционной и информационной размерности [9] для анализа динамики временных серий.
Геометрическое описание динамики векторов состояния .
Временную эволюцию состояний системы удобно описывать с помощью нормированных стационарных и нестационарных временных корреляционных функций (ВКФ). Предлагаемая нами схема основана на том, что многомерный динамический вектор состояния подчиняется дискретному уравнению движения с временным шагом, определяемым характером изучаемой системы [110], [111]. Для исследования системы вводится эволюционный оператор динамической системы. Сокращение в описании состояний системы проводится с помощью процедуры проектирования в многомерном евклидовом пространстве. Последовательное проектирование, осуществляемое с помощью набора проекционных операторов и процедуры ортогонализации Грама-Шмидта, приводит к системе зацепляющихся скалярных кинетических уравнений для ВКФ и функ ций памяти. Эти уравнения имеют немарковскую временную структуру, отражают статистические дальновременные эффекты памяти и позволяют учесть свойства нестационарности [112] в рассматриваемых системах. Они содержат большое число кинетических и релаксационных параметров и характеристик. Последние легко вычисляются для конкретного экспериментального временного ряда. Величины и знаки кинетических и релаксационных параметров определяют тип и характер решения кинетических уравнений. Функции памяти содержат подробную информацию о "ближних" и "дальних" статистических эффектах памяти. Весьма подробную дополнительную информацию об эффектах памяти и динамических режимах эволюции системы можно получить с помощью вычисления физического параметра немарковости и его статистического спектра. Частотные спектры мощности исходной ВКФ и младших функций памяти, фазовые портреты в плоских проекциях младших динамических ортогональных переменных и частотный спектр обобщенного динамического параметра немарковости позволяют получить подробную качественную и количественную информацию о динамических состояниях сложной системы. Набор этих величин и функций служит мощным диагностическим средством исследования динамических состояний различных сложных систем негамильтоновой природы [113]-[129].
Используя последнее соотношение и принимая во внимание (2.7), (2,21), находим, что для стационарных процессов имеет место следующее соотношение
Из этого уравнения видно, что расстояние определяется динамикой кор реляционного процесса. Учитывая свойство (2.8), получаем соотношение limt_»oo i?(Aj!(0)),A+/,()) = j2k 72, где а1 - дисперсия. В соответствии с условием затухания корреляций (2.8) параллельная компонента A+fe() состояния вектора постепенно аннигилирует при t —» со. Поэтому со стояние системы при t — со полностью определяется перпендикулярной , компонентой A+fcl(i) полного вектора состояния А+А;(). Из (2.23) видно, что наборы векторов состояния {А(0), A+fc()} для различных значений t, т и к характеризуют два взаимосвязанных состояния системы и играют важную роль в исследовании ее динамики. Вектор состояния Вц описывает процессы рождения корреляций, а Вх - процессы разрушения корреляций. Вследствие этого в пределе при і — со имеет место соотношение limAS+M( ) = 0) HmAE+fc)1( ) = A+k(t), что соответствует известному принципу затухания корреляций Боголюбова. С физической точки зрения это означает, что ВКФ a(t) описывает два взаимосвязанных состояния рождения и уничтожения динамических корреляций в состоянии сложной системы.
Из уравнений (2.21) и (2.24) видно, что ВКФ a(t) можно получить проектированием вектора конечного состояния A+k(t) на начальный вектор состояния А(0), где время і = тт. Благодаря этому можно записать оператор проектирования в линейном пространстве векторов состояний
Линейный оператор проектирования П обладает следующими свойствами: Операторы проектирования П и Р являются идемпотентными и взаимно-дополнительными. Проектор П проектирует на направление А (0), а ортогональный оператор Р проектирует все вектора в пространстве векторов состояния на ортогональное к нему направление.
Рассмотрим квазидинамическое конечно-разностное уравнение Ли-увилля для векторов состояния
Совокупность векторов состояния A+k(t) образует конечномерное векторное пространство А {к), размерности к со скалярным произведением (2.22), (2.24). Операторы П и Р расщепляют пространство векторов состояния А(к) на два взаимно-ортогональных подпространства
Уравнение (2.41) представляет собой конечно-разностное кинетическое уравнение немарковского типа для временной корреляционной функции a(t).
Переход к стандартному уравнению Лиувиллй в статистической физике легко осуществить предельным переходом г — 0. Тогда оператор L представляет собой обычный квантовый или классический Лиу-виллиан и определяется квантовым или классическим гамильтонианом системы. Из приведенных выше рассуждений видно, что данный подход справедлив для негамильтоновых систем самой общей природы, когда отсутствует гамильтониан, и не существует точных уравнений движения.
Дискретная функция памяти M\(jr) в (2.43) представляет собой нормированную ВКФ, эволюция которой определяется деформированным Лиувиллианом (L — L) для новой динамической переменной В = гї іА О). Таким образом мы можем полностью повторить процедуру (2.26) - (2.43) и получить соответствующее немарковское кинетическое уравнение для функции памяти Mi(jr). Повторяя многократно эту операцию, мы получаем цепочку кинетических немарковских уравнений для ВКФ. Однако эта цепочка может быть получена более простым путем. Для этого используем развитый раннее метод [96] для непрерывных га-мильтоновых систем с учетом дискретности времени.
