Содержание к диссертации
стр.
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I. М30Ш:1 ПЕРЕХОД В МОДЕЛЬНОЙ ДВУХУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЕ ТИПА ДИККЕ.
І. Описание модели 18
2. Вычисление статистической суммы 2Il
3. Спектр коллективных возбуждений 27
4. Выводы и возможные обобщения предложенной
модели 28
ГЛАВА 2. СТРОГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АСИМПТОТИКИ СТАТИСТИЧЕСКОМ суммы для модаж-і типа джке.
5. Представление статистической суммы модели типа Дикке в виде функционального интеграла
по бозе-полю 33
6. Асимптотика 2/30 при Т>ТС 37
7. Асимптотика %/ %0 при "V ^- Тс 42
8. Асимптотика %/%,0 в окрестности точки
фазового перехода 54
9. Функции Грина 56
ГЛАВА 3. ПШШЕШЕ МЕТОДА ФУШЩДОНАЛЫГОГО ИНТЕГРИ
РОВАНИЯ ТЕОРИИ ЛАЗЕРА.
10.Метод функционального интегрирования в тео
рии неравновесных процессов 59
II.Функциональный интеграл для модели лазера 64
12.Вычисление матрицы плотности двухуровневой
системы в классическом поле 73
13 .Уравнения движения лазерного поля 80
.-3-
ШЇЛОЖЕШЕ I. Вычисление функции .Qk.icJu/) 86
ПРИЛОЖЕНИЙ 2. Вычисление функций с/(д,иЗ) , J2>0»"0 .. 89
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Вычисление функции & + и Сг_ при
9»с,гс+а. -*0 92
ЛИТЕРАТУРА 95
_ 4 -
Введение к работе
В настоящей работе метод функционального (континуального) интегрирования пршленяется к модельной системе многоуровневых атомов в поле излучения. Исследован спектр возбуждений и асимптотика статистической суммы многомодовой модели Дикке в сверх-излучательном состоянии, впервые строго доказана асимптотика статистической суммы модели Дикке как выше, так и ниже точки шазового перехода, выведены уравнения, описывающие процесс лазерной генерации и не; зависящие от феноменологических параметров.
В последние два десятилетия большое внимание уделяется исследованию коллективных эффектов, возникающих при взаимодействии электромагнитного поля с системой атомов. Это связано с открытием и бурным развитием лазерных систем, исследованием эффектов сверхизлучения и разработкой ряда модельных теоретических схем, описывающих фазовые переходы в системе атомов в поле излучения.
Все работы, как экспериментальные, так и теоретические, посвященные изучению кооперативных явлений в системе атомов и поля излучения могут быть разбиты на две группы: работы, в которых исследуются термодинамические характеристики равновесной системы, и работы, посвященные исследованию неравновесных процессов в этой системе (процесс лазерной генерации, сверхизлучение ).
Исходной точкой большинства теоретических исследований послужила работа Дикке / І /, в которой был предложен модельный гамильтониан, описывающий систему атомов и одномодовое поле излучения,
Здесь а4, ос - бозе-операторы поля излучения с перестановочными соотношениями j_0t^, ^^'J^S^o'J L^^'^^rL0"^^0. z\ $± ~ спиновые матрицы ( L - нумерует атомы); б0« - энергия мода поля излучения с волновым вектором fy. ; Qql - константа связи между атомной системой и полем излучения; О. - разность энергий соседних уровней в атоме; h/ - число атомов.
Интенсивное изучение равновесных свойств системы с га мильтонианом (I) началось после работы Хеппа и Либа /2/. В ней было показано, что в модельной системе Дикке при л/--»0^ , oL « \ ( L. - размер системы в резонаторе), , возможен фазовый переход, который представляет собой макроскопическую бозе-конденсацию одномодового поля излучения.
Хепп и Либ вычислили термодинамические характеристики системы и получили уравнение на температуру фазового перехода
В последующих работах 3-Ю изучались более общие модельные гамильтонианы, описывающие поле излучения, взаимодействующее с системой двухуровневых атомов в резонаторе. Вонг и Хиое /3/, используя для представления статистической суммы системы метод когерентных состояний /72/, исследовали фазовый переход в многомодовой модели Дикке при kL < і .В работах /5,7, 11-13/ изучались системы атомов, тлеющие колебателыше степени свобода, взаимодействующие с полем излучения. Учет колебательных степеней свобода приводит к появлению зависимости кон- станты взаимодействия атомной системы с полем излучения от фононних полей. Фононные поля описывают возмозшые колебания решетки, в узлах которой расположены атомы. Такая системы обнаруживает критическое поведение связи. Важными, для поншлания физического смысла фазового перехода в модели Дикке явились исследования /14-18/. 3 этих работах показано, что при снятии ограничения на число мод бозе-поля в термодинамическом пределе /\/ _*. со происходит макроскопическое заполнение квантовых состояний поля излучения с нулевыми волновым вектором и частотой, что соответствует пространственно-однородному сегнетоэлектрическому упорядочиванию в системе.
