Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Однопетлевая перенормировка теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени 19
1. Однопетлевая перенормировка калибровочных теорий в искривленном пространстве-времени на основе метода фонового поля 19
2. Применение локального импульсного представления пропагаторов для вычисления однопетлевых контр членов в калибровочных теориях во внешнем гравитационном поле 29
3. Локальное импульсное представление пропагаторов. и однопетлевые контрчлены в эйнштейновской квантовой гравитации 35
Глава II. Уравнения ренормализационной группы и асимптотическая свобода во внешнем гравитационном поле ... 41
1. Уравнения ренормализационной группы в искривленном пространстве-времени 41
2. Асимптотическая конформная инвариантность в искривленном пространстве-времени 48
3. Поведение вакуумных эффективных зарядов в сильном гравитационном поле 56
4. Уравнения ренормализационной группы и асимптотики эффективного действия в R -гравитации со скалярным полем 60
Глава III. Эффективный потенциал в искривленном пространстве-времени 67
I. Решение уравнений ренормализационной группы для эффективного потенциала 67
2. Эффективный потенциал в калибровочных теориях в искривленном пространстве-времени и фазовые переходы, индуцированные кривизной 76
3. Асимптотические свойства эффективного потенциала в искривленном пространстве-времени 90
4. Фазовый переход и индуцирование эйнштейновской гравитации в квантованной R. -гравитации со скалярным полем 97
Глава ІV. Рождение частиц в космологических моделях 102
I. Рождение свободных частиц во фридмановских космологических моделях специального вида с электромагнитным полем 103
2. Рождение скалярных частиц в анизотропной космологической модели специального вида с электрическим полем 116
3. О представлении функций Грина во фридмановских космологических моделях специального вида с помощью контурных интегралов 119
4. Рождение безмассовых частиц в теории скалярного самодействующего поля во фридмановской Вселенной.. 123
Заключение 133
Литература 137
- Применение локального импульсного представления пропагаторов для вычисления однопетлевых контр членов в калибровочных теориях во внешнем гравитационном поле
- Асимптотическая конформная инвариантность в искривленном пространстве-времени
- Эффективный потенциал в калибровочных теориях в искривленном пространстве-времени и фазовые переходы, индуцированные кривизной
- О представлении функций Грина во фридмановских космологических моделях специального вида с помощью контурных интегралов
Введение к работе
В последнее время были достигнуты большие успехи на пути построения объединенной теории фундаментальных взаимодействий. Электромагнитные и слабые взаимодействия были объединены в единую теорию Вейнбергом и Саламом (см., например, обзоры [l,2\). Появились схемы большого объединения (см.,.например, обзоры П[,2_), в которых теория электрослабых взаимодействий и теория сильных взаимодействий, описываемая квантовой хромо динамикой, объединены в единую теорию электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий. Однако, гравитация остается пока за рамками этого объединения. Более того, до сих пор не. создана полностью удовлетворительная квантовая теория гравитации. В отсутствие реалистической квантовой теории гравитации возникает естественный вопрос: каким образом можно учесть влияние гравитационного взаимодействия в области квантовых эффектов? Одним из первых шагов в этом направлении является квантовая теория поля в искривлен-, ном пространстве-времени, то есть теория, в которой рассматриваются квантованные поля материи на фоне классического гравитационного поля.
С формальной точки зрения квантовую теорию поля в искривленном пространстве-времени можно разбить на: теорию свободных полей и теорию взаимодействующих полей. Квантовой теории свободных полей в искривленном пространстве-времени посвящено уже несколько сотен работ. Основные результаты, полученные в квантовой теории свободных полей в искривленном пространстве-времени, отражены в обзорных работах Де Витта [3J, Паркера [4,5J, Гриба, Мамаева и Мостепаненко [ б], Биррела и Девиса [ 7J, внесших существенный вклад в развитие всего предмета. Много полезного мате - 5 -риала содержится также в сборниках с татей _8,9]. Большое внимание в этих работах уделено исследованию рождения частиц и поляризации вакуума внешним гравитационным полем [3-7_[, регуляризации тензора энергии-импульса j_3,5-7J, физике черных дыр. и эффекту Хокинга Гз,4,6,7_. При этом в качестве одной из центральных проблем в теории с вободных полей в искривленном пространстве-времени предстает проблема перенормировки, которая заключается в следующем. При исследовании квантовой теории свободных полей в искривленном пространстве-времени было выяснено, что в теории возникают расходимости вакуумной энергии, которые зависят от инвариантов кривизны внешнего гравитационного поля, а не являются просто постоянными, как в плоском пространстве..Для устранения этих к действию свободных квантовых полей необходимо добавить затравочную вакуумную энергию (действие внешнего гравитационного поля). Тогда только теория, в целом, становится [3,5—7j.