Вывод цепочки кинетических уравнений для нестационарных процессов
В этой главе обобщается немарковский подход, развитый в предыдущей главе. Обобщение будет состоять в учете нестационарности. Напомним определение временной корреляционной функции (ВКФ) где время Т - начало временной серии. Угловыми скобками обозначено скалярное произведение векторов, a A(t) представляет собой вектор состояния сложной системы.
Вышеприведенное обозначение справедливо лишь для стационарных систем. В нестационарном случае выражение (3.1) некорректно и должно быть изменено. Понятие ВКФ можно обобщить на случай нестационарной последовательности сигналов. Для этого удобно воспользоваться стандартным определением коэффициента корреляции в теории вероятностей для двух случайных сигналов X и Y
В уравнении (3.2) многокомпонентные вектора X, Y образуются из флуктуации сигналов х и у, соответственно, о , jy пропорциональны дисперсии сигналов х и у, а величины Xj, Y представляют собой длины векторов X, Y, соответственно. Поэтому обобщением понятия ВКФ (3.1) для нестационарного процесса может служить функция
Нестационарная ВКФ (3.3) удовлетворяет условиям нормировки и ослабления корреляций Для количественного описания нестационарности, согласно (3.3), (3.1), удобно ввести функцию нестациоиарности которая равна отношению длин векторов конечного и начального состояний. В случае стационарного процесса дисперсия с течением времени не меняется (или меняется очень слабо), Поэтому для стационарного процесса являются справедливыми следующие соотношения \
Благодаря условию (3.5) в качестве динамического параметра нестациоиарности удобно рассматривать следующую величину
Этот динамический параметр может служить количественной мерой нестационарности рассматриваемого процесса. В соответствии с [3.4)-(3.6) можно предположить существование трех различных классов нестационарности сильная нестационарность.
Существование динамического параметра нестационарности позволяет определить тип нестационарности исследуемого процесса и найти его спектральные характеристики из экспериментальных данных. Вывод цепочки кинетических уравнений для нестационарных процессов
Далее обобщим основные положения статистической теории дискретных немарковских процессов в сложных системах, приведенной в предыдущей главе, на случай нестационарных процессов. Эта теория представляет собой дискретный конечно-разностный аналог хорошо известных кинетических уравнений Цванцига-Мори [74], [75] в статистической физике конденсированных сред.
Рассмотрим дискретный случайный процесс где Т- начало временной серии, т - время дискретизации. Основной интерес для нас представляет нормированная временная корреляционная функция (ВКФ), с помощью которой удобно рассматривать динамику корреляций в сложной системе
Вообще говоря, среднее, дисперсия и ВКФ в (3.9), (3.11) и (3.11) зависят от номера т. Именно так обстоит дело в случае нестационарных процессов. Для стационарных процессов при т -С N все указанные величины перестают зависеть от номера т и N. Само определение ВКФ в (3.9) также справедливо только для стационарных процессов.
Для учета нестационарности необходимо принять во внимание эту зависимость. С этой целью с помощью процесса (3.8) образуем два вектора состояния с размерностью, равной к .
В евклидовом пространстве векторов состояний ВКФ a(t) (3.9) описывает корреляцию двух векторов состояния обозначено скалярное произведение двух векторов, а в дисперсии a учтена зависимость от размерности соответствующих векторов. Фактически, ВКФ представляет собой cos есть угол между векторами (3.13). Введем единичный вектор размерности можно переписать следующим образом
Вышеприведенные соотношения (3.13)-(3.15) справедливы только для стационарных процессов. В случае нестационарных процессов необходимо переопределить ВКФ так, чтобы в соответствии с (3.2)-(3.7) была учтена сама нестационарность в дисперсии а2
Матричное представление оператора Лиувилля (3.25) и оператора эволюции (3.24) позволяет учесть нестационарные особенности динамики вектора конечного состояния системы.
Формулами (3.22), (3.23) мы будем пользоваться в дальнейшем исключительно для компактности записи. Итак, благодаря формулам (3.17), (3.22)-(3.24), можно учесть нестационарность случайного процесса. Введем проекционный оператор в евклидовом пространстве векторов состояний где угловыми скобками обозначены границы действия скалярного произведения.
Для анализа динамики случайного процесса А() в качестве вектора начального состояния А(0) удобно рассматривать вектор А (0) из (3.13), а в качестве вектора конечного состояния A(t) вектор A+fc(i) из (3.13) при значении т + к = N — 1.
Следует заметить, что проекционный оператор (3.26) обладает необходимым свойством идемпотентности П2 — П. Наличие оператора П позволяет ввести взаимно-дополнительный проектор Р следующим образом Оба проектора П и Р являются линейными и могут быть записаны только для выполнения операций в определенном евклидовом пространстве. Благодаря свойству (3.17), легко получить искомую ВКФ
Проектор П образует единичный вектор, направленный вдоль вектора конечного состояния А(0), и создает его проекцию на вектор начального состояния А(0).