Исследование обобщенной модели Дикке с гамильтонианом где V - затравочное взаимодействие, P~<2(S+4S-) проводилось Б.В.Ыощинским и В.К.Федяниным /19, 20/. В этой работе использовалось представление статистической суммы системы в виде континуального интеграла. Вычисление континуального интеграла проводилось по методу стационарной фазы, что позволило вычислить асимптотику статистической суммы модели с гамильтонианом (3) при //-*=**=* . В.Б.Кирьянов и В.С.Ярунин /21/, используя рэапиращпо спиновых матриц в (І) в виде билинейных комбинаций ферми-операторов, исследовали устойчивость фазового перехода, а также нашли спектр коллективных возбуждений бо-зевского типа при А/-»с» в модели Дикке прлТ<-Тй ,Т>ТС . В этих работах /19, 21/, базпруьэщихся на методе континуального интегрирования, критическое поведение системы трактовалось, как появление нетривиального решения уравнения, дающего точку стационарности эффективного действия р (а*} бозе-поля. Спектр коллективных возбуждений при таком подходе определялся исходя из условия обращения в ноль определителя матрицы, соответствующей квадратичной форме второй вариации Ьхэср в окрестности этого решения.
Существенную роль в развитии представлений о фазовом переходе в модели Дикке сыграли работы /24-35/, посвященные математически строгому описанию поведения системы в термодинамическом пределе. Наиболее простое доказательство асимптотической точности выражения для свободной энергии, полученного в предыдущих работах, было дано И.П.Бранковым, В.А.Загребновым и Н.С.Тончевым / 25/. В этой работе показано, что при ІІ-*«*-» разность между свободной энергией системы Р-уТІ^г^ и свободной энергией Р^ , вычисленной на основе аітроксимирующего гамильтониана, есть величина порядка ^оД , где о&(0,() 4// I fv - Ц < с /У*- (4)
Доказательство этого факта было основано на термодинамической эквивалентности модели Дикке и модели взашлодействующих спинов типа XX У , которая была исследована ранее /34/ методом ап-проксшлирующих гамильтонианов. Строгое исследование обобщенной модели Дикке с гамильтонианом (3) потребовало нетривиального обобщения техники мажорационных оценок Н.Н.Боголюбова (мл.) на неограниченные по норме операторы бозонного полч /24-26/. В работе /34/ получены строгие результаты для многобозонных среднісс в обобщенной модели Дикке с конечным числом мод поля излучения. Важной, но пока еще не решенной до конца задачей является строгое доказательство асимптотических выражений для статистических сумм моделььшх систем типа Дикке и БКШ, полученных в работах /19-22,35/. Для доказательства асимптотик статистических суш модельных систем необходимо получить более точные оценки - о - на свободную энергию системы в тер:.тодинамическом пределе, чем (4). Наиболее важной с этой точки зрения является работа В.Н.Попова /35/. В этой работе, с помощью представления статистической суммы модели БКШ в виде континуального интеграла, были получены асимптотические формулы для 220 при Л/-> как выше, так и ниже точки фазового перехода в системе. Асимптотические формулы выражаются через бесконечные произведения, которые не являются абсолютно сходящимися, что является основной трудностью для строгого доказательства формул для 2 „ . Для модели БКШ эти формулы удалось доказать при Т>Тс , приняв некоторое дополнительное предположение. Как показано в /21, 22/ и главе I данной работы, асимптотика статистической суммы модели Дикке выражается через абсолютно сходящиеся бесконечные произведения. Это позволяет строго доказать формулы для асимптотики статистической суммы, полученные методом стационарной фазы /36, 37/.
Наиболее прищипиальным является вопрос о том, насколько модельное представление Дикке соответствует реальной физической картине взаимодействия поля излучения системы атомов. При получении в /I/ модельного гамильтониана (I) использованы следующие приближения:
1. Система, в общем случае бесконечноуровневых атомов заме нена системой двухуровневых.
2. В гамильтониане не учитываются нерезонансные члены вида СиР » &*Р* (такое приближение обычно называются приближе нием вращающейся волны).
Не учитываются члены взаимодействия, пропорциональные .
Бесконечномодовое поле измерения заменено одной модой.