Однако, наиболее существенной проблема перенормировки становится для квантовой теории взаимодействующих полей в искривленном пространстве-времени, поскольку, как известно j_I0,IIJ, уже в плоском пространстве в теории взаимодействующих полей необходимо совершать перенормировку полей и параметров теории для устранения возникающих.
Впервые вопросы перенормировки взаимодействующих полей во внешнем гравитационном поле были рассмотрены JJE2J на примере электродинамики. Им, было доказано, что спинорная электродинамика в слабом гравитационном поле. Предложенный подход требует рассмотрения бесконечного числа диаграмм, и пригоден только для формального доказательства перенормируемости. Перенормировка теории поля рассматривалась в пространстве постоянной кривизны I3-I6J и в пространстве с конформно-плоской метрикой 117-18 .
В это же время было выяснено, что для изучения проблемы перенормировки теории поля в искривленном пространстве-времени удобно использовать нормальные римановы координаты [isTJ, позволяющие ввести импульсного представления для диаграмм в кривом пространстве J20J . На этом пути были рассмотрены следующие вопросы: вычисление однопетлевых и в "А Ч5 -теории [20-24J , вычисление однопетлевых контр членов в квантовой электродинамике [25 J и в калибровочной теории [26,144].
В третьей главе метод ренормализационной группы применяется для приближенного вычисления эффективного потенциала и изучения его асимптотик. В первом параграфе записано уравнение ренормализационной группы для эффективного потенциала в искривленном пространстве-времени, а затем ищется его решение, так же как
-15.-это было сделано в плоском пространстве [97,98). Основное внимание уделяется ситуации, когда в эффективном потенциале достаточно ограничиться членами линейными по кривизне. Именно такая ситуация по оценкам статьи [80J характерна для Вселенной в эпоху большого объединения. Ограничиваясь, кроме того, однопетлевым приближением, мы получили общую формулу для эффективного и потенциала произвольной без массовой теории, содержащей скалярные, и калибровочные поля. В эту формулу входят только функции, найденные в предыдущей главе, либо известные из вычислений в плоском пространстве. Достоинством подхода является то,, что параметр калибровки ск в эффективном потенциале произволен. В конце параграфа на примере скалярного поля с взаимодействием Ач показано, что на основе ренормгрупповых уравнений для эффективного потенциала можно получить эффективный потенциал с большей точностью по кривизне. Во втором параграфе эффективный потенциал вычислен для скалярной электродинамики, двух 3 Щ 2 ) моделей теории поля и двух 5U(5") моделей большого объединения. Рассмотрен вопрос о фазовых переходах, индуцированных кривизной. Показано, что в асимптотически свободных моделях однопетлевого приближения недостаточно для исследования возможности фазового перехода. В то же время для ряда моделей, например, для S И (Ь J модели большого объединения Джорджи-Глэшоу [99_, фазовый переход первого рода по кривизне имеет место при значениях кривизны, характерных для эпохи большого объединения. Здесь же отмечено, что размерная трансмутация в искривленном пространстве-времени может происходить только при определенных соотношениях между параметрами теории. В третьем параграфе изучены асимптотики эффективного потенциала и связанный с ними вопрос об устойчивости квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Устойчивость квантовой теории поля в плоском пространстве исследовалась на основе ренормгрупповых уравнений для эффективного потенциала впервые в работе [lOOj . Для эффективного потенциала во внешнем гравитационном поле, так же как и в последнем параграфе второй главы, получено несколько вариантов уравнений ре-нормализационной группы. Изучены асимптотики эффективного потенциала для произвольной асимптотически свободной теории в пределе большой кривизны, в пределе больших скалярных полей и в совместном пределе. Показано, что в некоторых случаях асимптотика эффективного потенциала определяется неминимальным взаимодействием гравитационного и скалярных полей. Кроме того, обсуждаются условия, устойчивости квантовой теории поля в искривленном, пространстве-времени. Эти условия приводят, в частности, к тому, что неустойчивая на классическом уровне теория может становиться устойчивой на квантовом уровне. В четвертом параграфе на основе общей формулы первого параграфа найдено однопетлевое эффективное действие в ft -гравитации со скалярным полем. При вычислении использованы однопетлевые fb -функции, найденные Фрадкиным и Цейтлиным [9б]. Показано, что теория допускает фазовый переход первого рода по кривизне с последующим индуцированием эйнштейновской гравитации.