Наличие пары взаимно-дополнительных проекционных операторов П и Р позволяет выполнить расщепление евклидового пространства векторов А(А(0), A(t) Є А) в виде прямой суммы двух взаимно-дополнительных подпространств
Анализ динамики кратковременных записей RR -интервалов
Поэтому из графиков 4.20а - 4.20d можно сделать следующие заключения физического характера, На первом уровне релаксационного процесса (Рис. 4.20а) напряженное состояние земной поверхности перед сильным землетрясением связано с квазимарковским поведением в области очень низких и низких частот в интервале 10 3ч,е, и 10 2ч.е.. В области средних частот с 10 2ч.е. ш 4 10_2ч.е. наблюдается усиление эффектов немарковости. Следует напомнить, что всюду нами используются частотные единицы 1 ч.е. — 2тг/т. В высокочастотной области 4 10 2ч.е. ш 0.5ч.е. происходит сильная демарковизация процесса, при этом мы имеем численные значения
Именно в этой области заметен характерный спектральный шум, отдаленно напоминающий эффекты дыхательной аритмии в деятельности сердца в кардиологии [110] (подробнее, см. предыдущую главу). В спектрах проявляется сильная немарковость Тем не менее здесь также заметны очень резкие спектральные выбросы к вази марковского типа: для 62( 0) вблизи характерной частоты 0.1 ч.е., для вблизи частот 0.05 ч.е. и 0.125 ч.е. Спектральное поведение точек ЄІ(Ш), І=1,2,3 драматически изменяется во время сильного землетрясения (Рис. 4.15 d,e,f). Поведение -ei(ut) практически не меняется во всем частотном интервале. Здесь мы имеем дело с величиной Єі(ш) 1, что говорит о сильной иемарковости процесса. Поведение Є2Іш) является почти аналогичным поведению при двух существенных особенностях. Первая особенность поведения Є2{ш) связана с возникновением слабого спектрального шума в высокочастотной половине частотного спектра для частот 0.2ч.е. ш О.бч.е. Другая особенность обусловлена резким всплеском спектра вблизи частоты 0.01 ч.е. Поведение є (и) на третьем релаксационном уровне приобретает квазифрактальный характер с характерной зависимостью г(ш) w"Q. На низких частотах можно обнаружить сильную марковизацию процесса, когда величина є$ быстро приближается к 400.
На основе вышеприведенной теории также проводился сопоставительный анализ слабого землетрясения и техногенного взрыва. На рисунках 4.21-4.22 в сопоставлении приведен ряд графиков обработки данных сейсмических колебаний земной коры при слабом землетрясении и техногенном взрыве. На рис. 4.21 показаны частотные спектры мощности функций памяти Мо, М\, М2М3. Спектры функций памяти имеют линейчатый вид, спектр для функции Мо имеет квазифрактальный вид. На рис. 8 показаны частотные спектры параметра немарковости для первых
Здесь заметны различия в конфигурации частотных пиков. Для более точной оценки различий между землетрясением и техногенным взрывом весь частотный диапазон спектра мощности был разделен на 10 участков, и для каждого участка отдельно вычислялась интегральная мощность спектра.
Анализ данных по техногенному взрыву позволяет сделать следующие выводы. Во-первых, фазовые портреты слабого землетрясения и техногенного взрыва во всех шести проекциях практически не различаются. Это видно как по пространственным масштабам динамических переменных W{ и Wj, так и по форме распределения фазовых точек. Во-вторых, следует отметить некоторые особенности в частотных спектрах мощности щ{ш), і = 0,1,2,3 (см. Рис. 4.21) для случаев II и III. Все эти спектры обладают отчетливо заметным сходством для функций МІ(І) с номерами г 0,1, 2 и 3. Перейдем теперь к анализу результатов исследования сейсмической активности спокойного состояния земли {Рис. 4.23-4.24). Эти результаты будут полезны для сопоставления с данными по землетрясениям и техногенным взрывам. Проекции облака фазовой плотности в трех плоскостях (И7!, Wo), (WQ,W2) И (Н О, И З) демонстрируют, приблизительно, одинаковое распределение фазовых точек. В трех других плоских проекциях (Wi, W2)) (Wi, W3) и (И ІУз) с участием четвертой переменной Ws фазовые облака вытягиваются вдоль одной из диагоналей. Частотные спектры мощности для функций памяти одинаковой четности (см. Рис.4.23) обладают примерно одинаковым поведением. Так, например, в четных функциях (JLQ(UJ) и М2(у) заметен резкий пик вблизи частоты 0.01 ч.е. В спектре более старшей функции памяти (ч) появляются дополнительные спектральные пики в области средних и высоких частот. В нечетных функциях памяти fii(uj) и Цз(и) появляются 2 группы характерных пиков вблизи частот 0.2ч.е. и 0.4ч.е. С ростом номера функции памяти происходит "перекачка" интенсивностей этих пиков из области средних в область высоких частот. Частотное поведение трех точек параметра немарковости i(u;, ),Є2{и?) и Єз{у) оказалось, практически, одинаковым.
