Введение к работе
Актуальность темы. С момента открытия в 1913 году Э. Картаном спиноры привлекают к себе неизменный интерес. В математическом отношении они ознаменовали переход к изучению новых — двузначных — представлений ортогональных и псевдоортогональных групп. Кроме того, оказалось, что традиционное тензорное исчисление может рассматриваться как частный случай более общего спинорного исчисления. В физике спиноры начали широко использоваться после того как на исходе двадцатых годов В. Паули и П. Дирак обнаружили, что волновая функция электрона имеет спинорный характер. Позднее было показано, что сшшорнымн полями описываются все частицы, имеющие полуцелый спин (фермионы). Например, в современных калибровочных теориях элементарных частиц считается, что лепто-ны и кварки являются квантами соответствующих фундаментальных спинорных полей.
В последнее время все большее внимание начинает уделяться многомерным теориям, объединяющим известные виды физических взаимодействий. Прежде всего здесь следует упомянуть геометрические модели типа теории Калуцы-Клейна и теорию суперструп. В этой связи стали актуальными исследования по теории спиноров в многомерных неевклидовых пространствах и по различным ее обобщениям. В частности, сегодня любая суперсимметричная теория просто немыслима без так называемых грассмановых (антикоммутирующих) спиноров — важного обобщения картановских (коммутирующих) спиноров.
В недавних работах группы Ю.С.Владимирова, посвященных построению реляционной теории пространства-времени и физических взаимодействий на основе иерархии бинарных систем комплексных отношений симметричных рангов, был найден совершенно новый канал обобщений двухкомпонентных вейлевских спиноров, позволивший ввести понятие iV-компонентного спинора при нечетных N. Указанное обстоятельство свидетельствует о необходимости разработки возможно более полной теории таких обобщенных N-компонентных спиноров.
Цель диссертационной работы. Основной задачей, поставленной и решаемой в данной диссертации, является систематическое развитие математического аппарата JV-компонентных спиноров, исходя из теории бинарных систем комплексных отношений ранга (Л'+1,ЛЧ-1).
Научная новизна и практическая ценность работы. В диссертации впервые построена алгебраическая теория iV-компонентных спиноров и установлена ее связь с финслеровой геометрией. Дано явное описание гомоморфизма группы изометрий пространства iV-компонентных спиноров в группу изометрий №-мерного плоского финслерова пространства с метрической функцией, определяемой однородной алгебраической формой iV-ой степени. Выведены SL(iV, С)-ковариантные уравнения для свободных Лг-спинориых частиц в импульсном представлении. Показано, что эти №-мерные уравнения нетривиальным образом объединяют в себе 4-мерные уравнения Дирака и Клейна-Фока. Обнаружен 9-мерный финслеров аналог алгебры Даффина-Кеммера и найдена его конкретная матричная реализация.
Полученные результаты могут быть использованы исследовательскими группами, занимающимися разработками в области теории физического пространства-времени и взаимодействий элементарных частиц на физическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова, в Отделе теоретических проблем РАН, в Российском университете Дружбы Народов и в других научно-исследовательских учреждениях.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 4-ой, 5-ой и 6-ой летних школах по теории физических структур (Пущино, 1989; Львов, 1990; Пущино 1991), 10-ом Всесоюзном со-вещаниии «Гравитация и электромагнетизм» (Минск, 1991), 8-ой Российской гравитационной конференции (Пущино, 1993), международной школе-семинаре «Многомерная гравитация и космология» (Ярославль, 1994), 1-ой Ионовской школе-семинаре по основаниям теории физического пространства-времени (Ярославль, 1995), а также, неоднократно, на научных семинарах Отдела теоретических проблем РАН (Москва), Российского гравитационного общества (Москва), «Геометрия и физика» (физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова).
Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка цитированной литературы из 93 наименований. Общий объем диссертации составляет 99 страниц текста, подготовленного в системе компьютерной верстки CyrTUG-emT^i с использованием кириллических шрифтов семейства LH.