Последняя глава посвящена изучению ряда вопросов, связанных с рождением частиц в космологических моделях. Центральное место в этой главе занимает четвертый параграф, в котором на примере теории показано, как использовать метод ренормализационной группы для вычисления плотности энергии рожденных частиц в теории взаимодействующих полей.
Вначале главы рассмотрена задача о влиянии электромагнитного поля на рождение свободных частиц в космологических моделях. В частности, найдено среднее число скалярных и частиц рожденных за бесконечное время в Вселенной специального вида с постоянным электрическим полем и среднее число скалярных частиц, рожденных в квазиевклидовой Вселенной специального вида с постоянным электромагнитным полем. При этом сильное электрическое поле может значительно усиливать процесс рождения частиц из вакуума [iOJ. Показано, что в результате обратного влияния рожденных частиц электрическое поле с течением времени убывает, точно так же как изотропизуется первоначально анизотропное расширение ранней Вселенной [102,Юз]. Во втором параграфе вычислено среднее число скалярных частиц, рожденных . в анизотропной космологической модели специального вида с электрическим полем. В третьем параграфе получено представление . Швингера-Де. Витта в виде интеграла по собственному времени для скалярной двухточечной функции Грина по начальному вакууму в двух квазиевклидовых космологических моделях специального вида. Это представление сходно с соответствующим представлением для причинного пропагатора. [з,31. Хорошо известно [104-107], что причинный пропагатор можно использовать для исследования процесса рождения частиц, в частности, на его основе можно вычислять среднее число рожденных частиц. С другой стороны, двухточечная функция Грина по начальному вакууму отличается от причинного пропагатора членом, зависящим от амплитуд рождения и уничтожения частиц [108,109]. Представление двухточечной функции Грина по начальному вакууму в виде интеграла по собственному времени дает возможность явно получить этот член. В четвертом параграфе на основе общей структуры конформных аномалий тензора энергии-импульса -теории в низшем порядке тео - 18 рий возмущений вычислена плотность энергии безмассовых скалярных частиц, рожденных в процессе космологического расширения во фридмановской Вселенной. Рассмотрена конформно-инвариантная
Я Ф -теория. Хорошо известно [3-7J, что свободные конформно-инвариантные частицы не рождаются в конформно-плоских пространствах, поэтому рождение частиц обусловлено только взаимодействием. Приведены оценки [I52J, показывающие, что плотность энергии рожденных безмассовых частиц может значительно превосходить плотность энергии рожденных массивных частиц. В целом результаты последней главы в отличие от результатов предыдущих глав представляют собой лишь первые шаги в данном направлении.
Отметим, что каждый параграф в диссертации имеет независимую нумерацию формул. При ссылке на формулу из того же параграфа указывается номер этой формулы. При ссылке на формулу из другого параграфа той же главы слева от номера формулы ставится номер параграфа. При ссылке на формулу из другой главы слева от номера формулы ставится номер главы и номер параграфа, В диссертации используется релятивистская система единиц и стандартные обозначения [lO,IIOJ, за исключением тех случаев, где это оговорено особо.