Ограничение I не является принципиальным, так как аналогичные выводы относительно характера фазового перехода верны и в случае, когда матрицы $0 будут генераторами более высокого представления группы спина /2/.
Приближение 2 является хорошим, когда основной вклад в термодинамику системы дают поля с частотой сй^(Л0 . Это приближение не работает при Т ^ Т0 , так как частота бозе-конденсата, появляющегося при Т < Тс и определяющего асшлптотику статистической суммы, равна нулю. Учет нерезонансных членов приводит к уменьшению группы симметрии гамильтониана и изменению как асимптотики статистической суммы /19,22/, так и спектра коллективных возбуждений /22/. При Т^Т0 в спектре коллективных возбуждений при учете нерезонансных членов отсутствует ветвь с нулевой частотой.
Учет нерезонансных членов и членов, пропорциональных (a + Q/ ;, в градиентно-инвариантной теории приводит к исчезновению фазового перехода /38, 41, 43/. Трактовка этого резз^ль-тата в формализме функционального интеграла дана в главе I. Однако, в системах с нарушенной градиентной инвариантностью этот резз^лътат уже неверен. В ряде работ учитывались члены пропорцио-нальные (&+0/ ), но оставлено приближение 3, что не изменяло характера фазового перехода /39, 42/.
Наиболее существенным является приближение 4. Реально резонатор может выделить макроскопическую моду с определенной частотой поля излучения. Однако, при сильном взаимодействии между полем излучения и атомами частота поля смещается, обращаясь в ноль в точке фазового перехода. Поэтому представление об одномо-довом характере поля верно только в случае, когда поведение системы определяется полем с частотой <0 ~ SX , что не выполняется при Т ^ Тс .
Анализ приближений 1-4 приводит к выводу о том, что в систе- ме атомов поля излучения возможен фазовый переход только в однородное сегнетоэлектрическое состояние. В случае, когда гамильтониан Дикке (I) трактуется, как система неподвижных спинов, взаимодействующих с электромагнитным полем, остаются в силе возражения, связанные с приближениями 2 и 4.
В работах /14, 44/ обобщенная модель Дикке применялась для описания электрончоононной системы полупроводников и полуметаллов. В работе /45/ исследовалось влияние внешнего поля на характер сегнетоэлектрического фазового перехода.
Изучение неравновесных процессов в системе атомы + поле излучения, таких, как лазерная генерация и сверхизлучение, представляет нерешенную пока в полном объеме проблему неравновесной статистической физики. Актуальность создания строгой теории лазера и эффекта сверхизлучения диктуется бурным развитием лазерной техники и техники получения сверхкоротких мощных импульсов. Экспериментальная ситуация в этой области достаточно полно отражена в работах /51;59/.
При описании процесса лазерном генерации в принципе возможны два подхода: ішазиклассическии и квантовый. Квазиклассический подход основан на представлении электромагнитного поля как классической величины и описания системы атомов при помощи матрицы плотности /46-50, 60/. В рамках этого подхода Лэмбом /46/ была предложена теоретическая модель миогомодового лазера, оказавшаяся чрезвычайно плодотворной для анализа свойств газовых лазеров, в частности, при исследовании влияния какой-либо характеристики активной среды на поле излучения. Эта теория позволяет рассматривать тагле явления, как насьщение, затягивание, уход и синхронизация частоты, а также конкуренция мод. Недостатки этой теории заключаются в следующем. Квазиклассический подход не - II - позволяет учесть эффекты, обусловленные статистическими флуктуа-циш-ли, в частности, эта теория не позволяет вычислить предельную теоретическую ширину линии моды лазера, описать свойства когерентности поля. Теория Лэмба использует феноменологические параметры типа диссилативных констант, которые в общем случае зависят от частоты и интенсивности излучения лазера. Эта теория применима только в случае слабого сигнала, так как связь между полем и средой описывается низшими порядками теории возмущения. Исследования теории Лэмба в более высоких порядках теории возмущений проведены в работах / 55*- /. Упрощенные точно решаемые модели лазера, рассмотренные в работе /54/, служат для оценки точности различных приближений, используемых при решении урав-нений Лэмба.
Квантовый подход в теории лазера был развит в работах /56-59/. Преимущество квантового подхода перед квазиклассическим состоит в возможности вычисления таких важных характеристик системы как корреляционные функции, статистика фотонов, ширина линии. В рамках этого подхода развито три, в сущности эквивалентных метода:
Гейзенберговские операторные уравнения с квантово-меха-ническими силами Ланжевена /55, 56/, уравнение для матрицы плотности поля излучения и системы атомов /57, 59/, обобщенной уравнение Фоккера-Планка /58/.