Применение локального импульсного представления пропагаторов для вычисления однопетлевых контр членов в калибровочных теориях во внешнем гравитационном поле
Именно такая ситуация по оценкам статьи [80J характерна для Вселенной в эпоху большого объединения. Ограничиваясь, кроме того, однопетле-вым приближением, мы получили общую формулу для эффективного и потенциала произвольной безмассовой теории, содержащей скалярные, спинорные и калибровочные поля. В эту формулу входят только ренормгрупповые функции, найденные в предыдущей главе, либо известные из вычислений в плоском пространстве. Достоинством подхода является то,, что параметр калибровки ск в эффективном потенциале произволен. В конце параграфа на примере скаляр-ного поля с взаимодействием Ач показано, что на основе ре-нормгрупповых уравнений для эффективного потенциала можно получить эффективный потенциал с большей точностью по кривизне. Во втором параграфе эффективный потенциал вычислен для скалярной электродинамики, двух 3 Щ 2 ) моделей теории поля и двух 5U(5") моделей большого объединения. Рассмотрен вопрос о фазовых переходах, индуцированных кривизной. Показано, что в асимптотически свободных моделях однопетлевого приближения недостаточно для исследования возможности фазового перехода. В то же время для ряда моделей, например, для S И (Ь J модели большого объединения Джорджи-Глэшоу [99_, фазовый переход первого рода по кривизне имеет место при значениях кривизны,характерных для эпохи большого объединения. Здесь же отмечено, что размерная трансмутация в.искривленном пространстве-времени может происходить только при определенных соотношениях между параметрами теории. В третьем параграфе изучены асимптотики эффективного потенциала и связанный с ними вопрос об устойчивости квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Устойчивость квантовой теории поля в плоском пространстве исследовалась на основе ренормгрупповых уравнений для эффективного потенциала впервые в работе [lOOj . Для эффективного потенциала во внешнем гравитационном поле, так же как и в последнем параграфе второй главы, получено несколько вариантов уравнений ре-нормализационной группы. Изучены асимптотики эффективного потенциала для произвольной асимптотически свободной теории в пределе большой кривизны, в пределе больших скалярных полей и в совместном пределе. Показано, что в некоторых случаях асимптотика эффективного потенциала определяется неминимальным взаимодействием гравитационного и скалярных полей. Кроме того, обсуждаются условия, устойчивости квантовой теории поля в искривленном, пространстве-времени. Эти условия приводят, в частности, к тому, что неустойчивая на классическом уровне теория может становиться устойчивой на квантовом уровне. В четвертом параграфе на основе общей формулы первого параграфа найдено однопетлевое эффективное действие в ft -гравитации со скалярным полем. При вычислении использованы однопетлевые fb -функции, найденные Фрадкиным и Цейтлиным [9б]. Показано, что теория допускает фазовый переход первого рода по кривизне с последующим индуцированием эйнштейновской гравитации.
Последняя глава посвящена изучению ряда вопросов, связанных с рождением частиц в космологических моделях. Центральное место в этой главе занимает четвертый параграф, в котором на примере -теории показано, как использовать метод ренормализа-ционной группы для вычисления плотности энергии рожденных частиц в теории взаимодействующих полей.
В начале главы рассмотрена задача о влиянии электромагнитного поля на рождение свободных частиц в космологических моделях. В частности, найдено среднее число скалярных и сшшорных частиц рожденных за бесконечное время в квазиэвклидовой Вселенной специального вида с постоянным электрическим полем и среднее число скалярных частиц, рожденных в квазиэвклидовой Вселенной специального вида с постоянным электромагнитным полем. При этом сильное электрическое поле может значительно усиливать процесс рождения частиц из вакуума [iOJ. Показано, что в результате обратного влияния рожденных частиц электрическое поле с течением времени убывает, точно так же как изотропизуется первоначально анизотропное расширение ранней Вселенной [102,Юз]. Во втором параграфе вычислено среднее число скалярных частиц, рожденных . в анизотропной космологической модели специального вида с электрическим полем. В третьем параграфе получено представление . Швингера-Де. Витта в виде интеграла по собственному времени для скалярной двухточечной функции Грина по начальному вакууму в двух квазиэвклидовых космологических моделях специального вида. Это представление сходно с соответствующим представлением для причинного пропагатора. [з,31. Хорошо известно [104-107], что причинный пропагатор можно использовать для исследования процесса рождения частиц, в частности, на его основе можно вычислять среднее число рожденных частиц. С другой стороны, двухточечная функция Грина по начальному вакууму отличается от причинного пропагатора членом, зависящим от амплитуд рождения и уничтожения частиц [108,109]. Представление двухточечной функции Грина по начальному вакууму в виде интеграла по собственному времени дает возможность явно получить этот член. В четвертом параграфе на основе общей структуры конформных аномалий тензора энергии-импульса -теории в низшем порядке теорий возмущений вычислена плотность энергии безмассовых скалярных частиц, рожденных в процессе космологического расширения во фридмановской Вселенной. Рассмотрена конформно-инвариантная
Я Ф -теория. Хорошо известно [3-7J, что свободные конформно-инвариантные частицы не рождаются в конформно-плоских пространствах, поэтому рождение частиц обусловлено только взаимодействием. Приведены оценки [I52J, показывающие, что плотность энергии рожденных безмассовых частиц может значительно превосходить плотность энергии рожденных массивных частиц. В целом результаты последней главы в отличие от результатов предыдущих глав представляют собой лишь первые шаги в данном направлении.
Отметим, что каждый параграф в диссертации имеет независимую нумерацию формул. При ссылке на формулу из того же параграфа указывается номер этой формулы. При ссылке на формулу из другого параграфа той же главы слева от номера формулы ставится номер параграфа. При ссылке на формулу из другой главы слева от номера формулы ставится номер главы и номер параграфа, В диссертации используется релятивистская система единиц и стандартные обозначения [lO,IIOJ, за исключением тех случаев, где это оговорено особо.
Асимптотическая конформная инвариантность в искривленном пространстве-времени
Б выражениях (9,10) предполагается выполнение фейнмановских граничных условий, т.е. везде в знаменателях подразумевается к - —ъ kr +LG flOj. Соотношения (6,9,10) показывают, что несмотря на отсутствие глобального импульсного преобразования в искривленном пространстве-времени в .тех случаях, когда точки . X и X в пропагаторе G-fX jX J достаточно близки, можно построить локальное импульсное представление пропагаторов. Поско-льку расходимости произвольной фейнмановской диаграммы J fXjr = ., л Хи ) возникают, когда, по крайней мере, часть из точек X{f Хи совпадает, то представления (6,9,10) оказываются достаточными для вычисления полюсных частей фейнмановских диаграмм. При этом, в фейнмановских диаграммах можно пользоваться хорошо известной техникой интегрирования по импульсам [10, и].
Перейдем теперь к вычислению однопетлевой константы перенормировки параметра в методе.фонового поля на основе локального импульсного представления пропагаторов. Среди фоновых полей, так же как и в.предыдущем параграфе, ненулевыми.считаем только скалярные поля. Экспоненту в подинтегральном выражении равенства (1.7) разложим в ряд по ненулевым фоновым полям. ПреДСТа-вим hp- в выражении (1.7) в виде: где o , і . , включают соответственно члены нулевой, первой и второй степени по фоновым скалярным ПОЛЯМ, Тогда, оставляя в разложении экспоненты подинтегрального выражения равенства (1.7), только квадратичные по фоновым скалярным полям, члены, получим для эффективного действия W :
Вычислим теперь полюсные части соотношений (12, ІЗ). Для этого используем локальное импульсное представление пропагаторов (6, 9,10). Импульсные интегралы будем вычислять с помощью стандартных правил размерной регуляризации fill J . Получим (скалярное поле достаточно считать безмассовым) [20,40}: соображениями и совпадает с выражением (I.I9), найденным независимо. Константа перенормировки ify калибровочно-зависи-ма и при d-i совпадает с соответствующим выражением (I.I9).
Отметим, что представленные результаты прямых однопетлевых вычислений (1.16,17) подтверждают общий результат работы [51], основанный на конформных тождествах Уорда, о том, что однопет-левая константа перенормировки параметра пропорциональна
Нахождение контрчленов квантовой гравитации в методе фонового поля [32-34, 90, ИЗ J представляет собой задачу квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Поэтому в данном параграфе построено локальное импульсное представление пропагаторов гравитонов и гостовских частиц и на его основе воспроизведены однопетлевые контрчлены квантовой гравитации [90J. Такое рассмотрение показывает, во-первых, что методы квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, в частности, локальное импульсное представление пропагаторов,можно применять и непосредственно для квантовой гравитации. Во-вторых, воспроизводя на основе локального импульсного представления пропагаторов результат работы [ 90J, мы получаем еще одно свидетельство в пользу.полезности.локального импульсного представления пропагаторов. При этом оказывается, что с. помощью. локального импульсного представления лропагаторов. однопетлевые контрчлены квантовой гравитации находятся несколько проще,чем с использованием оригинального метода работы [90J, поскольку зависимость от внешнего гравитационного поля в локальном импульсном представлении пропагаторов удерживается точно. В-третьих, нам представляется, что локальное импульсное представление пропагаторов может оказаться полезным для нахождения двухпетлевых расходимостей гравитационной S -матрицы в методе фонового поля. Заметим в этой связи, что вопрос о двухпетлевых расходимостях