Достаточно полно все Эти три метода в квантовой теории лазера обсуждаются в статье Г.Хакена и В.Вайдлиха в сборнике /60/. Квантовьш подход основан на исследовании полной лазерной системы, включающей тепловые резервуары. Наиболее принципиальной и не решенной пока в полном объеме проблемой, присущей всем трем мето- дам, является построение корректной процедуры, позволяющей в замкнутом виде провести исключение из рассмотрения термостатные переменные / 61,62/. Строгий подход к теории сверхизлучательных систем, основанный на методе исключения бозонных переменных, развит в работах Н.Н. Боголюбова /мл./ с соавторами / 52,53/. С его помощью удалось получить ряд важных результатов в теории безре-зонаторных лазеров.
Возросший интерес к неравновесным системам типа лазера связан с трактовкой процесса лазерной генерации, как неравновесного разового перехода. Впервые аналогия между фазовым переходом и критическим поведением лазера была замечена Г.Хакеном /13/ На языке корреляционных функций эта аналогия изучалась в /64,65/. В этих работах отмечено, что радиус корреляции вблизи пороге генерации лазера ведет себя аналогично радиусу корреляций флуктуации параметра порядка вблизи точки фазового переходы в теории Ландау. Принципиальное отличие равновесного фазового перехода от процесса лазерной генерации состоит в том, что критическое поведение неравновесной системы определяется её диссипативными характеристиками. Равновесный фазовый переход определяется не-диссипативными характеристиками системы. Исследование критического поведения лазера интересно и с точки зрения проблемы самоорганизации при необратимых процессах /66,67/.
Данная диссертация посвящена изучению свойств двухуровневых ферми-систем в поле излучения. Используемый в работе подход основан на представлении статистической суммы системы и матрицы плотности в виде функционального /континуального/ интеграла. Формализм функционального интегрирования ооюбенно эффективен при исследовании термодинамически равновесных систем при фазовых превращениях. В работе он применяется для вычисления асимптотики - ІЗ - статистической суммы модели Дикке в термодинамическом пределе по методу стационарной Фазы. Представление статистической суммы в виде функционального интеграла существенно используется и при строгом обосновании полученных асимптотических формул. Метод оказывается приспособленным также для изучения коллективных воз-буждений системы. Спектр коллективных возбуждений определяется функционалом эффективного действия, полученным после интегрирования по ферли-переменным, описывающим атомы. Метод функционального интегрирования удалось использовать и для изучения неравновесных свойств системы атомов в поле излучения. Предложенный в .диссертации подход, основан на представлении неравновесной матрицы плотности системы в виде функционального интеграла и оказывается эффективным при исследовании процесса лазерной генерации. В таком подходе удалось получить уравнения, описывающие процесс лазерной генерации, не содержащие феноменологических параметров.
Диссертация состоит из введения, трех глав, приложений и списка литературы.
Первая глава диссертации заполняет пробел в изучении много-модовой модели Дикке и посвящена исследованию асимптотики статистической суммы и спектра коллективных возбуждений системы с гамильтонианом Нц
Здесь а^, &К. — fee, С і , Сj - ферли-операторы с перестановочными СООТНОШеНИЯМИ L^K^kD^^k , { С', ? С; \~ Or: $а'
С помощью представления статистической суммы в виде функционального интеграла ( I), в 2 была вычислена асимптотика статистической суммы при N -* в однопетлевом приближении, а также исследован вопрос об устойчивости фазового перехода. В 3 главы I получено уравнение для спектра резонансных частот.
В 4 аналогичным образом рассіяотрена система с гамильтонианом
Константы взаимодействия Jem выбираются в виде %іг=Z^icjjkmjjkfc.
Результаты главы I находятся в согласии с соответствующими результатами для одномодовоїї модели Дикке, полученными в работах /19, 21/.
Вторая глава посвящена строгому доказательству формул для асимптотики статистической суммы їло дели Дикке в термо динамическом пределе. Конкретные вычисления проделаны для модели с гамильтонианом
Обозначения здесь те }?.е, что и в выражениях (I, 5).
Все полученные результаты легко обобщаются на случай, когда гамильтониан модельной системы задан в виде (5) при jj^ = 0. Строгое обоснование асимптотических формул для статистической суммы и температурных функций Грина получено при всех ненулевых температурах, включая точку фазового перехода с Т=Тс . При доказательстве асимптотических форяул мы исходтл из представления Х2о" в виде функционального интеграла по бозе-полю и разбиваем пространство интегрирования па две области. Первая из них есть окрестность точки стационарной фазы. Интеграл по этой области можно приближенно вычислить, а возникающую при этом по-гретность строго оценить. Интеграл по второй области также удается строго оценить. Такой подход используется и при строгом оправдании метода стационарной фазы для конечномерных интегралов.