гравитационной, S -матрицы исследовался в работах [lI4,II5J. Недавно Барвинский и Вилковыский [116] вычислили эти расходимости, используя обобщенную ими технику Швингера-Де Битта выделения расходимостей эффективного действия. Однако, они нашли только расходимости типа. /ррхп Оказалось,что на массовой оболочке эти расходимости зануляются. Это наводит на мысль, что квантовая гравитация в двухпетлевом приближении так же, как и в однопетлевом приближении, конечна. Для ответа на этот вопрос необходимо найти однократные полюса ррц в двухпетлевых расходимостях гравитационной S -матрицы. Проблема двухпетлевой конечности эйнштейновской гравитации до сих пор открыта. Запишем действие квантовой гравитации в методе фонового поля [27,32]:
Эффективный потенциал в калибровочных теориях в искривленном пространстве-времени и фазовые переходы, индуцированные кривизной
Отметим, что если часть п олей в рассматриваемой модели массивна, то возникают эффективные массы, которые при і —е» 0 ведут себя как М Ш М Є . Поэтому эффективные массы убывают значительно быстрее, чем все остальные эффективные заряды и их асимптотиками всегда можно пренебрегать по сравнению с асимптотиками всех остальных эффективных зарядов. -видимому, возмолшо Таким образом, в рассмотренных выше асимптотически свободных моделях поведение эффективных зарядов (-6) при т подразделяются следующим образом: 1. Существуют асимптотически свободные модели,в которых реализуется асимптотическая конформная инвариантность по всем параметрам [%Ш — ) 2. Существуют асимптотически свободные модели, в которых значение не диктуется структурой теории и может быть выбрано произвольным. В более сложных асимптотически свободных моделях, содержащих много скалярных мультиплетов, пои другое поведение зарядов .Например, возможны различные комбинации перечисленных выше случаев.
Обсудим космологические следствия асимптотической конформной инвариантности и ее нарушения. Пусть в рассматриваемой асимптотически свободной модели реализуется асимптотическая конформная инвариантность. Тогда в пределе все частицы, входящие в такую модель, можно описывать свободными конформно инвариантными уравнениями. В силу асимптотическом конформной инвариантности рождение частиц из вакуума во фридма-новской Вселенной сильно-ослаблено. Это вытекает из того, что -конформно инвариантные частицы не рождаются в конформно-плоских пространствах [3-7J. В любом сильном гравитационном поле параметр t конечен, тогда %(i)—i 0 t (i) Oj М (і) і-О . Однако, чем больше i. , тем меньше эти величины. Следовательно, рождение частиц в рассмотренной модели во фридмановской Вселенной возможно, но при усилении гравитационного поля оно ослабляется.
Пусть рассматривается асимптотически свободная модель, в которой при огда в сильном гравитационном поле уравнения для векторных и спинорных полей конформно инвариантны. Уравнение скалярного поля конформно неинвариантно, причем значение J может . быть очень велико. Тогда рождение векторных и спинорных частиц асимптотически отсутствует. Скалярные частицы рождаются, причем тем интенсивнее, чем больше напряженность гравитационного поля.
В заключение укажем на возможность связи между нарушением асимптотической конформной инвариантности и барионной асимметрией Вселенной. Один из механизмов, объясняющих барионную. асимметрию Вселенной, предложен Паркером. [lI7J.. В основе этого механизма лежит предположение об интенсивном рождении безмассовых конформно неинвариантных скалярных частиц, описываемых асимптотически свободной моделью большого объединения В работе 40]. рассмотрены две асимптотически-свободные модели большого объединения и показано, что асимптотическая конформная инвариантность в этих моделях отсутствует. Следовательно, если раннюю Вселенную можно описывать одной из рассмотренных в работе [40 J моделей .большого объединения, то механизм Паркера эффективен для объяснения барионной асимметрии Вселенсильном гравитационном поле
Асимптотическое поведение вакуумных эффективных зарядовв сильном гравитационном поле на примере ЪУ -теории впервые изучалось в нашей работе [146_/. Позже асшлптотики вакуумных зарядов были найдены для нескольких асимптотически свободных моделей теории поля в работах [40,57,118,119,154].
В данном параграфе получены выражения для вакуумных эффективных зарядов в трех асимптотически-свободных моделях теории поля с лагранжианами (І.І.І7, 2.7, 2.8). Возможность решения ренормгрупповых уравнений для „вакуумных зарядов обусловлена тем, что я вный вид (і) для этих моделей найден в предыдущем параграфе.
Исходя из общих уравнений (І.ІЗ) для зарядов Qi&) , запишем эти уравнения в трех моделях, описываемых лагранжианами (I.I.I7, 2.7, 2.8).
О представлении функций Грина во фридмановских космологических моделях специального вида с помощью контурных интегралов
Проинтегрируем уравнение (23) два раза по т ,используя условия (22) для определения возникших постоянных, найдем где выбрано M w2, . Выражение (24) есть однопетлевой эффек-тивный потенциал в -теории. В случае 5=( выражение (24) совпадает с эффективным потенциалом, полученным для открытой статической Вселенной в работе [7IJ.
В безмассовой теории в связи с появлением инфракрасных особенностей необходимо модифицировать условия нормировки:
Вновь интегрируя уравнение (23) два раза по Ч и используя условия (25) для устранения произвольных постоянных, возникающих при интегрировании, получим где выбрано jw = 2у . Выражение (26) есть однопетлевой эффективный потенциал в безмассовой Я -теории. Заметим,что на основе эффективных потенциалов (25,26) можно исследовать спонтанное нарушение сиглметрии, подобно тому, как это делалось выше для эффективного потенциала (12).
Таким образом, в настоящем параграфе развит метод, позволяющий получать эффективный потенциал в искривленном пространстве-времени путем прямого решения уравнения ренормализационнои группы для эффективного потенциала. На основе :этого метода получен однопетлевой эффективный потенциал в произвольной мультишгака-тивно-перенормируемой теории, содержащей скалярные поля, в линейном по кривизне приближении. Однопетлевое выражение для эффективного потенциала получено так же,как для массивной, так и для безмассовой -теории при произвольной кривизне.
Б настоящее время установлено, что калибровочные теории, содержащие скалярные поля, допускают фазовые переходы [I2I-I22J, обусловленные изменением внешних параметров теории. Интерес к фазовым переходам в квантовой теории поля объясняется в значительной степени космологическими приложениями. В частности, недавнее интенсивное изучение фазовых переходов первого рода потемпературе привело к созданию нового космологического сценария -раздувающейся Вселенной [_83-86]. Однако, для описания фазового перехода во Вселенной в эпоху большого объединения,как правило, использовался эффективный потенциал, вычисленный при ненулевой температуре в плоском пространстве. Кажется очевидным, что для изучения физических эффектов в ранней Вселенной, характеризуемой сильным гравитационным полем, нельзя использовать эффективный потенциал, найденный вообще без учета гравитационного поля. Из результатов предыдущего параграфа видно, что эффективный потенциал в искривленном пространстве зависит от кривизны. Следовательно, ненулевая кривизна может влиять и на выводы,4 полученные на основе эффективного потенциала. Более того, в работах [73,74J показано, что фазовые переходы в эффективном потенциале могут индуцироваться непосредственно кривизной внешнего гравитационного поля. Оценка работы [80J показывает, что в эпоху большого объединения
А а где A)x /0 Гэб . Здесь же показано, что в эффективном потенциале скалярной электродинамики в линейном по кривизне приближении могут происходить фазовые переходы, индуцированные кривизной, причем критическое значение кривизны удовлетворяет оценке (I). Следовательно, по крайней мере, линейные по кривизне члены необходимо учитывать в эффективном потенциале при описании фазовых переходов в ранней Вселенной.
Эффективный потенциал в калибровочных теориях во внешнем гравитационном поле вычислялся ранее [72-74, 77,78,80J , однако, только для скалярной электродинамики в пространстве постоянной кривизны [72-74,77,78] и в слабом гравитационном поле [80] и для О (Ц) супергравитации в пространстве постоянной кривизны [77, 78]. В данном параграфе эффективный потенциал получен с помощью общего выражения (I.I2 ) в скалярной электродинамике и нескольких теориях, основанных на калибровочных группах SU(2) и SU() . Проанализирована возможность фазовых переходов, индуцированных кривизной, в калибровочных теориях. Показано, что фазовые переходы по кривизне могут происходить в эпоху большого объединения. Приведем явное выражение эффективного потенциала (I.I2) для некоторых моделей теории ПОЛЯ. а) Скалярная электродинамика.