Распределение материала главы П по параграфам следующее. В I выводится удобное для дальнейших вычислений представление ;;„ в виде функционального интеграла по бозе-полю. В 2 строго исследуется этот функциональный интеграл при /v -*»о и Т">Тс/ В 3 проведено исследование и строго доказана асимптотика 7L%1* при г7-*сх> } "Г^Тс , с помощью представления для Д20~* і полученного в І. В 4 на основе формул, полученных в 3, найдена и строго доказана асимптотика статистической суммы в окрестности Т= То- В 5 получены асимптотические формулы для функций Грина, доказательство которых аналогично
В третьей главе предложен подход к исследованию процесса лазерной генерации на основе метода функционального интегрирования. Исследуется система многоуровневых атомов в многомодо-вом поле излучения в резонаторе. Определенным образом заданные соотношения между константами взаимодействия атомных уровней и поля излучения позволяют разбить всю систему на подсистемы. Разбиение на подсистемы проводится по отношению к величине времени релаксации. Начальные условия выбираются так, чтобы на определенном этапе эволюции системы макроскопическая мода поля излучения, выделяемая резонатором, усиливалась активной средой. Подсистемы, наиболее медленные.по отношению к релаксационным процессам, играют роль термостатов. После исключения переменных тёрмоштйьшодсистем получен функционал эффективного действия двухуровневой лазерной подсистемы и вычислено ядро неравновесной матрицы плотности в голоморфном представлении для двухуровневой системы, взаимодействующей с термостатами в монохроматическом классическом поле. Получено уравнение для определения амплитуды и частоты поля излучения. Решение этого уравне- нин представляет собой точку стационарности функционала эффективного действия одномодового поля излучения на определенном этапе эволюции системы. Полученное уравнение является более общим, чем соответствующее в теории Лэмба, так как не зависит от феноменологических параметров. Диссипативные константы, полученные при таком подходе, зависят от амплитуды и частоты поля излучении. В частном случае, когда термостаты равновесны друг относительно друга, при /1 = 0 и К|Кла.(у.і>ф-*0 /g,a(.4<0 > 9а 4(^7) ~ Функции, описывающие взаимодействие термостатов с лазерной подсистемой (уравнение, описывающее процесс лазерной генерации переходит в уравнение, определяющее плотность бозе-кондеысата при фазовом переходе в модели Дикке). Этот результат позволяет найти связь между равновесным фазовым переходом в модели типа Дикке и сильно неравновесным процессом лазерной генерации .
Распределение материала главы Ш по параграфам следующее. 3 10 дан подход к исследованию неравновесных процессов на основе представления матрицы плотности и производящего функционала для температурно-временных функций Грина в виде функционального интеграла. В II дано описание модели четырехуровневого твердотельного лазера в терминах функционального интеграла. Интегрированием по ферми-переменным и переменным тепловых резервуаров найдено выраяение для эффективного действия лазерного поля. В 12 вычислено ядро матрицы плотности в голоморфном представлении двухуровневой ферми-системы в классическом поле после исключения переменных тепловых резервуаров. В IB получена замкнутая форма уравнения, дающего точку стационарности. Обсундается связь этого уравнения с уравнением в теории Лемба и уравнением на плотность бозе-конденсата при фазовом переходе в модели Дикке.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, можно кратко сформулировать в виде следующих положений:
Получена асимптотика Z0 и спектр коллективных возбуждений многомодовой модели Дикке. Показана устойчивость фазового перехода.
Строго доказана асимптотика статистической суммы и функции Грина при ^-> во всем интервале температур, исключая ~Г= 0 . Доказательство асимптотики %%0 проведено с помощью представления статистической суммы в виде функционального интеграла.
Получено уравнение, определяющее амплитуду и частоту поля излучения лазера в режиме насыщения. Уравнение является точным в термодинамическом пределе. Получена зависимость дкс-сипативных констант от амплитуды и частоты поля излучения. Показана связь этого уравнения с уравнением, определяющим плотность бозе-конденсата в равновесной модели Дикке.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на ХШ научно-технической конференции молодых ученых (Ленинград, ГОИ, 1980), на П международном симпозиуме по избранныгл вопросам статистической механики (Дубна, ОИЯИ, 1981}.
Полученные в диссертации результаты опубликованы автором в работах/2- Z. ^ъ ЬЪ/ и совместно с В.Н.Поповым в работах/36,3?/
